数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含详细答案

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,直线 l:y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,抛物线 y=ax2﹣2ax+a+4 (a<0)经过点 B,交 x 轴正半轴于点 C. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)已知点 M 是抛物线上的一个动点,并且点 M 在第一象限内,连接 AM、BM,设点 M 的横坐标为 m,△ ABM 的面积为 S,求 S 与 m 的函数表达式,并求出 S 的最大值及此时动 点 M 的坐标; (3)将点 A 绕原点旋转得点 A′,连接 CA′、BA′,在旋转过程中,一动点 M 从点 B 出发, 沿线段 BA′以每秒 3 个单位的速度运动到 A′,再沿线段 A′C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 到 C 后停止,求点 M 在整个运动过程中用时最少是多少?
线 PM 的解析式为 y= x+b,将 P(2,4)代入,求出直线 PM 的解析式为 y= x+3.再与抛
物线的解析式联立,得到方程组
,解方程组即可求出点 M 的坐标.
试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
故二次函数图象的最高点 P 的坐标为(2,4);
(2)联立两解析式可得:
,解得:
,或

故可得点 A 的坐标为( , ); (3)如图,作 PQ⊥x 轴于点 Q,AB⊥x 轴于点 B.
S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA
= ×2×4+ ×( +4)×( ﹣2)﹣ × ×
=4+ ﹣
=; (4)过 P 作 OA 的平行线,交抛物线于点 M,连结 OM、AM,则△ MOA 的面积等于 △ POA 的面积.
解:(1)令 y=0,则 mx2 2mx 3m 0 ,
∵ m<0,∴ x2 2x 3 0 ,解得: x1 1, x2 3 .
∴ A( ,0)、B(3,0). (2)存在.理由如下:
∵ 设抛物线 C1 的表达式为 y a x 1x 3 ( a 0 ),
把 C(0, 3 )代入可得, a 1 .
2
2
2
化简,得
S=
m2
2
5m

1 2
m
5 2
2
25 8

∴ 当 m= 5 时,S 取得最大值,此时 S= 25 ,此时点 M 的坐标为( 5 , 7 ),
2
8
24
即 S 与 m 的函数表达式是 S= m2 5m ,S 的最大值是 25 ,此时动点 M 的坐标是
2
8
( 5 , 7 ); 24
(2)如图
2,点
A
坐标为 (5, 0)
,点
M

AOB
内,若点 C(1 4
,
y1 )

D( 3 4
,
y2 )
都在二次
函数图象上,试比较 y1 与 y2 的大小.
【答案】(1)
y
(x
2)2
9,m
1;(2)①当 0
b
1 2
时,
y1
y2
;②当
b
1 2
时,
y1
y2 ;③当
1 2
b
4 5
时,
y1
来自百度文库
y2
【解析】
【分析】
(3)设抛物线与 x 轴的交点为 M、N(M 在 N 的左侧),
由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,M 与 O 重合,因此抛物线向右平移了 3 个单位,
故 A'(2,4),B'(5,﹣5),
∴ S△ OA′B′= 1 ×(2+5)×9﹣ 1 ×2×4﹣ 1 ×5×5=15.
设直线 PM 的解析式为 y= x+b, ∵ P 的坐标为(2,4),
∴ 4= ×2+b,解得 b=3,
∴ 直线 PM 的解析式为 y= x+3.

,解得


∴ 点 M 的坐标为( , ).
考点:二次函数的综合题 4.已知二次函数的图象以 A(﹣1,4)为顶点,且过点 B(2,﹣5)
(1)求该函数的关系式;
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标; (2)小球的落点是 A,求点 A 的坐标; (3)连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△ POA,求△ POA 的面积; (4)在 OA 上方的抛物线上存在一点 M(M 与 P 不重合),△ MOA 的面积等于△ POA 的 面积.请直接写出点 M 的坐标.
44
2
且二次函数图象的开口向下,顶点 M 在直线 y 4x 1上
综上:①当 0
b
1 2
时,
y1
y2
;②当 b
1 2
时,
y1
y2
;③当
1 2
b
4 5
时,
y1 y2 .
【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合应用,难度系数大同学们需要认真分析即可.
3.(10 分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡 O 点处抛出,球的抛出路线可以用二次函 数 y=﹣x2+4x 刻画,斜坡可以用一次函数 y= x 刻画.
【答案】(1)(2,4);(2)( , );(3) ;(4)( , ). 【解析】 试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点 P 的坐标; (2)联立两解析式,可求出交点 A 的坐标; (3)作 PQ⊥x 轴于点 Q,AB⊥x 轴于点 B.根据 S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA,代入数值 计算即可求解; (4)过 P 作 OA 的平行线,交抛物线于点 M,连结 OM、AM,由于两平行线之间的距离 相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△ MOA 的面积等于△ POA 的面积.设直
(3)如右图所示,取点 H 的坐标为(0, 1 ),连接 HA′、OA′, 3


HOA′=∠
A′OB,
OH OA
1 , OA 3 OB
1, 3
∴ △ OHA′∽ △ OA′B,

BA A H
3,
即 BA AH , 3
∵ A′H+A′C≥HC=
1
2
3
32
82 , 3
∴ t≥ 82 , 3
即点 M 在整个运动过程中用时最少是 82 秒. 3
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B 两点随图象移至 A′、B′,求△ O
A′B′的面积.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与 x 轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)
15. 【解析】
【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将 B
上,
∵ 直线 y 4x 1与直线 AB 交于点 E ,与 y 轴交于点 F ,而直线 AB 表达式为
y x 5
解方程组
y y
4x x
1 5
,得
x y
4 5 21
5
∴ 点 E( 4 , 21) , F(0,1) 55
∵ 点 M 在 AOB 内,∴ 0 b 4 5
当点 C, D 关于抛物线对称轴(直线 x b )对称时, b 1 3 b ,∴ b 1
2
2
2
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的 面积的求解方法等是解题的关键.
5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A、B 为 x 轴上两点,C、D 为 y 轴上的两点,经
过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封 闭曲线,我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”.已知点 C 的坐标为(0, ),点 M 是抛物线 C2:
∵ 点 M 是抛物线上的一个动点,并且点 M 在第一象限内,点 M 的横坐标为 m, ∴ 0<m<3,点 M 的坐标为(m,﹣m2+2m+3), 将 y=0 代入 y=﹣3x+3,得 x=1, ∴ 点 A 的坐标(1,0), ∵ △ ABM 的面积为 S,
∴ S=S 四边形 OAMB﹣S△ AOB=S△ BOM+S△ OAM﹣S△ AOB= 3 m 1 m2 2m 3 1 3 ,
规则,可用面积割补法求出△ OA′B′的面积.
【详解】(1)设抛物线顶点式 y=a(x+1)2+4,
将 B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,
∴ 该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;
(2)令 x=0,得 y=3,因此抛物线与 y 轴的交点为:(0,3),
令 y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与 x 轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);
又∵ B(0,5) 在抛物线上,∴ 5 (0 b)2 4b 1 ,解得 b 2
∴ 二次函数的表达式为 y (x 2)2 9
∴ 当 y 0 时,得 x1 5 , x2 1 ∴ A(5, 0) 代入 y mx 5 得, 5m 5 0 ,∴ m 1 (2)如图 2,根据题意,抛物线的顶点 M 为 (b, 4b 1) ,即 M 点始终在直线 y 4x 1
y mx2 2mx 3m ( m <0)的顶点.
(1)求 A、B 两点的坐标; (2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P,使得△ PBC 的面积最大?若存在,求出△ PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当△ BDM 为直角三角形时,求 m 的值. 【答案】(1)A( ,0)、B(3,0).
(1)根据一次函数表达式求出 B 点坐标,然后根据 B 点在抛物线上,求出 b 值,从而得
到二次函数表达式,再根据二次函数表达式求出 A 点的坐标,最后代入一次函数求出 m 值.
(2)根据解方程组,可得顶点 M 的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.
【详解】
(1)如图 1,∵ 直线 y mx 5 与 y 轴交于点为 B ,∴ 点 B 坐标为 (0, 5)
2
2
∴ C1 的表达式为: y 1 x 1x 3 ,即 y 1 x2 x 3 .
2
2
2
设 P(p, 1 p2 p 3 ),
【点睛】 本题主要考查抛物线的性质,关键在于设元,还有就是(3)中利用代替法计算 t 的取值范 围,难度系数较大,是中考的压轴题.
2.已知,点 M 为二次函数 y (x b)2 4b 1 图象的顶点,直线 y mx 5 分别交 x 轴正半轴, y 轴于点 A, B .
(1)如图 1,若二次函数图象也经过点 A, B ,试求出该二次函数解析式,并求出 m 的值.
点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;
(2)根据函数解析式,令 x=0,可求得抛物线与 y 轴的交点坐标;令 y=0,可求得抛物线
与 x 轴交点坐标;
(3)由(2)可知:抛物线与 x 轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与 x 轴负
半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出 A′、B′的坐标.由于△ OA′B′不
(1)将 x=0 代入 y=﹣3x+3,得 y=3, ∴ 点 B 的坐标为(0,3), ∵ 抛物线 y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点 B, ∴ 3=a+4,得 a=﹣1, ∴ 抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3; (2)将 y=0 代入 y=﹣x2+2x+3,得 x1=﹣1,x2=3, ∴ 点 C 的坐标为(3,0),
(2)存在.S△ PBC 最大值为 27 16
(3) m 2 或 m 1时,△ BDM 为直角三角形. 2
【解析】 【分析】
(1)在 y mx2 2mx 3m 中令 y=0,即可得到 A、B 两点的坐标.
(2)先用待定系数法得到抛物线 C1 的解析式,由 S△ PBC = S△ POC+ S△ BOP–S△ BOC 得到△ PBC 面 积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值. (3)先表示出 DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①∠ BMD=90°时;②∠ BDM=90°时,讨 论即可求得 m 的值. 【详解】
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S 与 m 的函数表达式是 S= m2 5m ,S 的最大值是 2
25 ,此时动点 M 的坐标是( 5 , 7 );(3)点 M 在整个运动过程中用时最少是 82
8
24
3
秒.
【解析】
【分析】
(1)首先求出 B 点的坐标,根据 B 点的坐标即可计算出二次函数的 a 值,进而即可计算 出二次函数的解析式; (2)计算出 C 点的坐标,设出 M 点的坐标,再根据△ ABM 的面积为 S=S 四边形 OAMB﹣S△ AOB =S△ BOM+S△ OAM﹣S△ AOB,化简成二次函数,再根据二次函数求解最大值即可. (3)首先证明△ OHA′∽ △ OA′B,再结合 A′H+A′C≥HC 即可计算出 t 的最小值. 【详解】
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