(论文)高斯模糊图像的正则逆扩散方程复原方法

高斯模糊图像的正则逆扩散方程复原方法

摘要：利用高斯卷积和线性扩散的等价性，从偏微分方程逆问题的角度，提出了一种针对高斯模糊图像的复原方法：RBD-PDE （Regularized Backward Diffusion ）；从频率域角度分析了逆扩散方程的正则化表达式和正则滤波之间的关系；得出正则滤波器最佳截止频率和反向扩散时间之间的关系，为以实验的方式进行盲反卷积提供便利。较传统的基于能量范涵的复原方法，如维纳滤波或TV 模型，RBD-PDE 方法具有最佳复原效果（在高斯核标准方差已知或未知的情况下，RBD 的结果均优于传统能量泛函方法的最佳结果）。

关键词：偏微分方程，逆问题，正则化，图像复原

1引言

图像复原是图像处理中的经典问题，对于线性系统，图像的模糊过程可以看作原始的清晰图像0u 与核函数（本文假设高斯核G σ）的卷积，而图像复原或反卷积（去卷积）是从模糊图像t u 复原清晰图像的过程，数学形式为：

()()()()00t u G u G u d σσ=⊗-⎰x =x y y y

(1)

图像反卷积包括核函数已知与核函数未知（盲反卷积）的两种情况，已有大量的研究文献提出了多种方法，如文献[1~3,7]为核函数已知情况，文献[4~6,10,12]为核函数未知的情况等。大多数方法都基于能量泛函理论，通过加入约束条件建立优化模型，如维纳滤波方法、有约束的最小二乘法、整体变分（TV ）模型[7] 等，或使用自然图像的统计特性取代梯度[4,6,10,11,12]

，以实现稳定和准确的进行求解。对于基于能量泛函的方法，准确知道核函数对于

复原效果起着至关重要的作用[13]。

当高斯核函数的标准方差未知时，有无数组{}0,G u σ满足式(1)，因此，需要加入对

0,G u σ的假设（先验知识）。稀疏性是最常用的假设，对于主要应用于运动模糊的盲卷积能

取得较好的效果[4,5,6,10]。但是当稀疏性不满足时，例如高斯核函数，传统的基于稀疏先验的方法难以取得较好的效果。

不同于传统的基于能量泛函的方法，本文从偏微分方程和逆问题的角度出发，提出一种全新的针对高斯模糊图像的复原方法：RBD-PDE （Regularized Backward Heat Diffusion ）。较之于传统的基于能量泛函的方法，RBD-PDE 在高斯核标准方差未知的情况下，仍然能够有效地实现图像复原，性能优于传统方法。RBD-PDE 容易和现有的线性或非线性偏微分方程方法相结合，构成新的复原模型，因此具有更大的灵活性和方法的可拓展性。

对于运动模糊图像已有许多有效的复原方法[4,5,10]

，而复杂的图像模糊可以分解为运动模糊

和高斯模糊

[？？？]

，并分别进行复原。因此，高斯模糊的复原方法具有很重要的研究和实用价值。

2正向和逆扩散方程

线性热扩散方程的解为高斯核（热核）函数与初始条件函数的卷积，热扩散过程等价于

高斯模糊过程。自然的，从偏微分方程角度看，图像复原可视为正向热扩散的逆过程。

2.1正向扩散方程

对于线性热扩散偏微分方程：

()()()()2

0,,0, 0, 0,u t u t t R

t

u u ∂⎧-∆=≥∈⎪∂⎨⎪=⎩

x x x x x （2） 其中{}2

12,x x R ∈x =，是一个二维变量。()0u x 为热扩散方程的初始条件，对于图像问题，

表示原始的清晰图像。假设()0u x 定义在区间[]2

0,1上，式(2)的解为[9]：

()()()()()00,u t G u G u d σσ⊗=-⎰x =x x y y y

(3)

σ=

()2

22122

222

1

1

exp exp 2222x x G σπσσπσσ⎛⎫⎛⎫+= -

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭x x (4) 的标准差。在已知σ的条件下，图像复原问题等价于求解式（3）的0u （第一类Fredholm

积分方程）。现有许多求解方法，例如LTI （线性时间不变）维纳滤波：

()()()()*102

,t F G u F F u F G σσλλ-⎛⎫

⎪= ⎪+⎝⎭

x

(5)

其中1

,F F

-分别表示傅里叶变换及逆变换算子，“ ”表示算子的作用，“*” 表示算子的伴

随（共轭转置），λ为正则参数，一些改进复原方法[2,3]，可以看作对λ的优化。若式(2)中加入边界条件的约束，式(5)中的1

,F F

-可为傅里叶变换及逆变换的特殊形式。例如对于第二

类边界条件（本文中使用的边界条件），1

,F F -表示余弦变换及逆变换。

2.2逆扩散方程

在核函数未知的情况下，无法直接通过式(5)求解 ()0,u

λx 。但是可以从式(2)出发，通过逆过程，得到()0u x 的估计值，即将盲反卷积问题转换为一个偏微分方程逆问题。 引理1：假设模糊图像是经过线性扩散方程(2)（式(3)高斯核卷积）得到的，在理想情况下（没有噪声和计算误差），总可以通过逆扩散方程：

()()()()()2

01,,0, 0, ,

0,,v t v t t R t

v v u t ∂⎧+∆=≥∈⎪∂⎨⎪==⎩

x x x x x x （6）

得到式(2)中的初始条件()0u x 。

证明：对式(2)和式(6)两端做傅里叶变换，可得：

() () () ()

20,,00,d u t u t dt u

u ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ωωωωω

（7）