工程力学期末复习
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图示由NO.27a工字钢制作的一端外伸梁.其自重q=10kN/m, 在AB中点受集中载荷P=15kN作用,若梁的许用弯曲正应力 [σ]=100MPa.试作横梁CAB的弯矩图并校核梁的弯曲正应力 强度.提示:1必须画出弯矩图.
2 No.27a工字钢的抗弯截面模量Wz=485cm3.
P q
C
A
1800
B 5000
F
（2）对整体受力分析可得：
F (x) 0 FAx 0
FAx MA
F ( y) 0 FAy FB F Fq 0
M ( A) 0 5 FB BA Fq 2.5 F 1 M A 0
FAx 0, FAy 91KN , M A 96.5KN • m
FAx 0, FAy 91KN , M A 96.5KN • m
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
已知:组合梁如图所示.A为固定端,B为中间铰,C为可动铰.D为 AB中点, E为BC中点,外载荷q=5kN/m,P=4kN,M=6kN·m.集中 力P作用在D点与水平方向的夹角为α=300,集中力偶M作用在E 点. 求:A、B、C支座的约束反力.
P
q
M
α
A
C
D
E B
4m
4m
解：(1) 对BC段受力分析可得：
由C点和D点两点的变形关系可求得D点的垂直位移为：
D
2 3
2
2 3
l2
cos 60o
4 3
F2l EA
7Fl 9EA
如图所示钢杆1,2,3的面积A=2cm2,长度L=1m,弹性模量=200GPa，
Байду номын сангаас
在制造时，杆3短了Δ=0.08cm，使计算安装后各杆的内力。 解：
易知，杆1，3受拉，杆2受压，因此
NO.27a
已知1、2、3三杆的横截面面积A和长度L均相等，且 材料相同。2杆和3杆与力F之间夹角均为300,试求 F=120kN时三杆的内力。
1
2
3
F
解： 对三杆交汇的节点受力分析如右所示
由力平衡有 Fx 0, F3 sin 30o F2 sin 30o 0 F2 F3 Fy 0, F1 2F2 cos 30o F 0 需要补充几何方程（变形协调方程）才能求解
F (x) 0 FBx 0
FBy
M
F ( y) 0 FBy FC 0
M (B) 0 FC BC M 0
FBx FC
FC 1.5KN , FBy 1.5KN
FAy P
Fq
M
(2) 整体受力分析可得：
FAx
FC
F (x) 0 FAx P cos 30o 0
MA
F ( y) 0 FAy FC Fq P sin 30o 0
FB 29KN
FCx 0,
FCy 31KN
M FB
M Fq
FB
如图所示结构由刚性横梁AD、弹性杆1和2组成，梁的一 端作用铅垂载荷F，两弹性杆均长l，拉压刚度为EA，试
求D点的垂直位移。（图上有提示）
解：由题意可知，在F作用下，刚体AD只能绕点 A点做顺时针微小转动，变形情况如原图所示， 且由图可知：
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图）
1.拉应力强度校核
A截面
C截面
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面为正弯矩，下部受拉
C max
MC Iz
y2
由于 MC y2 MA y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C
max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
1
3
0.01333
cm
因此，三根杆的内力有下面的式子求得
Ni
EAi
L
(i 1, 2, 3)
N1 N3 5.33 kN N2 10.67 kN
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40
MPa,容许压应力
100
MPa
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
解：（1）对ＢＣ段受力分析可F得Cy ：
Fq
F (x) 0 FCx 0
F ( y) 0 FCy FB Fq 0 FCx
M (C) 0 M FB BC Fq 2.5 0
Fq 20 3 60KN
FCx 0, FB 29KN , FCy 31KN
FAy
认为变形后杆的夹角不变，Δl1为杆1的变形后的伸长量 Δl2为杆2的伸长量
l2 l1 cos 30o
3 2 l1
由胡克定律有
l1
=
F1L EA
,
l2
=
F2 L EA
将几何关系代入有
F2 =
3 2
F1
代入Fy 0,可以解得
F1 =0.4 F
3 F2 = 2 F1 0.346F
F1
F3
F2
F1
Δl2 Δl1
a
a
Y 0, N1 N2 N3 0
1
MC 0, N1 2a N2a 0 A
由上两式有，1,3 ,2 分别杆1,2,3的伸长量
2
3
Δ
B
C
N1
1 2
N2,
1
3
1 2
2
N3
1 2
N2
3
由右图所示几何关系，得
1: l 1
2:l 2 3:l 3
1
2
从而解得
2
3
1
1 6
0.02667 cm,
Mc 10KN .m 最大负弯矩
MA 20KN .m
（二）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30170 85 30 200185 30170 30 200
139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
40.3 106 m4
l1 cos 30o l2
1 2
cos 60o
l1
3 2
l2
由虎克定律可知：
l1
F1l EA
, l2
F2l EA
F1
3 2 F2
FAy F1
对AD杆做受力分析可得：FAx
M ( A) 0 F1 sin 60oa F2 sin 30o 2a F 3a 0
F2 F
联立以上各式可得：
7 F2 12 F
M ( A) 0 FC AC M Fq 3 P sin 30o 2 M A 0
Fq q 2 10KN
FAx 2 3KN , FAy 10.5KN , M A 28KN • m
FAx 2 3KN , FAy 10.5KN , M A 28KN • m FBx 0, FBy 1.5KN FC 1.5KN
2 No.27a工字钢的抗弯截面模量Wz=485cm3.
P q
C
A
1800
B 5000
F
（2）对整体受力分析可得：
F (x) 0 FAx 0
FAx MA
F ( y) 0 FAy FB F Fq 0
M ( A) 0 5 FB BA Fq 2.5 F 1 M A 0
FAx 0, FAy 91KN , M A 96.5KN • m
FAx 0, FAy 91KN , M A 96.5KN • m
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压 ：
Amax
M A y2 Iz
C截面上部受压 ：
Cmax
MC y1 Iz
由于 MA y2 MC y1 ，最大压应力发生在A截面的下边缘
max
Amax
M A y2 Iz
69MPa
100MPa
压应力强度足够。
已知:组合梁如图所示.A为固定端,B为中间铰,C为可动铰.D为 AB中点, E为BC中点,外载荷q=5kN/m,P=4kN,M=6kN·m.集中 力P作用在D点与水平方向的夹角为α=300,集中力偶M作用在E 点. 求:A、B、C支座的约束反力.
P
q
M
α
A
C
D
E B
4m
4m
解：(1) 对BC段受力分析可得：
由C点和D点两点的变形关系可求得D点的垂直位移为：
D
2 3
2
2 3
l2
cos 60o
4 3
F2l EA
7Fl 9EA
如图所示钢杆1,2,3的面积A=2cm2,长度L=1m,弹性模量=200GPa，
Байду номын сангаас
在制造时，杆3短了Δ=0.08cm，使计算安装后各杆的内力。 解：
易知，杆1，3受拉，杆2受压，因此
NO.27a
已知1、2、3三杆的横截面面积A和长度L均相等，且 材料相同。2杆和3杆与力F之间夹角均为300,试求 F=120kN时三杆的内力。
1
2
3
F
解： 对三杆交汇的节点受力分析如右所示
由力平衡有 Fx 0, F3 sin 30o F2 sin 30o 0 F2 F3 Fy 0, F1 2F2 cos 30o F 0 需要补充几何方程（变形协调方程）才能求解
F (x) 0 FBx 0
FBy
M
F ( y) 0 FBy FC 0
M (B) 0 FC BC M 0
FBx FC
FC 1.5KN , FBy 1.5KN
FAy P
Fq
M
(2) 整体受力分析可得：
FAx
FC
F (x) 0 FAx P cos 30o 0
MA
F ( y) 0 FAy FC Fq P sin 30o 0
FB 29KN
FCx 0,
FCy 31KN
M FB
M Fq
FB
如图所示结构由刚性横梁AD、弹性杆1和2组成，梁的一 端作用铅垂载荷F，两弹性杆均长l，拉压刚度为EA，试
求D点的垂直位移。（图上有提示）
解：由题意可知，在F作用下，刚体AD只能绕点 A点做顺时针微小转动，变形情况如原图所示， 且由图可知：
（四）校核梁的强度（绘出应力分布图）
1.拉应力强度校核
A截面
C截面
A截面为负弯矩，上部受拉
Amax
MA Iz
y1
C截面为正弯矩，下部受拉
C max
MC Iz
y2
由于 MC y2 MA y1 ，最大拉应力发生在C截面下边缘
max
C
max
MC y2 Iz
34.5MPa
40MPa
拉应力强度足够。
1
3
0.01333
cm
因此，三根杆的内力有下面的式子求得
Ni
EAi
L
(i 1, 2, 3)
N1 N3 5.33 kN N2 10.67 kN
例2：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已
知材料的容许拉应力为 试校核梁的强度。
40
MPa,容许压应力
100
MPa
Z
解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩
解：（1）对ＢＣ段受力分析可F得Cy ：
Fq
F (x) 0 FCx 0
F ( y) 0 FCy FB Fq 0 FCx
M (C) 0 M FB BC Fq 2.5 0
Fq 20 3 60KN
FCx 0, FB 29KN , FCy 31KN
FAy
认为变形后杆的夹角不变，Δl1为杆1的变形后的伸长量 Δl2为杆2的伸长量
l2 l1 cos 30o
3 2 l1
由胡克定律有
l1
=
F1L EA
,
l2
=
F2 L EA
将几何关系代入有
F2 =
3 2
F1
代入Fy 0,可以解得
F1 =0.4 F
3 F2 = 2 F1 0.346F
F1
F3
F2
F1
Δl2 Δl1
a
a
Y 0, N1 N2 N3 0
1
MC 0, N1 2a N2a 0 A
由上两式有，1,3 ,2 分别杆1,2,3的伸长量
2
3
Δ
B
C
N1
1 2
N2,
1
3
1 2
2
N3
1 2
N2
3
由右图所示几何关系，得
1: l 1
2:l 2 3:l 3
1
2
从而解得
2
3
1
1 6
0.02667 cm,
Mc 10KN .m 最大负弯矩
MA 20KN .m
（二）确定中性轴的位置
截面形心距底边
yc
30170 85 30 200185 30170 30 200
139mm
(三)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
40.3 106 m4
l1 cos 30o l2
1 2
cos 60o
l1
3 2
l2
由虎克定律可知：
l1
F1l EA
, l2
F2l EA
F1
3 2 F2
FAy F1
对AD杆做受力分析可得：FAx
M ( A) 0 F1 sin 60oa F2 sin 30o 2a F 3a 0
F2 F
联立以上各式可得：
7 F2 12 F
M ( A) 0 FC AC M Fq 3 P sin 30o 2 M A 0
Fq q 2 10KN
FAx 2 3KN , FAy 10.5KN , M A 28KN • m
FAx 2 3KN , FAy 10.5KN , M A 28KN • m FBx 0, FBy 1.5KN FC 1.5KN