第三章直线与方程知识点及典型例题
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题
直线与方程知识梳理、典型例题讲解与习题一、复习引入介绍斜率概念、两条直线平行与垂直的判断公式，直线方程的三种形式。
（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l（3）（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（4）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式22122121||()()PP x x y y =-+-特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离22||OP x y =+点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022||Ax By C d A B ++=+两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离1222||C C d A B -=+二、课堂讲解讲解、.一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。
.解：由4603560x y x y ++=⎧⎨--=⎩得两直线交于2418(,)2323-，记为2418(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =，或245l k =43y x ∴=，或2415y x -=，即430x y -=，或24550x y -+=为所求。
直线与方程知识点与练习试题
直线与方程【知识点一：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。
直线与方程知识点总结与题型
第三章：直线与方程的知识点姓名 班别 学号倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B yC ++=，即00A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A. 012=-+y x B. 052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 212、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（2005北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1 2C. 22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( ) A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2）， B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
直线与方程知识点及典型例题
11. 关于直线的对称点与对称直线的求法 课堂练习：已知直线 l：2x-3y+1=0 和点 P(-1，-2). (1) 分别求：点 P(-1，-2)关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称点 Q 坐标； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： (2) 分别求：直线 l：2x-3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称的直线方程； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： （3）总结（2）中各对称直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 x 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 y 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于原点 O 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y=x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y= - x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 【课后作业：】 1、点 P(-1，-2)关于直线 l： x+y-2=0 的对称点的坐标为 。
【课后作业： 】关于 x、y 的方程组
有无穷多组解，实数 m=
．
7. 两点间距离公式：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|= ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 )
2
2
例题：已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，则直线 l 的方程为
． （填序号）
4、已知直线 l 1 的方程是 ax-y+b=0， l 2 的方程是 bx-y-a=0（ab≠0，a≠b） ，则下列示意图形中，正确的是
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高中数学必修2第三章知识点+习题+答案
高中数学必修2第三章知识点+习题+答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
直线与方程知识点归纳及对应习题
直线与方程一、直线倾斜角和斜率000180α≤<. k=tan α(α不为090)。
经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） 练习：1、直线x +y -5=0的倾斜角为（ ）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°2、在下列四个命题中，正确的共有（）①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；②直线的倾斜角的取值范围是[0，π]；③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、直线的方程1、直线方程的几种形式点斜式:)(11x x k y y -=- (斜率存在) ； 两点式:121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中 斜截式:b kx y += (斜率存在) ； 截距式:1=+by a x (0a ≠≠且b 0) 一般式:0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A 练习：3、过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．4、 已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0，∠B 平分线BN 所在直线方程为x-2y-5=0．求：（1）顶点B 的坐标；（2）直线BC 的方程．5、已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x-y-5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x-2y-5=0．（1）求直线BC 的方程；（2）求直线BC 关于CM 的对称直线方程．2、 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）1212211221//(1)-00(0);l l A B A B BC B C B ⇔=-≠≠且斜率存在，即1221(2)0(0).AC A C B -≠=斜率存在，即（3）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A练习：6、若直线l1:(m-2)x-y-1=0与直线l2:3x-my=0互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或或3B. 0或3C. 0或D. 或37、已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直，则a=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 38、已知两条直线l1（3+m ）x+4y=5-3m ，l2 2x+（5+m ）y=8．当m 分别为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？3、几种直线系方程（1）过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. （2）平行于直线0n 0(n )Ax By C Ax By C ++=++=≠的直线可表示为（3）垂直于直线0m 0Ax By C Bx Ay ++=-+=的直线可表示为练习：9、过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（）A. 4x+2y-3=0B. 4x-2y+3=0C. x+2y-3=0D. x-2y+3=010、已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M ，（1）求过点M 且到点P （0，4）的距离为2的直线l 的方程；（2）求过点M 且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l 的方程．三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点2.几种距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P-+-= 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=(直线方程要化为一般式)两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212B A C C d +-=(直线化为系数相同的一般式)练习：11、原点到直线y=-x+的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D.12、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是______ ．13、若直线l1：x-2y+1=0与l2：2x+ay-2=0平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D.3、 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：(1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值：“同侧对称异侧连”（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值：“异侧对称同侧连” (3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
第三章 直线与方程知识点归纳及练习题
1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一 直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二 直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五 分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六 数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。
新人教A版必修高中数学第三章《直线与方程》
七、易错题辨析 【典例7】 已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的 方程.
错解:由题意设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0.因为原点到直
线 l 的距离为 1,所以 | k 2 | =1,解得 k= 3 .所以所求直线 l 的方程为
8 所以- n =-1,所以 n=8.故 m=0,n=8.
8
规律方法 两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2⇔k1=k2且 b1≠b2;l1⊥l2⇔k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另 一个不存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行. (2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即
4 6
, ,
因为 P'(x',y')在直线 m 上,所以 3· 5x 12 y 4 -2· 12x 5y 6 -6=0,
13
13
化简得 9x-46y+102=0.
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.
解:(3)设点 Q'(a,b)是直线 l 上任意一点,点 Q'(a,b)关于点 A(-1,-2)的对
三、两条直线的位置关系 【典例3】 已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使: (1)l1与l2相交于点(m,-1); (2)l1∥l2;
解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将(m,-1)代入 l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1. 所以直线l1的方程为x+8y+n=0,所以n=7.
直线与方程知识点总结与例题
直线与方程知识点总结1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则212121()PQ y y k x x x x -=≠-②斜率的范围：k R ∈(2)直线的倾斜角范围：[0，π）（3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。
例题1：设直线l 过坐标原点,它的倾斜角为a,如果将直线L 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线L1,求直线L1的倾斜角解：（1）当0≤a ＜135°时,L1的倾斜角为a+45°（2）135≤a ＜180°,则a+45°≥180°,此时倾斜角为a+45°-180°=a-135°2、直线方程(1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：1112122121(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：1x ya b+=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx =在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx =例题2：过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程是______．解：3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+①平行：12k k =且12b b ≠（注意验证12b b ≠） ②重合：12k k =且12b b = ③相交：12k k ≠特别地，垂直：121k k =-（2）11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++= ①平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠（验证） ②重合：1221A B A B =且1221A C A C = ③相交：1221A B A B ≠特别地，垂直：12120A A B B +=（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为：0Ax By m ++=与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为：0Bx Ay n -+= 例题3：若两条直线与互相平行，则等于_______.解：∵两直线互相平行，∴.4、其他公式（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 中点的坐标为1212(,)22x x y y ++ （3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心坐标公式为：123123(,)33x x x y y y ++++ （4）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：d =（5）两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠间的距离：d =（用此公式前要将两直线中,x y 的系数统一） 例题4：直线与直线的距离为__________．解：由两平行直线的距离公式可得(注意两直线的系数必须化为相同)，.（6）点A 关于点P 的对称点B 的求法：点P 为,A B 中点（7）点A 关于直线l 的对称点B 的求法：利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上，列出方程组，求出点B 的坐标。
直线与方程知识点总结和练习
必修二第三章直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线与x 轴相交时，我们把x 轴 方向与直线向 方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 直线的倾斜角α的范围是 .2. 斜率：①倾斜角为α，则 k= （ 条件： ）②已知直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有k= （ 条件： ） 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴 ，斜率k 注意：当090α︒<<︒时，斜率 ，随着α的增大，斜率 ； 当90180α︒<<︒时，斜率 ，随着α的增大，斜率 。
两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）平行 （2）垂直2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴； 两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则它们垂直。
直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 .3. 点斜式和斜截式不能表示 的直线.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为 ，2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 .3. 两点式不能表示 的直线；截距式不能表示 的直线4. 线段12P P 中点坐标公式 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程 ，斜率为 ，y 轴上截距为 .2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为 ；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为 . 3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）平行 （2）垂直 .两条直线的交点坐标1. 求交点：解方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： .点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .2.两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式 ，对称问题1、关于点的对称：实质考察：2、关于线的对称：要点：一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. -8 C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ）A. a+b=1B. a-b=1C. a+b=0D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）A （-2，1）B （2，1）C （1，-2）D （1，2）9. 已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 10、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ） A 、K 1﹤K 2﹤K3 B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 13. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
第三章直线与方程知识点及典型例题
第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
必修2初中数学第三章直线与方程知识点
直线与方程知识点一、基础知识回顾1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP 知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等） （2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l )知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；)知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==. 例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-思考：（1）点关于点的对称点如何求？ （2）线关于点的对称线如何求？ （3）线关于线的对称线如何求？例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线 例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.A B ． C ． D 2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。
必修2第三章 直线与方程知识点归纳、习题汇总(精选)
3.1倾斜角和斜率1.直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3.直线的斜率:直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做直线的斜率,常用k 表示,即 k = tan α.⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意：由此可知, 直线的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4. 斜率公式:若直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 . 【题型1】求直线斜率33-D. 33C. 3-B. 3.A 120.1的斜率为（），则直线的倾斜角为若直线l l ︒ 34D. 43C. 34B. 43A..,53sin .2±±=则此直线的斜率为（），若已知直线的倾斜角为αα21D.C.2 21-B. 2-A..52B 31A .3率为（））两点，则此直线的斜，（），，（若直线过 31-D. 31C. 3-B. A.3.013.4的斜率是（）直线=+-y x 【题型2】求直线倾斜角︒︒︒︒D.135C.60 B.45 A.30.1.1的倾斜角为（），则直线的斜率为若直线l l︒︒︒︒=+- D.90C.60 B.45 A.30.0122.2的倾斜角为（）：直线y x l，不存在，不存在，，（）的倾斜角和斜率分别是直线︒︒︒︒-= D.180 C.90 1B .135 1A.45.1.3x不存在的倾斜角为（）直线 D. C.90 B.45 A.0.1.4︒︒︒=y【题型3】直线斜率大小比较123321213231321321 D. C. B. A...1k k k k k k k k k k k k k k k l l l <<<<<<<<，则必有（）、、的斜率分别为、、如图，直线【题型4】求直线斜率、倾斜角范围)2[ ]4D.[0 ]4[0 C. )43[ ]4[0 B. )[0 A..))(1(B )12(A 2.) [0,]1D. ]1 C. ) B.[-1, A.1350.12ππππππππαα，，，，，，（）的倾斜角的取值范围为两点，那么直线，，，经过点直线，（，（），（）的斜率的取值范围为（，则直线，且的倾斜角为已知直线⋃⋃∈∞+⋃-∞--∞-∞+∞+∞-≤≤︒︒l R m m l l l3.2.1 点斜式方程1.点斜式方程：（1）条件：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k .（2）方程：2.斜截式方程：（1）条件：直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点为),0(b .（2）方程：3.2.2 两点式方程1.两点式方程：（1）条件：两点),(),,(222111y x P y x P其中),(2121y y x x ≠≠.（2）方程：2.截距式方程：（1）条件：直线l 与x 、y 轴的交点分别为A )0,(a 、B ),0(b ，其中0,0≠≠b a . （2）方程：3.2.3 直线的一般方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
高中数学必修第三章《直线与方程》知识点总结与练习
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C由k＝tanα＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为() A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：k AC＝＝1，k AB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1](1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝()A．－1B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．[自主解答](1)tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－＝－3.(2)由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k ∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案](1)B(2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c ＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D由函数y＝f(x)＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线段AB相交，则k PA≤k≤k PB.∵k PA＝－2，k PB＝，∴－2≤k≤.直线方程典题导入[例2](1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．[自主解答](1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1,0)，得1＋m＝0，m ＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×k MN＝－1，所以k MN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案](1)x－2y－1＝0(2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3](2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x ＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．[自主解答]法一：设点A(x，y)在l1上，点B(x B，y B)在l2上．由题意知则点B(6－x，－y)，解方程组得则k＝＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，由解得由解得∵P(3,0)是线段AB的中点，∴y A＋y B＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则x A＝1，x B＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，A，B(0，1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵|MA|＝，|MB|＝，∴|MA|·|MB|＝·＝2≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例](2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则或∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是()A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c 应满足()A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0解析：选A由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为() A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C线段AB的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则得答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得解得或故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.12.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得解得m＝，所以A(，)．又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，所以l AB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()解析：选B由解得∵两直线交点在第一象限，∴解得k＞.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x －y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为()A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝tanα＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B 两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即ab≥24.∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△ABO的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝|AB|＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为()A．6B．－6C．5 D．－5解析：选B由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为()C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B设对称点为(x′，y′)，则解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为() A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D由得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1](2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x ＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－·＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2](2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.[自主解答]因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a ＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3](2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2B．6C．3 D．2[自主解答]如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例](2012·银川一中月考)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法]解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y－1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解]由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B解方程组得两直线的交点坐标为，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为()C．4 D．8解析：选B∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为()A．－2 B．－D．2解析：选A依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是()A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由解得A；由解得B.∵|AB|＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵k PP′·k l＝－1，即×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是() A．2 B．2C．4 D．2解析：选C设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x ＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l 于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则k BB′·k l＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直线x sinθ＋y cosθ－1＝0的距离是，那么θ等于()或或解析：选B由已知得＝，即|sinθ－sin2θ|＝，∴4sin2θ－4sinθ－1＝0或4sin2θ－4sinθ＋1＝0，∴sinθ＝或sinθ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤sinθ≤1，∴sinθ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由得即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，k PP′＝－＝.而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，又PP′的中点Q在l上，即3×－2×＋7＝0，由可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二 第三章 直线与方程（1)直线的倾斜角定义：ｘ轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。
因此，倾斜角的取值范围是(2）直线的斜率①定义：倾斜角不是9０°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 当直线ｌ与x 轴平行或重合时， α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与ｘ轴垂直时, α＝ 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时,0≥k ； 当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1，y1),P ２(x2,ｙ2),ｘ１≠ｘ2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P ２的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
注意：当直线的斜率为０°时，k=0，直线的方程是1。
当直线的斜率为9０°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ＝ｘ1。
（7)两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (８)两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-（9)点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(１0）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数,如果A (ａ，a ３）、B (b ，ｂ3)、C (c ，c 3）在同一直线上,求证:ａ+ｂ+c =０.证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333,化简得ａ２+ab +b ２=a ２+ac +c 2,∴b 2-c ２+ab -ac =0,（b －c ）（ａ＋b +c )=0， ∵a 、b 、ｃ互不相等,∴b -c ≠0,∴a +b +c =0. ２.若实数x ，y 满足等式(ｘ－2)2+ｙ２=3,那么xy的最大值为ﻩ ﻩ（ )A .21ﻩ B ．33ﻩﻩ Ｃ.23ﻩ ﻩﻩ D .3答案D3.求经过点Ａ（-5，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在ｘ、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =ｋｘ, 将（-５，2）代入y =kx 中,得k =-52,此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =０. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=１，将(－5,2）代入所设方程，解得a =－21, 此时，直线方程为x +2ｙ+1=0.综上所述，所求直线方程为x +2ｙ+1=0或2x ＋5ｙ＝0.４．直线l 经过点P （3，2）且与x ,y 轴的正半轴分别交于Ａ、B 两点，△O ＡＢ的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞０,b ＞0）, ∴A (a ,0),Ｂ(0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=１,即2x ＋3y -12=０． 方法二 设直线l 的方程为y -２=ｋ（x -３), 令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2，令x =0,得直线l 在y 轴上的截距ｂ＝２－３ｋ. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )＝24.解得ｋ=-32.∴所求直线方程为y -２=-32(x －3).即２x ＋3y －12＝0.9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1）、（２，２），若直线l ：x +my +m ＝0与线段P Ｑ有交点，求ｍ的取值范围.解 方法一 直线x +ｍｙ＋m =0恒过A （0,-１）点. ｋＡP ＝1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或－m 1≤-2, ∴-32≤m ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x ＋m ｙ＋m ＝0与线段PQ 有交点,∴所求ｍ的取值范围是－32≤ｍ≤21. 方法二 过P 、Ｑ两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1)，即y ＝31x +34，代入x+ｍy ＋m ＝0, 整理，得ｘ=-37+m m . 由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 两直线方程例1 已知直线l １:ax +2ｙ+6=０和直线l 2：ｘ＋(a -１)y +a 2-1=0, (1）试判断l 1与l 2是否平行； (2）l １⊥l ２时，求ａ的值．解 （1）方法一 当ａ=１时,l １:x +2y +6=0,l 2:x =０，ｌ1不平行于ｌ2;当ａ=0时,ｌ1:y ＝-3,ｌ２:x -y -1=０,l １不平行于ｌ２； ﻩ ﻩ ﻩ当ａ≠1且a ≠０时,两直线可化为 l 1：y ＝-x a 2-3,l 2:y =x a-11－(ａ+１）， l 1∥ｌ2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ,解得a ＝-1, ﻩﻩﻩ综上可知，ａ=-1时,ｌ１∥l 2,否则l 1与ｌ2不平行.ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得ａ(a -1）－1×2=０,由Ａ1C 2－Ａ２C 1≠０,得ａ（ａ2-1)－１×6≠０,ﻩ∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a ﻩﻩ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =－1,ﻩﻩﻩﻩ 故当a ＝-１时,l 1∥l ２,否则ｌ1与ｌ2不平行．ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（２)方法一 当a =1时,l 1:x +２ｙ+６＝0,l ２:x =0,l 1与l ２不垂直,故a =１不成立. ﻩﻩﻩﻩ当a ≠１时，ｌ１:y =－2a x －3,ｌ2:ｙ=x a -11-(ａ+1),ﻩ由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11＝-1⇒a ＝32.ﻩ 方法二 由Ａ１A 2+B 1Ｂ2=0，得a +2(a －1)＝０⇒a =32．例3 已知直线l 过点Ｐ（3,1)且被两平行线l １:x +y +1=0，ｌ2:x +ｙ+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝３,此时与ｌ1,l ２的交点分别是A （3,-4）,B (３,-9）, 截得的线段长|AB |＝|－４+9｜=5，符合题意.ﻩﻩﻩ若直线ｌ的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k （ｘ－3)+1,分别与直线l 1,l ２的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ，解得Ａ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ 8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ，由两点间的距离公式,得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k ＋2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =2５, 解得k =0,即所求直线方程为y =１.ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y =1. ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ方法二 设直线ｌ与l １，l 2分别相交于A (x 1，ｙ1),B （x 2,y ２),则x 1+y 1+１=０，x 2+y 2+6=０,两式相减，得(x 1－ｘ2）+(y １-y 2）=5 ﻩﻩ① ﻩﻩﻩﻩ６分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25ﻩﻩﻩ②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,ﻩﻩﻩﻩﻩ１０分由上可知，直线l 的倾斜角分别为０°和90°, 故所求的直线方程为ｘ=3或y =1.例４ 求直线l 1:ｙ=2x +3关于直线l ：ｙ＝x +1对称的直线ｌ2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与ｌ的交点坐标为（－2,-1），∴设直线ｌ2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y ＋2k -１=0.在直线ｌ上任取一点(１，2），由题设知点（1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得ｋ＝21（k =2舍去),∴直线ｌ2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P (x ，ｙ）,则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0）与点P 关于直线ｌ对称． 由题设：直线P Ｐ1与直线ｌ垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ,变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:ｙ=２x +3,得x +1=2×(ｙ-1)＋3,整理得x －２y =0.所以所求直线方程为x -2y =０.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ,且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转４5°,得到直线的倾斜角为α+45°，则ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （ ）Ａ.0°≤α<180°ﻩ ﻩ ﻩﻩＢ.０°≤α<13５°C ． 0°＜α≤135°ﻩﻩﻩﻩＤ． ０°<α<1３5°答案 D2.曲线ｙ=x 3-2x +4在点（1，3)处的切线的倾斜角为ﻩﻩ( ) A .30°ﻩ ﻩB .４5°ﻩﻩC .６0° ﻩD .１２0°答案 B3.过点M (-2,ｍ)，N (ｍ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为ﻩﻩ ﻩ( )A .1ﻩ ﻩﻩ ﻩB .4 ﻩﻩﻩC .1或3ﻩ ﻩD ．1或4答案 A４.过点Ｐ（-1，2）且方向向量为a ＝（-1，2）的直线方程为ﻩﻩﻩﻩ（ )A .2ｘ+ｙ=0Ｂ．ｘ－2y ＋５=0 C .x -2y ＝0ﻩﻩﻩD .x +2y －5=０ 答案 A5.一条直线经过点A （-２，2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 . 答案 x +2y －2=0或2ｘ＋y +2=0例1 已知三点A (1,-1),B （3，3）,C （４,5）. 求证：Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1)，B （３,3)，C (4,5）, ∴k A Ｂ=1313-+＝2,k B Ｃ＝3435--＝２，∴k A Ｂ＝ｋＢC ， ∴A 、B 、Ｃ三点共线.例２已知实数x ，y 满足y =x 2-２x +２ （-1≤ｘ≤1)． 试求:23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点Ｐ（－２,-3）与曲线段ＡB 上任一点（x ,y )的直线的斜率ｋ,如图可知：k P Ａ≤k ≤k ＰB ,由已知可得：A (1,1）,B (-1，5)， ∴34≤k ≤８，故23++x y 的最大值为８，最小值为34．例3 求适合下列条件的直线方程：(1）经过点P （３,2）,且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (－1，-3)，倾斜角等于直线y ＝3ｘ的倾斜角的2倍. 解 (1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若ａ＝0,即l 过点(０,0)和(3,２）,∴l 的方程为ｙ=32x ,即2x -3y ＝0. 若ａ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵ｌ过点（3，2）,∴123=+aa ，∴a =５,∴ｌ的方程为x +y -5=0, 综上可知,直线l 的方程为2x -3ｙ=0或ｘ+ｙ－5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为ｙ-2=ｋ(ｘ-３),令ｙ=0,得ｘ=3-k2,令x ＝０,得y =2-3ｋ, 由已知3－k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32，∴直线l 的方程为:y -2=-(x -3）或y -2=32(x －3), 即x +y -５=0或２x -3y ＝0.(2)由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵ｔan α＝3，∴t ａn2α=αα2tan 1tan 2-=-43．又直线经过点A （-1,-3）,、 因此所求直线方程为y +3=-43(x ＋１),即３x +４y +15=0. 例4 (12分)过点P （2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、Ｂ两点,求使: （1)△AOB 面积最小时ｌ的方程； （2)|P Ａ｜·|P Ｂ|最小时ｌ的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1)， 由已知可得112=+b a (1)∵2ba 12•≤b a 12+＝1，∴a ｂ≥8.ﻩ∴S △A ＯB =21ab ≥4． ﻩﻩ当且仅当a 2＝b 1=21，即a =4,b =2时，S △ＡOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即ｘ＋2ｙ-4=０. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab －ａ-2b =０， 变形得（a -２)(ｂ-１）＝2,|PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-＝]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a ．ﻩ当且仅当a -2=1,b -1=２，即a =３，b =3时，|ＰA |·|ＰB |取最小值4.此时直线l 的方程为ｘ+y -3=０．ﻩ 方法二 设直线l 的方程为ｙ-1=ｋ(ｘ-2） (ｋ<0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B (0,１-2ｋ）.(１）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12(１-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（４+4)=4. 当且仅当－４k ＝-k 1,即ｋ=-21时取最小值，此时直线l 的方程为ｙ-1=-21(ｘ-2）,即ｘ+2ｙ－４=0.6分（2）|PA ｜·｜PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k ２，即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(ｘ-2),即x +y -３=0．一、选择题1.过点（1,3）作直线l ，若经过点(a ,0）和(0,ｂ)，且a ∈Ｎ*，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）·A .1ﻩﻩ ﻩ Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3ﻩD .４答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ) A .x ＋２y -6=0 ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ B .2x +y -6=0C ．x -２y +7=0ﻩﻩﻩﻩD .ｘ-2y -7=０答案B3．若点A （2，-3)是直线a 1x ＋b １y +1=0和ａ2x +b 2y +1=0的公共点,则相异两点（ａ1,ｂ1)和(ａ2，b 2）所确定的直线方程是 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ( ） A ．2x －３ｙ+1=0ﻩﻩﻩﻩﻩB .3x －2y +1=0C .2x －3y －1＝0 ﻩﻩﻩＤ.3x －2y -1＝0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点Ａ（1,－ａ)，B (2,a 2），C (3，a 3）共线,则a ＝ . 答案 1+2５.已知两点A (－1，－5），B （３，-2）,若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题６.已知线段P Ｑ两端点的坐标分别为（－１,1)、（2,2）,若直线l :x ＋ｍy +ｍ＝0与线段PQ 有交点,求m 的取值范围.解 方法一 直线x ＋my ＋m =0恒过A (0，-1）点. k AP ＝1011+--=-２,ｋAQ =2021---＝23,则-m 1≥23或-m 1≤-２,∴-32≤ｍ≤21且m ≠0． 又∵m =0时直线x +ｍy +ｍ＝0与线段ＰQ 有交点，∴所求m 的取值范围是－32≤m ≤21． 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 ｙ-1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x ＋my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过定点A （-3，4);(2）斜率为61. 解 (１)设直线ｌ的方程是y =k (x +３)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3,3k ＋４, 由已知,得（３k +4）（k4+3）=±6,解得ｋ1=-32或ｋ２＝-38． 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8ｘ+3y +1２=０． （2）设直线ｌ在y 轴上的截距为ｂ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·ｂ|=6,∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x -６y ＋6=0或x -6y -6=０． 8.已知两点A (-1,2)，B （m ，３). （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线ＡB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1）当m ＝-1时,直线ＡＢ的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y －2＝11+m (x +1). （2）①当m =-1时,α=090;②当m ≠－1时,ｍ+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-,∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33, ∴α∈[)(]0120,9090,30 .综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.９．过点Ｐ(3，0)作一直线，使它夹在两直线l １:2x -y -2=0与l ２：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点Ａ(x ，y )在l 1上,由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ,∴点B (6-x ，-y ),解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ,∴k ＝833110316=--． ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x －y -24＝0. 方法二 设所求的直线方程为y =ｋ（x -3)，则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P （3,０)是线段ＡＢ的中点，∴y A ＋y B =0，即24-k k ＋16+-k k =０,∴k 2-８ｋ=0，解得ｋ=０或k =8． 又∵当k =0时，x Ａ＝1，ｘB =-３,此时32312≠-=+B A x x ,∴k ＝0舍去,∴所求的直线方程为ｙ=8（x－3), 即8ｘ－y-24=０.。
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第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l 2的斜率.解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )° ° ° ° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程xyo12l 1l 2①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：1x ya b+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。
注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x ya b+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12-，经过点A(8，—2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； .(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）A ．C =0，B>0B ．C =0，B>0，A>0C ．C =0，AB<0D ．C =0，AB>0例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ）A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四 4. 两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0C B A 0C B A 222111y x y x 的一组解。
两条直线的交角：两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系7. 两条直线的位置关系的判定公式两条直线垂直的判定条件：A 1B 1A 2B 2满足 12。
答：A 1A 2+B 1B 2=0 经典例题；例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：例4. 已知直线l 的方程为121+-=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。
8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=212212)()(y y x x -+-9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离22o o BA CB A d +++=|y x |10. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2221BA C C d +-=例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。
例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。
11. 直线系方程已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零)v1.0 可编辑可修改若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0或者 (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为。
(m∈R)例2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2) 经过两条直线l1：2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；(3) 经过两条直线l1：2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx+，221yy+)例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。
13、对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线bxy+±=对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。
例3：已知圆C 1：(x+1)2+(y —1)2=1与圆C 2关于直线x —y —1=0对称，则圆C 2的方程为： 。
A. (x+2)2+(y —2)2=1B. (x —2)2+(y+2)2=1C. (x+2)2+(y+2)2=1D. (x —2)2+(y —2)2=1[基础训练A 组]一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。