线性代数齐次方程组解法
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
齐次线性求解技巧
齐次线性求解技巧齐次线性方程求解是线性代数中的一个重要问题。
齐次线性方程组由线性方程组的特殊情况，即右端项全为零的情况下，需要求解未知数的取值。
在求解齐次线性方程时，可以运用一些技巧来简化计算的复杂性。
本文将介绍几种常用的齐次线性方程求解技巧。
1. 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是指方程组的解集中的一组解构成的向量组，它可以表示方程组所有解的线性组合。
求解齐次线性方程组时，我们需要找到其基础解系。
求解齐次线性方程组的基础解系的一种方法是通过高斯消元法。
我们可以将方程组的增广矩阵进行高斯消元，将其化为行阶梯形矩阵，然后找出其中的自由变量，自由变量对应的列向量就是基础解系的一部分。
例如，考虑一个齐次线性方程组：```x + 2y - z = 02x + y + 3z = 03x + 4y + 2z = 0```将其增广矩阵进行高斯消元，得到行阶梯形矩阵：```1 2 -1 00 -3 5 00 0 0 0```可以看到第三个变量z是自由变量，我们可以令z = 1，求解出x和y的值。
这样得到一组解向量(2, -1, 1)。
然后我们可以令z = 0，再次求解出x和y的值，得到另一组解向量(-2/3, -1/3, 0)。
所以基础解系为{(2, -1, 1), (-2/3, -1/3, 0)}。
2. 齐次线性方程组的解的性质在求解齐次线性方程组时，我们可以利用解的线性性质来简化计算。
首先，齐次线性方程组的零解，即所有未知数都等于零的解，一定是它的解。
此外，如果方程组有解，那么方程组的解集一定是一个线性空间。
其次，如果方程组有非零解，那么方程组的解集中一定包含无穷多个解。
这是因为对于任意非零解x和任意标量k，kx也是方程组的解。
另外，如果方程组有一组基础解系，那么这组基础解系能够生成方程组的所有解。
如果我们知道了方程组解的一个特解，那么可以从这个特解出发，使用基础解系的线性组合来得到方程组的其他解。
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
线性代数求齐次线性方程组的通解
线性代数求齐次线性方程组的通解设齐次线性方程组为：ax+by+cz=0dx+ey+fz=0gx+hy+iz=0（1）若方程组存在唯一解，则齐次线性方程组的通解为：解设$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$, $\boldsymbol X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$则上式可表示为：$A\boldsymbol X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$解得：$A\boldsymbol X=\boldsymbol 0$即$\boldsymbol X=A^{-1}\boldsymbol 0$当$A^{-1}$存在时，有$\boldsymbol X=\boldsymbol 0$即$x=0,y=0,z=0$则齐次线性方程组的通解为：$x=0,y=0,z=0$（2）若方程组无解，则齐次线性方程组无通解。
（3）若方程组有无穷多解，则齐次线性方程组的通解为：解设$x_1=x,x_2=y,x_3=z$则有$x_1ax_2+bx_2+cz_3=0$将等式左右两端同除以$a$得：$x_1+\frac{b}{a}x_2+\frac{c}{a}x_3=0$令$x_1=t,x_2=\alpha t,x_3=\beta t$代入上式可得：$t+\frac{b}{a}\alpha t+\frac{c}{a}\beta t=0$解得$t=0$此时原方程有无穷多解，由$t=0$及$x_1=x,x_2=y,x_3=z$结合可求得：$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$则齐次线性方程组的通解为：$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$。
《线性代数》(四川大学原稿) §4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 x4 20 x5 x x 5 x , 2 4 5 x 2 x 5 3
6
令x4 1, x5 0, 解得X1 1 1 0 1 0 ,
T
19
证 设X1 , X 2 ,
, X nr(I)为AX=0的一个基础解系.
( i ) 设1 , 2 ,
, t(II)为AX=0的任意一个基
础解系，则(I)与(II)皆线性无关且可以相互 线性表示，故t=n-r;
(ii ) AX=0的任意n-r+1个解可由含n-r个 向量的(I)线性表示，故线性相关;
... k1n
1 ... 0 k2,r 1 k2,r 2 ... k2 n ... ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 kr ,r 1 kr ,r 2 ... krn 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0
设X=(c1 ,
, cr , cr+1 ,
, cn )为AX=0(BX=0)的 c n X n r , 0)
T
任意解，则 X-cr+1 X 1 c r+2 X 2 （d1 , d 2 , , d r , 0,0,
为B0
ax0ax0iiiax0ax0ax0nrax0是齐次线性方程组的基础解系所含向量个数故可考虑利用齐次线性方程组的解的由基础解系于是可由线性表示即是也为满秩矩阵所以所以的余子式也为零从而全部为零所以阶子式则知所有的是自由变量分别代入值1001解出基础解系
§5 齐次线性方程组有非零解的条件及解 的结构
齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解
齐次线性方程组基础解，也称为线性代数系统，是一类在众多领域，如土木工程、信号处理、金融模式等中都重要且常用的数学模型。
齐次线性方程组由一组线性方程所组成，以及相应的非齐次方程组。
对齐次线性方程组而言，它们的解可以用“解析解和特解”的方式表达，解析解是指所有可能的通用解，而特解则指的是所有的私有解。
求解齐次线性方程组的关键是分析形式，即求解变量x1, x2, x3和xn之间的关系，而这些变量之间的关系可以用矩阵乘法的方式表达。
因此，对于齐次线性方程组，基础解可以通过以下步骤来获得：
1. 令Ax=0，其中A是系数矩阵，x是未知数。
2.行列式求解方程A，以求出A的行列式值等于零，即A＝0，求出行列式值等于零时，系数矩阵A的解叫做齐次线性方程组的基础解。
3.A系数矩阵的行列式值不为零，即行列式值有非零解，则该齐次线性方程组没有解，或者有不唯一的解。
这里的基础解所指的是所有的满足行列式值等于零的解，而这些解实际上是系数矩阵A的所有可能解中的一部分。
因此，获得齐次线性方程组的基础解，可以通过对系数矩阵A的行列式值求解来实现，或者通过求解得到的基础解，可以构造出方程组的所有通用解。
有了基础解，我们可以计算出方程组的特解，特解可以用来表示所有的私有解，特解的计算也可以通过线性代数的一些基本概念来实现，比如运用向量的乘法和秩的定义，可以计算出方程组的所有特解。
总结以上，在求解齐次线性方程组时，需要先求出它的基础解，然后再构造出所有特解。
首先，可以通过行列式求解运算来实现，其次，也可以运用基本的线性代数概念来构造特解。
齐次式的解法
齐次式的解法齐次线性方程组是包括数学线性方程组的一类。
它有两种形式，一种是常规的线性方程组，即 Ax = b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，b是长度为m的常数列，X是长度为n的未知变量列；另一种是齐次线性方程组，即 Ax = 0，其中A的行数n大于等于它的列数m，X是一个未知的n维列向量。
它特殊的地方就是X的值只能是(0,0,0,…,0)，不能有任何非零值。
齐次线性方程组可以用来求解线性代数中的一类问题，即给定矩阵A和常数项b，求X的值。
它可以使用消元法，即逐行（或列）操作来解决。
在消元的过程中，可以采用不同的数学技巧来实现各行（或列）的消元，其中又有三种操作：行变换、列变换和交换式。
行变换通常在消元过程中使用，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j行的第k列元素值进行互换。
列变换和行变换类似，操作示意如下：将矩阵A中第i和第j列的第k行元素值进行互换。
交换式是一种特殊情况，操作示意如下：将矩阵A中两行两列元素值进行互换。
消元的步骤一般包括两个：第一步是将A变为三角形，即将矩阵A的所有非零元素都移动到其对角以下，这就是“三角化”。
第二步是将矩阵A变为单位矩阵，即将所有的非零元素变成1，将所有的零元素变成0，这就是“化单位”。
齐次线性方程组的解法可以用这种消元法，具体步骤是：1.首先将方程组中的非零项移动到最左边，将零项移动到合适的位置。
2.采用行变换、列变换或者交换式操作，将非零项变成1，将零项变成0。
3.若出现有多个零项，则可以采用把不确定的x替换为y的方法来求解，即将每一行不确定的x替换为y，将原方程组改造为 Ax+by=0的形式。
4.将X的值（x1,x2,…,xn）带入原方程组中，可以算出y的值。
因此，在求解齐次线性方程组时，必须用正确的方法，正确应用消元法来求解，一步步操作，直到最终求得解。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关 的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组 的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的 解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r
0 1
b 11 br1
b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
齐次方程的三种通解
齐次方程的三种通解摘要：一、齐次方程的概念与意义二、齐次方程的通解分类1.零解2.非零解3.混合解三、齐次方程求解方法1.直接求解法2.变量替换法3.常数变易法四、齐次方程的应用1.线性方程组求解2.微分方程求解3.实际问题中的应用正文：一、齐次方程的概念与意义齐次方程是线性方程的一种特殊形式，它是指含有未知数的线性方程，其中各项的次数均为一次，且方程两边的项数相等。
齐次方程在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，对其进行深入研究具有重要意义。
二、齐次方程的通解分类1.零解：当齐次方程的系数矩阵为零时，方程变为零方程，此时方程的通解为零向量。
2.非零解：当齐次方程的系数矩阵不为零时，方程的通解分为零解和非零解。
非零解表示为特解与零解的线性组合，特解是指非零系数矩阵的齐次方程的解。
3.混合解：当齐次方程的系数矩阵既包含非零元素，又包含零元素时，方程的通解包括零解和非零解。
混合解是特解与零解的线性组合。
三、齐次方程求解方法1.直接求解法：当齐次方程的系数矩阵为对称矩阵时，可以使用行列式法直接求解。
2.变量替换法：将齐次方程中的未知数替换为新的变量，使得原方程转化为易于求解的形式。
例如，在二维齐次方程中，可以使用极坐标替换直角坐标。
3.常数变易法：在齐次方程中引入一个新的变量，通过求解新变量与原变量之间的关系，将原方程转化为易于求解的形式。
四、齐次方程的应用1.线性方程组求解：齐次方程是线性方程组的一种特殊情况，通过求解齐次方程，可以理解线性方程组的解的结构。
2.微分方程求解：在某些情况下，齐次方程可以作为微分方程的特解，通过对齐次方程求解，可以得到微分方程的通解。
3.实际问题中的应用：在物理、工程等领域，齐次方程常常用于描述系统的稳态和解的特性，通过求解齐次方程，可以分析系统的性能和稳定性。
总之，齐次方程作为线性方程的一种特殊形式，在数学和实际应用中具有重要意义。
齐次方程组和非齐次方程组的解
齐次方程组和非齐次方程组的解齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。
本文将分别介绍齐次方程组和非齐次方程组的定义、特点以及求解方法。
一、齐次方程组的解齐次方程组是指方程组的右边等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中a11, a12, ..., ann为常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
齐次方程组的特点是它必定有解，因为至少有一个平凡解，即所有未知数取零的解。
除了平凡解外，齐次方程组还可能有非平凡解，即至少存在一组未知数不全为零的解。
求解齐次方程组的一种方法是利用矩阵的性质，将其转化为矩阵方程。
具体步骤是将系数矩阵A和未知数向量X写成矩阵的形式：AX = 0其中A是一个n×n的矩阵，X是一个n×1的列向量。
根据线性代数的知识可知，当且仅当矩阵A的行列式不为零时，方程组有唯一解即平凡解。
当矩阵A的行列式为零时，方程组有无穷多解即非平凡解。
这是因为非零行向量可以线性组合得到零向量，从而得到非平凡解。
另一种求解齐次方程组的方法是使用高斯消元法。
通过对系数矩阵进行行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
二、非齐次方程组的解非齐次方程组是指方程组的右边不等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为常数，b1, b2, ..., bn为已知常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
线性代数 4-2 第4章2讲-齐次方程组(2)
推论2 n个未知量n 个方程的齐次线性方程组AX 0 有非零解的充要条件是 | A | 0.
3
齐次线性方程组的基础解系(2)
例1
如果五元线性方程组AX
0
的同解方程组是
x1 x2
3x2 ，则有r( A) 0
____ ，
自由未知量的个数为 ______ 个，AX 0 的基础解系有 ______ 个解向量.
0 1 1
(A)
2
1
1
(B)
2 0
0 1
1
1
(C)
1 0 2
0
1
1
(D)
4 0
2 1
2 1
解 n 3，k 2 r(A) n k 1
定理4.1
设A是m n矩阵，r(A) r n，则齐次线性方程组AX 0 的 基础解系存在，且基础解系所含解向量的个数为n r.
A
5
齐次线性方程组的基础解系(2)
线性代数（慕课版）
第四章 线性方程组
第二讲 齐次线性方程组(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 引例 02 齐次线性方程组解的性质 03 齐次线性方程组的基础解系(1)
04 齐次线性方程组的基础解系(2)
齐次线性方程组的基础解系(2)
定义4.1 若齐次线性方程组AX 0 的有限个解1,2 , ,s 满足 (i) 1,2, ,s线性无关 (ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示 则称1,2, ,s是AX 0 的一个基础解系.
10
齐次线性方程组的基础解系(2)
1 2 1 2
设A 0 1
t
t
线性代数 齐次线性方程组解的结构
18
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 5
分别
1 0 , , 0 6
得到方程组的一个基础解系为
7 1 5 1 1 1 , 2 0 . 2 0 6 0
1 2 2 1 r3 r2 r1 2r2 0 1 2 4 / 3 r2 (3) 0 0 0 0
1 0 2 5 / 3 2 4 / 3 0 1 0 0 0 0
14
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
由于 n r ( A) 5 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。 16
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 四 章 线 性 方 程 组
x3 令自由未知量 x 4 x 5
分别
1 0 , 0
x r 1 k 1 xr 2 k2 xn
其中，
k1 , k 2 , , k n r
k n r
任意取值。
10
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 性 b1,r 1 b1,r 2 b1n 方 程 b b b 组 r ,r 1 r ,r 2 rn 令 1 1 , 2 0 , , n r 0 , 0 1 0 0 0 1
§4.3 齐次线性方程组解的结构 第 二、基础解系及其求法 四 1. 基础解系 章 2. 基础解系的求法 线 相应地，齐次线性方程组 A X 0 等价(或同解)变形为 性 方 程 组
线性代数第三章线性方程组3.5齐次线性方程组解得结构
1
12
由定理3.10可得求解齐次线性方程组通解的步骤 （1）对矩阵 A 进行初等行变换，将其化为行最简形阶
梯矩阵；
（2）将其行最简形阶梯矩阵转化为同解的阶梯形方
程组； （3）由同解的阶梯形方程组写出方程组的一个
基础解系 1 ,2 , ,nr ；
b11
1
br
1
1
,
0
0
b12
2
1
0
B
(1 ,
2
,
3
,
4
,
5
)
0
0
0
0
0
1
18
1 , 2 是B的列向量组的一个极大线性无关组，且有
3 21 2 , 4 1 32 , 5 21 2
21 2 3 0 4 0 5 0
1
32
0
3
4
0
5
0
2
1
2
0
3
0
4
5
0
1
19
1 ,2 是A的列向量组的一个极大线性无关组，且有
xn
1
2
则上述方程组（ 3.12 ）可写成矩阵方程
AX O 性质1 若 1 ,2 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则 1 2也是它的解.
证 因为 1 ,2是方程组（ 3.12 ）的解，故
A1 O, A2 O
A1 2 A1 A2 O
故1 2 也是AX O的解.
性质2 若 是齐次线性方程组（ 3.12 ）的解，则对任意
x1 2x2 2x1 3x2
3x3 5x3
0, 0,
x1 x2 ax3 0,
(I
)和
齐次线性方程组基础解系的求法
１ 引 言
线性 方 程 组 是 线 性 代 数 课 程 中一 项 重 要 内
容， 齐次 线性 方程 组 的基础 解 系 ， 不仅 对 解方程 本 身是 不 可缺少 的 ， 它在其 它方 面 ， 且 特别是 在矩 阵 的秩 方面 也 有 广泛 的应 用 。对 学 生 而 言 ， 阵 的 矩 秩是 一个 难 点 。对 于 一 个初 学 者 来 说 ， 断 方 程 判 组是 否有 非零 解 是 没 问 题 的 ， 是 想 能正 确 而 又 但 快速 的找 到它 的基 础解 系却 并 不容易 。针 对这 个
在上 述两种 解法 中， 然解法 ２ 为简 洁 。 显 更
参 考 文 献
１ 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 前 代 数 小 组 编 ． 等 代 数 高
陈 建 莉 ． 性 方 程 组 解 法 新 探 ［］ 纺 织 高 校 基 础 科 学 学 报 ， 线 Ｊ．
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｎｅ ｗｏｒ ａ ｔｔｏ ｆｅ ｃ ｕｒ ｎ ｗｉ ｅｅ ｓ Ｍ ｅ ｈ ｎｅ ｗｏ ｋ，ａ ｄ ｔ ａ ｏｕ ｆｇａ ｅ ｔ ｋ ｐ ｒ ｉｉ ｎ ｏ ｔ ｎ ｏ ｃ ｓ ｉ ｒ ｌ ｓ ｓ ｔ ｒ ｎ ｈｅ ｌ ｙ ｔ ｏ ｔ — ｗａ ｄｅ ｒ ｓ ｕ ｓ ｄ ｉ ｈ ｓ ｅ ｓ ｙ ｆ ｏ ｔ ｅ ｓ ｃ ｉ ｆ ｉ ｙ ｎｏ ｓ ａ ｅ ｄｉｃ ｓ ｅ ｎ ｔ ｉ ｓ ａ ｒ ｍ ｈｅ ｐ ｒ ｐｅ ｔｖｅ ｏ ｍｐｒ ｖ ｎｇ ｔ ｏ ｏ ｉ ｈｅ ｃ ｍｍ ｕ ｃ ｔｏ ｎｉａ ｉ ｎ ｒ ｌａ ｉｉｙ Ｔｈｅ ｍｅ ｈ ｏ ａ ｃ ａ ｉ ｈｅ ｌｎｋ ｓａ ｅ ａ ｄ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｐ ｏｂ ｂ ｌｔ ｓ ｄ ｏ ｉ ｋ ｅｉ ｂ ｌｔ ． ｔ ｏｄ ｆ ｒ ｃ ｌｕｌ ｔｎｇ ｔ ｉ ｔ ｔ ｆｅ ｔｖ ｒ ａ ｉｉｙ ｂａ ｅ ｎ ｌｎ ｎ 一 ｑｕ ｌｔ ｎｄ ｃ ｔ ｒ ｓ ｆｒ ｔｙ ｐ ｏ ｏｓ ｄ，ａ ｈｅ ｎ ｎｅ ｔｎ ｌ ｏ ｉｈ ｉ ｅ ｉ ｎｅ ａ ｉｙ ｉ ｉａ ｏ ｓ ｉ ｉｓ ｌ ｒ ｐ ｅ ｎｄ ｔ ｎｓ ｂ ｕ ｔ ｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｓｇ ｄ，ｆ ｌｏｗｉ ｏｌ ｎｇ
齐次方程组的通解
齐次方程组的通解齐次方程组的通解是指该方程组所有解的集合，通解可以用线性代数中的向量表示。
齐次方程组的定义是：系数矩阵的行列式为零的线性方程组。
以下是齐次方程组的通解的求解过程。
1. 求解方程组的基础解系首先需要找到齐次方程组的基础解系，也就是方程组的最简解。
通过高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）或者矩阵消元法（matrix elimination）可以把方程组化为阶梯形矩阵（row echelon form），然后从下向上逐行求解。
对于一个 r 阶方程组，如果它有 k 个自由变量（free variables），那么基础解系就有 k 个解向量。
自由变量是指在解出了主元变量（pivot variables）之后，剩余的变量可以任意取值的变量。
解向量可以通过把自由变量都设为 1，其余为 0，求出每个主元变量的值来得到。
2. 求解通解齐次方程组的通解就是由基础解系线性组合得到的所有解向量。
假设齐次方程组的基础解系是{v1，v2，...，vk}，那么通解可以表示为：c1v1 + c2v2 + ... + ckvk其中 c1，c2，...，ck 都是实数常数。
这个式子可以看作把基础解系的k 个解向量按照一定的比例组合起来，得到了所有解向量的集合。
3. 检验通解为了检验求得的通解是否正确，需要把通解代入方程组中，看是否满足原方程组的所有条件。
如果满足，证明通解是正确的；如果不满足，需要重新检查求解过程是否出错。
总结一下，齐次方程组的通解的求解过程是找到方程组的基础解系，然后由基础解系线性组合得到通解。
通解是一组能够满足方程组所有条件的解向量的集合。
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D =)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------按第一列展开，再将各列的公因子提出来D =)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------=(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)2232232111---k kk k ka a a a a a得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为∏≤<≤-ki j j ia a2)(于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1)∏≤<≤-ki j j ia a2)(=∏≤<≤-ki j j ia a1)(因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。
证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式：D n =2112000002100012100012------解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得D n =21001200000210012000011-----+2112000002100012100011------第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得D n =D n －1+11100000100011000011---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1例1.15 计算n 阶行列式D n =n a bbba b bb a21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。
D n =na bbb a bb b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得D n =ba ba b a b b b n ------010******** 第二列乘以b a -11加到第一列上去，第三列乘以ba -21加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以ba n -1加到第一列上去，得到D n =ba b a b a bb b ba b n ni i ----+∑= 00000000011211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=ni i b a b 1111()i i na b ≤≤-∏ 1.4 行列式的应用1.4.1 克拉默法则本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。
设n 个未知量n 个方程的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1.18） 简记为∑=nj j kjx a1=b k (k =1,2,…,n ) （1.19）它的系数构成的行列式D =nnn n nna a a a a a a a a 212222111211(1.20)称为方程组（1.18）的系数行列式。
定理1.7 如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：x 1=DD 1, x 2=D D 2, …, x n=D D n (1.21) 这里D j (j =1,2,…,n )是把方程组的常数项b 1,b 2,…,b n 依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n 阶行列式。
通常称这个定理为克拉默（G.Cramer ）法则。
证明 取正整数1,2,…,n 中任意一个为j ，以A 1j ,A 2j ,…,A nj 分别乘以方程组中第一，第二，…，第n 个方程，然后相加，得(∑=nk kj k A a11)x 1+(∑=n k kj k A a 12)x 2+…+(∑=n k kj kj A a 1)x j +…+(∑=nk kj kn A a 1)x n=∑=nk kj k A b11(1.22)由性质1.13可知，方程左边x j 的系数为D ，而其它的x i 的系数为零；方程右边恰好是用b 1,b 2,…,b n 依次替换D 中第j 列每个元所得到的行列式D j ，因此有Dx j =D j令j =1,2,…,n ，就得到方程组Dx 1=D 1, Dx 2=D 2,…,Dx n =D n (1.23)显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D ≠0时，方程组（1.23）有惟一解：x 1=DD 1, x 2=D D 2, …, x n=D D n （1.24） 因此，方程组（1.18）最多有一组解。
将（1.24）代入（1.18）的第i 个方程，得∑=nj jij D D a 1=∑=n j ij a D 11(∑=nk kj k A b 1)=∑=nk k b D 11∑=nj kj ijA a1=b i (i =1,2,…,n )则（1.24）的解是（1.18）的解。
而且是唯一解。
证毕例1.16 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+=+-32731342273321321321x x x x x x x x x 解 系数行列式D = 273342731---= 196 由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。
此时D 1= 273341732---= －54 D 2= 233312721---= 38D 3= 373142231---= 80 则有98271965411-=-==D D x 98191963822===D D x 49201968033===D D x 用克拉默法则解一个有n 个未知量、n 个方程的线性方程组，需要计算n +1个n 阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。
1.4.2 拉普拉斯定理行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。
行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。
在n 阶行列式D 中任选k 行和k 列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k 阶行列式M ，称为行列式D 的k 阶子式；而划去这k 行k 列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n －k 阶行列式N ，称为M 的余子式；如果k 阶子式在D 中所在的行、列的序号依次为，i 1,i 2,…,i k ,j 1,j 2,…,j k ,则把N k k j j j i i i +++++++- 2121)1(称为M 的代数余子式。
例如D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M ；M 的余子式记为N ，具体写出来就是：M =33312321a a a a N =44421412a a a aM 的代数余子式为（－1）2+3+1+3N =－N定理1.8 在n 阶行列式中任取k 行（列），则由这k 行（列）的元所组成的所有的k 阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。
通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace ）定理，证明从略。
例1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开D =410131001210011---解 D 中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个M 1=2111-=3, M 2=1101-=1, M 3=0101-=0M 4=1201=1, M 5=0201=0, M 6=0100=0其中M 1,M 2,M 4的代数余子式为A 1=(－1)1+2+1+24113-=13, A 2=(－1)1+2+1+34011-=4A 4=(－1)1+2+2+34010=0由拉普拉斯定理知D =M 1A 1+ M 2A 2+ M 3A 3+ M 4A 4+ M 5A 5+ M 6A 6=3×13+1×4=43由此可见，当选出的行（列）中所组成的k 阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。
例1.18 计算n 阶行列式D =ab a a b a 0000000000解 先做n －2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n －2次相邻列的互换，使最后一列换到第二列的位置上D =(－1)n －20000000000a a a b b a =aa ab b a0000000000 用拉普拉斯定理，可得D =ab b a ·aa 00=a n －2(a 2－b 2)1.4.3 方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A ，B 为n 阶方阵，λ为数）性质1.14 det A T =det A性质1.15 det(λA )=λn det(A ) 证明 设A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211 则λA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ212222111211及det(λA )=nnn n nna a a a a a a a a λλλλλλλλλ 212222111211依据行列式的性质，将det(λA )中每一行中的公因子λ提出，得到det(λA )=λnnnn n nna a a a a a a a a212222111211=λndet(A ) 证毕 性质1.16 设A 、B 为n 阶方阵，则有det(AB )=(det A )·(det B ) (此性质称为行列式的乘法定理) (1.25) 证明 设C =AB ，并设A =(a ij )n ×n ,B =(b ij )n ×n ,C =(c ij )n ×n 构造2n 阶行列式如下：D =nnn n nn nn n n n nb b b b b b b b b a a a a a a a a a21222211121121222211121110010001000000000---根据拉普拉斯定理，把D 按照前n 行展开，有 D =(det A ) ·(det B )另一方面，对D 中的后n 列实施行列式的性质1.11，将第k 列(1≤k ≤n )乘以b kj 加入到第n +j 列中去，使得原来矩阵B 位置上的每个元都变为零，得到D =1000010000001212122221222211121111211---nnn n nn n n nnn n c c c a a a c c c a a a c c c a a a其中c ij =∑=ni kj ikb a1，即C =(c ij )=AB再用拉普拉斯定理，把D 按照最后n 行展开，有D =(－1)s10010001---·(det C )=(－1)s ·(－1)n·(det C ) 其中s =[(n +1)+(n +2)+…+2n ]+（1+2+…+n ）=n (2n +1), s +n =n (2n +2)为偶数。