直线与椭圆的位置关系练习题目与答案(最新整理)

直线与椭圆的位置关系练习（2）

1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐

19

252

2=+y x M 1F N 1MF ON O 标原点）的值为（ ）

A ．4

B ．2

　C ．8　

　D ．

2

3解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一2F 定

义

得

，

所以

10221==+a MF MF ，

82101012=-=-=MF MF 又因为为的中位线，所以

ON 21F MF ∆，故答案为A ．42

1

2==

MF ON 2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围

)(1R k kx y ∈+=152

2=+m

y x m

解法一：

由可得，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=1512

2m y x kx y 05510)5(22=-+++m kx x m k 0152≥--=∆∴k m 1

152≥+≥k m 5

1≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)

1,0(当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则5

≥m 即5

1<≤m 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5>m y 5=a 5

>m 综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)

1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即)1,0(11502

2≤+m

1

≥m

3. 已知椭圆及直线．142

2=+y x m x y +=（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m （2）若直线被椭圆截得的弦长为

，求直线的方程．5

10

23. 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，

m x y +=142

2

=+y x ()142

2

=++m x x 即

．

，解得

012522=-++m mx x ()()

020*********

≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ．2

5

25≤

≤-

m （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，1x 2x 5

221m x x -=+51221-=

m x x ．

根据弦长公式得 ：．解得．方程为5102514521122

2

=-⨯

-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+m m 0=m ．

x y =4. 已知椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，

若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 11

22

2=+y x 两点，求⊿ABF 2的面积

4. 解法一：由题可知：直线方程为AB l 0

22=++y x 由可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112

2

22

2y x x y 04492

=-+y y 91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9

104212121=-=

∴∆y y F F S 解法二：到直线AB 的距离2F 5

5

4=

h 由可得，又⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112

2

22

2y x x y 061692=++x x 921012

12=-+=x x k AB

9

10421==

∴∆h AB S 解法三：令则，其中),(),,(2211y x B y x A 11ex a AF +=21ex a BF +=2

2

,2=

=

e a 到直线AB 的距离2F 5

54=

h 由

可得

，

⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112

2222

y x

x y 061692=++x x 9

2

10)(222121=

++=+++=x x e a ex a ex a AB 9

10

421==

∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式（k 为直线斜率）或焦212212

1

11y y k

x x k

AB -+

=-+=（左）半径公式时，应结合韦达)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=定理解

5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的

x 1F 3

π

直线交椭圆于，两点，求弦的长．

A B AB 5. 分析：可以利用弦长公式求得，

]4))[(1(1212212212

x x x x k x x k AB -++=-+=也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=6=a 3=b 3

3=c ．因为焦点在轴上，

x 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

19

362

2=+y x )0,33(-F 93+=x y 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以

0836372132

=⨯++x x 1x 2x ，，，

从而

13

3

7221-

=+x x 13

8

3621⨯=

x x 3=k