三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

知识点:

1、三垂线定理;;

2、三垂线定理得逆定理;

3、综合应用; 教学过程:

1.三垂线定理:平面内一条直线,如果与这个平面得一条斜线在平面内得射影垂直,那么这条直线就与这条斜线垂直;

已知:,PA PO 分别就是平面α得垂线与斜线,AO 就是PO 在平面α得射影,,a α⊂a AO ⊥。 求证:a PO ⊥; 证明: 说明:

(1)线射垂直(平面问题)⇒线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直得方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定

理;

(3)三垂线定理描述得就是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间得垂直关系。

(4)直线a 与PO 可以相交,也可以异面。

(5)三垂线定理得实质就是平面得一条斜线与平面内得一条直线垂直得判定定理。 例1、已知P 就是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证:PC BC ⊥。

例2、已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,O 为对角线BD 得

求证:,PO BD PC BD ⊥⊥。

例4、在正方体1AC 中,求证:1111

1,AC B D AC BC ⊥⊥; 2.写出三垂线定理得逆命题,并证明它得正确性;

命题: 已知:

求证: 证明: 说明:

例2.在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥。

求证:(1)AD BC ⊥;

(2)点A 在底面BCD 上得射影就是BCD ∆得垂心; 例3、求证:如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等这点在平面内得射影在这个角得平分线上 已知: 求证:

说明:可以作为定理来用。

P

C

例5.已知:Rt ABC ∆中,,3,42

A A

B A

C π

∠=

==,PA 就是面ABC 得斜线,3

PAB PAc π

∠=∠=

。

(1)求PA 与面ABC 所成得角得大小;

(2)当PA 得长度等于多少得时候,点P 在平面ABC 内得射影恰好落在边BC 上;

作业:

1、正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别就是1,A A AB 上得点,1EC EF ⊥、 求证: 1EF EB ⊥。

2、已知:PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =就是BC 得中点。

求证:BC AM ⊥;

3、填空并证明: (1)在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD

BCD 得 心。

(2)在四面体ABCD 中,AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心

(3)在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。

(4)在四面体ABCD 中,顶点A 到BC 、CD 、DB 得距离相等,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。

4、正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, (1)求直线PQ 与平面ABCD 所成角得正切值; (2)求证:PQ⊥AD .

5、在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 就是棱1AA 上得点,且1:1:2A E EA =,F 就是棱AB 上得点,12

C EF π

∠=

。求AF:FB 。

6、点P 就是ABC ∆所在平面外一点,且PA ⊥平面ABC 。若O 与Q 分别就是ΔABC 与ΔPBC 得垂心,试证:OQ ⊥平面PBC 。

7、已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。求

证:D AT ∈;

B