球的内切与外接问题PPT课件
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关于球的内切和外接专题讲座课件人教新课标
球与多面体的内切、外接
D
C
A
B
D1
A1
高中数学教师欧阳文丰
O
C1
B1
一、复习
球体的体积与表面积
4
3
① V球 R
3
②
S球面 4 R
2
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
类型二、求长方体外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，
且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此
球的表面积为
.
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于
球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 14 ，故球的表面积为14 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不
重合
4、基本方法：构造三角形利用类似比和勾股定理
5、体积分割是求内切球半径的通用做法
类型四、求正棱锥的外接球和内切球有关问题
例5、正三棱锥的高为 1，底面边长为
全面积和它的内切球的表面积。
2
a
2
a
3
r3
a
2
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面
•找准数量关系
2a
类型一、球与正方体的“接切”问题
A
C
O
A1
C1
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面
D
C
A
B
D1
A1
高中数学教师欧阳文丰
O
C1
B1
一、复习
球体的体积与表面积
4
3
① V球 R
3
②
S球面 4 R
2
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
类型二、求长方体外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，
且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此
球的表面积为
.
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于
球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 14 ，故球的表面积为14 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不
重合
4、基本方法：构造三角形利用类似比和勾股定理
5、体积分割是求内切球半径的通用做法
类型四、求正棱锥的外接球和内切球有关问题
例5、正三棱锥的高为 1，底面边长为
全面积和它的内切球的表面积。
2
a
2
a
3
r3
a
2
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面
•找准数量关系
2a
类型一、球与正方体的“接切”问题
A
C
O
A1
C1
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
与球有关的切接问题全解精品PPT课件
·a2＝
3
a2，其内切球半径为正四面体高的
1 4
，即r＝
1 4
6 ·3
a＝
6 12
a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝
πa2 6
，则
S1 S2
＝ π63aa22＝6π3.
【变式训练】已知正三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为 3 的球面
上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到平面ABC的距离为
在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，
圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接
球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 23a，CE＝
33a，则有 R＋r＝
23a，R2－r2＝|CE|2＝a32，解得
R
6 a,r 6 a
4
12
如果还原到正方体中去考虑呢？
球 O 的球面上，且 AB＝3，BC＝ 3，过点 D 作 DE 垂直 于平面 ABCD，交球 O 于 E，则棱锥 E-ABCD 的体积为 ________．
思考：可以还原到什么几何体中考虑？
解析
解析：如图所示，BE 过球心 O， ∴DE＝ 42－32－ 32＝2， ∴VE -ABCD＝13×3× 3×2＝2 3. 答案：2 3
练习 1.在正三棱锥 S-ABC 中，M 是 SC 的中点，且 AM
⊥SB，底面边长 AB＝2 2，则正三棱锥 S-ABC 的外接球
的表面积为
()
A．6π
B．12π
C．32π
D．36π
解析
解析：如图，由正三棱锥的性质易知 SB⊥AC，结合 AM⊥SB 知 SB⊥平 面 SAC，所以 SB⊥SA，SB⊥SC.又 正三棱锥的三个侧面是全等的三角 形，所以 SA⊥SC，所以正三棱锥 S-ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥 S-ABC 的外接 球即为正方体的外接球．由 AB＝2 2，得 SA＝SB＝SC ＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的 半径 R＝ 3，所求表面积为 4πR2＝12π. 答案：B
球的内切与外接问题讲课
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21
• 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系，求出球半径．
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22
【解析】 如图所示，AB＝BC＝CD＝
DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝ 2， O 为球心，球的半径为 R，
SO⊥平面 ABCD 于 M 点， ∵四边形 ABCD 为正方形，
2 S 球 85 26
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15
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
在 Rt △ AO1E 中
sin 3 cos 6
1
O •θ
3
3
3
1cos
tan
3 2
2 sin
B
O1 E 在 Rt △ OO1E 中 OO 1 62
6
正方体的棱切球
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7
精选可编辑ppt
8
精选可编辑ppt
9
正方体的棱 切球半径是 面对角线长 的一半
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10
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
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11
变题：
2 S 球 85 26
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16
例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全
面积和球的表面积。
A
设球的半径为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
球的内切与外接问题
02 球的外接问题
球的外接几何体
球的外接三角形
一个球的外接三角形是指 一个内接于球的三角形， 其三条边的中点都在球的 球面上。
球的外接多边形
一个球的外接多边形是指 一个内接于球的n边形，其 所有顶点都在球的球面上。
球的外接圆柱
一个球的外接圆柱是指一 个内接于球的圆柱，其底 面圆心与球心重合。
球的外接线与半径
球的内切与外接问
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的内切与外接问题的应用 • 球的内切与外接问题的数学原理 • 球的内切与外接问题的实际案例
01 球的内切问题
球的内切几何体
01
02
03
球的内切正方体
球心与正方体的一个顶点 重合，正方体的对角线等 于球的直径。
球的内切长方体
长方体的一个角顶点位于 球心，长方体的体对角线 等于球的直径。
球的外接圆
一个球的外接圆是指一个内接于 球的圆，其圆心位于球的球面上 。
球的半径
球的半径是指从球心到球面的距 离。
球的外接多面体
球的外接正多面体
一个球的外接正多面体是指一个内接 于球的n面体，其所有面都是等边三 角形或等边四边形。
球的外接非正多面体
一个球的外接非正多面体是指一个内 接于球的n面体，其面可以是等边三角 形、等边四边形或等腰三角形等。
根据球的外接定理，推导出多面体的所有顶点都在球面上， 以及多面体的所有边都与球的半径相等的条件。
05 球的内切与外接问题的实 际案例
建筑设计中的球内切与外接问题
建筑设计中的球内切问题
在建筑设计领域，球内切问题通常涉及到如何将一个球体完美地放入一个给定的空间内，使得球体与 空间边界相切。例如，在建造穹顶或大型球形结构时，需要精确计算球体的大小和位置，以确保其与 周围结构相切。
高中数学难点突破：球的外切和内接问题 (共10张PPT)
解析：设正方体的棱长为a
∵球的外切正方体的棱长等于球直径：2R=a ∴ S甲 = 4πR22 = π
∵球内切于正方体的棱时
正方体的面对角线等于球的直径
2Rห้องสมุดไป่ตู้=
2a
∴ S乙
=
4πR
2 2
=
2π
球的内接正方体的体对角线等于球直径： 2R = 3a S丙 =4πR32 =3π
∴三球表面积之比为1:2:3
跟踪练习2
a
r1
=
a 2
a
r2 =
2a 2
a
r3 =
3a 2
a
2a
2a
• 画出正确的截面：(1)中截面； (2)对角面
• 找准数量关系
典型例题一
若正方体的棱长为a，求：正方体的外接球的体积 .
球的内接正方体的对角线等于球直径 .
D
C
A
A
B
O
D1
C1
对角面
A1
A1
B1
V2
=
4 3
π(
3a)3 = 2
3a3 π 2
解析：作轴截面如图所示，
CC = 6 , AC = 2 6 = 2 3
设球半径为R ,则：
R2 =OO2 +CC2
=( 6 )2 +( 3)2 = 9 ∴ R =3
∴ S球 =4πR2 =36π
V球
=
4 3
πR3
=36π
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
A’
O’
C’
A
O
C
C 2RO= 3a
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
C 1
注意：①割补法，② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如 图所示，则截面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三 视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
立体几何中球的内切和外接问题PPT共48页
立体几何中球的内切和外接问题
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Байду номын сангаас
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
Байду номын сангаас
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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3 3 3 81
A
S4R241664 .
99
.
O C
O
B
6
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
.
24
2.求棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
.
25
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？
1
1
？
V3S底面h积3S全面r积
S底 面 积hS全 面 积r
S底面积 r 1 S全面积 h 4
r1h h 6a
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 1 4 ，故球的表面积为1 4 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C）
A. 1 6 B. 2 0 C. 2 4 D. 3 2
.
21
如何求直棱柱的外接球半径呢？（底面有 外接圆的直棱柱才有外接球）
Rd r
5
例题讲解
例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等 于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解 R O O A ： 中 t , O 2 O O 在 2 A O A 2 ,
R2 (R)2 (2 3)2,
2
3
R 4. 3
V4R34(4)325;6
AP●
B
A
.
R
O R ● 1
·
D
●O
C
M
●
D
B
31
.正四面体的内切球 还可利用截面三角 形来求
P
OK
A
C
B
H D
B
.
A
1
3
O• F
E O1
2
32
总结
求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长（正）方体； 三组对棱（两条棱所在任意平面都不平行）分别相
等的三棱锥可补成长（正）方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
B1
A1
C
gO
C1
正方体的外接球半径是体对
角线的一半
.
11
正方体的棱切球
.
12
.
13
切点：各棱的中点。
球心：正方体的中心。.ຫໍສະໝຸດ 14D AD1
C 正方体的棱切球
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
正方体的棱切球半径是面对角
线长的一半
.
15
.
.
16
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过 正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比.
4
3
.
r 6a 12
26
.
27
r 6a 12
R＝ 2 a 4
R:r=3:1
R＝ 6 a 4
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
.
28
正四面体的内切球, 棱切球,外接球
三个球心合一
半径之比为： 3 : 1 : 3 3
1: 2 : 3
.
29
.
30
.正四面体的外接球还
可利用直角三角形勾
股定理来求
有P、A、B、C四点，
且PA、PB、PC两两 A
互相垂直，若 PA=PB=PC=a，求这
O C
个球的表面积和体积。
P
.
B
35
1、正多面体的内切球和外接球 的球心重合
2、正棱锥的内切球和外接球球 心都在高线上，但不重合
3、体积分割是求内切球半径的 通用做法
.
36
4．半径为 R 的球的外切圆柱的表面积是________．
内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等
棱切：
一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
.
7
正方体的内切球
.
8
中截面
切点：各个面的中心。 球心：正方体的中心。
正方体的内切球的半. 径是棱长的一半9
正方体的外接球
.
10
D A
D1 A1
C B O
对角面 A
C1
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则
l a2b2c2 2R
.
19
？
一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可 以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
.
20
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且 一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球 的表面积为 .
解析：外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R.
答案：6πR2
.
37
【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S-
ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长
（1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点；
（2） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。
.
22
.
23
正四面体与球
1.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
将正四面体放到正方体中，
得 正 方 体 的 棱 长 为 2 a, 2
且正四面体的外接球 即正方体的外接球，
所 以 R＝ 6 a. 4
.
3
如图,圆柱的底面直径与高都等于球 的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的体积等于圆柱体积的三分之 二.
O
.
4
截面问题
• 用一个平面去截一个球O，截面是圆面 • 球的截面的性质：
1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d，球的半径
为R，则
r2R2d2
ß
.
O
SA=BC SC=AB SB=AC
.
33
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
.
34
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，
求长方体的外接球的体积。
2. 已知球O的表面上
1:2 2 :3 3
.
17
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同
一球面上，则该球的表面积为
.
R3 3, 2
解：S表
4
(3 3)2 2
27
变式题：一个正方体的各顶点均在同
一球的球面上，若该正方体的表面积
为24，则该球的体积为
.
4 3
.
18
§2长方体与球
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
球
.
1
球的体积、表面积公式：
①V 4 R 3
3
②S 4 R 2
.
2
练习
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: _2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.