数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用

摘要：数形结合的解题思路在高中数学教学过程中占据着非常重要的地位，即使在高考时，数形结合思想的运用也是非常普遍的。在利用数形结合思想来解决数学问题的过程中，必须认识到这一解题思想的灵魂，就是对数学知识有最基本的认知和掌握，只有熟练地运用各种数学知识、概念、公式，才有可能更好地应用数形结合的思想解决数学问题。

关键词：数形结合；高考解题；抽象概念；数学公式

一、绪言

新课标的背景之下，数形结合的解题思路运用非常广泛，这主要是由于这种解题方法可以将一些非常抽象的数学问题用一种生动直观的方式呈现，变抽象为形象，辅助高中生非常直观地把握数学问题的本质。这种解题方法不仅可以调动学生学习数学的积极性，提高他们的思维能力，而且还可以使复杂的解题过程变得更为简单，减少解题过程中不必要的运算量，避免不必要的运算失误。

二、数形结合的概念以及解决问题的对象

数形结合，简单地说，就是通过对数学问题的内在层次与结构进行分析，理清各个条件与结论之间的内在联系，不仅分析它的代数含义，还能指出它的几何意义，将数学问题的各种关系以及空间形式有效地结合起来，并充分地利用这种结合，找出解决问题的思路和方向，从而使问题得到顺利解决。它的本质在于将抽象的数学语言和直观形象的图形有效地结合起来，特别是一些代数问题和形象

的图表结合起来，将代数问题几何化，将抽象问题形象化。

数形结合思想在高中数学解题中的应用非常广泛，譬如说在处理函数问题的过程当中，建立有效的函数模型，结合函数的图像，求出参数的取值范围，当然也可以在这个过程之中分析方程根的有效范围，以及各量与量之间的有效关系。除了函数问题之外，数形结合思想还可以将代数问题有效的几何化，建立几何模型，分析问题的本质，从而解决问题。当然，也可以分析出几何问题中的斜率、截距，研究出最大最小值；最后，数形结合的思维方式还可以有效地研究图形的形状以及位置关系等，分析出图形之间的内在联系，并求出答案。

三、结合实例来分析数形结合的实际运用问题

（一）集合问题中的数形结合思想解决方案

我们在高中数学中遇到的集合问题非常多，在运算集合问题的过程中，我们需要借助于数轴和venn图对集合问题中的交集、并集以及补集进行运算，这样可以将集合问题简单化，从而使运算的过程更加简洁，学生也可以一下子就抓住问题的本质，从而很好地解决问题。

举一个全国理工科的高考例题来说明问题。如图1，设想a和b 和i都是非空集合，且满足abi，则下列各式中不正确的是：

图1

a.ia∪b=i

b.ia∪ib =i

c.aib =φ

d.ia∪ib =ia

我们根据venn图，很容易判断出b选项是错误答案，由此顺利解决几何问题。

在集合问题上，我们还可以举出另外一个例子，2005年湖南高考中有一道题目：某一个班级一共有50名同学报名参加了两项比赛，其中a项有30人参加，而b项的有33人，我们还知道两项都不参加的同学比两项都参加的同学的三分之一还要多一个人，问题是：只参加了a项，但是没有参加b项的一共有多少人？

在这个题目中，我们也可以画出图形进行处理，见图2：

图2

在具体的解题过程中，我们假设两项都参加的人数有x人，都不参加的有y人，根据这个假设，可以得出两个方程式，分别是

30-x+33-x+x+y=50以及y=，将这两个方程式并列成一个方程组，就可以很容易得出x与y的值。我们可以得出x=21，所以只参加a 项，但是没有参加b项的学生有30—21=9人，所以最后的答案应该是9人。

（二）概率问题中的数形结合思想解决方案

我们选择2011年安徽省的文科考试题目来进行分析概率问题中的数形结合思想解决方案，题目是：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点（见图3），那么将这4个点作为顶点的四边形是矩形的概率是多少？

图3

根据图中所呈现的，我们从正六边形abcdef的6个顶点中随机

的选择出4个顶点，共有15种选法，其中能够构成矩形的有fecb、afdc、abde三种选法，所以概率为3/15，最后的答案是1/5。我们可以看出，这个题目能够运用数形结合的思想成功的解决概率问题，我们也可以结合图形运用古典概率的模型来求出最后的概率。（三）函数问题中的数形结合思想解决方案

在利用数形结合的思想解决函数问题的过程中，我们选择2011

年陕西省的理科试卷中的一个题目进行分析，题目是函数在[0， +∞）内有几个零点？

图4

我们可以知道，在同一个坐标系之中，分别画出函数和y=cosx

的图象，见图4，并且我们得知在x>1的情况下，，y=cosx<1，所以可以看出两个函数事实上只存在一个交点，就是方程-cosx=0在[0，+∞）内只有一个实根，所以函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内只有一个零点，所以答案是有且仅有一个零点。

这一个题目，很巧妙地运用了数形结合的思想来解决函数问题，我们可以根据已知的条件，画出两个函数的图像，根据图像研究出函数的零点与方程的根之间的关系。

（四）数形结合解决数学问题必须要遵循的几个原则

我们在利用数形结合的方式解决数学问题的过程中，必须要遵循几个原则，包括等价转换原则以及数形互补原则等，在具体的解题过程之中，需要理清思路，具体来讲，首先需要根据条件绘制出正确的图形，所作出的图形必须要符合题干中的数量关系；其次，要

对图形进行仔细的观察分析，找出图形之中所蕴藏的数量关系；最后，必须要有效地把握数与形之间的有效关系，通过“数”来认识“形”，通过“形”来研究“数”。

需要认识到的是，无论什么样的数学方法，都是建立在数学基础上的，所以，我们必须首先要打好数学基础，对数学问题中的基本概念有一个清晰准确的认知，对基本公式也应该做到熟练的掌握。数形结合的思想在高考数学中被广泛的应用和考核，几乎涉及了所有的高中数学知识和章节内容，这种解题思想能够很好地将数学学科中的各个知识点有效的结合起来，将抽象问题形象化，将复杂的问题简单化，因此，数形结合思想值得在高中数学教学和学习过程中广泛的推广和应用。而这一方法的有效实施依赖于扎实的数学基础知识，只有对数学基础知识、基本概念、公式有一定的认知和掌握，才能更好地利用数形结合的思想解决数学问题。

参考文献：

1.张杨.感悟“数形结合”——从“方法”到“思想”的飞跃[j].北京教育教学研究，2008（6）.

2.杨厥帅.不等式恒成立问题的常用解题策略[j].高中数学教与学，2008（12）.

3.李祥.数形结合思想在高考中的应用[j].北京电力高等专科学校学报，2012（8）.

作者简介：

韦柳荣（1980-），女，壮族，广西柳城人，中教一级教师，数学