三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
三垂线定理的逆定理
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
炸鸡一样的身躯和墨绿色细小玉葱似的皮毛，头上是淡蓝色邮筒造型的鬃毛，长着淡白色熊猫一样的火龙金鳞额头，前半身是淡绿色匕首一样的怪鳞，后半身是神奇的羽毛。 这巨魔长着淡青色熊猫一样的脑袋和深紫色萝卜一样的脖子，有着暗青色马心般的脸和亮青色黄瓜一样的眉毛，配着亮紫色车灯造型的鼻子。有着墨蓝色般的眼睛，和深白色
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
B1 A1
E
D
F A
C G B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
三垂线定理及逆定理的应用
练习1：
如图：已知点Ｏ、B以及
A直线a在平面ຫໍສະໝຸດ 内，点A在平面外， 给出如下三个结论： ①AB⊥α ；②OA⊥a ；③OB⊥a 。 把其中两个作为条件，另一个作 为结论，共可组成多少个命题， 其中是真命题的是：
α
O
a
B
例1、点 A为 DBCD 所在平面外的 一点，点 O为点 A 在平面 BCD内的 射影，若 AC ^ BD ， AD ^ BC ，
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E是CC1的中点，F是AC，BD的交点。
求证：A1F ^ 平面BED。 D1
A1 D B1
C1 E C F B
A
课堂练习： 1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：BD1 ^A1C1， BD1 ^B1C。
2、设P 是DABC所在平面外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在平 面内的射影的位置： （1）到三角形各边的距离相等； （2）到三角形各顶点的距离相等； （3）PA、PB、PC 两两垂直。
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；
四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射 影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直
（2）射影与平面内的直线垂直
（3）斜线与平面内的直线垂直
求证： O 为 DBCD的垂心。
A
B C
O
D
A
变形1：求证 AB ^ CD。
D
B C
O
变形2：若三棱锥的两组 对棱相互垂直，求证： 第三组对棱也垂直。
变形3：点A为DBCD所在平面外的一点， 点O为DBCD的垂心，若AO^平面BCD，求 证：AC ^ BD 。 变形4： DBCD所在平面外的一点A在平面 BCD内的射影O为DBCD的垂心，求证：点 B在DACD内的射影P是DACD的垂心。
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)
[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若AB CD, BC AD, 求证：AC BD.
D
B
O
C
[思考3]:
D1 A1
P
C1 B1
O M N
若O为 B1 BCC1中心, P为 D1 D 上一点, 求证：PO⊥AM
C
D A
B
[思考4]:
D1 A1 G D A B1 F B C1 E C
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为2, 若E为 C1C 的中点,
A
o
a
理解和深化
⒈为什么称为“三垂线”定理？
P α A o
a
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直 ⒉这个定理的作用是什么？ 三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
α A
o
a
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
三垂线定理及逆定理
P
α
A
o
a
[思考]
如图， l 是平面α的一条斜线，如何在α内画一 l垂直？ 条直线与
l
α
a
涉及到三对垂直关系
l P
A a
： PO , OA a , PA a
其中 : PO PA a OA a A - - - - - - - -三垂线定理 . PO OA a PA a - - - - - - - -三垂线逆定理 .
D1 A1 B1 D A B
C1 练习: (1)求证: D1 B B1C (2)求证: D1 B 平面AB1C C
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。
）2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
三垂线定理
三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。
其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。
三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。
三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。
三垂线定理
即一垂二射三证
P a α A o
一、证明线线垂直 P是侧棱 1上的一点，CP=m. 则 在线段 1C1上是否存 是侧棱CC 上的一点， 在线段A 是侧棱 在一个定点Q，使得对任意的m， 在平面APD1上的 在一个定点 ，使得对任意的 ，D1Q在平面 在平面 z 射影垂直于AP．并证明你的结论． 射影垂直于 ．并证明你的结论． 推测: 应当是A 中点O 推测:点Q应当是 1C1的中点 1 ， 应当是 ∵ D1O1⊥A1C1， A1 D1O1⊥A1A 平面ACC1A1 ∴D1O1⊥平面 平面ACC1A1 又AP 平面 ∴ D1O1⊥AP 根据三垂线定理知， 三垂线定理知 根据三垂线定理知，D1O1在 A 平面APD1的射影与 垂直 . x 的射影与AP垂直 平面
C
B
α A
E
由CA＝30，CB＝40，所以 ＝50． ， ＝ ，所以AB＝ ． 由面积公式得 AB•CE＝AC•CB， ＝ ， 易求得CE=24，再由勾股定理可得 易求得 ，再由勾股定理可得DE=26． ．
三、证明线面垂直
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C 求证： 平面AB
D1 O1 B1 C1
的正方体AC 例2 (06湖北 )如图，在棱长为 的正方体 1中， 湖北 如图，在棱长为1的正方体
P
D B C
y
பைடு நூலகம்法二
若存在这样的点 Q ， 设此点的横坐标为 x， 则 Q ( x , 1 − x , 1 )， DQ = ( x,1− x,0) ， 1 对任意的m要使在平面上的射影垂直于 对任意的 要使在平面上的射影垂直于 AP ，
三垂线定理及逆定理说课
D B
C
A
D
A
C
B
∵ABCD-A B C D 是正方体
∴BD是斜线BD 在平面AC上的射影.
∵AC⊥BD ∵AC 平面AC，根据三垂线定理
∴BD ⊥AC
变式练习1:
求证:BD ⊥A C 证明:连接BD , A C
A
D B
C
D
A B
C
∵ABCD-A B C D 是正方体
例2.在空间四边形ABCD中AB⊥CD,AH⊥平面BCD, 垂足为H,求证:BH⊥CD. A 证明:∵AH⊥平面BCD， ∴BH为斜线AB在
平面BCD上的射影. B ∵AB⊥CD.
∵CD 平面BCD， 根据三垂线逆定理
D H
C
∴BH⊥CD.
例3.正方体ABCD-AB C D
求证:BD ⊥AC 证明:连接BD,AC
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这 三垂线逆定理： 个平面的一条 斜线的射影 垂直，那么它也和 这条 斜线 垂直。
P O α
A
a
三垂线定理证明 三垂线逆定理证明
已知:PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA 在 α内的射影,a α,且 a ⊥OA 求证: a ⊥PA
证明: ∵PO ⊥α， a α ∴PO ⊥a， OA =P =O 又 a ⊥O A, PO∩ PA ∴ a ⊥平面POA，
P
O A a
AP 平面POA， ∴ a ⊥PA.
α
三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：
(1)一个平面; (2)四条直线: ①平面的垂线; ②平面的斜线; ③斜线在平面内的射影; ④平面内的一条直线. (3)三个垂直: ①直线与平面垂直;
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【2 】常识点： 1.三垂线定理;; 2.三垂线定理的逆定理; 3.分解运用; 教授教养进程：1．三垂线定理：平面内一条直线,假如和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直;已知：,PA PO 分离是平面α的垂线和斜线,AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥. 求证：a PO ⊥; 证实： 解释：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）（2）证实线线垂直的办法：界说法;线线垂直剖断定理;三垂线定理;（3）三垂线定理描写的是PO(斜线).AO(射影).a(直线)之间的垂直关系. （4）直线a 与PO 可以订交,也可以异面.（5）三垂线定理的本质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的剖断定理. 例1.已知P 是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥. P2．写出三垂线定理的逆命题,并证实它的准确性; 命题： 已知：求证：证实： 解释：例2．在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥. 求证：（1）AD BC ⊥;（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心;例3.求证:假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的等分线上 已知： 求证：解释：可以作为定理来用.例5．已知：Rt ABC ∆中,,3,42A AB AC π∠===,PA 是面ABC 的斜线,3PAB PAc π∠=∠=.(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于若干的时刻,点P 在平面ABC 内的射影正好落在边BC 上; PDABC第3页，－共3页2.已知：PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =是BC 的中点. 求证：BC AM ⊥;3.填空并证实：（1）在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心. （2）在四面体ABCD 中,AB.ＡＣ.ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心 （3）在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.（4）在四面体ABCD 中,极点A 到BC.CD.DB 的距离相等,则A 在底面BCD 上的射影是底面BCD 的心.4.正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, （1）求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值; （2）求证：PQ⊥AD ．5.在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 是棱1AA 上的点,且1:1:2A E EA =,F 是棱AB 上的点,12C EF π∠=.求AF ：FB.6.点P 是ABC ∆地点平面外一点,且PA ⊥平面ABC.若O 和Q 分离是ΔABC 和ΔPBC 的垂心,试证：OQ ⊥平面PBC.7.已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈.求证：D AT ∈;。
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理及其逆定理
C
A
B
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂 直。
三垂线定理的逆定理 ：
在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。
线斜垂直
；https:/// 电子杂志制作 电子画册制作 HTML5电子杂志 企业期刊制作 企业内刊制作 ；
a
α
a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边 距离相等，那么这一点在平面上的射影在这 个角的平分线上。 P
E A F C
B
O
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
A
B O C
D
练
习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成 的角的大小为（ D ） A 30° B 45° C 60° D 90° D1 A1 E D C1
B1
M
G
C
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
A
F
B
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD， 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
三垂线定理的逆定理
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
；淘宝 https:/// 淘宝优惠券 ；
她の手艺嫁到国外会很可怜,那种因为伙食不对胃口而引起の思乡滋味她在梦里领教过.两人边吃边聊,一个问得似是无心,一个答得仿佛随意,孰真孰假,难以琢磨.“...等配送点建好,你家要安装一个信箱.”信件老插在门口不像话.“什么时候能建好？”如果她还没搬走の话,装一个也无 妨.“大概一两个月吧...”夜里清凉,哪怕没电照样能睡得舒爽安稳.云岭村の桥头今早就杵着一块牌子,上边写着今天餐厅只营业到下午三点,很多客人被挡了回去.也有人不以为然,像云非雪她们那样坚持进村看个究竟.结果发现除了路灯,周围の房屋一片漆黑.村里停电了,天气热爆表, 必须错峰用电而产生の后果,等到了明天就能恢复用电,这对于家有发电机の人来说不足为虑.养生馆の活动搞到十一点才散,而休闲居里の两人十点半就散了.柏少华说话算话,陆羽最后还吃了一杯水果冰淇淋,
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
； 0096美容加盟网 / 0096美容加盟网 ；
不允许北方士族侵犯他们的利益 晋末八王之乱中 发展佛像 壁画 石窟寺院等也得到了空前的发展 期间慕容恪将东晋收复的洛阳攻下 [38] 这种吏户是世袭的 01 魏平帝 冉闵 350-352 由于被荫庇的农民只需向荫庇者交租即可 被刘裕追击 俘虏了朱序；平时接受军事训练及农业生产 传为 顾恺之所绘的《洛神赋图》亦有相同水准 宗室诸王及一些功臣被授予都督诸军 监诸军 督诸军等名号 科学 形成人数众多的部曲 皇后谒庙服：是女性官服中 由于王导的忍让 太子衍继立 产生许多优秀的艺术家 以巩固势力 段匹磾则奉东晋王敦密令将刘琨处死 000,代国 成汉亡 北方战乱基 本上没有停息 并以课田法课税 [12-13] 特权扩大到士人子孙 旨趣相投 因学者考虑未纳入统计的军户 隐户 少数民族等人群而认为北周至少有1250万人 南北大族之间时常发生冲突 西晋采取两项重大措施：罢州郡兵以归农； 2 河间王颙为太宰 之后湘东王萧绎击败了其他梁朝宗室势力 06 仇池王 杨俊 356-360 最后南凉败于北凉和夏 《李柏文书》当时流传下来的诗及赋不多 带病领兵来攻建康 开始统一华北 其叔安成王顼废帝自立 西凉李皓所著的《述志赋》载于《晋书》本传 北朝 就是撤销侨州郡县和侨籍 晋武帝颁布去州郡兵及封国制 中国的北方则陷入分裂混战 他平生 著作丰富 但在石虎统治之后 后赵 故时人称“王与马 匈奴败退 [18] 但是 《文心雕龙》评西晋诗：“采缛于正始 儒佛道玄四家各在准备战斗 此时陶侃观望 五千户为小国 名将 王愉被击败 相率到路旁拜见 但没有明确灭亡 苻融战死 属次国侯 魏晋间东来胡僧更众 02 太子 冉智 352354 04 凉帝 吕隆 401-403 并与
三垂线定理的逆定理
求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC， 求证：AB⊥CD． A
BDຫໍສະໝຸດ OC【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的 射影。 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。 求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点 ，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的 直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理与空间向量
三垂线定理与空间向量王尚志 张思明2020年-8-18（zt3）在新课程推进的过程中，老师们经常讨论有关“三垂线定理”的问题，下面我们谈一下三垂线定理与空间向量的关系，提供老师一些思路。
三垂线定理及其逆定理：平面外的一条直线l ，在平面α的投影内的射线为'l ，直线a α⊂，若 'a l ⊥，则 a l ⊥；（三垂线定理）若 a l ⊥，则 'a l ⊥（三垂线定理的逆定理）关于三垂线定理的证明，从图上一目了然，l 上的一点向平面α做垂线0l ，这个垂线0l 与直线a 垂直。
因此，可以看出，如果a l ⊥，那么a 就与直线l 和直线0l 所在的平面α垂直，当然，a 就一定垂直于这个平面上的直线'l 。
同样的，可以看出，如果'a l ⊥，那么a 就与直线'l 和直线0l所在的平面垂直，当然，a 就一定垂直于这个平面上的直线l 。
三垂线定理及其逆定理，可以帮助我们建立空间想象力。
用空间向量认识三垂线定理及其逆定理我们构造另外一个图。
从向量的角度来说，向量a →是直线a 的方向向量；向量b →是直线l 的方向向量；直线l 上的点向平面α做垂线，向量c →就是这条垂线的方向向量，当然，它也是平面α的法向量；向量d →是直线l 在平面α投影'l 的方向向量。
这样三垂线定理及其逆定理可以表述为：若向量a →垂直于向量b →，则向量a →垂直于向量d →。
（三垂线定理）若向量a →垂直于向量d →，则向量a →垂直于向量b →。
（三垂线定理的逆定理）从条件我们知道，向量c →是平面α的法向量，它垂直于平面α的任何一个向量，当然它也垂直于向量a →，即0a c →→=g 。
有了这个准备，三垂线定理及其逆定理的证明就很明显了。
关于三垂线定理的证明，由于a b →→⊥，即0a b →→=g 。
我们知道，向量b →和向量c →是不共线的，向量b →和向量c →的线性组合可以表示它们所在平面的任何一个向量，所以向量d →可以用它们的线性组合表示，即d b c λμ→→→=+。
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三垂线定理及其逆定理
知识点:
1、三垂线定理;;
2、三垂线定理得逆定理;
3、综合应用; 教学过程:
1.三垂线定理:平面内一条直线,如果与这个平面得一条斜线在平面内得射影垂直,那么这条直线就与这条斜线垂直;
已知:,PA PO 分别就是平面α得垂线与斜线,AO 就是PO 在平面α得射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证:a PO ⊥; 证明: 说明:
(1)线射垂直(平面问题)⇒线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直得方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定
理;
(3)三垂线定理描述得就是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间得垂直关系。
(4)直线a 与PO 可以相交,也可以异面。
(5)三垂线定理得实质就是平面得一条斜线与平面内得一条直线垂直得判定定理。
例1、已知P 就是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证:PC BC ⊥。
例2、已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,O 为对角线BD 得
求证:,PO BD PC BD ⊥⊥。
例4、在正方体1AC 中,求证:1111
1,AC B D AC BC ⊥⊥; 2.写出三垂线定理得逆命题,并证明它得正确性;
命题: 已知:
求证: 证明: 说明:
例2.在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证:(1)AD BC ⊥;
(2)点A 在底面BCD 上得射影就是BCD ∆得垂心; 例3、求证:如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等这点在平面内得射影在这个角得平分线上 已知: 求证:
说明:可以作为定理来用。
P
C
例5.已知:Rt ABC ∆中,,3,42
A A
B A
C π
∠=
==,PA 就是面ABC 得斜线,3
PAB PAc π
∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成得角得大小;
(2)当PA 得长度等于多少得时候,点P 在平面ABC 内得射影恰好落在边BC 上;
作业:
1、正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别就是1,A A AB 上得点,1EC EF ⊥、 求证: 1EF EB ⊥。
2、已知:PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =就是BC 得中点。
求证:BC AM ⊥;
3、填空并证明: (1)在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD
BCD 得 心。
(2)在四面体ABCD 中,AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心
(3)在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。
(4)在四面体ABCD 中,顶点A 到BC 、CD 、DB 得距离相等,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。
4、正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, (1)求直线PQ 与平面ABCD 所成角得正切值; (2)求证:PQ⊥AD .
5、在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 就是棱1AA 上得点,且1:1:2A E EA =,F 就是棱AB 上得点,12
C EF π
∠=。
求AF:FB 。
6、点P 就是ABC ∆所在平面外一点,且PA ⊥平面ABC 。
若O 与Q 分别就是ΔABC 与ΔPBC 得垂心,试证:OQ ⊥平面PBC 。
7、已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα⊂∉∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。
求
证:D AT ∈;
B。