高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式

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三角恒等变换公式

三角恒等变换公式

2
λ 等分点:


若 p1p→ = λp→p2,其中 p1(a1, a2, ⋯, an), p2(b1, b2, ⋯, bn)(n 维坐标,特殊情况是 n = 2 或 n = 3)

( ) a1 + λb1 a2 + λb2
an + λbn
p = 1 + λ , 1 + λ , ⋯, 1 + λ
辅助角公式:
θ+φ θ−φ sinθ + sinφ = 2sin 2 cos 2
θ+φ θ−φ sinθ − sinφ = 2cos 2 sin 2
θ+φ θ−φ cosθ + cosφ = 2cos 2 cos 2
θ+φ θ−φ cosθ − cosφ = − 2sin 2 sin 2
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cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ tanα ± tanβ
tan(α ± β) = 1 ∓ tanαtcosα
cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin2α 2tanα
tan2α = 1 − tan2α
b 其中 tanφ = a
和差化积 & 积化和差 公式:
1 sinαcosβ = 2 (sin(α + β) + sin(α − β))
1 cosαsinβ = 2 (sin(α + β) − sin(α − β))
1 cosαcosβ = 2 (cos(α + β) + cos(α − β))
1 sinαsinβ = − 2 (cos(α + β) − cos(α − β))

三角恒等变换常见公式

三角恒等变换常见公式

三角恒等变换常见公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式:(1)βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=-(2)βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(3)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- (4)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ (5))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+- 2. 二倍角公式(1)(2)(3) (4)3. 降幂公式:(1) (2)a a a cos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -=22cos 1cos 2aa +=22cos 1sin 2aa -=4. 升幂公式(1)2cos 2cos 12αα=+ (2)2sin 2cos 12αα=- (3)2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± (4)αα22cos sin 1+= (5)2cos 2sin 2sin ααα=5. 半角公式(符号的选择由2θ所在的象限确定) (1), (2), (3)6.辅助角公式(合成公式) (7)sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan b aϕϕϕ=== ,该法也叫合一变形),比如:x x y cos 3sin += )cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x += )3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x8.积化和差公式:sin α·cos β=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]2cos 12sin a a -±=2cos 12cos a a +±=a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=cos α·cos β=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]9.和差化积公式:sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]10.常见数据: , 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,10. 解题技巧:(1)三角函数式的化简方法:1.化简原则(a)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合理地拆分,从而正确运用公式;(b)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (c)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.2.化简要求6262sin15cos75,sin75cos1544-+︒=︒=︒=︒=(a)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(b)尽量使分母不含三角函数;(c)尽量使被开方数不含三角函数等.3.化简方法(a)直接应用公式进行降次、消项;(b)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名;(c)三角公式的逆用等.本质:三个统一(a).角度统一(化同角)(b).名称统一(化同名)(c).次幂统一(升幂降幂)(2)三角函数式的求值方法1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的,但非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用这种关系,结合公式,转化为特殊角的三角函数并且消掉非特殊角的三角函数而得解.2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,确定角.。

高中数学必修一 三角恒等变形总结(采百家之长版)

高中数学必修一 三角恒等变形总结(采百家之长版)

一、三角函数公式:辅助角公式的重要作用:合一变形⇒把形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数,即:两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−相除以上是三角函数公式的关系图二、三角恒等变换:一角二名三结构,对角、函数名、式子结构===化异为同三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。

常用的数学思想方法技巧如下:(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:(2余弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。

(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。

降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式 (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。

三、三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;基本规则是:切割化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,和积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化。

化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量 使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。

四、三角函数的求值类型有三类(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

高中数学必修二知识点总结及公式大全

高中数学必修二知识点总结及公式大全

高中数学必修二知识点总结及公式大全高中数学是培养学生逻辑思维和抽象能力的重要学科。

《必修二》作为高中数学课程的重要组成部分,涉及了许多核心知识点和基础公式。

本文将为您详细总结《必修二》的知识点,并整理出一份公式大全,帮助您更好地掌握这门学科。

一、高中数学必修二知识点总结1.函数概念与性质- 函数的定义、表示方法、分类- 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性等)- 反函数及其求法2.指数函数与对数函数- 指数函数的定义、性质、图像- 对数函数的定义、性质、图像- 指数方程与对数方程的解法3.三角函数- 角度制与弧度制互换- 三角函数的定义、图像、性质- 三角恒等变换- 三角方程与不等式的解法4.数列- 等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式- 数列的通项公式与求和公式- 数列的极限5.平面向量- 向量的定义、表示、线性运算- 向量的坐标表示与几何表示- 向量的数量积与垂直关系- 向量的平行四边形法则与三角形法则6.解析几何- 直线方程的求法(点斜式、截距式、一般式等)- 圆的方程与性质- 常见图形的面积、周长、体积计算二、高中数学必修二公式大全1.函数类- y=f(x) 的反函数:y=f^(-1)(x)- 幂函数:y=x^a(a 为常数)- 指数函数:y=a^x(a>0 且a≠1)- 对数函数:y=log_a(x)(a>0 且a≠1)2.三角函数类- 正弦函数:y=sin(x)- 余弦函数:y=cos(x)- 正切函数:y=tan(x)- 三角恒等变换公式(和差公式、倍角公式、半角公式等)3.数列类- 等差数列通项公式:a_n=a_1+(n-1)d- 等差数列求和公式:S_n=n/2(a_1+a_n)- 等比数列通项公式:a_n=a_1q^(n-1)- 等比数列求和公式:S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)4.向量类- 向量加法:A+B=(a_x+b_x, a_y+b_y)- 向量减法:A-B=(a_x-b_x, a_y-b_y)- 向量数量积:A·B=a_xb_x+a_yb_y- 向量模长:|A|=√(a_x^2+a_y^2)5.解析几何类- 点斜式直线方程:y-y_1=k(x-x_1)- 截距式直线方程:x/a+y/b=1- 圆的标准方程:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2总结:本文为您详细总结了高中数学必修二的知识点,并整理了一份公式大全。

三角恒等变换公式大全

三角恒等变换公式大全

三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系:sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系:sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系:tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系:sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系:tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系:sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系:tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系:sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系:tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系:sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式,应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。

高中数学公式大全归纳

高中数学公式大全归纳

高中数学公式大全归纳以下是高中数学中常用的一些公式大全的归纳:一、三角函数1. 正弦函数:sinθ = 对边/斜边2. 余弦函数:cosθ = 邻边/斜边3. 正切函数:tanθ = 对边/邻边4. 余切函数:ctgθ = 邻边/对边5. 正割函数:secθ = 对角/斜边6. 余割函数:cscθ = 对角/对边7. 半角公式:sinθ/2 = 正弦函数值/28. cosθ/2 = 余弦函数值/29. tanθ/2 = 正切函数值/210. ctgθ/2 = 余切函数值/2二、指数函数1. 指数函数:a^x = 对数函数值/ln(a)2. 幂指数函数:x^y = 指数函数值/ln(x)3. 自然指数函数:n^x = 指数函数值/ln(n)三、对数函数1. 对数函数:log2(x) = 底数指数函数值2. 对数函数:log10(x) = 底数指数函数值3. 对数函数:log(x,y) = 对数函数值/ln(y)4. 换底数对数函数:xlnx = 对数函数值/ln(新底数)5. 扩展对数函数:log2(x), log10(x), log(x,y) 等都是对数函数四、三角恒等变换公式1. sin(2θ) = 2sinθcosθ2. cos(2θ) = 2cos2θ - 13. tan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan2θ)4. ctg(2θ) = (1 - cot2θ)/(1 + cot2θ)5. sec(2θ) = 2sec2θ - 16. csc(2θ) = 2csc2θ - 1五、导数与微分1. f"(x) = 导数2. g"(x) = 微分3. f(x) = g(x) + h(x) 时,f"(x) = g"(x) + h"(x)4. f(x) = ln(x) 时,f"(x) = 1/x5. f(x) = sin(x) 时,f"(x) = cos(x)6. g(x) = f(x) + c 时,g"(x) = f"(x) + c以上是高中数学常用的一些公式,希望能够帮助到您。

高中三角函数公式(共10篇)

高中三角函数公式(共10篇)

高中三角函数公式(共10篇)高中三角函数公式(一): 高中数学必修4三角函数公式大全诱导公式sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z) tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z) cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z) sec(α+k·360°)=secα (k∈Z) csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)课改后COT SEC CSC不做要求的sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα tan(180°+α)=tanαsin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanαsin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα tan(180°-α)=-tanαsin(90°+α)=cosα cos(90°+α)=-sinα tan(90°+α)=-cotα sin (90°-α)=cosα cos (90°-α)=sinα tan (90°-α)=cotα两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α))tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]半角公式:sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]高中三角函数公式(二): 数学三角函数的公式把高中数学所有数学三角函数公式列出来高中数学必修1和必修4的公式总结最佳答案乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式b^2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根b^2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根b^2-4ac0抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h"圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S"L 注:其中,S"是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h高中三角函数公式(三): 高中阶段比较重要的三角函数公式有哪些最好能一一列举下来【高中三角函数公式】倒数关系:商的关系:平方关系:tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱...高中三角函数公式(四): 求高中数学三角函数公式推导所有的三角函数公式的推导全部过程诱导公式:sin(2kπ+α)=sinα .cos(2kπ+α)=cosα.tan(2kπ+α)=tanα .sin(π+α)=-sinα .cos(π+α)=-cosα .tan(π+α)=tanα.sin(-α)=-sinα .cos(-α)=cosα .tan(-α)=-tanα.sin(π-α)=sinα .cos(π-α)=-cosα.tan(π-α)=-tanα.sin(2π-α)=-sinα .cos(2π-α)=cosα .tan(2π-α)=-tanα .sin(π/2+α)=cosα .cos(π/2+α)=-sinα.sin(π/2-α)=cosα .cos(π/2-α)=sinα .sin(3π/2+α)=-cosα.cos(3π/2+α)=sinα .sin(3π/2-α)=-cosα.cos(3π/2-α)=-sinα 基本关系:sin^2(A)+cos^2(A)=1.tanA=sinA/cosA三角恒等变换公式:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) sin2A=2sinAcosA cos2A=cos^2(A)-sin^2(A)tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))弦定理:若a、b、c为任意三角形ABC三边,A、B、C为三个角,则:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:如上所设,则a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosC【高中三角函数公式】高中三角函数公式(五): 高中常用的三角函数公式有哪些在什么地方应用如题1.诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2 - a) =cos(a) cos(π/2 - a) = sin(a) sin(π/2 + a) = cos(a) cos(π/2 + a) = - sin(a) sin(π - a) = sin(a) cos(π - a) = - cos(a) sin(π + a) = -...高中三角函数公式(六): 高中三角函数公式表已知直角三角形三边长度求另外两角角度高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系:平方关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积.”)诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限.)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=ta nαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotαsin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβtan(α+β)=——————1-tanα ·tanβtanα-tanβtan(α-β)=——————1+tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα=——————1+tan2(α/2)1-tan2(α/2)cosα=——————1+tan2(α/2)2tan(α/2)tanα=——————1-tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2tanαtan2α=—————1-tan2αsin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tanα-tan3αtan3α=——————1-3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α+β α-βsinα+sinβ=2高中三角函数公式(七): 2023年江苏省高中数学公式特别是三角函数公式三角函数内容规律三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系.而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.1、三角函数本质:三角函数的本质来源于定义,如右图:根据右图,有sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y.深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例:推导:首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点.角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A"OD.A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A"(cos(α-β),sin(α-β))OA"=OA=OB=OD=1,D(1,0)∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) [1]两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)Sin2A=2SinA CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/(1-tanA^2)(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα高中三角函数公式(八): 高中三角函数的公式在非直角三角形ABC中设∠A邻边a,对边b,斜边c,那么sin∠A=cos∠A=tan∠A=(用含a、b、c的代数式表示)由于csc、sec、cot在直角三角形中分别为以上三种三角函数的倒数,在非直角三角形中是否仍然适用老师跟我讲过三角函数不在直角三角形中也是有的.如果答案是网上大段大段的Ctrl+C和Ctrl+V搞来的何必回答我的问题很清楚.前后答案最多100字.当然适用,三角函数抽象出来它就是一种不依赖于几何图形的函数.当然在高中会以圆为依托来深入研究它.事实上,如果你感兴趣,可以自己查询‘正弦定理‘、’余弦定理‘以及’正切定理‘.相信这个会给你提供你想要的,它就是在任意三角形中的.高中三角函数公式(九): 高中三角函数公式记忆RT老师说有N个公式一百多个呢咋记呢最好有口诀啥的追分ing...其实不用记忆那么多的啊!我就是有多年高三经验的老师。

高考数学简单的三角恒等变换

高考数学简单的三角恒等变换
课前基础巩固
◈ 对点演练 ◈
π
[解析] sin 15°-cos 15°=2×=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-.
[解析] f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.
3. [教材改编] 化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)= .
课堂考点探究
(2)[2021·江西鹰潭一模] 已知tan α=,则= .
2
[解析] ====2.
角度2 给角求值例3 计算:= .
课堂考点探究
[思路点拨]先利用诱导公式,再利用两角和与差的余弦公式求解即可.[解析] ========2.
2
[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
D
[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)已知=,则tan α+的值为 .
-8
[解析] ∵==cos α-sin α=,∴1-2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-,则tan α+=+===-8.
课堂考点探究
探究点一 三角函数式的化简
[思路点拨] 将1变换为sin22+cos22,将cos 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理得结果;[解析] ∵===sin 2+ cos 2,====-2cos 2, ∴2+=2sin 2+2cos 2-2cos 2=2sin 2,故选B.

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中,三角函数是一个重要的概念,而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。

本文将总结常用的三角恒等变换公式,并介绍其应用技巧。

一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式:cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式:cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式:cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式:sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式:sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式:tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式:tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式:sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式:sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式:sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程:利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式,从而更容易求解。

高三角恒等变换知识点

高三角恒等变换知识点

高三角恒等变换知识点在高中数学的学习中,三角恒等变换是一个重要而基础的内容。

了解和掌握三角恒等变换的知识点,对于解题和深入理解三角函数之间的关系非常有帮助。

本文将介绍一些高三角恒等变换的知识点,帮助读者更好地掌握这一内容。

1. 三角比恒等变换三角比恒等变换是指一些三角函数之间的关系式。

这些关系式可以通过恒等变换得到,从而推导出其他与之相关的恒等式。

以下是一些常见的三角比恒等变换:1.1 正弦、余弦、正切三者的关系:sinθ = cos(π/2 - θ)cosθ = sin(π/2 - θ)tanθ = 1/tan(π/2 - θ)1.2 余切的恒等变换:cotθ = 1/tanθ1.3 余割的恒等变换:secθ = 1/cosθ1.4 正割的恒等变换:cscθ = 1/sinθ2. 和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数之和或之差表示为乘积或商的公式。

熟练掌握和差角公式可以在三角函数的求解过程中简化计算。

2.1 正弦和差角公式:sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ2.2 余弦和差角公式:cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβcos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ2.3 正切和差角公式:tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)3. 二倍角公式二倍角公式是将一个角的两倍表示为另一个角的函数的形式。

这些公式在求解中经常被使用。

3.1 正弦二倍角公式:sin2θ = 2sinθcosθ3.2 余弦二倍角公式:cos2θ = cos²θ - sin²θ3.3 正切二倍角公式:tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 三倍角公式三倍角公式是将一个角的三倍表示为另一个角的函数的形式。

三角函数与三角恒等变换知识点

三角函数与三角恒等变换知识点

三角函数与三角恒等变换(知识点)1.⑴ 角度制与弧度制的互化:π弧度180=o ,1180π=o 弧度,1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式:||l R α=;扇形面积公式:211||22S R Rl α==. 2.三角函数定义:⑴ 设α是一个任意角,终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么y 叫作α的正弦,记作sin α;x 叫作α的余弦,记作cos α;yx叫作α的正切,记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ,设||OP r =,则:sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.三角函数线:正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线: AT . 4.诱导公式:六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”,记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. 5.同角三角函数基本关系:22sin cos 1αα+=(平方关系);sin tan cos ααα=(商数关系).6.两角和与差的正弦、余弦、正切:①sin()sin cos cos sinαβαβαβ±=±;② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7.二倍角公式:① sin22sin cos ααα=;② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-; ③ 22tan tan 21tan ααα=-.变形:21cos2sin 2αα-=;21cos2cos 2αα+=. (降次公式)8.化一:sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义:物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞,其中0,0A ω>>. 振幅为A ,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为2T πω=,表示物体往返运动一次所需的时间;频率为12f T ωπ==,表示物体在单位时间内往返运动的次数;x ωϕ+为相位;ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路: ① 最小正周期2T πω=,值域为[,]A A -.② 五点法图:把“x ωϕ+”看成一个整体,取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值,相应的函数值为0,,0,,0A A -,描出五个关键点,得到一个周期内的图象. ③ 三角函数图象变换路线:sin y x=ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+.或:sin y x =ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性:sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间,把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈,即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想:把“x ωϕ+”看成一个整体,代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量取值.。

高中三角恒等变换公式

高中三角恒等变换公式

高中三角学习中不可避免的一个重点是恒等变换公式。

这些公式可以帮助我们在解决各种三角函数的问题时,简化计算过程,提高效率。

本文将详细介绍高中三角恒等变换公式。

一、正弦、余弦恒等变换公式正弦、余弦恒等变换公式是最基本的恒等变换公式之一,它们可以用来将三角函数的某一个角度表示为另一个角度的函数形式。

具体来说,正弦恒等变换公式为:$$\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)$$而余弦恒等变换公式为:$$\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)$$这些公式通常用于求正弦、余弦的补角。

二、正切、余切恒等变换公式与正弦、余弦恒等变换公式类似,正切、余切恒等变换公式也可以通过将三角函数的角度表示为其他角度的函数形式简化计算。

具体来说,正切恒等变换公式为:$$\tan(\pi/2 - x) = \cot(x)$$而余切恒等变换公式为:$$\cot(\pi/2 - x) = \tan(x)$$这些公式通常用于求正切、余切的补角。

三、和差公式和差公式常常被用来化简三角函数的和差,使得它们更容易计算。

对于正弦和余弦来说,和差公式为:$$\sin(x \pm y) = \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$$$$\cos(x \pm y) = \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$$对于正切和余切来说,它们的和差公式则为:$$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x) \tan(y)}$$$$\cot(x \pm y) = \frac{\cot(x)cot(y) \mp 1}{\cot(y) \pm \cot(x)}$$四、倍角公式倍角公式用来表示一个角度的两倍与它自身的关系,它们在三角函数的求解中也很常用。

对于正弦和余弦,倍角公式的形式如下:$$\sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)$$$$\cos(2x)= \cos^2(x) - \sin^2(x)$$对于正切和余切,则分别为:$$\tan(2x)= \frac{2\tan(x)}{1- \tan^2(x)}$$$$\cot(2x)= \frac{\cot^2(x)-1}{2\cot(x)}$$五、半角公式半角公式可以表示一个角度的一半与它自身的关系,也是三角函数的量角公式之一,它的形式如下:$$\sin^2(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{2}$$$$\cos^2(x/2) = \frac{1+\cos(x)}{2}$$$$\tan(x/2) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$$$\cot(x/2) = \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)}$$无论是在三角函数的理论研究还是在实际应用中,上述五类高中三角恒等变换公式都是不可或缺的工具。

高中三角函数公式大全

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必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法:所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以构成一个集合:{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法:第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法:(1)若所求角β的终边在某条射线上,其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角(2)若所求角β的终边在某条直线上,其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角(3)若所求角β的终边在两条垂直的直线上,其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例:终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒:区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0~90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180,1801π=︒,1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式(分别用角度制、弧度制表示方法)弧长公式:R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式:lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒:利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时,α为弧所对圆心角的弧度数,不可用角度数规律总结:“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量,“知二求二”,注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么sin y r α=,cos x r α=,tan y x α=(22||r OP x y ==+);化简为xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结:利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4除此之外,还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论: (1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<(2)若(0,)2x π∈,则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥考点四 三角函数图像与性质y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=-()k ∈Z 时,min1y=-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数; 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数.在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数; 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数.对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型(y=Asin(ωx +φ))、余弦型函数(y=Acos(ωx +φ))、正切性函数(y=Atan(ωx +φ))图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A =最大值-最小值2B 由最值确定B =最大值+最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点,然后列方程确定;也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求,重点讲解φ、ω求解思路: ①φ求解思路:函数性质代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ,则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω,求ϕ值. 易错提醒:y=Asin(ωx+φ),当ω>0,且x=0时的相位(ωx+φ=φ)称为初相.如果不满足ω>0,先利用诱导公式进行变形,使之满足上述条件,再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路:利用三角函数对称性与周期性的关系,解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半;相邻的对称轴之间的距离是周期的一半;相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”:学好三角函数,图像是关键。

高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数知

高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数知

3.2 二倍角的三角函数知识梳理一、倍角公式1.公式:sin2α=2sinαcosα;tan2α=αα2tan 1tan 2-; cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.2.公式的推导:在两角和的三角函数公式S α+β、C α+β、T α+β中,令α=β,就可以得到二倍角的三角函数公式S 2α、C 2α、T 2α,如在sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中,如果α=β,则sin2α=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα,其他两个同理可得,在余弦中,再应用平方关系式,可得另外的两种形式.推导过程也说明倍角公式是两角和的三角函数公式的特例.知识导学要学好本节内容,可以从两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,通过例题的解答,对变换对象目标进行对比、分析,形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想. 疑难突破1.二倍角公式成立的条件是何,应当如何理解两倍角公式?剖析:(1)公式成立的条件:在公式S 2α、C 2α中,角α可以为任意角,T2α则只有当α≠kπ+2π且α≠2πk +4π(k∈Z )时才成立,即首先保证tan2α和tanα的存在. (2)二倍角的理解:倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.2.对二倍角公式应如何灵活的进行变式应用? 剖析:对二倍角公式的应用不能只是局限于记忆,还需要对公式进行进一步的分析和深化理解,比如对公式两边的式子结构、次数、各公式之间的内在联系等多方面要进行细致考虑.。

三角恒等变换的万能公式

三角恒等变换的万能公式

三角恒等变换的万能公式在我们的数学世界里,三角恒等变换的万能公式就像是一把神奇的钥匙,能够打开许多看似复杂的数学难题之门。

记得当年我在教学生们三角恒等变换的时候,有一个叫小李的同学,他总是对这些公式感到头疼。

每次上课,他那迷茫的眼神仿佛在说:“这都是啥呀?”那咱们就先来聊聊这万能公式到底是啥。

万能公式包括三个,分别是:sinα = 2tan(α/2) / [1 + tan²(α/2)] ;cosα = [1 - tan²(α/2)] / [1 +tan²(α/2)] ;tanα = 2tan(α/2) / [1 - tan²(α/2)] 。

看着这些公式,是不是感觉有点眼花缭乱?别慌,咱们一个一个来。

先来说说sinα 的万能公式。

你看,它把正弦函数用正切函数的半角形式表示出来了。

这就好像是把一个神秘的家伙用另一种熟悉的面貌展现了出来。

再看看cosα 的万能公式,分子分母都有正切函数的平方。

这就像是一个精心设计的拼图,每个部分都有它的位置和作用。

最后是tanα 的万能公式,它把正切函数用正切函数的半角形式表示,是不是感觉很巧妙?回到小李同学,我发现他的问题在于只是死记硬背这些公式,而没有真正理解它们的来龙去脉。

于是,我给他举了一个实际的例子。

假设我们有一个三角形,其中一个角是α,我们知道这个角的一半的正切值,那么通过万能公式,我们就可以求出这个角的正弦、余弦和正切值。

这就像是我们有了一把神奇的尺子,可以量出这个角的各种“尺寸”。

在之后的练习中,小李开始尝试着去理解公式,而不是单纯地记忆。

慢慢地,他不再那么迷茫,眼中也有了自信的光芒。

其实,三角恒等变换的万能公式在解决很多数学问题时都特别有用。

比如说,在求三角函数的最值、化简复杂的三角函数表达式时,这些公式就像我们的得力助手,能够帮我们轻松搞定难题。

比如说,有这样一道题:已知sinα = 3/5 ,且α在第二象限,求cosα 和tanα 的值。

三角恒等变换所有公式

三角恒等变换所有公式

三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式,利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。

下面是一些常用的三角恒等变换公式(完整版):1.倍角公式:- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式:- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式:- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式:- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式:- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式:- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系:- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式:- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。

高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式

高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式

函数、三角函数、三角恒等变换重要公式x5、指数函数解析式: y a x a 0,a 16、指数函数性质:7、指数与对数互化式: a x N x log a N ;8、对数恒等式:alog a NN 9、基本性质: log a 1 0,log a a 1.11、换底公式:log a blog c b alog c a0,a 1,c 0,c 1,b 012、重要公式:log a n b mmlog a bn13、倒数关系:log a b10,a 1,b 0,b 1 .a logb a1. A B = {x|x A,或x B} ; AB = {x|xA,且x B} ; C U A { x|x U,且xU}2、 当 n 为奇 数时,nnaa;当 n 为偶数时,nnaa3、n⑴a mm a na 0,m,nN *,m 1 ;⑵ a n1n n 0 ;a4、 运算性质:rs ⑴a arsa a 0,r,sr sQ ;⑵ a rrsaarr r0,r,s Q ;⑶ ab a b a0,b 0,r Q10、运算性质:当 a 0,a 1,M0,N 0时:⑴ log a MN log a Mlog a N ;⑵ log alog a Mlog a N;⑶log a M nlog a M14、对数函数解析式: y log a x a 0,a 1 15、对数函数性质:0a1(1)定义域:(0, +∞)( 2)值域: R(3)过定点( 1,0),即 x=1 时, y=0( 4 )在 ( 0 , +∞)上是增函数( 4)在( 0, +∞)上是减函数(5) x 1, log a x 0 ; 0 x 1,log a x 0(5) x 1,log a x 0; 0 x1,log a x 018、弧长公式 :l R . ( 为弧度制下角)11219 、扇形面积公式 : S 1lR= 1| |R 2.2220、 设 是一个任意角, 设点 P x ,y 为角 终边上任意一点,那么: sin(设 rx 2 y 2)21 、 sin , cos , tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法正弦线: MP; 余弦线:OM;正切线: AT22、 特殊角 0°, 30°, 4564322 3 3 43 22sincostan16、几种幂函数的图象: 17、 与角 终边相同的角的集合: 2k ,k Za1y, cosrx,tan y rx23、同角三角函数的基本关系式⑴ 平方关系:2sin 2cos21; ⑵ 商数关系sin:.:cos24、三角函数的诱导公式(概括为“奇变偶不变,符号看象限” k Z)⑴ 诱导公式一:sin 2k sin ;cos 2k cos ;tan 2k tan . (其中:k Z )⑵ 诱导公式二:sin sin ;cos cos ;tan tan .⑶诱导公式三:sin sin ;cos cos ;tan tan .⑷诱导公式四:sin sin ;cos cos ;tan tan .⑸诱导公式五:sin cos ;cos sin .2 2⑹诱导公式六:sin cos ;cos sin .2 22526、函数y sin x的图象与y Asin x B 的图象之间的平移伸缩变换关系① 先平移后伸缩:y sin x 平移| | 个单位y sin x(左加右减)横坐标不变y Asin x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asin x1横坐标变为原来的| | 倍平移|B| 个单位y Asin x B(上加下减)② 先伸缩后平移:y sin x 横坐标不变y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asin x1横坐标变为原来的| | 倍平移个单位y Asin x(左加右减)平移|B| 个单位y Asin x B(上加下减)27、两角和与差的正弦、余弦、正切公式⑴ sin sin cos cos sin⑵ cos cos cos sin sintan tan⑶ tan 1 tan tan28、二倍角的正弦、余弦、正切公式⑴ sin2 2sin cos ,变形:sin cos 21sin 22⑵ cos2 cos22 sin 2cos211 2sin 2.变形如下:1升幂公式:cos2 2cos2;降幂公式:2 cos21(1 cos2 )1 cos2 2sin 22 sin 21(1 cos2 )2229、辅助角公式: y asinx bcosx a 2 b 2 sin(x ) (其中辅助角 所在象限由点定 , tan).a⑶ tan22tan1 tan 2(a,b) 的象限决。

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函数、三角函数、三角恒等变换重要公式
1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈∉且 2、 当n 为奇数时,
a a n
n =;当n 为偶数时,a a n n =.
3、 ⑴m n m
n a a
=()1,,,0*>∈>m N n m a ; ⑵()01
>=
-n a
a n n ; 4、 运算性质: ⑴()Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=+,,0;⑵()()Q s r a a a rs s
r ∈>=,,0;⑶()()Q r b a b a ab r r r
∈>>=,0,0.
5、指数函数解析式:()1,0≠>=a a a y x
6、指数函数性质:
7、指数与对数互化式:log x
a a N x N =⇔=; 8、对数恒等式:log a N
a
N =
9、基本性质:01log =a ,1log =a a .
10、运算性质:当0,0,1,0>>≠>N M a a 时:
⑴()N M MN a a a log log log +=;⑵N M N M a a a log log log -=⎪⎭

⎝⎛;⑶M n M a n
a log log =. 11、换底公式:a
b
b c c a log log log =
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .
12、重要公式:log log n m
a a m
b b n
= 13、倒数关系:a
b b a log 1
log =
()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
14、对数函数解析式:()1,0log ≠>=a a x y a 15、对数函数性质:
16、几种幂函数的图象:
17、 与角α终边相同的角的集合: {}Z k k ∈+=,2παββ.
18、弧长公式:l
R α=.(α为弧度制下角)
19、扇形面积公式:211
=||22
S lR R α=
. 20、 设α是一个任意角, 设点(),P x y 为角α终边上任意一点,那么: sin y r α=
,cos x r α=,tan y
x
α=,
(设r =
21、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT
22、 特殊角
23、同角三角函数的基本关系式 ⑴ 平方关系:1cos sin
22
=+αα;⑵ 商数关系:α
α
αcos sin tan =
. 24、三角函数的诱导公式(概括为“奇变偶不变,符号看象限”Z k ∈) ⑴ 诱导公式一:()()()sin 2sin ;cos 2cos ;tan 2tan .k k k απααπααπα+=+=+=(其中:Z k ∈) ⑵ 诱导公式二:()()()sin sin ;cos cos ;tan tan .πααπααπαα+=-+=-+=
⑶诱导公式三:()()()sin sin ;cos cos ;tan tan .αααααα-=--=-=- ⑷诱导公式四:()()()sin
sin ;cos cos ;tan tan .πααπααπαα-=-=--=-
⑸诱导公式五:sin cos ;cos sin .22ππαααα⎛⎫⎛⎫
-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑹诱导公式六:sin cos ;cos sin .22ππαααα⎛⎫⎛⎫
+=+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
25、正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
x y sin =
x y cos = x y tan =
图象
定义域 R
R
},2
|{Z k k x x ∈+≠
ππ
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
最值
max min 2,1
2
2,1
2
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+
∈==-
∈=-时,时,
max min 2,12,1
x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时,时,

周期性 π2=T
π2=T
π=T
奇偶性



单调性
Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增 在3[2,2]2
2
k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增
在[2,2]k k πππ+上单调递减
在(,)22
k k ππππ-+上单调递增
26、函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:
sin y x = 平移||
ϕ个单位
()sin y x ϕ=+ (左加右减)
横坐标不变
()sin y A x ϕ=+ 纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
()sin y A x ωϕ=+
横坐标变为原来的1
|


平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++
(上加下减)
② 先伸缩后平移:
sin y x = 横坐标不变 sin y A x =
纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
sin y A x ω=
横坐标变为原来的1
|


()sin A x ωϕ+ (左加右减) 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++
(上加下减)
27、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ⑴()sin
sin cos cos sin αβαβαβ±=±; ⑵()cos
cos cos sin sin αβαβ
αβ±=;
⑶()tan tan 1tan tan tan αβ
αβα
β±±=.
28、二倍角的正弦、余弦、正切公式 ⑴ααα
cos sin 22sin =, 变形: 12sin cos sin 2ααα
=. ⑵ααα22
sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=. 变形如下:
升幂公式:2
21cos 22cos 1cos 22sin αααα
⎧+=⎪⎨-=⎪⎩;降幂公式:22
1cos (1cos 2)
2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩
⑶α
αα
2tan 1tan 22tan -=.
29、辅助角公式:)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y (其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b a
ϕ= ).。

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