(完整word版)概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)

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概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版

A = {(正1，次) ， (正 2，次)，， (正 9，次)}
(2)记 2 个白球分别为 ω1 ， ω 2 ，3 个黑球分别为 b1 ， b2 ， b3 ，4 个红球分别为 r1 ， r2 ， r3 ， r4 。则 Ω = { ω1 ， ω 2 ， b1 ， b2 ， b3 ， r1 ， r2 ， r3 ， r4 } (ⅰ) A = { ω1 ， ω 2 } (ⅱ) B = { r1 ， r2 ， r3 ， r4 }
1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件 “偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？ 94 9 解用 A 表示“牌照号码中有数字 8” ，显然 P ( A) = = ，所以 10000 10 P( A) = 1 - P ( A) = 1 − 94 9 = 1− 10000 10
3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 个样本点。所以 P ( A) =
它处于和红“车”同行或同列的 9 + 8 = 17 个位置之一时正好相互“吃掉” 。故所求概率为 17 P( A) = 89 1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为 9 7 。事件 A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于 “从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯” 。所以包含 A97 个样本点，于是 P( A) = A97 。 97
(正 2，正 4 )， (正 2，正 9 )， (正 2，次)， 3， Ω = {(正1，正 2 )， 3， (正1，正 3 )， (正1，正 9 )， (正1，次)，(正 2，正 3 )， (正 3，正 4 )， 3， (正 3，正 9 )， (正 3，次)，， (正 8，正 9 )， (正 8，次)， (正 9，次)}

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后习题参考答案.pdf

第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ；（5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3．设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生；（2）A , B , C 中不多于一个发生；（3）A , B , C 中不多于两个发生；（4）A , B , C 中至少有两个发生．解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；（4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ；（2）AB = A ．解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5．设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A U ；（3）AB ；（4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7．试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；（3）(A ∪B ) − B = A ；（4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8．若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =；（2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111；（3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ；（5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b bx b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ；（6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)，即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)，即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5．考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ．事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ；事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8．口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9．甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )，故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ；（2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5；（2）所得的最大点数等于5．解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ；（2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率．解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率．解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ．15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926；（2）P {一对} = 0.4630；（3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）；（5）P {四枚一样} = 0.0193；（6）P {五枚一样} = 0.0008．解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==；（2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {一对}4630.077763600==；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ；事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布．解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ；事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率．解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ，（1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x + y< 7/5}，得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ，故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ，故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ，从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ，若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ，有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交；如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交；当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα ∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )，因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0，则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=，故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ，事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ，故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫，故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ．29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31．设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生；（2）A 和B 都发生；（3）A 发生但B 不发生．解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件；（5）P (A ) = 0或P (B ) = 0；（6）P (A − B ) = P (A )．解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0；（6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =，则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ，故取到二级品的概率92)(=B P ．4．从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}；（2）A 2 = {三个数字中不含0或5}；（3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ；（2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ；（3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5．某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率：（1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ；（3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6．某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7．一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8．从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”，则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”，设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ，且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9．口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同，可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率．解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ；（2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问：（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4．注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )．（2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)．证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)，则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ．证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤，故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

概率论与数理统计教学教程(魏宗舒第二版)4章答案解析

中任一根的尾部再相接, 一直坐下去, 可知2根绳子能接成环形, 共有(2 − 2)!! = (2 − 2)(2 − 4) · · · 2种接
(2 − 2)!!
法, 故可知2根绳子能接成环形的概率为
.
(2 − 1)!!
或者我们也看如下计算. 设有2根绳子时, 尾部两两相接共有 ()种接法, 而成环形的接法有()种.
=
10000
(︂ )︂4
9
1−
.
10
1.8 有5双不同的鞋, 从中任取4只, 问没有一双配对的概率.
4
解: 方法一: 从5双鞋中任取4只, 共有10
中取法. 4只鞋中恰有两双的取法有52 种, 4只鞋中恰有一双的
取法为: 先从5双中取一双, 再以以下方式取剩余的两只: 1) 从剩余的左脚或者右脚中任取两只; 2)或者从剩
事件表示该学生是运动员.
(1) 叙述事件 ¯ 的意义.
(2) 在上面条件下 = 成立?
(3) 上面时候关系式 ⊂ 是正确的.
(4) 什么时候¯ = 成立?
解: (1). ¯ 表示被选的学生是三年级不是运动员的男生.
(2). = ⇔ ⊂ , 所以 = 成立, 当且仅当运动员都是三年级男生.
.
黑球有种情况, 故所求的概率为
+
4.10 任取一个正数, 求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1；
(2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1.
解: (1). 一个数的末位数上的数字有10种情况. 要使平方后的末位数字是1, 则该数的末位是1或者9, 所
2
= 80. 故所求概率为 = 8/10
= 8/21.

概率论与数理统计茆诗松第二版课后习题参考答案

ai
Xi
⎟⎟⎠⎞
=
n Cov⎜⎛ 1
i=1
⎝n
X
i
,
ai
X
i
⎟⎞ ⎠
=
n i=1
ai n
Cov( X
i
,
X
i
)
=
σ2 n
n
ai
i=1
=σ2 n
，
因 Var(X ) = 1 Var(X ) = σ 2 = Cov(X , T ) ，
n
n
故 X 与 T 的相关系数为 Corr(X , T ) = Cov(X , T ) =
n
∑ 4．设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计．解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8．设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 Var( X ) Var(T ) ．
n
∑ 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 T ( X1, L, X n ) = ai X i ， i=1

概率论与数理统计教程第二版课后答案

概率论与数理统计教程第二版课后答案概率论与数理统计教程第二版是一本广泛使用的教材，主要介绍概率论和数理统计的基本概念、理论和方法。

它包含了大量的练习题，帮助学生巩固知识和提升技能。

本文将为教程中的一些课后题提供答案，以帮助学生对自己的学习进行反思和检验。

第一章：概率论的基本概念1. 在骰子的所有可能结果中，出现奇数的概率是多少？答案：在骰子的所有可能结果中，出现奇数的结果有1、3和5，共有3个结果。

骰子的总共可能结果为6。

因此，出现奇数的概率为3/6，即1/2。

第二章：随机变量及其分布1. 设随机变量X的分布函数为F(x) = (0, x<0; 1-x^2, 0≤x<1; 1, x≥1)，求X的密度函数。

答案：对于连续型随机变量，其密度函数是分布函数的导数。

因此，求导得到密度函数：f(x) = dF(x)/dx = 2x，其中0≤x<1。

第三章：数理统计的基本概念1. 在对一个正态总体的均值进行统计推断时，样本均值和样本方差是哪两个常用的统计量？答案：在对正态总体的均值进行统计推断时，常用的两个统计量是样本均值和样本方差。

第四章：参数估计方法1. 在极大似然估计中，参数的估计值是否总能满足无偏性？答案：在极大似然估计中，参数的估计值不一定满足无偏性。

极大似然估计是一种一致性估计方法，即当样本容量趋于无穷大时，估计值趋于真实参数的概率为1。

但并不保证估计值在有限样本容量时的无偏性。

第五章：假设检验1. 什么是拒绝域，如何确定拒绝域？答案：拒绝域是在假设检验中，根据样本观测值的取值范围来决定是否拒绝原假设。

确定拒绝域需要设置显著性水平，即拒绝原假设的概率。

一般使用临界值法或p值法来确定拒绝域。

第六章：方差分析与回归分析1. 请解释何为因变量和自变量？答案：在回归分析中，因变量是需要被解释或预测的变量，也称为被解释变量。

而自变量是用来解释或预测因变量的变量，也称为解释变量。

这只是教程中一小部分题目的答案，通过解答这些题目，可以帮助学生更好地理解概率论和数理统计的概念、方法和应用。

概率论与数理统计(第二版)课后答案

各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或所以选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容（C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容（D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立所以选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ；（2）)(C B A ；（3）C B A C B A C B A ；（4）AC BC AB ；（5）C B A ；（6）C B A ；（7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。

概率论与数理统计魏宗舒第二版课后习题答案

概率论与数理统计魏宗舒第二版课后习题答案第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正=Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正)}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ?是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2)C ABC = 等价于AB C ?，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件iA 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(章节题库随机事件与概率)【圣才出品】

第1章　随机事件与概率一、选择题1．设A 、B 、C 是3个随机事件，则下列结论一定成立的是（）。

A ．若AB ＝∅，AC ＝∅，则BC ＝∅。

B ．若A 、B 独立，A 、C 独立，则B 、C 也独立。

C ．若A 、B 相容，A 、C 相容，则B 、C 也相容。

D ．若，则【答案】D【解析】用文氏图可直观的选出答案，文氏图如图1－1所示图1－12．在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件A ＝“考核合格”，B ＝“最多中靶一次”，C ＝“射击三次”，已知学员中靶概率为p （0＜p ＜1），则（）。

A ．AB 与C 独立B ．BC 与A 独立C ．AC 与B 独立【答案】A【解析】由题意知，A与B是对立事件，由于，不可能事件与任何事件都独立，故AB与C独立。

又，而都不为零，则知选项B、C、D均不正确。

3．设随机变量X服从参数为λ（λ＞0）的指数分布，事件A＝|X≥0|，B＝|X≥2|，C＝|X＜2|，D＝|X＝5|，则一定有（）。

A．A、B、C相互独立B．A、B、D相互独立C．B、C、D相互独立D．A、B、C、D相互独立【答案】B【解析】由于，所以可知A和D与任何事件都相互独立。

又因为，所以B和C不相互独立。

4．设事件A、B、C是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为Ω，则下列结论一定成立的是（）。

A．是一个完备事件组B．A、B、C两两独立C．A∪B与独立D．是两两对立事件【解析】由于A∪B∪C＝Ω，若C≠∅，则，即相容；若C＝∅，则但A与B不能都是必然事件Ω，故不能都是不可能事件∅，即不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也不能两两对立，而任何事件与概率为1的事件都独立，因此因A、B、C两两互不相容，于是有P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝0，只要A、B、C中有两个事件的概率大于零，A、B、C就不可能两两独立。

5．设A，B，C为3个随机事件，且A，B相互独立，则下列命题中不正确的是（）。

概率论与数理统计教程(魏宗舒第二版)5-6章答案_split_1

说明:本习题答案是针对魏宗舒编写的《概率论与数理统计教程》(第二版).5.1设(x l ,x 2,···,x n )及(u 1,u 2,···,u n )为两组子样的观测值,它们有如下关系:u i =x i −ab,(b =0,a 为常数)求子样均值¯u 与¯x ,子样方差S 2u 与S 2x 的关系.解：¯u =1n n ∑︁i =1u i =1n n ∑︁i =1x i −a b =1b (︃1n n ∑︁i =1x i −a )︃=1b(¯x −a )S 2u=1n n ∑︁i =1(u i −¯u )2=1n n ∑︁i =1(︂x i −a b −¯x −a b )︂2=1b 2[︃1n n ∑︁i =1(x i −¯x )2]︃=1b2S 2x.5.2若子样观测值x 1,x 2,···,x m 的频数分别为n 1,n 2,···,n m ,试写出计算子样平均数¯x 和子样方差S 2n 的公式(这里n =n 1+n 2+···+n m )解：¯x =1n m∑︁i =1m i x iS 2n=1n m∑︁i =1m i (x i −¯x )2.5.3利用切比雪夫不等式求钱币需抛掷多少次才能使子样均值¯ξ落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?如何才能更精确地计算是概率接近0.9所需要的次数是多少?解：设需要掷n 次,E ¯ξ=0.5,D (¯ξ)=14n.由切比雪夫不等式可得:P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (|¯ξ−0.5|≤0.1)≥1−14n ×(0.1)2=1−25n≥0.9⇒n ≥250.所以由切比雪夫不等式估计,至少需要掷250次才能使样本均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9.¯ξ−0.5√︀1/(4n )=2√n (¯ξ−0.5)近似服从标准正态分布,所以P (0.4≤¯ξ≤0.6)=P (︀2√n (0.4−0.5)≤2√n (¯ξ−0.5)≤2√n (0.6−0.5))︀=2Φ(2√n ×0.1)−1≥0.9⇒Φ(0.2√n )≥0.95.其中Φ(x )是标准正态分布N (0,1)的分布函数,查表可得Φ(1.645)=0.95.因此0.2√n =1.647⇒n =67.65,因此至少要掷68次硬币.5.4若一母体ξ的方差σ2=4,而¯ξ是容量为100的子样的均值.分别利用切比雪夫不等式和极限定理求出一个下界,使得¯ξ−μ(μ为母体ξ的数学期望Eξ)夹在这界限之间的概率为0.9.解：设P (|¯ξ−μ|≤a )≥0.9.注意到母体的数学期望为μ,方差为σ2.所以E ¯ξ=μ,D ¯ξ=σ2/n =125.由切比雪夫不等式可知:P (|¯ξ−μ|≤a )≥1−D ¯ξa 2=1−125a2≥0.90⇒1/(25a 2)≤0.1⇒a ≥0.4.故由切比雪夫不等式得到的界限是0.4.根据大数定律可知¯ξ−μ√︀1/25=5(¯ξ−μ)近似服从标准正态分布,所以P (|¯ξ−μ|≤a )=P (5(¯ξ−μ)≤5a )=2Φ(5a )−1≥0.9⇒Φ(5a )≥0.95⇒5a ≥1.645⇒a ≥0.329.由大数定律得到的界限是0.329.5.5假定¯ξ1和¯ξ2分别是取自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个独立子样(ξ11,ξ12,···,ξ1n)和(ξ21,ξ22,···,ξ2n)的均值,确定n使得两个子样均值之差超过σ的概率大约为0.01.解：由题意可知¯ξi∼N(μ,σ2/n),i=1,2,并且¯ξ1,¯ξ2相互独立.因此¯ξ1−¯ξ1∼N(0,2σ2/n),即√n¯ξ1−¯ξ2√2σ∼N(0,1).由P(|¯ξ1−¯ξ2|>σ)=0.01可得:P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√nσ√2σ)=0.01⇒P(√n⃒⃒⃒⃒¯ξ1−¯ξ2√2σ⃒⃒⃒⃒>√︂n2)=0.01⇒2(1−Φ(√︀n/2))=0.01⇒√︀n/2=2.576⇒n=13.27.所以当n=13时,可使得两个子样均值之差超过σ个概率大约为0.01.5.6设母体ξ∼N(μ,4),(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.试问:子样容量n应取多大,才能使(1)E(|¯ξ−μ|2)≤0.1;(2)E(|¯ξ−μ|)≤0.1;(3)P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.解：由题意可知√n2(¯ξ−μ)∼N(0,1).设η∼N(0,1),那么E(|η|2)=∫︁∞−∞1√2π|x|2e−12x2dx=2∫︁∞−∞1√2πx2e−12x2dx=Eη2=Dη+(Eη)2=1;E(|η|)=∫︁∞−∞1√2π|x|e−12x2dx=2∫︁∞1√2πxe−12x2dx=−2√2πe−12x2⃒⃒⃒∞=√︂2π.(1).E(|¯ξ−μ|2)=4nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒2=4n≤0.1⇒n≥40.所以当n取40时,可以使得E(|¯ξ−μ|2)≤0.1.(2).E(|¯ξ−μ|)=2√nE⃒⃒⃒⃒√n2(¯ξ−μ)⃒⃒⃒⃒=2√n√︂2π≤0.1⇒n≥800π.(3).P(|¯ξ−μ|≤0.1)=P(|√n2(¯ξ−μ)|≤0.1√n2)≥0.95⇒2Φ(0.1√n2)−1≥0.95⇒Φ(0.1√n2)≥0.975⇒0.1√n2≥1.96⇒n≥39.22=1536.6.即当n≥1537时,才能使P(|¯ξ−μ|≤0.1)≥0.95.5.7设母体ξ∼b(1,p)(二点分布),(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自此母体的一个子样,¯ξ为子样均值.(1).若p=0.2,子样容量n应取多大,才能使①P(|¯ξ−p|≤0.1)≥0.75;②E(|¯ξ−p|2)≤0.01.(2).若p ∈(0,1)为未知数,则对每个p ,子样容量n 为多大时才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.解：记q =1−p ,则√n (¯ξ−p )近似服从正态分布N (0,pq ).(1).P (|¯ξ−p |≤0.1)=P (⃒⃒√n (¯ξ−p )/√pq ⃒⃒≤0.1√n √pq )≈2Φ(︂0.1√n √pq)︂−1所以由P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75可得Φ(︂0.1√n √pq)︂≥0.875.查表得Φ(1.15)=0.875,因此0.1√n/√pq ≥1.15⇒n ≥11.52×pq =21.16,即当n ≥22时,才能保证P (|¯ξ−p |≤0.1)≥0.75.②.E (|¯ξ−p |2)=E (¯ξ−p )2=E (¯ξ−E ¯ξ)2=D ¯ξ=Dξ/n =pq/n =0.16/p .所以要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,只需0.16n≤0.01⇒n ≥0.160.01=16,故只有当n ≥16,才能使E (|¯ξ−p |2)≤0.01.(2).类似于(1)中的②,E (|¯ξ−p |2)=D ¯ξ=p (1−p )n.因此要使E (|¯ξ−p |2)≤0.01,子样容量n 必须≥p (1−p )0.01=100p (1−p ).5.8设母体ξ的k 阶原点矩和中心矩分别为v k =Eξk ,μk =E (ξ−v 1)k ,k =1,2,3,4.ξk ,m k 分别为容量为n 的子样k 阶原点矩和中心矩,求证:∙E (¯ξ−v 1)3=μ3n 2;∙E (¯ξ−v 1)4=3μ2n 2+μ4−3μ22n3.解：令η=ξ−v 1=ξ−Eξ,ηi =ξi −v 1,那么η1,η2,···,ηn 就是来自总体η的子样,并且Eηki =Eηk =E (ξ−v 1)k =μk .令¯η=1n ∑︀n i =1ηi ,那么¯η=¯ξ−v 1.所以(1)E (¯ξ−v 1)3=E ¯η3=1n3∑︁i,j,kEηi ηj ηk =1n 3⎛⎜⎝n ∑︁i =1Eη3i +∑︁i,j,k 不全相等Eηi ηj ηk ⎞⎟⎠=1n 3⎛⎝nμ3+3∑︁i =j,i =kEηi (ηj ηk )⎞⎠=1n 2μ3+3n 3∑︁i =j,i =kEηi E (ηj ηk )=μ3n 2(2)E (¯ξ−v 1)4=E ¯η4=1n4∑︁i,j,k,lEηi ηj ηk ηl=1n 4⎛⎝n ∑︁i =1Eη4i +∑︁i =j =k =lEη2i η2k +∑︁i =k =j =lEη2i η2j +∑︁i =l =k =jEη2i η2j +E∑︁elseηi ηj ηk ηl ⎞⎠=1n 4(︀nμ4+3n (n −1)μ22)︀=3(n −1)μ22n 3+μ4n 3=μ4−3μ22n 3+3μ22n2其中对i,j,k,l 求和时,把这四个下标分成三类,一类是i =j =k =l ,第二类是这四个下标分成两组,在同组中的下标都相等,其余的分在第三类.注意在第三类中,我们肯定可以找到一个下边,它和其余三个下标都不同,此时Eηi ηj ηk ηl =0,这因为,比如i 不等于其余三个下标,那么Eηi ηj ηk ηl =Eηi Eηj ηk ηl ,而Eξi =0.5.9.设母体ξ∼N (μ,σ2),子样方差S 2n =1n ∑︀n i =1(ξi −¯ξ)2.求ES 2n ,DS 2n ,并证明当n 增大时,他们分别为σ2+o (1n )和2σ4n +o (︀1n )︀.解：ES 2n =(n −1)σ2n=σ2−1nσ2=σ2+o (1).(注:习题中有错误,不是o (1n ),1n 的高阶无穷小,而是o (1),即无穷小.)对于后一问,只需利用P 233的定理5.1,我们在这里这需计算μ2,μ4.μ2=Dξ=σ2,μ4=E (ξ−μ)4=∫︁∞−∞(x −μ)4p ξ(x )dx =∫︁∞−∞x 41√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx =∫︁∞−∞x 31√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx 22=−x 3σ√2πexp {︂−12x 2σ2}︂⃒⃒⃒∞−∞+3σ2∫︁∞−∞x 21√2πσexp {︂−12x 2σ2}︂dx=3σ4.把μ2,μ4的结果带入定理5.1,可知:DS 2n=σ4[︀2n−2n 2]︀=2σ4n+o (︀1n )︀.实际上,我们也可以这样计算:令随机变量η∼χ2(n ),那么Eη=∫︁∞0x 12n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =2n +22Γ(n +22)2n 2Γ(n 2)=n Eη2=∫︁∞x 212n 2Γ(n 2)x n 2−1e −12x dx =n (n +2).因此Eη=n,Dη=2n .从以上可知:D (S 2n )=σ4n2D (︂nS 2n σ2)︂=2(n −1)σ4n 2=2σ2n+o(︂1n)︂.5.10设(ξ1,ξ2)为取自正态母体ξ∼N (0,σ2)的一个子样,试证:(1).ξ1+ξ2与ξ1−ξ2是相互独立的;(2).(ξ1+ξ2)2(ξ1−ξ2)2服从F (1,1)分布.解：(ξ1,ξ2)是ξ∼N (μ,σ2)的子样,从而ξ*=[︃ξ1ξ2]︃∼N(︃[︃μμ]︃,σ2I 2)︃,其中I 2表示二阶单位矩阵.那么η=[︃η1η2]︃=[︃111−1]︃ξ* Bξ*∼N (︃B [︃μμ]︃,σ2BI 2B ′)︃,即η∼N (︃[2μ,0]′,[︃2002]︃)︃.因此可知η1,η2即ξ1+ξ2,ξ1−ξ2相互独立,且分别有分布N (2μ,2),N (0,2).5.11设母体的分布函数为F (x ),(ξ1,ξ2,···,ξn )是取自该母体的一个字样.若F (x )的二阶矩存在,¯ξ为字样均值,试证(ξi −¯ξ)与(ξj −¯ξ)的相关系数为ρ=−1n −1,i =j =1,2,···,n .解：方法一:由相关系数的定义,我们先计算Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)和D (ξi −¯ξ)=D (ξj −¯ξ).记总体ξ的期望为μ,方差为σ2.令ηi =ξi −μ,i =1,2,···,n ,那么Eηi =0,Eηi ηj =0,i =j,Eη2i=σ2.从而可知:Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=Cov(ηi −¯η,ηj −¯η)=Cov(ηi ,ηj )−2Cov(ηi ,¯η)+Cov(¯η,¯η)=0−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =−1n σ2.D (ξi −¯ξ)=D (ηi −¯η)=Cov(ηi −¯η,ηi −¯η)=D (ηi )−2Cov(ηi ,¯η)+D ¯η=σ2−2Cov(ηi ,1n ηi )+σ2/n =n −1nσ2.所以ξi −¯ξ,ξj −¯ξ的相关系数为−σ2/n√︂n −1n σ2n −1nσ2=−1n −1,i =j.方法二:首先由ξ1,ξ2,···,ξn 的独立性可知:D (ξ−¯ξ)=D (n −1n ξi −1n∑︁j =iξj )=(︂n −1n )︂2Dξi +1n2∑︁j =iDξj=σ2(︃(︂n −1n )︂2+n −1n 2)︃=n −1nσ2.由对称性可知对任意的i =j ,Cov(ξi ,ξj )=Cov(ξ1,ξ2) c .同时注意到∑︀n i =1(ξi −¯ξ)=0,所以=D (n ∑︁i =1(ξi −¯ξ))=n ∑︁i =1D (ξi −¯ξ)+∑︁i =jCov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=(n −1)σ2+n (n −1)c⇒c =−n −1n (n −1)σ2=−1nσ2.因此Cov(ξi −¯ξ,ξj −¯ξ)=−1n σ2n −1nσ2=−1n −1.5.12设¯ξn ,S 2n 分别是子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的子样均值和子样方差,现又获得第n +1个观测值,试证:(1).¯ξ=¯ξn +1n +1(ξn +1−¯ξn );(2).S 2n +1=n n +1[︁S 2n +1n +1(ξn +1−¯ξn )2]︁.解：(1).¯ξn +1=1n +1n +1∑︁i =1ξi =1n +1ξn +1+n n +11n n∑︁i =1ξi=1n +1ξn +1+n n +1¯ξn =1n +1(ξn +1−¯ξn )+¯ξn .S2n+1=1n+1n+1∑︁i=1ξ2i−¯ξ2n+1=nn+1(1nn∑︁i=1ξ2−¯ξ2n)+nn+1¯ξ2n+1n+1ξ2n+1−(︃¯ξ2n+2n+1¯ξn(ξn+1−¯ξn)+(︂1n+1)︂2(ξn+1−¯ξn)2)︃=nn+1S2n+1n+1[︀ξ2n+1−2ξn+1¯ξn+¯ξn]︀−1(n+1)2(ξn+1−¯ξn)2=nn+1[︂S2n+1n+1(ξn+1−¯ξn)2]︂.5.13从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球.令ξ=0表示取到白球,ξ=1表示取到黑球.求容量为5的子样均值和子样方差的期望值.解：实际上,我们知道E¯ξ=Eξ,ES2n =n−1nDξ,所以我们只需计算出总体的期望和方差.由题意可知总体ξ有分布列ξ01P132 3那么Eξ=23,Dξ=1323=29,因此E¯ξ=23,ES2n=2(n−1)9n.习题5.14设母体ξ服从参数为λ的泊松分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)是取自此母体的一个子样.求(1).子样的联合概率分布列;(2).子样均值¯ξ的分布列、E¯ξ、D(¯ξ)和ES2n.解：因为ξ1,ξ2,···,ξn是总体ξ∼P(λ)的子样,所以ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,且均服从参数为λ的泊松分布.故(1)子样的联合分布列为P(ξ1=x1,ξ2=x2,···,ξn=x n)=n∏︁i=1P(ξi=x i)=n∏︁i=1λx ix i!e−λ=λ∑︀ni=1x i e−nλ(︃n∏︁i=1x i!)︃−1.x i=0,1,2,···,i=1,2,···,n.(2).回顾78页例2.12,该例题说明两个相互独立的泊松分布P(λ1),P(λ2)的和服从泊松分布P(λ1+λ2),因此在本题中n∑︁i=1ξi∼P(nλ)所以¯ξ的分布列为:P(¯ξ=kn)=P(n∑︁i=1ξi=k)(nλ)kk!e−nλ.因为总体的期望和方差都是λ,因此E¯ξ=Eξ=λ,D¯ξ=Dξn=λn,ES2n=n−1nDξ=(n−1)λn.5.15设ξ1,ξ2,···,ξn是取自正态母体N(μ,σ2)的子样,求u=k∑︀i=1ξi和v=∑︀ni=rξi,0<k<r<n的联合分布列.解：由于k<r,所以u,v相互独立.又因为ξ1,ξ2,···,ξn独立同分布,均服从N(μ,σ2)分布,而u,v都是ξ1,ξ2,···,ξn的线性组合,故u,v也都服从正态分布.又Eu=k∑︁i=1Eξi=kμ,Du=k∑︁i=1Dξi=kσ2,Ev=n∑︁i=rEξi=(n−r+1)μ,Dv=n∑︁i=rDξi=(n−r+1)σ2,所以u,v 的联合分布为二维正态分布N (kμ,(n −r +1)μ,kσ2,(n −r +1)σ2,0).5.16设母体η=(ξ1,ξ2)∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),(η1,η2,···,ηn )是取自此母体的一个子样,求子样均值¯η=(¯ξ1,¯ξ2)=(︂1nn ∑︀i =1ξ1i ,1n n∑︀i =1ξ2i )︂的分布密度函数.解：首先可知¯η服从二维正态分布.又ηi ∼N (μ1,μ2,σ21,σ22,ρ),所以Eξ1i =μ1,Eξ2=μ2,Dξ1i =σ21,Dξ2i =σ22,Cov(ξ1i ,ξ2i )=ρσ1σ2.又因为当i =j 时,ηi ,ηj 相互独立,故Cov(ξ1i ,ξ2j )=0.这样我们就有如下结果:E ¯ξ1=1n n∑︁i =1Eξ1i =μ1;E ¯ξ2=1n n∑︁i =1Eξ2i =μ2;D ¯ξ1=1n 2n ∑︁i =1Dξ1i=1n σ21;D ¯ξ2=1n 2n ∑︁i =1Dξ2i=1n σ22;Cov(¯ξ1,¯ξ2)=1n 2Cov(n ∑︁i =1ξ1i ,n ∑︁i =1ξ2i )=1n 2∑︁i,jCov(ξ1i ,ξ2j )=1n 2∑︁i Cov(ξ1i ,ξ2i)=ρσ1σ2n.并且¯ξ1,¯ξ2的相关系数为Cov(¯ξ1,¯ξ2√︀[D ¯ξ1][D ¯ξ2]=ρσ1σ2/n √︀(σ21/n )(σ22/n )=ρ.由以上结论可知¯η∼N (μ1,μ2,σ21/n,σ22/n,ρ),其密度函数为:n2πσ1σ2√︀1−ρ2exp {︂−n 2(1−ρ2)[︂(x −μ1)2σ21−2ρ(x −μ1)(y −μ2)σ1σ2+(y −mu 2)2σ22]︂}︂.5.17设母体的分布列为P (ξ=k )=1N ,k =1,2,···,N .现进行不放回抽样,¯ξ¯ξ为子样(ξ1,ξ2,···,ξn )的均值,试求E ¯ξ和D (¯ξ).解：由题意可知,母体中共有N 个个体,且取到每个个体的概率是一样的.从母体中不放回的抽样,第i 次抽到第k 个个体的概率为1/N .故ξi 也有分布列P (ξi =k )=1N ,k =1,2,···,N ,即和母体有相同的分布列.所以Eξi =1N ∑︀N k =1k =N +12,Eξ2i =1N ∑︀N k =1k 2=(N +1)(2N +1)6,Dξi =N 2−112.由于抽样是不放回抽样,所以ξi ,ξj 不是相互独立的.它们有联合分布列P (ξi =k,ξj =l )={︃1N (N −1),k =l,0,k =l 由此可知:Eξi ξj=1N (N −1)∑︁k =lkl =(N +1)(3N +2)12;Cov(ξi ,ξj )=Eξi Eξj −Eξi Eξj =−N +112.所以D(ξ1+ξ2+···+ξn)=n∑︁k=1Dξk+2∑︁1≤k<l≤nCov(ξk,ξl)=n N2−112−n(n−1)N+112=n(N+1)(N−n)12;D(¯ξ)=1n2D(n∑︁i=1ξi)=(N+1)(N−n)12n;E¯ξ=1nn∑︁i=1Eξi=N+12.5.18设母体ξ∼N(0,1),ξ1,ξ2,ξ3为取自该母体的一个子样,在子样空间中求子样到原点的距离小于1个概率.解：由于ξi,i=1,2,3独立同分布,和母体有相同的分布,故ξ1,ξ2,ξ3的联合密度函数为:p(x,y,z)=1(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂.因此子样到原点的距离小于1的概率为p=P(ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁∫︁∫︁x2+y2+z2<11(2π)3/2exp{︂−12(x2+y2+z2)}︂dxdydz.做变换⎧⎪⎨⎪⎩x=r cosθ1,y=r sinθ1cosθ2, z=r sinθ1sinθ2.变化的雅克比行列式为ð(x,y,z)ð(r,θ1,θ2)=r sinθ1.所以P=(2π)−3/2∫︁π0sinθ1dθ1∫︁2πdθ2∫︁1r2exp{︂−12r2}︂=√︂2π∫︁1r2exp{−r22}dr=√︂2π[︂−r exp{−r22}⃒⃒1+∫︁1exp{−r22}dr]︂=√︂2π[︂∫︁1exp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︂√2π∫︁11√2πexp{−r22}dr−e−12]︂=√︂2π[︁√2π(Φ(1)−Φ(0))−e−12]︁=2Φ(1)−1−√︂2πe−12.其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数.或者如下计算P.P=(2π)−3/2∫︁1−1[︂e−x22∫︁y2+z2<1−x2e−12(y2+z2)dydz]︂dx=(2π)−3/2∫︁1−1[︃e−x22∫︁2πdθ∫︁√1−x2re−12r2dr]︃dx=(2π)−1/2∫︁1−1[︂e−x22(︂−e−12r2⃒⃒⃒√1−x2)︂]︂dx=(2π)−1/2∫︁1−1e−12x2[1−e−12(1−x2)]dx=∫︁1−11√2πe−12x2dx−1√2π∫︁1−1e−12dx=2Φ(1)−1−√︂2πe−12≈0.1987.又或者利用χ2分布.注意到ξ21+ξ22+ξ23∼χ2(3),所以P =P (ξ21+ξ22+ξ23<1)=∫︁10123/2Γ(32)x 32−1e −x 2dx =1√2π∫︁10x 12e −x 2dx.在上述积分中做变换x =t 2,可以得到和前面相同的结果.5.19设(ξ1,ξ2,···,ξn )为取自正态母体N (μ,σ2)的子样,S 2n 为子样方差,分别求满足下列各式的最小n 值.(1).P (︂S 2nσ2≤1.5)︂≥0.95.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12Σ)︂≥0.8.解：注意到nS2n σ2∼χ2(n −1).(1).P (︂S 2n σ2≤1.5)︂=P (︂nS 2n σ2≤1.5n )︂≥0.95,故1.5n ≥χ20.95(n −1).1.5×20<χ20.95(19),而1.5×21>χ20.95(20),所以最小的n 是21.(2).P (︂|S 2n −σ2|≤12σ2)︂=P (︁⃒⃒⃒nS 2n σ2−n ⃒⃒⃒≤n 2)︁=P (︁n 2≤ns 2nσ2≤3n 2)︁.所以我们要找的n 为使得P (︂n 2≤ns 2n σ2≤3n 2)︂≥0.8的最小的n .用软件计算可知此最小的n 为13.5.20子样(ξ1,ξ2,ξ3)来自正态母体N (0,1),又η1=0.8ξ1+0.6ξ2,η2=√2(0.3ξ1−0.4ξ2−0.5ξ3),η3=√2(0.3ξ1−0.4ξ2+0.5ξ3),求(η1,η2,η3)的联合分布密度及η1,η2,η3的边际密度.解：ξ1,ξ2,ξ3相互独立,且都服从分布N (0,1),所以(ξ1,ξ2,ξ3)的联合分布是三维正态分布.其期望为(0,0,0),协方差矩阵为三阶单位矩阵I 3.记A =⎛⎜⎝0.80.600.3√2−0.4√2−0.5√20.3√2−0.4√20.5√2⎞⎟⎠,那么可知(η1,η2,η3)′=A (ξ1,ξ2,ξ3)′,即(η1,η2,η3)′是(ξ1,ξ2,ξ3)的线性变换,所以(η1,η2,η3)′也服从正态分布,其期望,协方差矩阵分别为:E ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠=A ⎛⎜⎝000⎞⎟⎠=0,Cov ⎛⎜⎝η1η2η3⎞⎟⎠AI 3A ′=I 3.由于η1,η2,η3的协方差矩阵是单位矩阵,故可知ηi ,ηj 的相关系数为0,所以η1,η2,η3相互独立.又Eηi =0,Dηi =1,所以ηi sin N (0,1).5.21若ξ1,ξ2,···,ξn 相互独立且服从正态分布,它们的数学期望相等,方差各为σ21,σ22,···,σ2n ,证明:u =∑︀n i =1ξiσ2i∑︀ni =11σ2i与v =n ∑︁i =1(︂ξi −u σi)︂2是相互独立的,且u 服从正态分布,v 服从自由度为n 的χ2分布.解：因为ξi ,i =1,2,···,n 有相同的数学期望,不妨用μ表示其共同的数学期望.令ηi =ξiσi,i =1,2,···,n ,那么η1,η2,···,ηn 相互独立,都服从正态分布,且Dηi =1,Eηi =a/σi ,i =1,···,n ,这样可知η=(η1,η2,···,ηn )′的协方差矩阵为n 阶单位矩阵I n .记C=√︃n∑︀i=11σ2i,令矩阵A是正交矩阵,且其第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C.设ζ=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ζ1ζ2...ζn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=Aη=A⎛⎜⎜⎜⎜⎝η1η2...ηn⎞⎟⎟⎟⎟⎠那么(ζ1,ζ2,···,ζn)′服从多元正态分布,且其协方差矩阵为Cov(ζ)=A Cov(η)A′=AI n A′=AA′=I n.ζ的数学期望为Eζ=AEη=A ⎛⎜⎜⎜⎜⎝aσ1aσ2...aσn⎞⎟⎟⎟⎟⎠=a⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝n∑︀i=11σ2i...⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝aC2...⎞⎟⎟⎟⎟⎠.这意味着ζ1,ζ2,···,ζn相互独立,且ζ1∼N(aC2,1),ζ2∼N(0,1),i=2,3,···,n.由于矩阵A的第一行为(1σ1,1σ2,···,1σn)/C,所以ζ1=1C(η1/σ1+η2/σ2+···+ηn/σn)=1C(ξ1/σ21+ξ2/σ22+···+ξn/σ2n)=Cu.由此可知u=1C ζ1∼N(a,1C2),即N(a,(︀∑︀ni=1σ2i)︀.又v=n∑︁i=1(︂ξi−uσi)︂2=n∑︁i=1(ηi−uσi)2=n∑︁i=1η2i−2un∑︁i=1ηi/σi+u2n∑︁i=11σ2i=η′η−2u(C2u)+C2u2=η′η−C2u2 =η′η−ζ21.其中利用了∑︀ni=1ηi/σi=∑︀ni=1ξiσ2i=C2u,ζ1=Cu.因为A是正交矩阵,且ζ=Aη,所以ζ′ζ=η′A′Aη=η′η.这样可知v=ζ′ζ−ζ21=ζ22+ζ23+···+ζ2n.综合以上所述,我们已经知道ζ1,ζ2,···,ζn,相互独立,且ζi∼N(0,1),i=2,3,···,n,u∼N(a,1/C2).所以u=Cζ1与v=ζ22+ζ23+···+ζ2n相互独立,且v∼χ2(n−1).注:v的自由度是n−1,不是n.5.22设母体ξ服从正态分布N(μ,σ2),¯ξ,S2n分别为容量为n的子样均值和子样方差,又设ξn+1∼N(μ,σ2)且与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立.试求统计量ξn+1−¯ξS n √︂n−1n+1的抽样分布.解：由定理5.4知¯ξ与S2n相互独立,¯ξ∼N(μ,σ2/n),nS2nσ2∼χ2(n−1).ξn+1与ξ1,ξ2,···,ξn相互独立,故¯ξ与¯ξ,S2n独立.且ξn+1−¯ξ∼N(0,σ2+σ2n),即ξn+1−¯ξ∼N(0,n+1nσ2).ξn+1,¯ξ都与S2n相互独立,那么ξn+1−¯ξ与S2n独立,因此ξn+1−¯ξ√n+1n σ2√︂nS2nσ2⧸︁(n−1)∼t(n−1),即ξn+1−¯ξS n√︂n−1n+1∼t(n−1).5.23(ξi,ηi),i=1,2,···,n是取自二元正态分布N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)的子样.设¯ξ=1nn∑︀i=1ξi,¯η=1nn∑︀i=1ηi,S2ξ=1n∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2,S2η=1n∑︀ni=1(ηi−¯η)2和r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2.试求统计量¯ξ−¯η−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη√n−1.的分布.解：一般的我们称1nn∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)为样本协方差.而把r=∑︀ni=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η)√︁∑︀ni=1(ξi−¯ξ)2∑︀ni=1(ηi−¯η)2=样本协方差√︁S2ξS2η为样本相关系数.设[ξ1,η1]′,[ξ2,η2]′,···,[ξn,ηn]′是从总体[ξ,η]′∼N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)取到的子样.S2ξ+S2η−2rSξSη=1n(︃n∑︁i=1(ξi−¯ξ)2+n∑︁i=1(ηi−¯η)2−2n∑︁i=1(ξi−¯ξ)(ηi−¯η))︃=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2.令ζi=ξi−ηi,i=1,2,···,n.那么ζ1,ζ2,···,ζn就可以看做是从总体ξ−η∼N(μ1−μ2,σ21+σ22−2ρσ1σ2)的子样.并且这个新子样的子样均值和子样方差分别为:¯ζ=1nn∑︁i=1(ξi−ηi)=¯ξ−¯ηS2=1nn∑︁i=1(ζi−¯ζ)2=1nn∑︁i=1[︀(ξi−ηi)−(¯ξ−¯η)]︀2=S2ξ+S2η−2rSξSη.因此√n−1(¯ξ−¯η)−(μ1−μ2)√︁S2ξ+S2η−2rSξSη∼t(n−1).5.23-2解:(1)因为函数y=√x的反函数为x=y2,且dxdy=2y,所以η=√ξ的密度函数为pξ(y)=2pη(y2)|y|=⎧⎨⎩22n/2Γ(n/2)y×(y2)n2−1e−12y2=12n2−1Γ(n2)y n−1e−y22,y>0 0,y≤0(2).因为z=y√n的反函数为y=√nz,且dydz√n,所以ζ=ξ√n的密度为: pζ(z)=√npξ(√nz)=⎧⎨⎩n n22n/2−1Γ(n/2)z n−1e−nz22,z>00,z≤0(3)Eξ=E √η=∫︁∞√x12n/2Γ(n/2)x n2−1e−12x dx=2n+12Γ(n+12)2n2Γ(n2)=√2Γ(n+12)Γ(n2).Eξ2=Eη=nDξ=Eξ2−(Eξ)2=n−2(︂Γ(n+12Γ(n2))︂25.24设母体ξ以等概率取四个值0,1,2,3,现从中获得一个容量为3的子样,试分别求ξ(1)与ξ(3)的分布.解：(i).先求ξ(1)的分布(分布列).P(ξ(1)≥k)=P(min{ξ1,ξ2,ξ3}≥k)=P(ξi≥k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≥k)=3∏︁i=14−k4=(︂4−k4)︂3,k=0,1,2,3.P(ξ(1)=k)=P(ξ(1)≥k)−P(ξ(1)≥k+1)=(︂4−k4)︂3−(︂3−k4)︂3,k=0,1,2P(ξ(1)=3)=P(ξ(1)≥3)=(︂14)︂3=164.因此ξ(1)有如下分布列:ξ(1)0123P37641964764164(ii).再考虑ξ(3)的分布列.P(ξ(3)≤k)=P(max{ξ1,ξ2,ξ3}≤k)=P(ξi≤k,i=1,2,3)=3∏︁i=1P(ξi≤k)=3∏︁i=1k+14=(︂k+14)︂3,k=0,1,2,3P(ξ(3)=k)=P(ξ(3)≤k)−P(ξ(3)≤k−1)=(︂k+14)︂3−(︂k4)︂3,k=1,2,3P(ξ(3)=0)=P(ξ(3)≤0)=(︂14)︂3=164.因此ξ(3)有如下分布列:ξ(3)0123P164764196437645.25设母体ξ的密度函数为f(x)=3x2,0≤x≤1从中获得一个容量为5的子样ξ1,ξ2,···,ξ5,其次序统计量为ξ(1),ξ(2),···,ξ(5).(1).试分别求ξ(1)与ξ(5)的概率密度函数;(2).试证ξ(2)ξ(4)与ξ(4)相互独立.解：(1).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.所以ξ(1)的概率密度函数f(1)(x),ξ(5)的概率密度函数f5(x)分别为:f(1)(x)={︃5[1−x3]4(3x2),0≤x≤1,0,else={︃15x2(1−x3)4,0≤x≤1,0,else.f(5)(x)={︃5(x3)4(3x2),0≤x≤10,else={︃15x14,0≤x≤1,0,else.(2).母体有分布函数F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩0,x≤0x3,0<x≤1,1,x>1.因此ξ(2),ξ(4)的联合密度函数为g2,4(y,z)={︃5!9(2−1)!(4−2−1)!(5−4)!(y3)[z3−y3]4−2−1[1−z3]y2z2,0<y<z≤1.0,else={︃1080y5(z3−y3)(1−z3)z2,0<y<z≤1 0,else.令{︃U=ξ(2)/ξ(4)V=ξ(4)其对应的函数为:{︃u=y/z,v=z.其反函数为y=uv,z=v,其雅克比行列式为J=⃒⃒⃒⃒⃒v u01⃒⃒⃒⃒⃒=v.所以U,V的联合密度为pU,V (u,v)={︃1080(uv)5(v3−(uv)3)(1−v3)v2v,0<u<1,0<v<1,0,else.={︃1080v11(1−v3)u5(1−u3),0<u<1,0<v<1,0,else.U,V的联合密度函数是变量可分离的,故U,V相互独立.且U=ξ(2)/ξ(4)的密度函数为PU (u)={︃ku5(1−u3),0<u<10,else计算可知k=18.5.26设母体ξ服从韦布尔分布,其分布函数为F(x)=1−e−(xη)m,x>0,其中m>0为形状参数,η>0为尺度参数.从中获得子样ξ1,ξ2,···,ξn,证明μ=min(ξ1,ξ2,···,ξn)任服从韦布尔分布,并指出其形状参数和尺度参数.解：母体ξ的密度函数p(x)=F′(x)={︃mηmx m−1e−(xη)m,x>0 0,else.所以最小次序统计量μ=ξ(1)=min(ξ1,ξ2,···,ξn)的密度函数为:f(x)=n(1−F(x)]n−1p(x)=nmηmx m−1(︁e−(xη)m)︁n−1e−(xη)m=nmηmx m−1(︁e−n(xη)m)︁=m(cη)mx m−1(︁e−(x cη)m)︁其中c=n−1m.比较f(x)和母体的密度函数p(x)可知μ也服从韦布尔分布,其形状参数仍为m,尺度参数为ηm√n.5.27设某电子元件寿命服从参数为λ=0.0015的指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx,x>0.今从中随机抽取6个元件,测得其寿命分别为ξ1,ξ2,···,ξ6,试求下列事件的概率.(1).到800小时没有一个元件失效;(2).到300小时所有元件都失效.解：ξ1,ξ2,···,ξ6是子样,所以ξ1,ξ2,···,ξ6相互独立,且每个ξi都服从参数为λ的指数分布,所以(1).到800小时没有一个元件失效的概率为p1=P(ξ1>800,ξ2>800,···,ξ6>800)=6∏︁i=1P(ξi>800)=6∏︁i=1P(ξ<800)=6∏︁i=1[1−(1−e−800λ)]=[e−800λ]6=e−4800λ=e−7.2≈0.00075.(2).到300小时所有元件都失效的概率p2=P(ξ1<3000,ξ2<3000,···,ξ6<3000)=6∏︁i=1P(ξi<3000)=6∏︁i=1P(ξ<3000)=6∏︁i=1[1−e−3000λ)]=[1−e−3000λ]6=[1−e−4.5]6≈0.93517.5.28设母体ξ的密度函数为f(x)={︃6x(1−x),0<x<10,else由此母体中抽取一个子样(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5),又ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)<ξ(5)是子样的顺序统计量,求ξ(3)的密度函数.解：ξ的分布函数为F(x)=∫︁x6t(1−t)dt=x2(3−2x),(0<x<1),所以ξ(3)的密度函数为:g3(x)=5!2!2![F(x)]2[1−F(x)]2f(x)=5!2!2![x2(3−2x)]2[1−x2(3−2x)]2[6x(1−x)]=180x5(1−x)(3−2x)2(1−3x2+2x3)2,0<x<1.5.29母体ξ服从[0,1]上的均匀分布,(ξ1,ξ2,···,ξn)为取自该母体的子样,ηi=ξ(i)为次序统计量,求P(ηi> 12),i=1,2,3,4,5.解：ξ服从[,1]上的均匀分布R[0,1],所以ξ的分布函数为:F(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x,0<x≤10,x≤01,x>1.因此第i个次序统计量ηi的概率密度函数为:g i(y)=⎧⎨⎩5!(i−1)!(5−i)!x i−1(1−x)5−i,0<y≤1 0,y≤0或者y>1故P(η1>1/2)=∫︁11/25(1−y)4dy=∫︁1/25t4dt=132P(η2>1/2)=∫︁11/220y(1−y)3dy=316P(η3>1/2)=∫︁11/230y2(1−y)2dy=12P(η4>1/2)=∫︁11/220y3(1−y)dy=1316=1−P(η2>1/2)P(η5>1/2)=∫︁11/25y4dy=3132=1−P(η1>1/2).5.30设(ξ1,ξ2)是取自具有指数分布母体的子样,其密度函数为:f(x)={︃e−x,x>00,else(ξ(1)<ξ(2)是次序统计量,求ξ(1)与η=ξ(1)+ξ(2)的联合密度函数.解：母体ξ服从参数为1的指数分布,其分布函数为F(x)=(1−e−x),x>0.因此ξ(1),ξ(2)的联合密度函数为:g1,2(x,y)=2e−x e−y,0<x<y.令U=ξ(1),V=ξ(1)+ξ(2).它对应的函数为u=x,v=x+y,其反函数为x=u,y=v−u,且雅克比行列式J=⃒⃒⃒⃒⃒ðxðuðxðvðyðuðyðv⃒⃒⃒⃒⃒=⃒⃒⃒⃒⃒10−11⃒⃒⃒⃒⃒=1.所以U,V的联合密度函数为pU,V(u,v)=2e−u e−(v−u),0<u<(v−u)=e−v,0<2u<v.5.31设母体ξ的分布函数F(x)是连续的,ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)为取自此母体的子样的次序统计量,设ηi= F(ξ(i)),试证(1).η1≤η2≤···≤ηn,且ηi是来自均匀分布U(0,1)母体的次序统计量;(2).Eηi=in+1,D(ηi)=i(n+1−i)(n+1)2(n+2),1≤i≤n.(3).ηi和ηj的协方差矩阵为⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠其中a i=in+1,a j=jn+1.证明：因为ξ(1),ξ(2),···,ξ(n)是取自母体ξ的子样的次序统计量,所以ξ(1)≤ξ(2)≤···≤ξ(n).又因为分布函数F(x)是单调不降的,所以F(ξ(1))≤F(ξ(2))≤···≤F(ξ(n))并且可看做是取自母体F(ξ)的子样的次序统计量.令C x=sup{t|F(t)≤t},0<x<1.由于F(x)是连续函数,其闭集的原像仍为闭集.而且F(x)单调不降,故可知F(C x)=x.这样可知:P(F(ξ)≤x)=P(ξ≤C x)=F(C x)=x,0<x<1.所以η=F(ξ)服从(0,1)上的均匀分布,所以η1,···,ηn可看做从(0,1)分布的母体上子样的次序统计量.(2).由(1)可知ηi有密度函数p(i)=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)![F(x)]i−1[1−F(x)]n−i,0<x<1, 0,else=⎧⎨⎩n!(i−1)!(n−i)!x i−1(1−x)n−i,0<x<1, 0,else即ηi服从beta分布Beta(i,n−i+1).注意到ηi的密度函数的形式,Eηi=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!∫︁1(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1)dx=n!(i−1)!(n−i)!i!(n−i)!(n+1)!=in+1.其中我们利用了(n+1)![(i+1)−1]![(n+1)−(i+1)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+1时ηi+1的密度函数.用同样的方法可得:Eη2i=∫︁1n!(i−1)!(n−i)!x i+1(1−x)n−i dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!∫︁1(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+2)−1(1−x)(n+2)−(i+2)dx=n!(i−1)!(n−i)!(i+1)!(n−i)!(n+2)!=i(i+1)(n+2)(n+1).其中我们利用了(n+2)![(i+2)−1]![(n+2)−(i+2)]!x(i+1)−1(1−x)(n+1)−(i+1),0<x<1是子样容量为n+2时ηi+2的密度函数.那么Dηi=Eη2i−(Eηi)2=i(n+1−i) (n+1)2(n+2).(3).不妨假定i<j.因为η1,···,ηn可看做(0,1)上均匀分布母体的子样的次序统计量.故ηi,ηj的联合密度函数为:g i,j(x,y)=n!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i−1(y−x)j−i−1(1−y)n−j,0<x<y<1.注意到E(ηiηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i.Eηi(ηj−ηi)=∫︁10∫︁1xn!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!x i(y−x)j−i(1−y)n−j dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1)∫︁1∫︁1x(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!·x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2)dxdy=i(j−i)(n+2)(n+1),其中利用了(n+2)![(i+1)−1]![(j+2)−(i+1)−1]![(n+2)−(j+2)]!x(i+1)−1(y−x)(j+2)−(i+1)−1(1−y)(n+2)−(j+2),0<x<y<1是子样容量为n+2时,ηi+1和ηj+2的联合密度函数.所以进一步的可得Cov(ηi,ηj)=Eηiηj−(Eηi)(Eηj)=Eηi(ηj−ηi)+Eη2i−(Eηi)(Eηj)=i(j−i)(n+2)(n+1)+i(i+1)(n+2)(n+1)−ij(n+1)2=i(n+1−j)(n+2)(n+1)2=a1(1−a2n+2.从而可得ηi,ηj的协方差矩阵为Cov(ηi,ηj)=(︃Dηi Cov(ηi,ηj)Cov(ηj,ηi)Dηj)︃=⎛⎜⎝a1(1−a1)n+2a1(1−a2)n+2a1(1−a2)n+2a2(1−a2)n+2⎞⎟⎠.5.32设母体ξ∼N(0,1),从此母体获得一组子样观测值x1=0,x2=0.2,x3=0.25,x4=−0.3, x5=−0.1,x6=2,x7=0.15,x8=1,x9=−0.7,x10=−1.(1).求子样的经验分布函数F n(x).(2).计算x=0.15(即ξ(6))处E(F(ξ(6))),D(F(ξ(6)))解：(1).子样的经验分布函数为:F n(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0,x≤−10.1,−1<x≤−0.70.2,−0.7<x≤−0.30.3,−0.3<x≤−0.10.4,−0.1<x≤00.5,0<x≤0.150.6,0.15<x≤0.20.7,0.2<x≤0.250.8,0.25<x≤10.9,1<x≤21,x>2(2).记F(x)为标准正态分布的分布函数,p(x)为标准正态分布的密度函数,那么ξ(6)的密度函数为:g6(x)=10!5!4!F5(x)[1−F(x)]4p(x),。

魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题假设检验)【圣才出品】

第7章　假设检验7－1 设总体，其中参数，为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答：完全决定总体分布的假设称为简单假设，否则称为复合假设．则这5个假设中，只有（1）是简单假设，其余为复合假设．7－2设取自正态总体，其中参数未知，是子样均值，如对检验问题，取检验的拒绝域：，试决定常数，使检验的显著性水平为0.05．答：因为，故在成立的条件下，，所以=1.176．7－3 设子样取自正态总体，已知，对假设检验，取临界域．（1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；（2）设=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二类错误的概率．答：（1）在成立的条件下，，此时，所以，，由此式解出；在成立的条件下，，此时：，由此可知，当增加时，减小，从而减小；反之当减少时，则增加．（2）不犯第二类错误的概率为：7－4 设子样取自均匀分布其中未知参数θ>0，又设最大次序统计量为若对检验问题取拒绝域为（1）求第一类错误的概率的最大值；（2）若要（1）中所得的最大值不超过0.05，n 至少应取多大?答：（1）均匀分布最大次序统计量的密度函数为：因而检验犯第一类错误的概率为是的严格递减函数，故其最大值在处达到，即（2）若要，则要求，由此可得出，即得n 至少应取11．7－ 5 设是取自二点分布b （1，p ）的子样，对检验问题记，取拒绝域为W={T≥8}，求该检验犯两类错误的概率．答：因为是取自二点分布b（1，p ）的子样，则是服从的二项分布，于是犯两类错误的概率分别为：7－6 设一个单一观测的子样取自分布密度函数为的母体，对考虑统计假设：试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足，并求其最小值．答：设检验函数为（c 为检验的拒绝域），要使，当时，；当时，；所以检验函数应取，此时，．7－7 设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时．今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时？答：总体，对假设，采用U 检验法，在为真时，检验统计量：临界值，故接受．7－8 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为 2.62，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？取显著性水平=0.01．答：设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则未知，，假设为，统计量由于，故拒绝原假设，即新工艺对电阻有显著差异．7－9 有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3h ，根据资料，用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8h ，标准差为1.8h ，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（以h 为单位）为：26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4试问：这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?答：设新安眠剂疗效为随机变量，则未知，.检验假设从母体中取了容量为7的子样，近似服从正态分布，即：.因而对假设可采用u －检验计算检验统计观察值，所以接受原假设，即新安眠剂未达到新的疗效．7－10 一位校长在报上看到一则报道：“本市初中生平均每周看电视8h”，该校长认为本校学生看电视的时间明显小于该数字，为此随机调查了100名学生，得知每周看电视的平均时间为6.5h，样本标准差为2h ，假定学生每周看电视的时间服从正态分布，根据调查结果，在a=0.05水平下能否支持该校长的看法．答：假设初中生平均每周看电视的时间服从正态分部：未知构造拒绝域，现，故而，由于．所以拒绝即可认为校长的看法是对的．7－11 有甲、乙两个试验员，对同一试验的同一指标进行测定，两人测定的结果如下：表7－1。

概率论与数理统计（茆诗松）第二版课后习题参考答案

第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ；（5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3．设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生；（2）A , B , C 中不多于一个发生；（3）A , B , C 中不多于两个发生；（4）A , B , C 中至少有两个发生．解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；（4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ；（2）AB = A ．解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5．设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A U ；（3）AB ；（4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7．试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；（3）(A ∪B ) − B = A ；（4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8．若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =；（2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111；（3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ；（5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ；（6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)，即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)，即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5．考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ．事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ． 6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ；事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8．口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9．甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )，故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ；（2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5；（2）所得的最大点数等于5．解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ；（2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率．解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率．解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926；（2）P {一对} = 0.4630；（3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）；（5）P {四枚一样} = 0.0193；（6）P {五枚一样} = 0.0008．解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==；（2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {一对}4630.077763600==；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ；事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布．解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ；事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率．解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ，（1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}，得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ，故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ，故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ，从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ，若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ，有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交；如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交；当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )，因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0，则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=，故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ，事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ，故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫，故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31．设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生；（2）A 和B 都发生；（3）A 发生但B 不发生．解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件；（5）P (A ) = 0或P (B ) = 0；（6）P (A − B ) = P (A )．解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0；（6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =，则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ，故取到二级品的概率92)(=B P ．4．从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}；（2）A 2 = {三个数字中不含0或5}；（3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ；（2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ；（3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5．某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率：（1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ；（3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6．某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7．一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8．从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”，则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”，设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ，且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9．口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同，可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率．解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ；（2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问：（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4．注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )．（2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)．证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)，则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ．证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤，故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题连续型随机变量)【圣才出品】

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3.5
设 F1（x）与 F2（x）都是分布函数，又 a＞0，b＞0 是两个常数，且
a＋b＝1。证明：F（x）＝aF1（x）＋bF2（x）也是一个分布函数。并由此讨论，分布函
数是否只有离散型和连续型这两种类型?
解：因为
与
的供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。
3.9 设随机变量 ξ 服从（0，5）上的均匀分布，求方程 4x2＋4ξx＋ξ＋2＝0 有实根的概率。
解：当且仅当
不等式（1）的解为：
或
（1）成立时，方程。因此，该方程有实根的概率
有实根。
。
3.10 设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N（0，1），查正态分布表计算下列结果：（1）P（0.02<ξ≤2.33）；（2）P（ξ＞－1.85）；（3）P（－2.80≤ξ<－1.21）。解：（1）（2）（3）
解：因为
所以因而
，对其求导得到密度函数为：
3.3 已知随机变量 ξ 的密度函数为
（1）求相应的分布函数 F（x）；（2）求 P（ξ<0.5），P（ξ＞1.3），P（0.2<ξ≤1.2）．解：（1）分布函数是密度函数的原函数，所以：
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，我们用记号 3
函数的性质指知
图 3－1 表示集合
所以
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，由分布
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3.14 证明：二元函数
对每个变量单调不减、右连续，且 F（－∞，y）＝F（x，－∞）＝0，F（＋∞，＋∞）

概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版

4 4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答 4 2 案为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包含的样本点只有 71 这一点，于是。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到 2n 根草的情形。解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故
− n ≤ m ≤ N −1
(3) 指定的 m 个盒中正好有 j 个球的概率为
m + j − 1 N − m + n − j − 1 m −1 n− j N + n − 1 n
，
1 ≤ m ≤ N ,0 ≤ j ≤ N .
对头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为用 A 表示 “6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为 4 ⋅ 2 。所以 A 包含的样本点数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ 2) ，于是

概率论与数理统计教程魏宗舒课后习题解答答案_7-8章

第七章假设检验7。

1 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:（1）0:0,1H μσ==；（2）0:0,1H μσ=>; （3）0:3,1H μσ<=；（4）0:03H μ<<；（5）0:0H μ=。

解：（1)是简单假设，其余位复合假设 7。

2 设1225,,,ξξξ取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05解：因为(,9)N ξμ~，故9(,)25N ξμ~ 在0H 成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053c P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦55()0.975,1.9633c cΦ==，所以c =1.176。

7。

3 设子样1225,,,ξξξ取自正态总体20(,)N μσ，2σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>，(1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=0。

05,20σ=0.004，α=0。

05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率.解:(1）在0H 成立的条件下，20(,)nN σξμ~，此时00000()P c P ξαξ=≥=所以10αμ-=，由此式解出010c αμμ-=+在1H 成立的条件下，20(,)nN σξμ~，此时101010()(P c P αξβξμ-=<=<=Φ=Φ=Φ-由此可知,当α增加时,1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。

（2）不犯第二类错误的概率为100.9511(0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-=-Φ-=Φ= 7。

魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题点估计)【圣才出品】

若已知 m＝2，从中获得子样 ξ1，ξ2，…，ξn，求 p 的极大似然估计。解：p 的似然函数为：
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令其中整理得
把 m=2 代入得似然方程：
由于
，所以
，故 p 的极大似然估计为
。
6－10
设 ξ1，ξ2，…，ξn 是取自均匀分布 U（θ，θ＋1）的母体的一个子样其中
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其中
是子样方差，并且在计算中利用了
α、β 的矩法估计量为：
，所以
6－5 对容量为 n 的子样，求密度函数
中参数 α 的矩法估计量。解：
，令
解之得
，a 的矩法估计量为
。
6－6 在密度函数
中参数 α 的极大似然估计量是什么？矩法估计量是什么？
估计。
解：记
，那么
，并且
。所以
所以因为
。的反函数为
，且
，所以
的密度函数为
因此得似然函数为
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其中
为子样观测值。令
解之可得的极大似然估计量分别为：
由于
和是一一对应的，所以
的极大似然估计量为
6－12 一个罐子里装有黑球和自球，有放回地抽取一个容量为 n 的子样；其中有 k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比 R 的极大似然估计量。
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。
（ii）泊松分布的分布列是
其参数为，参数空间
。
（iii）对（0，θ）上的均匀分布，参数为 θ，参数空间为

概率论与数理统计教程(第二版)-魏宗舒-第一章.doc

第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

(3) 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }（3）1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个b b 1+ω，则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，当b 被奇数时：1135{,,,,}b A ωωωω= 当b 为偶数时：21351{,,,,}b A ωωωω+=1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

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第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) ni i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ∪=∪; (2)A B B A ∩=∩(3)=∪∪C B A )()(C B A ∪∪; (4)=∩∩C B A )()(C B A ∩∩ (5)=∩∪C B A )(∪∩)(C A )(C B ∩ (6) ni i ni i A A 11===证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

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表 8－8
又有
，并假定各种纤维的强度服从等方差的正态分布，试
问：7 种纤维平均强度有无显著差异?
解：由题意可得
所以
，
因而
．
从而检验统计量
，检验的 p 值为 0.668．说明因子是不
显著的，故认为七种纤维之间的强度无显著性差异．
= 表 8－10
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结论：
（1）在显著性水平 a=0.05 上， a=0.05 上各观察点空气中的平均含量有显著差异．
,所以在显著性水平
（2）从各观察点空气中的平均含量可知的污染最严重，的污染最轻．
（3）空气中含量的标准差的估计为
．
8－8 下面记录了 3 位操作工分别在 4 台不同机器上操作 3 天的日产量：表 8－11
假定各操作工在每台机器上的产量服从同方差正态分布，试在显著性水平 0.05 下检验：
（1）操作工之间的差异是否显著? （2）机器之间的差异是否显著? （3）操作工与机器的交互作用是否显著?
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第 8 章方差分析和回归分析
8－1 在一个单因子试验中，因子 A 有 3 个水平，每个水平下各重复 5 次，具体数据及其均值、组内偏差平方和如下：
表 8－1
试计算误差平方和，因子 A 的偏差平方和，总的偏差平方和，并指出它们各自的自由度．
由于
，所以在
异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异．

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