直线与椭圆的位置关系练习题目与答案(最新整理)
高中数学教师用书第课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)含答案
第3课时直线与椭圆的位置关系（习题课)［思考1］判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津:(1）几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2）代数法：联立直线与圆的方程,利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津:不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．［思考3] 已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m。
问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．［尝试解答］将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0。
Δ＝4m2－20（m2－1)＝20－16m2。
当Δ＝0时，得m＝±错误!,直线与椭圆相切;当Δ〉0时,得－错误!〈m<错误!，直线与椭圆相交；当Δ〈0时,得m〈－错误!或m>错误!，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点，求m的取值范围．解：由错误!消去y,整理得（m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，所以Δ＝100k2－20(m＋5k2）(1－m）＝20m(5k2＋m－1），因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立，因为m〉0，所以5k2≥1－m恒成立,所以1－m≤0,即m≥1.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0〈m<5，综上，1≤m〈5，即m的取值范围是［1,5）．［思考1] 若直线l与圆C相交于点A,B，如何求弦长｜AB|?名师指津：(1）利用r2＝d2＋错误!错误!求解;(2）利用两点间的距离公式求解；(3）利用弦长公式｜AB|＝1＋k2｜x1－x2|求解．[思考2］若直线l：y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1相交于A（x1，y1)，B(x2，y2）两点，如何求｜AB｜的值？名师指津：|AB｜＝错误!｜x1－x2|．讲一讲2．已知椭圆错误!＋错误!＝1和点P（4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．[尝试解答］(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝错误!(x－4），即y＝错误!x。
课时作业6：2.5.2 第三课时 直线与椭圆的位置关系
第三课时 直线与椭圆的位置关系一、选择题1.已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切答案 A解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B.±22C.12D.±12 答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22.由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2，所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.3.椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32B. 3C.72D.4答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.4.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23. 纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.5.已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.2C. 2D.423 答案 D解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0，得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝423. 二、填空题6.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，实数m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52解析 由⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.7.椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是________. 答案 32解析 椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1，0)， 所以右焦点到直线y ＝3x 的距离为|3|1＋（3）2＝32. 8.经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点.设O 为坐标原点，则OA→·OB →＝________.答案 －13解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1，0). 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1. 代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 三、解答题9.求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度.解 过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.10.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点. (1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8. (2)由(1)可得F 1(－1，0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式 |AB |＝1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫672－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－97＝247.11.椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( )A.22B.233C.922D.2327 答案 A解析 联立方程组可得⎩⎨⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n ，所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2. 而k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.13.已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1，0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1，0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由. 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1， 得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2). 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)设P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′). 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根. 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1， 由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ， ∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根. 故这样的k 不存在.14.已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e ＝63，椭圆C 上的点到焦点F 2的最短距离为6－2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 1的直线交椭圆C 于点P ，Q ，且TF 1→·PQ →＝0，求|TF 1||PQ |的最小值. 解 (1)c a ＝63，而a －c ＝6－2，又a 2＝b 2＋c 2，得a ＝6，b ＝2， 故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)由(1)知F 1(－2，0)，∵TF 1→·PQ →＝0，故TF 1→⊥PQ →，设T (－3，m )， ∴|TF 1|＝m 2＋1，直线TF 1的斜率为－m ， 当m ＝0时，直线PQ 的方程为x ＝－2， 也符合方程x ＝my －2.当m ≠0时，直线PQ 的斜率为1m ， 直线PQ 的方程为x ＝my －2； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， |PQ |＝m 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32＋8m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3，|TF 1||PQ |＝m 2＋124（m 2＋1）m 2＋3＝m 2＋324m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋2m 2＋1≥2224＝33，当且仅当m 2＋1＝2m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立. ∴|TF 1||PQ |的最小值为33.。
线段和椭圆的位置关系 专题练习题 含答案
线段和椭圆的位置关系专题练习题含答案题目一设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜程度。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。
2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。
3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。
根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。
题目二设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。
直线与椭圆的位置关系(强化练习,附详解)
直线与椭圆的位置关系（椭圆3）1. 已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是 ． 2. 直线y ＝kx ＋1与椭圆52x ＋m y 2＝1总有公共点，则m 的取值范围是________． 3. 过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦，被M 点平分，则此弦所在直线的方程是 ．4.椭圆13422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于点B A ,，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是 。
5.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2, N 是1MF 的中点,O 是坐标原点,则ON 的长为 。
6.已知椭圆22221y x a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12(,0),(,0),F c F c -若椭圆上存在一点P 使1221,sin sin a c PF F PF F =∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 7.已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）直线133+=y 与椭圆交于N P ,两点，求||PN8.如图，从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM 。
（1）求椭圆的离心率；（2）设Q 是椭圆上一点，当2QF AB ⊥时，延长2QF 与椭圆交于另一点P ，若△1F PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程。
x y A B M O Q F 1 F 2 P。
直线与椭圆的位置关系训练题
直线与椭圆的位置关系训练题一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12. 答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5x 1－x 2＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a3a 2－b 2＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2， 所以－2a ＜x 1＋x 2＜2a ，则2a 3a 2－b 2＜2a ，即b 2a 2＜45，所以e 2＝1－b 2a 2＞15. 又0＜e ＜1，所以55＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫55，1 (二)难点专练——适情自主选5．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 6．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
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目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
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则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
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率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
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高中总复习·数学
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（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
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＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
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故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
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＝ .
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高中总复习·数学
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（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的位置关系练习题
直线与椭圆的位置关系练习题直线和椭圆之间的位置关系是数学中的重要概念。
本练题将帮助我们进一步理解直线与椭圆之间的关系。
在本文档中，我们将探讨直线与椭圆的可能位置关系，并提供一些练题供您解答。
1. 直线与椭圆位置关系的基本概念在开始练题之前，我们需先了解直线与椭圆位置关系的基本概念。
当直线与椭圆相交时，我们可以得到以下几种可能的位置关系：- 直线与椭圆相切：直线只与椭圆的一个点相切。
- 直线与椭圆相离：直线与椭圆没有交点，它们之间存在一定的距离。
- 直线与椭圆相交：直线与椭圆有两个交点。
2. 练题现在，我们来解答一些直线与椭圆位置关系的练题。
请仔细阅读题目，并尝试独立解答。
每道题会提供一个直线方程和一个椭圆方程，请确定它们之间的位置关系。
2.1. 问题一直线方程：y = 2x - 1椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
2.2. 问题二直线方程：y = 3x + 2椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
2.3. 问题三直线方程：y = -2x + 4椭圆方程：(x - 2)^2 / 4 + (y - 1)^2 / 9 = 1请确定直线与椭圆之间的位置关系，并简要解释。
3. 小结通过解答上述练题，我们可以进一步了解直线与椭圆之间的位置关系。
当直线与椭圆相切时，直线只与椭圆的一个点相切；当直线与椭圆相离时，直线与椭圆没有交点，它们之间存在一定的距离；当直线与椭圆相交时，直线与椭圆有两个交点。
希望这些练习题能够帮助您更好地理解直线与椭圆之间的位置关系。
如果您还有其他相关问题，欢迎随时向我们提问。
祝您学习愉快！。
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（原卷版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为()A ．63B ．33C ．23D ．133．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．344．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为()A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝15．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为()A ．6B ．12C ．24D ．486．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1B ．2C ．32D ．37．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝()A ．2B ．2C ．3D ．38．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是___________.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为___________.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为___________.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB→＝2OA →，求直线AB 的方程．13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A ，32B ，34C ．32，D ．34，15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C ．12D ．－1216．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练（解析版）时间：45分钟一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab＝0相切，则椭圆C 的离心率为(A )A ．63B ．33C ．23D ．13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2，∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63，故选A ．3．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(B )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：方法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．方法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12，故选B ．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为(D )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1消去y ，得b 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 2a b ＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a 2＝18，故选D ．5．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为(B )A ．6B ．12C ．24D ．48解析：如图，S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝2S △AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大，此时S △AOF 1的面积最大为12×4×3＝6.∴S △ABF 1的最大值为12，故选B ．6．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为(A )A ．1B ．2C ．32D ．3解析：设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a ＜x ＜a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x ，又因为椭圆的离心率为32，所以ba ＝1－e 2＝12，|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x2＝2ba ＝1，故选A ．7．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB→，则|AF →|＝(A )A ．2B ．2C ．3D ．3解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×＝1.解得n 2＝1，∴|AF→|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝2，故选A ．8．(多选题)已知直线y ＝3x ＋2被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(ACD )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋1C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A 、C 、D 中的直线与直线y ＝3x ＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选AC D ．二、填空题9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是32.解析：已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线3x －y ＝0的距离为|3－0|3＋1＝32.10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为53.解析：由a 2＝5，b 2＝4，得c 2＝1，则右焦点F 的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)＝2x －2，x 2＋5y 2＝20得3x 2－5x ＝0，解得x ＝0或x ＝53，所以|AB |＝53×1＋22＝553，又点O 到直线AB 的距离为d ＝|－2|1＋22＝25，因此S △OAB ＝12×553×25＝53.11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：不妨设点A 在第一象限，如图，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B →，得－5c 3，－代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b2＝1，又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)若将A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入到x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k2.将y ＝kx 代入到y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0.13．已知离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过点A 的直线l ：y ＝22x ＋m 交椭圆E 于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为c a ＝12，所以设a ＝2n ，c ＝n ，则b ＝n ，椭圆E 的方程为x 22n 2＋y 2n 2＝1.代入点A 的坐标得12n 2＋12n 2＝1，n 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，＝22x ＋m ，2＋2y 2＝2得x 2＋2＋2mx ＋m 2，即x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝m 2－1，Δ＝2m 2－4(m 2－1)>0，m 2<2.|BC |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝32[2m 2－4(m 2－1)]＝32(4－2m 2)，点A 到直线l 的距离d ＝|m |32，△ABC 的面积S ＝12|BC |·d ＝1232(4－2m 2)·|m |32＝22m 2(2－m 2)≤22·m 2＋2－m 22＝22，当且仅当m 2＝2－m 2，即m 2＝1时等号成立．所以当m ＝±1时，△ABC 面积取最大值为22.14．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是(A )A ，32B，34C ．32，D ．34，解析：设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.∴离心率e ＝ca ＝c 2a2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈，32，故选A ．15．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：设P (x 0，y 0)，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴点P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，纵坐标为k 1(x 0＋2)＝2k 12k 21＋1，即直线OP 的斜率k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12，故选D ．16．已知椭圆C 的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，右焦点为(c ,0)，则由点到直线的距离公式得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)不存在，理由如下：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)x ＋m ，y 2＝1，消去y 并整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－32m ，x 1x 2＝3(m 2－1)4，∴y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2＋m ＝－32m ＋2m ＝m2.由题意知Δ>0，即(6m )2－4×4×(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋(y 1＋1)2＝x 22＋(y 2＋1)2，整理得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2＋2)＝0，∴－32m (x 1－x 2)y1－y 2)＝0，x 1＋m －(x 2＋m )]＝32m(x 1－x 2)，x 1－x 2)＝32m (x 1－x 2)，又x 1≠x 2，∴32m ＝m2＋2，解得m ＝2.∵m ＝2不满足－2<m <2，∴满足条件的m 的值不存在．。
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。
直线与椭圆位置关系练习题目与答案
直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．232. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m3. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．3. 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．4. 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 910421==∴∆h AB S解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中22,2==e a 2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式212212111y y k x x k AB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解 5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．5. 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 6. 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又3222=c a 即2221131nm m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴又3222=c a 即2221131n m m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,图87. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BCAC a 则2=∴a224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()04211621142222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 8.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=19. 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．9. （1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab a b a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 10.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 试求λ的取值范围.10 。
直线与椭圆的位置关系典型例题及答案
直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB = .（1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-.联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得22123(2)3(2),b c a b c a y y -+--==因为2AF FB =，所以122y y -=.即223(2)3(2)2b c a b c a +--=∙ 得离心率 23c e a ==. ……6分 （Ⅱ）因为21113AB y y =+-，所以2224315343ab a b∙=+.由23c a =得5b a =.所以51544a =，得a=3，5b =. 椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.3、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q，满足=，证明：点Q 总在某定直线上.4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值.。
第5节 第2课时 直线与椭圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时直线与椭圆的位置关系1．点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔01x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔02x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔03x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y ＝kx ＋m ，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1kx ＋m ，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有04两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有05一个交点⇔相切；Δ<0⇔06无交点⇔相离．3．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|k 为直线的斜率且k ≠0.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)：(1)通径的长度为2b 2a.(2)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则kPA 1·kPA 2＝－b 2a 2.(3)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(4)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2a 2.(5)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．()(2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．()(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.()答案(1)√(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T14改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．(2)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率为－14，则直线PM 的斜率为()A ．13B ．3C ．－13D ．－3答案B解析∵椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，∴点M 的坐标为(－2，0)，点N 的坐标为(2，0)，又直线PN 的斜率为－14，∴直线PN 的方程为y ＝－14(x －2)，代入椭圆C 的方程x 24＋y 23＝1，得13x 2－4x －44＝0，设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＝413，解得x ＝－2213，y ＝1213，故直线PM 的斜率k ＝1213－2213＋2＝3.故选B.(3)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________．答案y 24＋x 2＝1解析因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T13改编)已知椭圆C 1：x 24＋y 23＝1，过点P (2，2)作椭圆C 1的切线，则切线方程为________________．答案x －8y ＋14＝0或x ＝2解析因为224＋223>1，所以点P 在C 1外部，当斜率不存在时，易知x ＝2为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x －2)，代入C 1中，并整理得(3＋4k 2)x 2＋16(k －k 2)x ＋16k 2－32k ＋4＝0，因为直线与椭圆相切，则Δ＝[16(k －k 2)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－32k ＋4)＝0，解得k ＝18，此时切线方程为x －8y ＋14＝0，所以切线方程为x －8y ＋14＝0或x＝2.考点探究——提素养考点一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，＋y 22＝1，消去y 并整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．【通性通法】(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．【巩固迁移】1．已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点(1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解(1)由0<m <2，得2m <4，知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N，得34＋14b2＝1，解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2，解得c 2＝3，所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立曲线C 的方程与直线l 的方程，y 2＝1，kx ＋2，消去y ，得2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，解得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k ∞，＋考点二弦长问题例2(2024·内蒙古呼和浩特阶段考试)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为22，斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解(1)由题意，2＝b 2＋c 2，＝c a ＝63，c ＝22，解得c ＝2，a ＝3，b ＝a 2－c 2＝（3）2－（2）2＝1，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)因为k ＝1，所以设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x ＋m ，y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，又直线l 与椭圆M 有两个不同的交点，所以Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝12(4－m 2)>0，所以－2<m <2，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·9m 24－（3m 2－3）＝12－3m 22，故当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.【通性通法】求弦长的方法(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0.提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋t ；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x ＝my ＋n .【巩固迁移】2．(2023·海口模拟)一条过原点的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个交点为(3，6)，则它被椭圆截得的弦长为()A ．3B ．6C ．23D ．26答案B解析如图，设过原点O 的直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，该直线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个交点分别为A (3，6)，B (x ，y )，则根据对称性可知A ，B 两点关于原点O 对称，即|OA |＝|OB |，又|OA |＝（3）2＋（6）2＝3，该直线被椭圆截得的弦长为|AB |，所以|AB |＝|OA |＋|OB |＝3＋3＝6.故选B.考点三中点弦问题例3已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．1＝k （x －1），＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k－1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，显然Δ>0，∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1，又x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其斜率为k ，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，又x 2－x 1≠0，∴k＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.【通性通法】解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________________．答案x ＋2y －22＝0解析令AB 的中点为E ，因为|MA |＝|NB |，所以|ME |＝|NE |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，所以x 216－x 226＋y 213－y 223＝0，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，所以（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＝－12，即k OE ·k AB ＝－12，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，k ＜0，m ＞0，令x ＝0得y ＝m ，令y ＝0得x ＝－mk ，即－m k，N (0，m )，所以－m 2k ，所以k ×m2－m2k ＝－12，解得k ＝－22或k ＝22(舍去)，又|MN |＝23，即|MN |＝（2m ）2＋m 2＝23，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)，所以直线AB ：y ＝－22x ＋2，即x＋2y －22＝0.考点四切线问题例4(2023·陕西渭南二模)在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最大，则点M 的坐标为()A ．(－3，0)B －95，－C2D ．(－2，0)答案B解析如图，根据题意可知，当点M 在第三象限且椭圆在点M 处的切线与直线x ＋2y －10＝0平行时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x ＋2y＋m ＝0(m >0)，＋2y ＋m ＝0，x 2＋9y 2＝36，整理得25y 2＋16my ＋4m 2－36＝0，Δ＝162m 2－100(4m 2－36)＝0，因为m >0，解得m ＝5，所以椭圆x 29＋y 24＝1在点M 处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，联立2y ＋5＝0，＋y 24＝1，可得点M－95，故选B.【通性通法】(1)椭圆上的点到直线的距离的最值问题的解题方法：首先转化为平行直线与椭圆相切，然后求出两条平行直线间的距离即可．(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．【巩固迁移】4．(2024·河北唐山模拟)已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为()A ．3B ．2C ．1D ．0答案D解析由已知可得F (1，0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )，则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y 2＝1，x 2x 3＋y 2y 2＝1，因为切线AM ，AN 过点A (3，t )，所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty 2＝1，因为F (1，0)，所以1＋t ×02＝1，所以点F (1，0)在直线MN上，所以M ，N ，F 三点共线，所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.故选D.考点五直线与椭圆的综合问题例5(2023·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，|A 1F |＝3，|A 2F |＝1.(1)求椭圆的方程和离心率e ；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 的面积的二倍，求直线A 2P 的方程．解(1)如图，由题意可知＋c ＝3，－c ＝1，＝2，＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，此椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(2)由题意知直线A 2P 的斜率存在且不为0，所以可设直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)．k （x －2），＋y 23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，设P (x P ，y P )，则由根与系数的关系可知x P ＋2＝16k 23＋4k 2，即x P ＝8k 2－63＋4k 2，则y P ＝k (x P －2)＝－12k3＋4k 2.由直线A 2P 交y 轴于点Q 可得Q (0，－2k )，所以S △A 1PQ ＝|S △A 1P A 2－S △A 1QA 2|＝12×4×|y P －y Q |，S △A 2FP ＝12×1×|y P |，因为S △A 1PQ ＝2S △A 2FP ，所以2|y P －y Q |＝|y P |，①当2|y P |－2|y Q |＝|y P |时，|y P |＝2|y Q |，即有12|k |3＋4k 2＝2·|－2k |，解得k ＝0，不符合题意，舍去．②当2|y Q |－2|y P |＝|y P |时，2|y Q |＝3|y P |，即有4|k |＝36|k |3＋4k 2，解得k ＝0(舍去)或k ＝±62.故直线A 2P 的方程为y ＝±62(x －2)．【通性通法】(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x ＝my ＋n 避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y ＝kx ＋t 的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．【巩固迁移】5．在①离心率e ＝22；②过点a ＝2b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且________．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若△OMN (O 为坐标原点)的面积为23，求直线l的方程．解(1)选条件①：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，因为离心率e ＝c a ＝22，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件②：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又椭圆C 过点则1a 2＋12b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件③：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，则b 2＝c 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，y 2＝1，my ＋1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，所以△OMN 的面积S ＝12|OF |·|y 2－y 1|＝12（y 2＋y 1）2－4y 2y 1＝12＝2m 2＋1m 2＋2，因为△OMN 的面积为23，所以m 2＋1m 2＋2＝23，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.课时作业一、单项选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析x ＋2，＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0，得m >1且m ≠3.故选B.2．(2024·河南郑州质检)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．247B ．127C ．1227D ．837答案A解析直线AB 的方程为y ＝x －1，联立椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝247.故选A ．3．(2024·四川内江模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为()A ．65B ．3C ．113D ．3711答案A解析由x 24＋y 23＝1，得a 2＝4，b 2＝3，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 1(－1，0)，F 2(1，0)，当x ＝－1时，14＋y 23＝1，解得|y |＝32.因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝32，所以|F 2M |＝|MF 1|2＋|F 1F 2|2＝94＋4＝52.设F 1到直线F 2M 的距离为d ，因为d ·|MF 2|＝|MF 1||F 1F 2|，所以52d ＝32×2，解得d ＝65.故选A.4．(2023·河北张家口一模)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点(2，0)的直线交椭圆于A ，B两点．若AB C 的离心率为()A ．12B ．22C ．63D ．32答案D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程，可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0①，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－1，y 1－y 2x 1－x 2＝－12－01－2＝12，所以代入①，可得2a 2－12b 2＝0，化简得a 2＝4b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4a 2－4c 2，经检验符合题意．故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32.故选D.5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积是△F 2AB 面积的2倍，则m ＝()A ．23B ．23C ．－23D ．－23答案C解析x ＋m ，y 2＝1，消去y 可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A ，B 两点，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.设F 1到AB 的距离为d 1，F 2到AB 的距离为d 2，易知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则d 1＝|－2＋m |2，d 2＝|2＋m |2，S △F 1ABS △F 2AB＝|－2＋m |2|2＋m |2＝|－2＋m ||2＋m |＝2，解得m ＝－23或m ＝－32(舍去)．故选C.6．(2024·广东珠海模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，平行四边形ABCD 内接于椭圆E ，且直线AB 与AD 的斜率之积为－12，则椭圆E 的方程为()A ．x 28＋y 24＝1B ．x 212＋y 28＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 220＋y 216＝1答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由对称性可得D (－x 2，－y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以两式相减可得y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2，因为直线AB 与AD 的斜率之积为－12，所以y 2－y 1x 2－x 1·－y 2－y 1－x 2－x 1＝－12，即y 22－y 21x 22－x 21＝－12，所以b 2a 2＝12.设椭圆E 的半焦距为c ，因为椭圆E 的焦距为4，所以2c ＝4，所以c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝4，a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.故选A.7．(2023·湖南部分学校联考)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF →1＝λF 1B →，若AB ⊥AF 2，则λ＝()A ．5B ．4C ．3D ．2答案C解析因为AF →1＝λF 1B →，所以点A ，B ，F 1共线，设|AF 1|＝t ，则|AF 2|＝2a －t ＝4－t ，所以t 2＋(4－t )2＝(22)2，解得t ＝2，即|AF 1|＝|AF 2|＝2，不妨设A (0，2)，则AB ：y ＝x ＋2，联立x ＋2，＋y 22＝1，＝0，＝2＝－423，＝－23，则－423，因为AF →1＝λF 1B →，所以λ＝223＝3.故选C.8．若点(m ，n )在椭圆9x 2＋y 2＝9上，则nm －3的最小值为()A ．－223B ．－233C ．－32D ．－324答案D解析由题知椭圆的方程为x 2＋y 29＝1，如图，求n m －3的最小值即求点(m ，n )与点(3，0)连线斜率的最小值，设过点(m ，n )和点(3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，＝k （x －3），2＋y 29＝1，得(9＋k 2)x 2－6k 2x ＋9(k 2－1)＝0.由题意，知当Δ＝0时，直线的斜率取得最小值，则由Δ＝(－6k 2)2－4(9＋k 2)[9(k 2－1)]＝0，得k 2＝98，故k ＝－324，为斜率的最小值，即n m －3的最小值为－324.故选D.二、多项选择题9．直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系可能为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案AB解析直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点，故直线与椭圆可能相交，也可能相切．故选AB.10．设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 的坐标为(1，1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点MD ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析对于A ，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A不正确；对于B ，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线方程为y ＝x ＋1，点则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立，可得2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理，得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.三、填空题11．已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________．答案13解析由题意，得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直，所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)，则|AB |＝（－1－1）2＋[y 1－（－y 1）]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上，所以14＋y 213＝1，得y 21＝94，则|AB |＝4＋4×94＝13.12．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________．答案±12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k （x －1），y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，因为直线l 过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12，即k2＝14，所以k ＝±12.13．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案55解析因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，＋y 2a 2－1＝1，x ＋3，消去y ，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简，得a 4－6a 2＋5＝0，解得a 2＝5或a 2＝1(舍去)，则a ＝ 5.又c ＝1，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝15＝55.14．已知点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上任意一点，则点M 到直线x ＋y －7＝0的距离的最大值为________．答案62解析设与直线x ＋y －7＝0平行的直线x ＋y ＝m 与椭圆x 29＋y 216＝1相切，＋y 216＝1，y ＝m ，得25x 2－18mx ＋9m 2－144＝0，则Δ＝(18m )2－4×25×(9m 2－144)＝0，解得m ＝5或m ＝－5，由椭圆与x ＋y －7＝0的位置关系，取离直线x ＋y －7＝0远的切线x ＋y ＝－5，此时切点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上到直线x ＋y －7＝0的距离最大的点，最大距离等于两条平行直线间的距离d ＝|5＋7|12＋12＝6 2.四、解答题15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为6 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点M (4，2)是直线l 被椭圆E 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解(1)由已知，得2c ＝63，e ＝c a ＝32，所以c ＝33，a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝62－(33)2＝9，所以椭圆E 的方程为x 236＋y 29＝1.(2)设直线l 与椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 2136＋y 219＝1且x 2236＋y 229＝1，两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k l ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.16．(2023·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，∴4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y 221.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝12x ＋m ，＋y 22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2.∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）＝5，解得m ＝±3.故直线l 的方程为y ＝12x ±3.17．(多选)(2024·青岛质检)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx (k ≠0)与C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是()A ．四边形AF 1BF 2为平行四边形B ．∠F 1PF 2＜90°C ．直线BE 的斜率为12kD ．S 四边形AF 1BF 2∈(0，4]答案ABC解析对于A ，根据椭圆的对称性可知，|OF 1|＝|OF 2|，|OA |＝|OB |，故四边形AF 1BF 2为平行四边形，故A 正确；对于B ，根据椭圆的性质，当P 在上、下顶点时，|OP |＝b ＝2＝c .此时∠F 1PF 2＝90°.由题意可知P 不可能在上、下顶点，故∠F 1PF 2＜90°，故B 正确；对于C ，如图，不妨设B 在第一象限，BD ⊥x 轴，垂足为D ，则直线BE 的斜率为|BD ||ED |＝|BD |2|OD |＝12k ，故C 正确；对于D ，S 四边形AF 1BF 2＝2S △BF 1F 2＝|F 1F 2|·|BD |＝22|BD |.又0＜|BD |＜2，故S 四边形AF 1BF 2∈(0，4)，故D 错误．故选ABC.18．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列说法中正确的是()A ．△ABF 2的周长为4aB ．若O 为坐标原点，AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2C ．若AF 1→·AF 2→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是55，12D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案AC解析由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22，由＋y 21b 2＝1，①＋y 22b 2＝1，②及①－②，得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，所以B 错误；因为AF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2→＝(c －x 1，－y 1)，所以AF 1→·AF 2→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a 2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]，则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2，可得e ＝ca∈55，12，所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，得|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b 2a ＝3c ，即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误．故选AC.19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解(1)由题意，＝32，＝2，＝a 2－b 2，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．my ＋1，y 2＝1，消去x 并整理，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4m 2＋3m 2＋4，因为△ABO 的面积为35，所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35，设t ＝m 2＋3≥3，则2t t 2＋1＝35，整理，得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝±6.故直线l 的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0.20.(2023·福建三明期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，PA ，PB 的斜率之积为－34，且△PAB 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PF 交椭圆C 于另一点Q ，分别过P ，Q 作椭圆的切线，这两条切线交于点M ，证明：MF ⊥PQ .解(1)设点P (x 1，y 1)，由A (－a ，0)，B (a ，0)，得k P A ·k PB ＝y 1x 1＋a ·y 1x 1－a ＝y 21x 21－a 2.因为点P 在椭圆C 上，所以x 21a 2＋y 21b2＝1，即y 21＝b 2a 2(a 2－x 21)，则k P A ·k PB ＝y 21x 21－a 2＝－b 2a 2＝－34，所以b ＝32a .因为△PAB 面积的最大值为23，所以S ＝12·2a ·b ＝ab ＝32a 2＝23，所以a ＝2，b ＝3，即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：下面证明椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.理由如下：当y 0≠0时，切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，由Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2k 2－m 2＋b 2＝0，所以x 0＝－2a 2km ±Δ2（a 2k 2＋b 2）＝－2a 2km ±02m 2＝－a 2k m .将x 0＝－a 2k m 代入y 0＝kx 0＋m ，得y 0＝b 2m ，于是k ＝－mx 0a 2＝－x 0a 2·b 2y 0＝－b 2x 0a 2y 0，则椭圆的切线斜率为－b 2x 0a 2y 0，切线方程为y －y 0＝－b 2x 0a 2y 0(x －x 0)，整理得a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2y 20＋b 2x 20，其中b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，故a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2b 2，即x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.当y 0＝0时，x 0＝a 或－a ；当x 0＝a 时，切线方程为x ＝a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；当x 0＝－a 时，切线方程为x ＝－a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.综上，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.由题意知，直线PF 的斜率不为零，设直线PF ：x ＝ny －1，点Q (x 2，y 2)，由(1)及以上知，椭圆C 在点P (x 1，y 1)处的切线方程为x 1x 4＋y 1y 31，同理可得，椭圆C 在点Q (x 2，y 2)处的切线方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1.＋y 1y 3＝1，＋y 2y 3＝1，得交点M 的横坐标x M ＝4（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＝4（y 2－y 1）（ny 1－1）y 2－（ny 2－1）y 1＝－4，故可设点M (－4，t )，＋ty 13＝1，＋ty 23＝1，所以直线PQ 的方程为－x ＋ty 3＝1，k PQ ＝3t，又k MF ＝t －4＋1＝－t 3，所以k PQ ·k MF＝3t·1，所以MF ⊥PQ ，即证．。
直线与椭圆的位置关系
− 41 2 ＝
考点三
例3
“中点弦”问题
2
2
(1)已知 P (1，1)为椭圆 ＋ ＝1内一定点，经过点 P 引一条弦，
4
2
使此弦被点 P 平分，则此弦所在的直线方程为
x ＋2 y －3＝0
.
(1)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设斜率为 k ，弦所在的直线与椭圆相交于 A ， B 两点，设 A ( x 1， y 1)，
4 − 5＋ = 0，
[解] 由方程组ቐ 2
2
＋
25
9
=1
消去 y ，
得25 x 2＋8 mx ＋ m 2－225＝0. ①
方程①的根的判别式
Δ＝64 m 2－4×25×( m 2－225)＝36×(252－ m 2).
(3)由Δ＜0，得 m ＜－25或 m ＞25.此时方程①没有实数根，直线 l 与椭圆
＝－2 0
注意：此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用
判别式加以检验.
跟踪训练
3. 焦点为 F (0，5
椭圆的标准方程为
2
2 )，并截直线 y ＝2 x －1所得弦的中点的横坐标是 的
7
2
2
＋ ＝1
75
25
.
2
2
设所求的椭圆方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点
=1
消去 y ，
得25 x 2＋8 mx ＋ m 2－225＝0. ①
方程①的根的判别式
Δ＝64 m 2－4×25×( m 2－225)＝36×(252－ m 2).
(2)由Δ＝0，得 m 1＝25， m 2＝－25.此时方程①有两个相等的实数根，直
高中二年级上学期数学《直线与椭圆的位置关系》作业
3.1直线与椭圆的位置关系一、单选题1．已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相切或相交2．已知椭圆22143x y +=，直线l ：0x my m +-=（m R ∈），直线l 与椭圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定3．若圆的方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线的方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，则直线与圆的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题4．已知椭圆C 的两个焦点分别是1(1,0)F -､2(1,0)F ，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m 取何值时，直线y x m =+与椭圆C ：①有两个公共点；①只有一个公共点；①没有公共点？5．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，M 是椭圆的上顶点，且12MF F △是面积为1的等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线:10l x +=与椭圆E 交于A ，B 两点，判断椭圆E 上是否存在点P ，使得四边形OAPB 恰好为平行四边形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度．参考答案：1．C【解析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】 解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=， 因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C2．C【解析】【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交.【详解】由题意知l ：0x my m +-=（m R ∈）恒过点()0,1， 因为2211043+<，所以点（0,1）在椭圆内部， 所以直线l 与椭圆相交．故选：C【点睛】本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】【分析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解.【详解】由题得圆的方程为22+4x y =，它表示圆心为原点，半径为1的圆.直线的方程为x-y-2=0,所以圆心到直线的距离2d==<，所以直线和圆相交，故选B【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．(1)22143x y+=(2)①m<<①m=①m<m>【解析】【分析】（1）由题意c=1，将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆的标准方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，根据判别式求解即可.(1)设椭圆C的标准方程为()222210x ya ba b+=>>，由题意可得：2219141ca b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2243ab⎧=⎨=⎩，所以椭圆C的标准方程为：22143x y+=；(2)联立22143y x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得：22784120x mx m++-=，则()22226447(412)33648487mm m m∆=-⨯⨯-=-=-，①当0∆>，即m所以直线y x m=+与椭圆C有两个公共点；①当0∆=，即m=所以直线y x m =+与椭圆C 只有一个公共点； ①当∆<0，即m <m > 所以直线y x m =+与椭圆C 没有公共点；综上，当m <当m =当m <m >.5．(1)2212x y += (2)存在，点P的坐标为⎛- ⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形可得1,b c a ===E 的标准方程；（2）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y，联立22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪-⎩，根据韦达定理和四边形OAPB 恰好为平行四边形可得点P 的坐标.(1)由已知得12(,0),(,0)F c F c -，设(0,)M b . 12MF F △是面积为1的等腰直角三角形，1,b c a ∴===①椭圆E 的方程为2212x y += (2)由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪-⎩整理得2410y --=，则8160∆=+>.根据韦达定理得121214y y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩假设存在点P 满足四边形OAPB 恰好为平行四边形，所以OP OA OB =+.所以12P y y y =+=，)2211122111P x x x y y =+=+---==-，点P 2⎛- ⎝⎭代入椭圆C 方程，所以11122+=，所以点P 在椭圆C 上. 所以点P的坐标为⎛- ⎝⎭. 6．(1)[【解析】【分析】(1)联立直线与圆的方程，由判别式0∆≥可得答案.(2) 由（1）得出韦达定理，由弦长公式可得答案.(1)由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=． 因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤≤ 故实数m的取值范围是[． (2) 由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-==故当0m =时， d ．。
解析几何同步练习(直线与椭圆的位置关系AB)
直线与椭圆的位置关系(一)A 卷`一、选择题：1. 直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=(A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 54 2、过椭圆３x 2+4y 2=４８的左焦点引斜率为１的直线交椭圆于Ａ，Ｂ两点，则AB 等于(A )712 (B )724 (C ) 748 (D ) 796 3、设ＡＢ是过椭圆左焦点的弦，那么以ＡＢ为直径的圆与椭圆的左准线(A )相切 (B )相交 (C ) 相离 (D ) 相交或相切４．直线x y 22=与椭圆12222=+by a x (a>b>0)的两个交点在ｘ轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率等于(A )23 (B )22 (C ) 33 (D ) 21 二、填空题：5.经过椭圆12222=+by a x (a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为6.椭圆x 2+2y 2=1中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标为8.过点P(1,1)作椭圆12422=+y x 的弦AB ，并使P 为弦AB 的中点，则|AB|=三、解答题：9. 已知x 、y 满足191622=+y x ，求x + y 的取值范围。
10.过P(－3,0)作一直线l交椭圆E：11x2＋y2=9于M、N两点，问l的倾斜角多大时，以M、N为直径的圆过原点？直线与椭圆的位置关系(一)B 卷一、选择题：1.直线y=2x+m 与椭圆4922y x +=1有两个公共点，则实数m 的取值范围是 [ ] A.（-5，5） B.（-210，210） C.（-20，20） D.（-40，40）2. 若焦点是(0,±50)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为21，则该 椭圆方程为 [ ] A.175225222=+y x B.125275222=+y x C.1752522=+y x D.1257522=+y x 3. 已知椭圆)0(2222>=+a a y x 与以)3,4(),1,2(B A 为端点的线段没有公共点，则的取值范围是 [ ] Ａ．2230<<a Ｂ．2230<<a 或282>a Ｃ．282>a Ｄ．282223<<a 4、直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于两点Ａ，Ｂ，该椭圆上的点Ｐ使得PAB ∆的面积为３，这样的点共有 （ ）A 、１个B 、 ２个C 、３个D 、４个二、填空题：5.过点P(1,1)作椭圆12422=+y x 的弦AB ，则弦AB 的中点的轨迹方程为 6．设椭圆方程为191622=+y x ，则过点P （-,51659）的椭圆的切线方程为 。
高中数学-直线与椭圆的位置关系练习
高中数学-直线与椭圆的位置关系练习基础达标(水平一 )1.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为().A.0B.1C.2D.与a,b的值有关【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点.因为椭圆的长半轴长为3,短半轴长为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点(a,b)是椭圆内的点,所以过点(a,b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2.故选C.【答案】C2.直线y=kx+3与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是().A.m≥3且m≠8B.m≥9C.m≠8D.m≤8【解析】因为直线恒过定点(0,3),且直线与椭圆恒有公共点,所以需使点(0,3)在椭圆内或椭圆上,所以≤1,即m≥9.【答案】B3.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为().A. B. C. D.-【解析】设直线与椭圆交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,设直线为y=k(x+1)+2,联立得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=,所以=-2,解得k=.故选B.【答案】B4.已知椭圆E:+=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与直线l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是().A.kx+y+k=0B.kx-y-1=0C.kx+y-k=0D.kx+y-2=0【解析】A选项中,当k=-1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等;B 选项中,当k=1时,两直线关于原点对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等;C选项中,当k=1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等.【答案】D5.已知椭圆C:+y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=,则直线l的方程为.【解析】设直线l的方程为y=x+m,联立化简得4x2+6mx+3m2-3=0,∴x1+x2=-,x1x2=.∵|AB|=|x1-x2|,∴·=,∴m=±1,∴直线l的方程为y=x±1.【答案】y=x±16.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,整理得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,即e=.【答案】7.已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个焦点为(0,-),点A(1,)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.【解析】(1)椭圆的一个焦点为(0,-),设椭圆方程为+=1(a>).将点A(1,)代入方程,得+=1,整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),故所求椭圆方程为+=1.(2)设直线BC的方程为y=x+m,点B(x1,y1),C(x2,y2),代入椭圆方程并化简,得4x2+2mx+m2-4=0,由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,可得0≤m2<8. (*)又x1+x2=-m,x1x2=,故|BC|=|x1-x2|=.又点A到直线BC的距离为d=,故S△ABC=|BC|·d=≤·=,当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号(满足*式),此时直线l的方程为y=x±2.拓展提升(水平二)8.设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点.若|MN|=16,则椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c.整理得2e2+e-1=0,解得e=.所以a=2c,b=c,椭圆的方程为3x2+4y2=12c2.直线PF2的方程为y=(x-c),将直线方程代入椭圆方程,整理得5x2-8cx=0,解得x=0或x=c,所以M(0,-c),N,因此|MN|=c=16,所以c=5.所以椭圆的方程为+=1,故选B.【答案】B9.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学“三巨匠”,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A,点B(1,1),M为圆O上的动点,则2|MA|+|MB|的最小值为().A.B.C.D.【解析】设点M的坐标为(x,y),令2|MA|=|MC|,则=.由题意知,圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=.设点C的坐标为C(m,n),则==,整理得x2+y2+x+y=.由题意得该圆的方程为x2+y2=1,∴解得∴点C的坐标为(-2,0),∴2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|,因此当点M位于图中点M1,点M2的位置时,2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小值为,故选C.【答案】C10.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最大值为,最小值为.【解析】表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.不妨设=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,解得k=±,所以的最大值为,的最小值为-.【答案】-11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.【解析】(1)由题意,得解得a=2,b=2.∴椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,∵Δ=96-8m2>0,∴-2<m<2.又∵x1+x2=-,∴x0==-,y0=x0+m=.又∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,∴+=1,解得m=±,满足条件.。
直线与椭圆的位置关系B组题
9 直线与椭圆的位置关系B 组题一、选择题1．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为A B C ．12 D ．13答案 B 2．已知有相同两焦点12,F F 的椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是A.12C.1D.2 答案 C3．已知斜率为12-的直线l 交椭圆()222210x y C a b a b +=>>：于,A B 两点，若点()2,1P 是AB 的中点，则C 的离心率等于A.12 C.34答案 D二、填空题1．已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．答案 165解析 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4，∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165. 即点P 到y 轴的距离是165.2．与椭圆224936x y +=有相同的焦距，的椭圆的标准方程是____________． 解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5. 又e ＝c a ＝55，∴a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20， 故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.3．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ．答案 2212025x y += 三、解答题1．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ， 再由|AB |＝1＋k 2 |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，(8分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.(12分) 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋bb －a ＋b 2. ∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(9分) 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋2y 23＝1.(12分) 2．已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63. 1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)，∴直线l 的斜率为k ＝ 3.又∵直线l 过点(0，－23)，∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点． ∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分) (2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6. 若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m m 2＋3，① y 1y 2＝3m 2＋3，② Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32. ∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1，∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3. ∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0， 解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.(12分)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B .(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．解 (1)∵2a ＝4，c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)能．设点P (x 0，y 0) (x 0≠0，y 0≠0)，由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4(y 0－kx 0)2－12＝0. ∵x ＝x 0是方程的两个相等实根，∴2x 0＝－8ky 0－kx 03＋4k 2，解得k ＝－3x 04y 0. ∴直线l 的方程为y －y 0＝－3x 04y 0(x －x 0)． 令x ＝0，得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4y 20＋3x 204y 0. 又∵x 204＋y 203＝1，∴4y 20＋3x 20＝12. ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，3y 0. 又直线l ′的方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)， 令x ＝0，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－y 03. ∴以AB 为直径的圆的方程为x ·x ＋⎝⎛⎭⎫y －3y 0·⎝⎛⎭⎫y ＋y 03＝0. 整理，得x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y 03－3y 0y －1＝0.令y ＝0，得x ＝±1， ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．。
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直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐192522=+y x M 1F N 1MF ON O 标原点）的值为（ ）A ．4B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一2F 定义得，所以10221==+a MF MF ，82101012=-=-=MF MF 又因为为的中位线，所以ON 21F MF ∆，故答案为A ．4212==MF ON 2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围)(1R k kx y ∈+=1522=+my x m解法一：由可得，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 05510)5(22=-+++m kx x m k 0152≥--=∆∴k m 1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则5<m x m b =1≥m 即51<≤m 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5>m y 5=a 5>m 综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即)1,0(115022≤+m1≥m3. 已知椭圆及直线．1422=+y x m x y +=（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．51023. 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，m x y +=1422=+y x ()1422=++m x x 即．，解得012522=-++m mx x ()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ．2525≤≤-m （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，1x 2x 5221m x x -=+51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：．解得．方程为51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m 0=m ．x y =4. 已知椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 11222=+y x 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线方程为AB l 022=++y x 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 04492=-+y y 91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，又⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 061692=++x x 92101212=-+=x x k AB910421==∴∆h AB S 解法三：令则，其中),(),,(2211y x B y x A 11ex a AF +=21ex a BF +=22,2==e a 到直线AB 的距离2F 554=h 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y xx y 061692=++x x 9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式（k 为直线斜率）或焦212212111y y kx x kAB -+=-+=（左）半径公式时，应结合韦达)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=定理解5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的x 1F 3π直线交椭圆于，两点，求弦的长．A B AB 5. 分析：可以利用弦长公式求得，]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．因为，，所以2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=6=a 3=b 33=c ．因为焦点在轴上，x 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．193622=+y x )0,33(-F 93+=x y 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以0836372132=⨯++x x 1x 2x ，，，从而1337221-=+x x 1383621⨯=x x 3=k．1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=03截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程32-6. 解法一：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由可得，⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 012)(2=-+++n nx x n m m n n m n x x 234221=-=+-=+即又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为，由题得：，)(122n m ny mx <=+),(),,(2211y x B y x A 32221-=+x x 31221-=+y y 由作差得⎩⎨⎧=+=+1122222121ny mx ny mx )()(21212121y y x x y y x x n m +--=+-mn 2=∴又即 3222=c a 2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.7. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y .设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx xk有221221214,218k x x k k x x +=+-=+若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x ,所以,()()0222121=+++kx kx x x ,即()()042121212=++++x x k xx k所以,()0421*******222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=，求椭圆方程 2108.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由 得⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y (m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴+1=0,∴m +n =2①又22,将m +n =2,代入得n m nn m n --+-2)1(2210()(4=+-+n m mn n m m ·n =②43由①、②式得m =,n =或m =,n =故椭圆方程为+y 2=1或x 2+y 2=12123232122x 2323219. 椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中12222=+b y a x (a b )01=+y x P Q OQ OP ⊥O 为坐标原点．（1）求的值；2211ba +（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．e 33e 229. （1）设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),(),,(2211y x P y x P ⇔ 又将①01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 代入x y -=1，12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 代入①化简得 .222221)1(b a b a x x +-=21122=+b a(2) 又由（1）知,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 12222-=a a b ，∴长轴 2a ∈ [].26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a 6,510.设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若试求λl x y 22941+=AP PB λ= 的取值范围.10 。
解：当直线垂直于x 轴时，可求得;l 15λ=-当与x 轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭l ())(,,2211y x B y x A ，l 3+=kx y 圆方程，消去得y ()45544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑的情形.0>k1当时，，，0>k 4959627221+-+-=k k k x 4959627222+---=k k k x 所以 ＝＝＝.12x x λ=-5929592922-+-+-k k k k 59291812-+-k k k25929181k -+-由 ， 解得 ，()049180)54(22≥+--=∆kk 952≥k 所以，51592918112-<-+-≤-k 综上 .115λ-≤≤-11.已知椭圆的一个焦点为F 1(0,-)，对应的准线方程为，且离心率e 满足：成等差数列。