广西省梧州市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
2025届梧州市重点中学高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届梧州市重点中学高三第一次调研测试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有A .72种B .36种C .24种D .18种2.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、,已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14,记ABC α∠=,则2cos sin 2αα+=( )A .35B .45C .1D .853.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是( )A .12B .45C .38D .344.已知命题:p 若1a <,则21a <,则下列说法正确的是( )A .命题p 是真命题B .命题p 的逆命题是真命题C .命题p 的否命题是“若1a <,则21a ≥”D .命题p 的逆否命题是“若21a ≥,则1a <”5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2550S =,则1115a a +=( )A .4B .8C .16D .26.若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立,则a 的最小值是 ( ) A .0 B .2- C .52- D .3-7.已知命题p :1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件;命题q :函数4()f x x x =+的最小值为4. 给出下列命题:①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()()p q ⌝∧⌝,其中真命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .48.已知,m n 表示两条不同的直线,αβ,表示两个不同的平面,且,m n αβ⊥⊂,则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要9.在平面直角坐标系中,经过点(22,2)P -,渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为( )A .22142-=x y B .221714x y -= C .22136x y -= D .221147y x -=10.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )A .B .C .D .11.函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为( )A .B .C .D .12.若2332a b a b +=+,则下列关系式正确的个数是( )①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A .1B .2C .3D .4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题及答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B =( )A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D. {}2,3,4【答案】B2. 已知2i z =-,则()i z z +=( )A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +【答案】C3. )A. 2B.C. 4D. 【答案】B4. 下列区间中,函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( ) A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A5. 已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C6. 若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+( ) A. 65- B. 25- C. 25 D. 65【答案】C7. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则( )A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<【答案】D 8. 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD10. 已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,1,0A ,则( )A . 12OP OP = B. 12AP AP = C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB的距离大于2C. 当PBA ∠最小时,PB =D. 当PBA ∠最大时,PB =【答案】ACD12. 在正三棱柱111ABC A B C -中,11AB AA ==,点P 满足1BP BC BB λμ=+,其中[]0,1λ∈,[]0,1μ∈,则( )A. 当1λ=时,1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时,三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时,有且仅有一个点P ,使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时,有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数,则a =______. 【答案】114. 已知O 为坐标原点,抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,若6FQ =,则C 的准线方程为______. 【答案】32x =- 15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】116. 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n 次,那么1n k k S==∑______2dm .【答案】 (1). 5 (2). ()41537202n n -+-四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 (1)记2n nb a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式;(2)求{}n a 的前20项和.【答案】(1)122,5b b ==;(2)300.19. 记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=.(1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.【答案】(1)证明见解析;(2)7cos 12ABC ∠=. 20. 如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.(1)证明:OA CD ⊥;(2)若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)因为AB=AD,O 为BD 中点,所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,AO ⊂平面ABD ,因此AO ⊥平面BCD ,因为CD ⊂平面BCD ,所以AO ⊥CD(2) 621. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F 、)2122F MF MF -=,点M 的轨迹为C . (1)求C 的方程;(2)设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】(1)()221116y x x -=≥;(2)0. 22. 已知函数()()1ln f x x x =-.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且ln ln b a a b a b -=-,证明:112e a b <+<. 【答案】(1)()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,+∞(2)因为ln ln b a a b a b -=-,故()()ln 1ln +1b a a b +=,即ln 1ln +1a b a b +=, 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设1211,x x a b==,由(1)可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时,()()1ln 0f x x x =->,(),x e ∈+∞时,()()1ln 0f x x x =-<, 故21x e <<.先证:122x x +>,若22x ≥,122x x +>必成立.若22x <, 要证:122x x +>,即证122x x >-,而2021x <-<,故即证()()122f x f x >-,即证:()()222f x f x >-,其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<,则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦,因为12x <<,故()021x x <-<,故()ln 20x x -->,所以()0g x '>,故()g x 在()1,2为增函数,所以()()10g x g >=, 故()()2f x f x >-,即()()222f x f x >-成立,所以122x x +>成立, 综上,122x x +>成立.设21x tx =,则1t >, 结合ln 1ln +1a b a b+=,1211,x x a b ==可得:()()11221ln 1ln x x x x -=-, 即:()111ln 1ln ln x t t x -=--,故11ln ln 1t t t x t --=-, 要证:12x x e +<,即证()11t x e +<,即证()1ln 1ln 1t x ++<, 即证:()1ln ln 111t t t t t --++<-,即证:()()1ln 1ln 0t t t t -+-<, 令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->,则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭, 先证明一个不等式:()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-,则()1111x u x x x -'=-=++, 当10x -<<时,()0u x '>;当0x >时,()0u x '<,故()u x 在()1,0-上为增函数,在()0,+∞上为减函数,故()()max 00u x u ==, 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时,112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭,故()0S t '<恒成立, 故()S t 在()1,+∞上为减函数,故()()10S t S <=,故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立,即12x x e +<成立. 综上所述,112e a b <+<.。
2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷(理科)(一模)

2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷(理科)(一模)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若3(2)(3)z i i =-+,则复数z 的实部与虚部之和为( ) A .12B .11C .10D .62.(5分)已知集合2{|340}A x x x =--<,{|0}B x x m =<<,若{|04}A B x x =<<,则m 可能的值为( )A .1B .2C .3D .53.(5分)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,其历史可以追溯到公元前一世纪.明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A .516B .1132C .716D .13324.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点(1,4)P ,则其焦点到准线的距离为( )A .18B .14C .4D .85.(5分)曲线2()11x f x e x =-++在点(0,0)处的切线的方程为( ) A .y x =-B .3y x =C .0y =D .4y x =6.(5分)设0.43a =,1()2b π=,3log 7c =( )A .a b c >>B .c b a >>C .b a c >>D .a c b >>7.(5分)函数sin ()()22x xxf x x ππ-=-+的图象可能为( )A .B .C .D .8.(5分)已知a ,b 是非零向量且满足(2)b a a -⊥,||2a =,则a b ⋅的值是( ) A .23B .2C .23-D .2-9.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程2240x y x +-=.若直线(1)y x =+上存在一点P ,使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数的值可以是( ) A .4-B .3-C .2D .410.(5分)函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ,()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点,则ω的取值范围是( )A .812(,)55B .812[,)55C .1229(,)510D .1229[,)51011.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的体积为( )A .1B .23C .56 D .1312.(5分)已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '是()f x 的导函数,且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+>成立,则( )①()2()43f f ππ<;②()3()36f f ππ<;③()3()63f f ππ<;④2()3()64f f ππ<.A .①③④B .①②③C .②③④D .①②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知实数x ,y 满足502200x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为 .14.(5分)37(3)x x+展开式中7x 的系数是 .15.(5分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2b c -=,1cos 4A =-,26AB AB BC +⋅=-,则边长a 的值为 .16.(5分)某市民广场有一批球形路障球(如图1所示).现公园管理处响应市民要求,决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图2所示).其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形),它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量,这批球形路障球每个直径为60cm ,若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球,则每个改造后的立方八面体表面积为 2cm .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:机动车行驶时,驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带,摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔.虽然电动自行车不属于机动车,但是电动自行车使用频率高且车速较快,据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死.为了维护电动自行车使用人的生命健康安全,全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔.如表是某市一主干路段,交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据:月份678910不佩戴安全头盔人数115100959070(1)请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数y与月份x之间的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+.(2)利用(1)中的回归方程,预测该路段12月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数;附:1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑,ˆˆa y bx=-.18.(12分)设公差不为零的等差数列{}na满足34a=-,且2a,1a,3a成等比数列.(1)求数列{}na的通项公式;(2)若数列{}13nna--的前n项和为nS,求使得20nS-成立的最小正整数n.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆F中心在原点,焦距为2,右准线l的方程为3x=.过2F的直线交于E于A,B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若222AF F B=,求直线AB的方程.20.(12分)如图所示,在三棱锥A BCD-中,侧棱AB⊥平面BCD,F为线段BD中点,23BCDπ∠=,3AB=,2BC CD==.(1)证明:CF⊥平面ABD;(2)设Q是线段AD上一点,二面角A BQ C--的正弦值为13,求DQDA的值.21.(12分)设函数()1x f x xe =-. (1)求函数()f x 的极小值;(2)求证:()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2(3x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1)求l 的极坐标方程和1C 的直角坐标方程; (2)若曲线2C 的极坐标方程为6πθ=,2C 与l 的交点为A ,与1C 异于极点的交点为B ,求||AB .[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数()|2|f x x a =-,()|2|g x x =+. (1)若()2()f x g x +的最小值为2,求实数a 的值;(2)若关于x 的不等式()()6f x g x +<的解集为A ,若[1,2]A ⊆,求实数a 的取值范围.2021年广西桂林市高考数学第一次调研试卷(理科)(一模)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若3(2)(3)z i i =-+,则复数z 的实部与虚部之和为( ) A .12 B .11C .10D .6【解答】解:3(2)(3)(2)(3)55z i i i i i =-+=++=+,则实部与虚部之和5510=+=. 故选:C .2.(5分)已知集合2{|340}A x x x =--<,{|0}B x x m =<<,若{|04}A B x x =<<,则m 可能的值为( )A .1B .2C .3D .5【解答】解:2{|340}(1,4)A x x x =--<=-,(0,4)AB =,4m ∴.故选:D .3.(5分)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,其历史可以追溯到公元前一世纪.明、清两代这一在民间广受喜爱的游戏逐渐流传至海外并有了一个新的名字“唐图”,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A .516B .1132C .716D .1332【解答】解:设正方形边长为a ,则其面积2S a =,阴影部分面积22212125()()2216a S '=⨯+⨯=, ∴所求概率516S p S '==.故选:A .4.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点(1,4)P ,则其焦点到准线的距离为( )A .18B .14C .4D .8【解答】解:设抛物线方程:22y px =,代入(1,4)P 得8p =,其焦点到准线的距离为8. 故选:D .5.(5分)曲线2()11x f x e x =-++在点(0,0)处的切线的方程为( ) A .y x =-B .3y x =C .0y =D .4y x =【解答】解:曲线2()11x f x e x =-++,可得22()(1)x f x e x '=++,(0)3f '=, 则切线方程为3y x =. 故选:B .6.(5分)设0.43a =,1()2b π=,3log 7c =,则( )A .a b c >>B .c b a >>C .b a c >>D .a c b >>【解答】解:0.40331>=,1a ∴>,0110()()122π<<=,∴102b <<,333137312log log log =<<=,∴112c <<, 所以a c b >>. 故选:D .7.(5分)函数sin ()()22xxxf x x ππ-=-+的图象可能为( )A .B .C .D .【解答】解:因为sin()()()22x xx f x f x ---==-+,故函数()f x 是奇函数,排除选项A ,B ;取0x >,则()0f x >,排除选项C . 故选:D .8.(5分)已知a ,b 是非零向量且满足(2)b a a -⊥,||2a =,则a b ⋅的值是( ) A .23B .2C .23-D .2-【解答】解:设a ,b 的夹角为θ;(2)b a a -⊥,∴(2)0b a a -⋅=,220b a a ⋅-=又||2a =,24a =,∴2a b ⋅=. 故选:B .9.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程2240x y x +-=.若直线(1)y x =+上存在一点P ,使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数的值可以是( ) A .4-B .3-C .2D .4【解答】解:由2240x y x +-=,得22(2)4x y -+=, 圆心(2,0)C ,半径2r =,过点P 所作的圆的两条切线相互垂直,P ∴,C 及两切点构成正方形,则||2PC = 又P 在直线(1)y x =+上,∴圆心到直线的距离2221d =+.解得:222-.结合选项可得,实数的值可以是2. 故选:C .10.(5分)函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ,()f x 在[0,2]π上有且只有5个零点,则ω的取值范围是( )A .812(,)55B .812[,)55C .1229(,)510D .1229[,)510【解答】解:依题意得()()sin[()]sin()555f xg x x x πππωωωω=+=+=+,2T πω=, 如图所示:因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=, 22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=, 所以2429255πππωω<,解得1229510ω<,故选:D .11.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的体积为( )A .1B .23C .56 D .13【解答】解:由三视图可知,该几何体是由正方体截取四个角所得,三棱锥的体积为:111111326⨯⨯⨯⨯=, 其体积为111463-⨯=. 故选:D .12.(5分)已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '是()f x 的导函数,且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+>成立,则( )①()2()43f ππ;②()3()36f ππ;③()3()63f ππ<;2()3()64ππ.A .①③④B .①②③C .②③④D .①②④【解答】解:设()()cos f x g x x =,则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'⋅+⋅'=, 因为(0,)2x π∈时,cos ()sin ()0xf x xf x '+>,所以(0,)2x π∈时,2()cos ()sin ()0cos f x x f x xg x x '⋅+⋅'=>,因此()g x 在(0,)2π上单调递增,所以()()43g g ππ<,()()63g g ππ<,()()64g g ππ<,()()34()2()14322f f f ππππ<⇒<,①正确; ()()63()3()16332f f f ππππ<⇒<,③正确;()()642()3()6432f f ππππ<⇒<,④正确.故选:A .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知实数x ,y 满足502200x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为 9 .【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由50220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩,解得(1,4)B ,由2z x y =+,得22x z y =-+表示斜率为12-,纵截距为2z的一组平行直线,平移直线22x zy =-+,当直线经过点(1,4)B 时,此时直线22x zy =-+截距最大,z 最大,此时9z =.故答案为:9. 14.(5分)37(3)x x展开式中7x 的系数是 945 . 【解答】解:37(3x x+展开式的通项公式7213772177(3)()3rrrr rr r T C x C xx---+=⋅=,令72172r -=,解得:4r =,7x ∴系数为945,故答案为:945.15.(5分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2b c -=,1cos 4A =-,26AB AB BC +⋅=-,则边长a 的值为 8 .【解答】解:21()cos 64AB AB BC AB AB BC AB AC bc A bc +⋅=⋅+=⋅==-=-,24bc ∴=,∴由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩(舍去),22212cos 3616264()644a b c bc A ∴=+-=+-⨯⨯⨯-=,8a ∴=.故答案为:8.16.(5分)某市民广场有一批球形路障球(如图1所示).现公园管理处响应市民要求,决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图2所示).其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形),它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体经过测量,这批球形路障球每个直径为60cm,若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球,则每个改造后的立方八面体表面积为540018003+2cm.【解答】解:由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,则立方八面体表面有8个正三角形,再加上6个小正方形,且正方形边长与正三角形边长相等,当立方八面体外接于路障球时体积最大,即路障球为立方八面体的外接球.设立方八面体棱长为a,外接球直径2222260d a a a=+=,则30a=,所以立方八面体表面积22368540018003S a=+=+.故答案为:540018003+三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》规定:机动车行驶时,驾驶人、乘坐人员应当按规定使用安全带,摩托车驾驶人及乘坐人员应当按规定佩戴安全头盔.虽然电动自行车不属于机动车,但是电动自行车使用频率高且车速较快,据统计摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约80%为颅脑损伤致死.为了维护电动自行车使用人的生命健康安全,全国多个地区出台各项规定要求电动自行车驾驶人和乘坐人都必须佩戴安全头盔.如表是某市一主干路段,交警对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数统计数据:月份678910不佩戴安全头盔人数115100959070(1)请利用所给数据求出该路段电动自行车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人数y 与月份x 之间的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. (2)利用(1)中的回归方程,预测该路段12月份“不佩戴安全头盔”驾驶人和乘车人人数;附:1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑,ˆˆay bx =-. 【解答】解:(1)67891085x ++++==,115100959070945y ++++==,515222156115710089599010705894100ˆ103649648110058105i ii ii x yxybxx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-====-++++-⨯-∑∑,ˆˆ94(10)8174ay bx =-=--⨯=, 所以,y 与x 之间的回归直线方程为ˆ10174y x =-+; (2)当12x =时,ˆ101217454y=-⨯+=, 预测该路段12月份的“不佩戴安全头盔”驾驶人与乘车人为54人.18.(12分)设公差不为零的等差数列{}n a 满足34a =-,且2a ,1a ,3a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}13n n a --的前n 项和为n S ,求使得20n S -成立的最小正整数n . 【解答】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为2a ,1a ,3a 成等比数列,所以2123a a a =, 即2111()(2)a a d a d =++,整理得1320a d +=①. 又因为3124a a d =+=-②.所以联立①②,解得12a =,3d =-. 所以23(1)35n a n n =--=-+.(2)由(1)可得113(35)3n n n a n ---=-+-,所以0121(23)(13)(43)[(35)3]n n S n -=-+--+--+⋯+-+-0121[2(1)(4)(35)](3333)n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋯+022[2(35)]3(13)73317331213222n n n n n n n n n +-+-----+=-=-=-, 11S =,23S =-,12S S >,由273()2x x f x -=在[2,)+∞是单调减函数,31()2x g x -=-是单调减函数,则{}n S 是单调递减数列. 又316S =-,450S =-,则能使得20n S -成立的最小正整数为4..19.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆F 中心在原点,焦距为2,右准线l 的方程为3x =.过2F 的直线交于E 于A ,B 两点. (1)求椭圆E 的方程;(2)若222AF F B =,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)设椭圆方程为22221()x y a b a b+=>,其中2223c a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:23a =,1c =,2212b a ∴=-=,故所求椭圆方程为22132x y +=. (2)设AB 方程为1x my =+,代入椭圆22236x y +=中得:222(1)36my y ++=,即22(23)440m y my ++-=, 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,则122423m y y m -+=+,122423y y m -=+, 由222AF F B =得122y y -=,解得2m =±. 则直线AB的方程为1)y x =-.20.(12分)如图所示,在三棱锥A BCD -中,侧棱AB ⊥平面BCD ,F 为线段BD 中点,23BCD π∠=,3AB =,2BC CD ==.(1)证明:CF ⊥平面ABD ;(2)设Q 是线段AD 上一点,二面角A BQ C --的正弦值为134,求DQ DA的值.【解答】(1)证明:因为BC CD =,F 为线段BD 中点,所以CF BD ⊥. 因为AB ⊥平面BCD ,CF ⊂平面BCD ,所以CF AB ⊥. 又因为AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,AB BD B =,所以CF ⊥平面ABD .(2)解:作FE BQ ⊥于E ,连接CE ,设DBQ θ∠=,CEF α∠=, 由(1)知CF ⊥平面ABD ,所以CF BQ ⊥,CF FE ⊥, 所以BQ ⊥平面EFC ,所以BQ EC ⊥, 所以CEF ∠为二面角D BQ C --的平面角,因为二面角D BQ C --与二面角A BQ C --为互补二面角, 所以13sin α=,3cos α=,2sin30tan 2cos30sin 3sin CF EF αθθ︒===︒⋅, 所以1333sin θ=,于是sin 13θ=,23sin()213πθ-=,1123sin 11321323sin()32213DBQQBA QB BD S DQ QA S QB BA θπθ∆∆⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅-⋅, 所以14DQ DA =,即DQ DA 的值为14.21.(12分)设函数()1x f x xe =-.(1)求函数()f x 的极小值;(2)求证:()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点. 【解答】解:(1)()(1)x x x f x e xe x e '=+=+,由()0f x '>,得1x >-,所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数, 由()0f x '<,得1x <-,所以函数()f x 在区间(,1)-∞-上是减函数,故()f x 在1x =-处取得极小值,且1(1)1f e-=--.(2)证明:()()()1x x g x f x ae x a e =-=--,()()(1)x x x g x e x a e x a e '=+-=-+, 由()0g x '>,得1x a >-,所以函数()g x 在区间(1,)a -+∞上是增函数, 由()0g x '<,得1x a <-,所以函数()g x 在区间(,1)a -∞-上是减函数, 故()g x 在1x a =-处取得最小值,且1(1)10a g a e --=--<, 当1x a <-时,1x a -<-则()()110x x g x x a e e =--<--<, 当1x a >-时,由220a +>则211a a a ++>-, 此时2221(1)(1)1aa g a a a e ++++=+-,又2(1)1a +>,22131()024a a a ++=++>,∴324(1)10g a a e ++>->,又()g x 图象不间断,()g x ∴在(,1)a -∞-时没有零点,()g x 在(1,)a -+∞有且仅有一个零点;综上所述,()()x g x f x ae =-在R 上有且仅有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2(3x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1)求l 的极坐标方程和1C 的直角坐标方程; (2)若曲线2C 的极坐标方程为6πθ=,2C 与l 的交点为A ,与1C 异于极点的交点为B ,求||AB .【解答】解:(1)直线l的参数方程为2(3x t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),消去参数t ,可得直线l0y +-, 又cos x ρθ=,sin y ρθ=,故直线lcos sin 0θρθ+-=; 由曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=,得26cos 0ρρθ-=, 即2260x y x +-=,化为22(3)9x y -+=. 故曲线1C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=. (2)由题意设(,)6A A πρ,(,)6B B πρ,cossin066A A ππρ+-,解得A ρ=;又6cos6B πρ==|||||A B AB ρρ∴=-==[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数()|2|f x x a =-,()|2|g x x =+. (1)若()2()f x g x +的最小值为2,求实数a 的值;(2)若关于x 的不等式()()6f x g x +<的解集为A ,若[1,2]A ⊆,求实数a 的取值范围. 【解答】解:(1)()2()|2||24|f x g x x a x +=-++ |224||4|x a x a ---=--,|4|2a ∴+=,解得2a =-或6-.(2)由()()6f x g x +<,得|2||2|6x a x -++<, 当[1x ∈,2]时,|2||2||2|26x a x x a x -++=-++<, 即|2|4x a x -<-,∴2424x a x x a x -<-⎧⎨->-⎩,∴443aa x +-<<,由[1,2]A ⊆,可知42341a a +⎧>⎪⎨⎪-<⎩,解得25a <<.即a 的取值范围为(2,5).。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅰ)(附答案详解)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅰ)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.(2021·湖南省·历年真题)设集合A={x|−2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=()A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}2.(2021·广东省深圳市·期末考试)已知z=2−i,则z(z−+i)=()A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i3.(2021·湖南省·历年真题)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√24.(2021·湖南省·历年真题)下列区间中,函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是()A. (0,π2) B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)5.(2021·湖南省·历年真题)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.(2021·湖南省·历年真题)若tanθ=−2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=()A. −65B. −25C. 25D. 657.(2021·湖南省·历年真题)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则()A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.(2021·湖南省·历年真题)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9. (2021·湖南省·历年真题)有一组样本数据x 1,x 2,…,x n ,由这组数据得到新样本数据y 1,y 2,…,y n ,其中y i =x i +c(i =1,2,…,n),c 为非零常数,则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同10. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( ) A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. (2021·湖南省·历年真题)已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时,|PB|=3√2D. 当∠PBA 最大时,|PB|=3√212. (2021·湖南省·历年真题)在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,AB =AA 1=1,点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )A. 当λ=1时,△AB 1P 的周长为定值B. 当μ=1时,三棱锥P −A 1BC 的体积为定值C. 当λ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1P ⊥BP D. 当μ=12时,有且仅有一个点P ,使得A 1B ⊥平面AB 1P三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. (2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数,则a = ______ . 14. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点,抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为______ .15. (2021·湖南省·历年真题)函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为______ . 16. (2021·湖南省·历年真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10dm ×12dm ,20dm ×6dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240dm 2,对折2次共可以得到5dm ×12dm ,10dm ×6dm ,20dm ×3dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180dm 2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ;如果对折n 次,那么∑S k n k=1= ______ dm 2.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.(2021·湖南省·历年真题)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.(1)记b n=a2n,写出b1,b2,并求数列{b n}的通项公式;(2)求{a n}的前20项和.18.(2021·湖南省·历年真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.19.(2021·湖南省·历年真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.20.(2021·湖南省·历年真题)如图,在三棱锥A−BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E−BC−D的大小为45°,求三棱锥A−BCD的体积.21.(2021·湖南省·历年真题)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(−√17,0),F2(√17,0),点M满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=1上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,2且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.(2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x(1−lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna−alnb=a−b,证明:2<1a +1b<e.答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解:∵A={x|−2<x<4},B={2,3,4,5},∴A∩B={x|−2<x<4}∩{2,3,4,5}={2,3}.故选:B.直接利用交集运算得答案.本题考查交集及其运算,是基础题.2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解:∵z=2−i,∴z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i.故选:C.把z=2−i代入z(z−+i),再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.【答案】B【知识点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征【解析】解:由题意,设母线长为l,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,则有2π⋅√2=π⋅l,解得l=2√2,所以该圆锥的母线长为2√2.故选:B.设母线长为l,利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,列出方程,求解即可.本题考查了旋转体的理解和应用,解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解:令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ,k∈Z.则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.当k=0时,k∈[−π3,2π3],(0,π2)⊆[−π3,2π3],故选:A.本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解.本题考查正弦函数单调性,是简单题.5.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义、基本不等式【解析】解:F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,取等号,所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9.故选:C.利用椭圆的定义,结合基本不等式,转化求解即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,基本不等式的应用,是基础题.6.【答案】C【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系【解析】解:由题意可得:sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25.故选:C.由题意化简所给的三角函数式,然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值.本题主要考查同角三角函数基本关系,三角函数式的求值等知识,属于中等题.【知识点】函数与方程的综合应用、导数的几何意义 【解析】解:函数y =e x 是增函数,y′=e x >0恒成立,函数的图象如图,y >0,即取得坐标在x 轴上方,如果(a,b)在x 轴下方,连线的斜率小于0,不成立.点(a,b)在x 轴或下方时,只有一条切线. 如果(a,b)在曲线上,只有一条切线; (a,b)在曲线上侧,没有切线;由图象可知(a,b)在图象的下方,并且在x 轴上方时,有两条切线,可知0<b <e a . 故选:D .画出函数的图象,判断(a,b)与函数的图象的位置关系,即可得到选项.本题考查曲线与方程的应用,函数的单调性以及切线的关系,考查数形结合思想,是中档题.8.【答案】B【知识点】相互独立事件同时发生的概率【解析】解:由题意可知,两点数和为8的所有可能为:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2), 两点数和为7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), P(甲)=16,P(乙)=16,P(丙)=56×6=536,P(丁)=66×6=16, A :P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙), B :P(甲丁)=136=P(甲)P(丁), C :P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙),D :P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁), 故选:B .分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况,然后根据独立事件的定义判断即可.本题考查相互独立事件的应用,要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,属于中档题.【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差【解析】解:对于A ,两组数据的平均数的差为c ,故A 错误; 对于B ,两组样本数据的样本中位数的差是c ,故B 错误; 对于C ,∵标准差D(y i )=D(x i +c)=D(x i ), ∴两组样本数据的样本标准差相同,故C 正确; 对于D ,∵y i =x i +c(i =1,2,…,n),c 为非零常数,x 的极差为x max −x min ,y 的极差为(x max +c)−(x min +c)=x max −x min , ∴两组样本数据的样本极差相同,故D 正确. 故选:CD .利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可.本题考查命题真假的判断,考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识,是基础题.10.【答案】AC【知识点】向量的数量积【解析】解:∵P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0), ∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα),OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,−sinβ), OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+β),sin(α+β)),OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0), AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−1,sinα),AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ−1,−sinβ),则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1,|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2β+(−sinβ)2=1,则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故A 正确;|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosα−1)2+sin 2α=√cos 2α+sin 2α−2cosα+1=√2−2cosα, |AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√cos 2β+sin 2β−2cosβ+1=√2−2cosβ,|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故B 错误;OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β), OP 1−⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β), ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确; OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cosα+0×sinα=cosα,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosβcos(α+β)−sinβsin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误. 故选:AC .由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标,然后逐一验证四个选项得答案.本题考查平面向量数量积的性质及运算,考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数,考查运算求解能力,是中档题.11.【答案】ACD【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解:∵A(4,0),B(0,2),∴过A 、B 的直线方程为x4+y2=1,即x +2y −4=0,圆(x −5)2+(y −5)2=16的圆心坐标为(5,5), 圆心到直线x +2y −4=0的距离d =|1×5+2×5−4|√12+22=11√5=11√55>4,∴点P 到直线AB 的距离的范围为[11√55−4,11√55+4],∵11√55<5,∴11√55−4<1,11√55+4<10,∴点P 到直线AB 的距离小于10,但不一定大于2,故A 正确,B 错误;如图,当过B 的直线与圆相切时,满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小,位于P 2时∠PBA 最大),此时|BC|=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34, ∴|PB|=√|BC|2−42=√18=3√2,故CD 正确. 故选:ACD .求出过AB 的直线方程,再求出圆心到直线AB 的距离,得到圆上的点P 到直线AB 的距离范围,判断A 与B ;画出图形,由图可知,当过B 的直线与圆相切时,满足∠PBA 最小或最大,求出圆心与B 点间的距离,再由勾股定理求得|PB|判断C 与D . 本题考查直线与圆的位置关系,考查转化思想与数形结合思想,是中档题.12.【答案】BD【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解:对于A ,当λ=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 故点P 在线段CC 1上,此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ,当点P 为CC 1的中点时,△AB 1P 的周长为√5+√2, 当点P 在点C 1处时,△AB 1P 的周长为2√2+1, 故周长不为定值,故选项A 错误;对于B ,当μ=1时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故点P 在线段B 1C 1上, 因为B 1C 1//平面A 1BC ,所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等, 又△A 1BC 的面积为定值,所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值,故选项B 正确;对于C ,当λ=12时,取线段BC ,B 1C 1的中点分别为M ,M 1,连结M 1M ,因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在线段M 1M 上,当点P 在M 1处时,A 1M 1⊥B 1C 1,A 1M 1⊥B 1B , 又B 1C 1∩B 1B =B 1,所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ,又BM 1⊂平面BB 1C 1C ,所以A 1M 1⊥BM 1,即A 1P ⊥BP , 同理,当点P 在M 处,A 1P ⊥BP ,故选项C 错误;对于D ,当μ=12时,取CC 1的中点D 1,BB 1的中点D ,因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则点P 在线的DD 1上,当点P 在点D 1处时,取AC 的中点E ,连结A 1E ,BE ,因为BE ⊥平面ACC 1A 1,又AD 1⊂平面ACC 1A 1,所以AD 1⊥BE , 在正方形ACC 1A 1中,AD 1⊥A 1E , 又BE ∩A 1E =E ,BE ,A 1E ⊂平面A 1BE ,故AD 1⊥平面A 1BE ,又A 1B ⊂平面A 1BE ,所以A 1B ⊥AD 1, 在正方体形ABB 1A 1中,A 1B ⊥AB 1,又AD 1∩AB 1=A ,AD 1,AB 1⊂平面AB 1D 1,所以A 1B ⊥平面AB 1D 1, 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个, 故有且仅有一个点P ,使得A 1B ⊥平面AB 1P ,故选项D 正确.故选:BD .判断当λ=1时,点P 在线段CC 1上,分别计算点P 为两个特殊点时的周长,即可判断选项A ;当μ=1时,点P 在线段B 1C 1上,利用线面平行的性质以及锥体的体积公式,即可判断选项B ;当λ=12时,取线段BC ,B 1C 1的中点分别为M ,M 1,连结M 1M ,则点P在线段M 1M 上,分别取点P 在M 1,M 处,得到均满足A 1P ⊥BP ,即可判断选项C ;当μ=12时,取CC 1的中点D 1,BB 1的中点D ,则点P 在线的DD 1上,证明当点P 在点D 1处时,A 1B ⊥平面AB 1D 1,利用过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个,即可判断选项D . 本题考查了动点轨迹,线面平行与线面垂直的判定,锥体的体积问题等,综合性强,考查了逻辑推理能力与空间想象能力,属于难题.13.【答案】1【知识点】函数的奇偶性【解析】解:函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数, y =x 3为R 上的奇函数,故y =a ⋅2x −2−x 也为R 上的奇函数, 所以y|x=0=a ⋅20−20=a −1=0, 所以a =1. 故答案为:1.利用奇函数的定义即可求解a 的值.本题主要考查利用函数奇偶性的应用,考查计算能力,属于基础题.14.【答案】x =−32【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解:由题意,不妨设P 在第一象限,则P(p2,p),k OP =2,PQ ⊥OP . 所以k PQ =−12,所以PQ 的方程为:y −p =−12(x −p 2), y =0时,x =5p 2,|FQ|=6,所以5p2−p2=6,解得p =3, 所以抛物线的准线方程为:x =−32. 故答案为:x =−32.求出点P 的坐标,推出PQ 方程,然后求解Q 的坐标,利用|FQ|=6,求解p ,然后求解准线方程.本题考查抛物线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.15.【答案】1【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】解:函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的定义域为(0,+∞). 当0<x ≤12时,f(x)=|2x −1|−2lnx =−2x +1−2lnx , 此时函数f(x)在(0,12]上为减函数,所以f(x)≥f(12)=−2×12+1−2ln 12=2ln2; 当x >12时,f(x)=|2x −1|−2lnx =2x −1−2lnx , 则f′(x)=2−2x =2(x−1)x,当x ∈(12,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴当x =1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1−1−2ln1=1. ∵2ln2=ln4>lne =1,∴函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为1. 故答案为:1.求出函数定义域,对x 分段去绝对值,当0<x ≤12时,直接利用单调性求最值;当x >12时,利用导数求最值,进一步得到f(x)的最小值.本题考查利用导数求最值的应用,考查运算求解能力,是中档题.16.【答案】5 240(3−n+32n)【知识点】数列求和方法【解析】解:易知有20dm ×34dm,10dm ×32dm,5dm ×3dm,52dm ×6dm ,54dm ×12dm ,共5种规格;由题可知,对折k 次共有k +1种规格,且面积为2402k ,故S k =240(k+1)2k,则∑S k n k=1=240∑k+12knk=1,记T n =∑k+12kn k=1,则12T n =∑k+12k+1n k=1, ∴12T n =∑k+12k n k=1−∑k+12k+1n k=1=1+(∑k+22k+1n−1k=1−∑k+22k+1n k=1)−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1,∴T n =3−n+32n,∴∑S k n k=1=240(3−n+32n). 故答案为:5;240(3−n+32n).依题意,对折k 次共有k +1种规格,且面积为2402k ,则S k =240(k+1)2k,∑S k n k=1=240∑k+12kn k=1,然后再转化求解即可.本题考查数列的求和,考查数学知识在生活中的具体运用,考查运算求解能力及应用意识,属于中档题.17.【答案】解:(1)因为a 1=1,a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数,所以a 2=a 1+1=2,a 3=a 2+2=4,a 4=a 3+1=5, 所以b 1=a 2=2,b 2=a 4=5,b n −b n−1=a 2n −a 2n−2=a 2n −a 2n−1+a 2n−1−a 2n−2=1+2=3, 所以数列{b n }是以b 1=2为首项,以3为公差的等差数列, 所以b n =2+3(n −1)=3n −1. (2)由(1)可得a 2n =3n −1,n ∈N ∗,则a 2n−1=a 2n−2+2=3(n −1)−1+2=3n −2,n ≥2, 当n =1时,a 1=1也适合上式, 所以a 2n−1=3n −2,n ∈N ∗,所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列,则{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+⋯+a 19)+(a 2+a 4+⋯+a 20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)由数列{a n }的通项公式可求得a 2,a 4,从而可得求得b 1,b 2,由b n −b n−1=3可得数列{b n }是等差数列,从而可求得数列{b n }的通项公式;(2)由数列{a n }的通项公式可得数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列,求解即可. 本题主要考查数列的递推式,数列的求和,考查运算求解能力,属于中档题.18.【答案】解:(1)由已知可得,X 的所有可能取值为0,20,100,则P(X =0)=1−0.8=0.2, P(X =20)=0.8×(1−0.6)=0.32P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为:(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+ 100×0.48=54.4,若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1−0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,因为E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)由已知可得,X的所有可能取值为0,20,100,分别求出对应的概率即可求解分布列;(2)由(1)可得E(X),若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,Y的所有可能取值为0,80,100,分别求出对应的概率,从而可得E(Y),比较E(X)与E(Y)的大小,即可得出结论.本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望,考查运算求解能力,属于中档题.19.【答案】解:(1)证明:由正弦定理知,bsin∠ABC =csin∠ACB=2R,∴b=2Rsin∠ABC,c=2Rsin∠ACB,∵b2=ac,∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB,即bsin∠ABC=asinC,∵BDsin∠ABC=asinC.∴BD=b;(2)由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∴AD=23b,DC=13b,在△ABD中,由余弦定理知,cos∠BDA=BD 2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2,在△CBD中,由余弦定理知,cos∠BDC=BD 2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2,∵∠BDA+∠BDC=π,∴cos∠BDA+cos∠BDC=0,即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0,得11b2=3c2+6a2,∵b2=ac,∴3c2−11ac+6a2=0,∴c=3a或c=23a,在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac,当c=3a时,cos∠ABC=76>1(舍);当c=23a时,cos∠ABC=712;综上所述,cos∠ABC=712.【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)利用正弦定理求解;(2)要能找到隐含条件:∠BDA和∠BDC互补,从而列出等式关系求解.本题考查正弦定理及余弦定理的内容,是一道好题.20.【答案】解:(1)证明:因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面BCD,所以AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,所以AO⊥CD;(2)取OD的中点F,因为△OCD为正三角形,所以CF⊥OD,过O作OM//CF与BC交于点M,则OM⊥OD,所以OM,OD,OA两两垂直,以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,−1,0),C(√32,12,0),D(0,1,0),设A(0,0,t),则E(0,13,2t3),因为OA ⊥平面BCD ,故平面BCD 的一个法向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,t), 设平面BCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z), 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,43,2t 3),所以由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√32x +32y =043y +2t 3z =0, 令x =√3,则y =−1,z =2t ,故n ⃗ =(√3,−1,2t ), 因为二面角E −BC −D 的大小为45°,所以|cos <n ⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t√4+4t 2=√22,解得t =1,所以OA =1,又S △OCD =12×1×1×√32=√34,所以S △BCD =√32,故V A−BCD =13⋅S △BCD ⋅OA =13×√32×1=√36.【知识点】线面垂直的判定、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用等腰三角形中线就是高,得到AO ⊥BD ,然后利用面面垂直的性质,得到AO ⊥平面BCD ,再利用线面垂直的性质,即可证明AO ⊥CD ;(2)建立合适的空间直角坐标系,设A(0,0,t),利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式求出t 的值,然后利用锥体的体积公式求解即可.本题考查了面面垂直和线面垂直的性质,在求解有关空间角问题的时候,一般要建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题,属于中档题.21.【答案】解:(1)由双曲线的定义可知,M 的轨迹C 是双曲线的右支,设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),x >0, 根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2,解得{a =1b =4c =√17,∴C 的方程为x 2−y 216=1(x >0);(2)设T(12,m),直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ,将其代入C 的方程并整理可得,(16cos 2θ−sin 2θ)t 2+(16cosθ−2msinθ)t −(m 2+12)=0,由参数的几何意义可知,|TA|=t 1,|TB|=t 2,则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ, 设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ,|TP|=λ1,|TQ|=λ2,同理可得,λ1λ2=m 2+121−17cos 2β,依题意,m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β,则cos 2θ=cos 2β,又θ≠β,故cosθ=−cosβ,则cosθ+cosβ=0,即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.【知识点】直线与双曲线的位置关系【解析】(1)M 的轨迹C 是双曲线的右支,根据题意建立关于a ,b ,c 的方程组,解出即可求得C 的方程;(2)设出直线AB 的参数方程,与双曲线方程联立,由参数的几何意义可求得|TA|⋅|TB|,同理求得|TP|⋅|TQ|,再根据|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|,即可得出答案.本题考查双曲线的定义及其标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查直线参数方程的运用,考查运算求解能力,属于中档题.22.【答案】(1)解:由函数的解析式可得f′(x)=1−lnx −1=−lnx ,∴x ∈(0,1),f′(x)>0,f(x)单调递增, x ∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减, 则f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(2)证明:由blna −alnb =a −b ,得−1a ln 1a +1b ln 1b =1b −1a , 即1a (1−ln 1a )=1b (1−ln 1b ),由(1)f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减, 所以f(x)max =f(1)=1,且f(e)=0, 令x 1=1a ,x 2=1b ,则x 1,x 2为f(x)=k 的两根,其中k ∈(0,1). 不妨令x 1∈(0,1),x 2∈(1,e),则2−x 1>1,先证2<x 1+x 2,即证x 2>2−x 1,即证f(x 2)=f(x 1)<f(2−x 1),令ℎ(x)=f(x)−f(2−x),则ℎ′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnx−ln(2−x)=−ln[x(2−x)]在(0,1)单调递减,所以ℎ′(x)>ℎ′(1)=0,故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增,∴ℎ(x1)<ℎ(1)=0.∴f(x1)<f(2−x1),∴2<x1+x2,得证.同理,要证x1+x2<e,即证1<x2<e−x1,根据(1)中f(x)单调性,即证f(x2)=f(x1)>f(e−x1),令φ(x)=f(x)−f(e−x),x∈(0,1),则φ′(x)=−ln[x(e−x)],令φ′(x0)=0,x∈(0,x0),φ′(x)>0,φ(x)单调递增,x∈(x0,1),φ′(x)<0,φ(x)单调递减,又x>0,f(x)>0,且f(e)=0,故x→0,φ(0)>0,φ(1)=f(1)−f(e−1)>0,∴φ(x)>0恒成立,x1+x2<e得证,则2<1a +1b<e.【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)首先求得导函数的解析式,然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性,(2)利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题,构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可.本题主要考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究极值点偏移问题,等价转化的数学思想,同构的数学思想等知识,属于难题.。
广西梧州柳州2022年高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若直线2y x =-的倾斜角为α,则sin 2α的值为( )A .45B .45-C .45±D .352.已知实数x ,y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则22x y +的取值范围是( )A .25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[]1,83.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的x 的值为1,输出的x 的值为( )A .6481B .3227C .89D .16274.复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位),则z 的虚部为( )A .iB .i -C .1-D .15.已知平面向量,,a b c ,满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=,若对每一个确定的向量a ,记||c 的最小值为m ,则当a 变化时,m 的最大值为( )A .14B .13C .12D .16.已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ,抛物线上任意一点P ,且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ,则 PQ PF ⋅的最小值为( ) A .-14 B .-12 C .-l D .1 7.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI (居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是( )A .CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B .CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C .猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D .猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%8.已知非零向量a ,b 满足()2a b a -⊥,()2b a b -⊥,则a 与b 的夹角为( )A .6πB .4πC .3πD .2π 9.已知集合2{|23}A x y x x ==-++,{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A .A B A = B .A B B ⋃= C .()U A B =∅ D .U B A ⊆10.三棱锥S ABC -中,侧棱SA ⊥底面ABC ,5AB =,8BC =,60B ∠=︒,25SA =,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A .643πB .2563πC .4363πD 2048327π11.已知数列{}n a 中,12a =,111n n a a -=-(2n ≥),则2018a 等于( ) A .12 B .12- C .1- D .2 12.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件:①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合;②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ,且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点.则双曲线的离心率是( )A .312+B .512+C .32D .51+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
广西梧州市高三毕业班第一次测试数学(文科).doc

年广西梧州市高三毕业班第一次测试数 学(文科)(答卷时间:120分钟 满分:150分)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共四页。
全部解答都写在答卷(卡)上,不要写在本试卷面上。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和2B 铅笔写、涂在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,若需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案,不准答在试卷面上。
3.参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A 、B 相互独立,那么P(A ·B)=P(A)·P(B);如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n (k)=C kn ·P k ·(1-P)n -k ;球的表面积公式S=24R π;球的体积公式V 球=334R π 其中R 表示球的半径。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
请把所选选项的字母填写到答题卡对应题目的空格内。
1.不等式0213≥--x x 的解集是 (A )⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤231x x(B )⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤231x x(C )⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤231x x x 或(D )⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤231x x x 或 2.如果()()()()()x f x f x f x f x f 则且,,=-=+π可以是(A )x sin(B )x sin(C )x 2sin(D )x cos3.已知向量b a ,,且3,4==b a ,夹角60°,则b a +等于(A )37(B )13(C )17(D )134.已知直线a 、b ,平面βα、;以下推理正确的是 (A )αα//a b b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (B )αβαβ////a a ⇒⎭⎬⎫⊥(C )αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // (D )αβαβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a // 5.已知曲线32x y =,则过点(1,2)的切线的斜率是(A )2(B )4(C )6(D )86.{}n a 是 首项a 1=1,公差d=3的等差数列,如果a n =,则序号n 等于 (A )667(B )668(C )669 (D )6707.直线01=++bx ax 被圆1322=+y x 截得弦长为6,则22b a +的值为(A )21 (B )41 (C )43 (D )32 8.在△ABC 中,已知CCB b A a cos cos cos ==,则△ABC 是 (A )等边三角形(B )直角三角形 (C )等腰直角三角形(D )钝角三角形9.函数()34++=xx x f 在[)+∞,1上的最小值是 (A )5(B )7(C )8(D )1110.将边长为a 正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a ,则三棱锥D —ABC 的体积为(A )63a(B )123a(C )3123a (D )3122a 11.函数()bx ax f -=的图象如图所示,其中a,b 为常数。
2021新高考1卷数学试题精校word版及参考答案

2021新高考1卷数学试题精校word 版及参考答案2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|24}A x x =-<<,{2,3,4,5}B =,则AB =A .{2}B .{2,3}C .{3,4}D .{2,3,4}2.已知2i z =-,则(i)z z +=A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +3A .2B .C .4D .4.下列区间中,函数π()7sin()6f x x =-单调递增的区间是A .π(0,)2B .π(,π)2C .3π(π,)2D .3π(,2π)25.已知1F ,2F 是椭圆22194x y C +=:的两个焦点,点M 在C 上,则12||||MF MF ⋅的最大值为 A .13B .12C .9D .66.若tan 2θ=-,则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A .65-B .25-C .25D .657.若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则A .e b a <B .e a b <C .0e b a <<D .0e a b <<8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 A .甲与丙相互独立 B .甲与丁相互独立 C .乙与丙相互独立 D .丙与丁相互独立二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
广西2021高考数学一模试卷(理科)D卷

广西2021高考数学一模试卷(理科)D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2020高二下·焦作期末) 已知集合,,则()A .B .C .D .2. (2分) (2019高二下·南康期中) 设,则在复平面对应的点位于第()象限A . 一B . 二C . 三D . 四3. (2分) (2019高二上·大观月考) 已知下表为x与y之间的一组数据,若y与x线性相关,则y与x的回归直线必过点()x0123y1387A .B .C .D .4. (2分) (2019高三上·湖南月考) 已知,均为单位向量且夹角为,则下列向量与垂直的是()A .B .C .D .5. (2分) (2017高一下·荥经期中) 已知等比数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为()A . S1B . S2C . S3D . S46. (2分) (2019高二上·汇川期中) 如图给出的是计算的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是()A .B .C .D .7. (2分)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面平面CBD,形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为()A .B .C .D .8. (2分)已知圆x2﹣2x+y2﹣2my+2m﹣1=0,当圆的面积最小时,直线y=x+b与圆相切,则b=()A . ±1B . 1C . ±D .9. (2分) (2019高一上·集宁月考) 已知函数,则它的部分图象大致是().A .B .C .D .10. (2分) (2017高三上·东莞期末) 已知函数的最小正周期为π,将函数f(x)的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g(x),则关于函数为y=g(x)的性质,下列说法不正确的是()A . g(x)为奇函数B . 关于直线对称C . 关于点(π,0)对称D . 在上递增11. (2分)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为()A . 2B . 3C . 4D . 612. (2分) (2019高一上·连城月考) 函数定义域为R,且对任意 , 恒成立,则下列选项中不恒成立的是()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)(2018·兰州模拟) 的展开式中,常数项的值为________.(用数字作答)14. (1分)(2020·广东模拟) 若,满足约束条件则的取值范围为________.15. (1分)(2018·孝义模拟) 数列满足,若,则数列的前项的和是________.16. (1分)(2017·鞍山模拟) 已知四面体ABCD,AB=4,AC=AD=6,∠BAC=∠BAD=60°,∠CAD=90°,则该四面体外接球半径为________.三、解答题 (共7题;共65分)17. (10分) (2016高二上·宁阳期中) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)= .(1)证明:a、c、b成等差数列;(2)求cosC的最小值.18. (10分)淮南二中体育教研组为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对本校200名高二学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)平均每天锻炼的时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)总人数203644504010将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.参考公式:k2= ,其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?课外体育不达标课外体育达标合计男女15110合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的:“课外体育达标”学生人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的数学期望和方差.19. (5分) (2019高二上·丽水期末) 如图,在三棱锥中,分别为 , 的中点,为的中点, .(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,,平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.20. (10分)(2016·山东理) 平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证:点M在定直线上;②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1 ,△PDM的面积为S2 ,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.21. (10分) (2019高二下·上饶月考) 已知函数.(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)求函数的最小值.22. (5分) (2017高二上·清城期末) 已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10.曲线 c1:(α为参数).(Ⅰ)求曲线c1的普通方程;(Ⅱ)若点M在曲线C1上运动,试求出M到曲线C的距离的最小值.23. (15分) (2016高一上·无锡期末) 已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)答案:1-1、考点:解析:答案:2-1、考点:解析:答案:3-1、考点:解析:答案:4-1、考点:解析:答案:5-1、考点:解析:答案:6-1、考点:解析:答案:7-1、考点:解析:答案:8-1、考点:解析:答案:9-1、考点:解析:答案:10-1、考点:解析:答案:11-1、考点:解析:答案:12-1、考点:解析:二、填空题 (共4题;共4分)答案:13-1、考点:解析:答案:14-1、考点:解析:答案:15-1、考点:解析:答案:16-1、考点:解析:三、解答题 (共7题;共65分)答案:17-1、答案:17-2、考点:解析:答案:18-1、答案:18-2、考点:解析:考点:解析:答案:20-1、答案:20-2、考点:解析:答案:21-1、答案:21-2、考点:解析:答案:22-1、考点:解析:答案:23-1、答案:23-2、答案:23-3、考点:解析:第21 页共21 页。
2021年广西名校高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2021年广西名校高考数学一模试卷(理科)一、选择题(每小题5分).1.设集合A=,集合B=.则A∪∁R B=()A.(6,)B.(6,]C.(6,)D.R2.警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、丁四人相互认识,警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说:“是乙和丙其中一个干的.”乙说:“我和甲都没干.”丙说:“我和乙都没干.”丁说:“我没干.”已知四人中有两人说谎,且只有一人偷窃,下列两人不可能同时说谎的是()A.甲和乙B.乙和丙C.丙和丁D.丁和甲3.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,M,N分别是AB、BC的中点,平面B1AC 分别与D1M、D1N交于P、Q两点,则S=()A.B.C.D.4.在四面体ABCD中,AB=6,BC=3,BD=4,若∠ABC与∠ABD互余,则的最大值为()A.20B.30C.40D.505.(x﹣1)(x2﹣1)(x3﹣1)(x4﹣1)(x5﹣1)的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为()A.0B.55C.90D.1206.=()A.1B.﹣1C.2D.﹣27.执行如图所示的程序框图,结果是()A.162B.171C.180D.无输出8.=()A.B.C.D.9.已知a=,b=,c=1﹣ln2,则()A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a10.已知数列a n=a n﹣12+3a n﹣1,a1=2,则log2(a6+1)=()A.63log23﹣31B.33log23﹣15C.63log32﹣31D.33log32﹣15 11.已知椭圆=1上有相异的三点A,B,C,则S△ABC的最大值为()A.B.C.D.12.若a、b是小于180的正整数,且满足=.则满足条件的数对(a,b)共有()A.2对B.6对C.8对D.12对二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.13.已知恒正函数f(x)=x2f′(x),f(1)=.若x1、x2、x3<0,且x1+x2+x3=﹣ln2.则的最大值为.14.在平面直角坐标系中,A(﹣2,0),B(0,1),C为x2+y2=1上的动点,则|AC|+|BC|的取值范围为.15.已知△ABC满足AB=1,AC=2,cos A=.若E为△ABC内一点,满足λ(λ∈R),且=0,延长AE至BC交于点D,则=.16.已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+b n=b n+1,a n+1+b n+1=4a n,则=.三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题,每个试题考生都必须作答。
2021年普通高等学校招生全国统一考试 新高考I卷(附答案解析)

本试卷共 4 页, 22 小题. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型 (B) 填 涂在答题卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动, 用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需 改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
A:两组样本数据的样本平均数相同 C:两组样本数据的样本标准差相同
B:两组样本数据的样本中位数相同 D:两组样本数据的样本极差相同
10. 已知 O 为坐标原点, 点 P1(cos α, sin α), P2(cos β, − sin β), P3(cos(α + β), sin(α + β)), A(1, 0), 则 ( ).
D: {2, 3, 4}
A: 6 − 2i
B: 4 − 2i
C: 6 + 2i
D: 4 + 2i
答案:C.
解析:易得 z¯ = 2 + i, z¯ + i = 2 + 2i, 所以 z · (z¯ + i) = (2 − i)(2 + 2i) = 4 + 4i − 2i − 2i2 = 6 + 2i, 选 C.
2021年新高考数学新课改Ⅰ卷真题+答案解析

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设集合{|24}A x x =-<<,{2,3,4,5}B =,则(A B = )A .{2}B .{2,3}C .{3,4}D .{2,3,4}2.(5分)已知2z i =-,则()(z z i += ) A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +3.(5,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A .2B .C .4D .4.(5分)下列区间中,函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A .(0,)2πB .(,)2ππC .3(,)2ππ D .3(,2)2ππ 5.(5分)已知1F ,2F 是椭圆22:194x y C +=的两个焦点,点M 在C 上,则12||||MF MF ⋅的最大值为( )A .13B .12C .9D .66.(5分)若tan 2θ=-,则sin (1sin 2)(sin cos θθθθ+=+ )A .65-B .25-C .25D .657.(5分)若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线,则( ) A .b e a <B .a e b <C .0b a e <<D .0a b e <<8.(5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A .甲与丙相互独立 B .甲与丁相互独立 C .乙与丙相互独立D .丙与丁相互独立二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
2021-2022学年广西壮族自治区梧州市第一中学高二数学理月考试卷含解析

2021-2022学年广西壮族自治区梧州市第一中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,若它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是()A.20πB.25πC.50πD.200π参考答案:C2. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,若,则的值等于()A.B.C.2 D.4参考答案:C设,是点到准线的距离,点是垂足.由抛物线定义可得,因为,所以,那么,即直线的斜率是,所以,解得.故选C.3. 命题“”的否定为A.B.C.D.参考答案:B 4. 正方体中,E为的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BD C. D.参考答案:B5. 点是函数的图像的一个对称中心,若点到图像的对称轴的距离最小值是,则函数的最小正周期是()A. B. C. D.参考答案:A6. 若关于的不等式对恒成立,则()A B C D参考答案:B7. 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程x﹣y+1=0,则()A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1参考答案:A【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数的导数,运用导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,可得切线的斜率,由切线方程可得a=1,b=1.【解答】解:y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a,可得在点(0,b)处的切线斜率为a,由点(0,b)处的切线方程为x﹣y+1=0,可得a=1,b=1,故选:A.8. 已知,则下列命题中,正确的是()A.若,则B.若,,则C .若,,则D .若,,则参考答案:C A. 若,则,当c 取负值时就不成立,故错误;B. 若,,则,例如a=3,b=1,c=2,d=-2显然此时,故错误;D ,若,,则,例如a=3,c=-1,b=-1,d=-2,此时,故错误,所以综合得选C.9. 平面内原有k 条直线,它们的交点个数记?(k),则增加一条直线ι后,它们的交点个数最多为 ( )A .?(k)+1B .?(k)+kC .?(k)+k+1D .k ·?(k) 参考答案: B略10. 已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( ) A .5 B .10 C .15 D .20参考答案:A【考点】等比数列.【分析】先由等比数列的性质求出a 2?a 4=a 32,a 4?a 6=a 52,再将a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25转化为(a 3+a 5)2=25求解.【解答】解:由等比数列的性质得:a 2?a 4=a 32,a 4?a 6=a 52 ∴a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25可化为 (a 3+a 5)2=25又∵a n >0 ∴a 3+a 5=5 故选A【点评】本题主要考查等比数列性质和解方程.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知(为常数),在上有最小值,那么在上的最大值是参考答案:57 略12. 在的展开式中,若第七项系数最大,则的值可能是▲.参考答案:略13. 若,且,则的最小值为__ __。
广西梧州市2021版高考数学一模试卷A卷

广西梧州市2021版高考数学一模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)(2016·河北模拟) 已知集合A={x|2x2﹣3x﹣9≤0},B={x|x≥m}.若(∁RA)∩B=B,则实数m的值可以是()A . 1B . 2C . 3D . 42. (2分)已知复数,则在平面内对应的点位于()A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. (2分) (2018高一下·四川月考) 在等差数列中,,且,为数列的前项和,则使得的的最小值为()A . 23B . 24C . 25D . 264. (2分)若右边的程序框图输出的S是126,则条件①可为()A .B .C .D .5. (2分) (2015高二下·上饶期中) 已知曲线y= 在点(1,0)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A . ﹣2B . ﹣C . 2D .6. (2分) (2018高二下·普宁月考) 已知是定义在上的函数,为的导函数,且满足,则下列结论中正确的是()A . 恒成立B . 恒成立C .D . 当时,;当时,7. (2分)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m , n)与向量b=(1,-1)夹角为,则(0,]的概率是()A .B .C .D .8. (2分) (2020高二上·惠州期末) 已知直三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为()A .B .C .D .9. (2分)(2020·辽宁模拟) 点到抛物线的准线的距离为6,则该抛物线的方程是()A .B .C . 或D . 或10. (2分)(2017·重庆模拟) 已知实数x,y满足约束条件,则z= +1的取值范围是()A . [﹣, ]B . [ , ]C . [ , ]D . [ , ]11. (2分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .B .C .D .12. (2分) (2019高一下·台州期末) 己知数列和的通项公式分別内,,若,则数列中最小项的值为()A .B . 24C . 6D . 7二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2019高二下·广东期中) 若双曲线的一条渐近线方程过,则此双曲线的离心率为________.14. (1分)设a= 2cosxdx,则二项式(ax3﹣)6展开式中不含x3项的系数和是________.15. (1分) (2017高三上·常州开学考) 在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且 =3 , =3 .若向量与的夹角为60°,则• 的值为________.16. (1分) (2019高二下·上海期中) 已知正三棱锥的侧棱长为2020,过其底面中心O作动平面交线段于点S,交的延长线于两点,则的取值范围为________三、解答题 (共7题;共70分)17. (10分)(2020·内江模拟) 的内角、、的对边分别为、、,设.(1)求;(2)当时,求其面积的最大值,并判断此时的形状.18. (15分)(2017·鹰潭模拟) 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格的花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议,特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:(表一)年龄频数频率男女[0,10)100.155[10,20)①②③④[20,30)250.251213[30,40)200.21010[40,50)100.164[50,60)100.137[60,70)50.0514[70,80)30.0312[80,90)20.0202合计100 1.004555(1)完成表格一中的空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.(2)完成表格二,并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关?(3)按分层抽样(分50岁以上与50以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上(含)的人数为ξ,求ξ的分布列(表二)50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式:k2= ,其中n=a+b+c+d)19. (5分)(2017·成都模拟) 如图,PA⊥平面AC,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离.20. (10分)(2020·厦门模拟) 已知动圆C过点且与直线相切.(1)求圆心C的轨迹的方程;(2)过F的直线与E交于A,B两点,分别过A,B做的垂线,垂足为,,线段的中点为M.①求证:;②记四边形,的面积分别为,,若,求 .21. (10分)(2020·日照模拟) 已知函数, .(1)若函数有唯一的极小值点,求实数的取值范围;(2)求证: .22. (10分)(2018·山东模拟) 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是 ( 是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .(1)求直线与曲线的普通方程;(2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.23. (10分)(2017·南京模拟) 已知函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x),x∈(0,1).(1)求f(x)的最小值;(2)若a+b+c=1,a,b,c∈(0,1).求证:alna+blnb+clnc≥(a﹣2)ln2.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)答案:1-1、考点:解析:答案:2-1、考点:解析:答案:3-1、考点:解析:答案:4-1、考点:解析:答案:5-1、考点:解析:答案:6-1、考点:解析:答案:7-1、考点:解析:答案:8-1、考点:解析:答案:9-1、考点:解析:答案:10-1、考点:解析:答案:11-1、考点:解析:答案:12-1、考点:解析:二、填空题 (共4题;共4分)答案:13-1、考点:解析:答案:14-1、考点:解析:答案:15-1、考点:解析:答案:16-1、考点:解析:三、解答题 (共7题;共70分)答案:17-1、答案:17-2、考点:解析:答案:18-1、答案:18-2、答案:18-3、考点:解析:答案:19-1、考点:解析:答案:20-1、考点:解析:答案:21-1、答案:21-2、考点:解析:答案:22-1、答案:22-2、考点:解析:答案:23-1、答案:23-2、考点:解析:。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(含答案解析)

2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B =( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,42.已知2i z=-,则()i z z +=( )A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +3.其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A .2B .C .4D .4.下列区间中,函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是( ) A .0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13B .12C .9D .66.若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+( )A .65-B .25-C .25D .657.若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则( ) A .e b a < B .e a b < C .0e b a <<D .0e a b <<8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A .甲与丙相互独立B .甲与丁相互独立C .乙与丙相互独立D .丙与丁相互独立二、多选题9.有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( ) A .两组样本数据的样本平均数相同 B .两组样本数据的样本中位数相同 C .两组样本数据的样本标准差相同 D .两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,1,0A ,则( ) A .12OP OP = B .12AP AP = C .312OA OP OP OP ⋅=⋅ D .123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则( ) A .点P 到直线AB 的距离小于10 B .点P 到直线AB 的距离大于2C .当PBA ∠最小时,PB =D .当PBA ∠最大时,PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中,11AB AA ==,点P 满足1BP BC BB λμ=+,其中[]0,1λ∈,[]0,1μ∈,则( )A .当1λ=时,1AB P △的周长为定值B .当1μ=时,三棱锥1P A BC -的体积为定值 C .当12λ=时,有且仅有一个点P ,使得1A P BP ⊥ D .当12μ=时,有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P三、填空题13.已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数,则a =______.14.已知O 为坐标原点,抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,若6FQ =,则C 的准线方程为______. 15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.四、双空题16.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n 次,那么1nkk S==∑______2dm .五、解答题17.已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求{}n a 的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得分,求X 的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.19.记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.20.如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.(1)证明:OA CD ⊥;(2)若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.21.在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F 、)2122F MF MF -=,,点M 的轨迹为C . (1)求C 的方程; (2)设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 22.已知函数()()1ln f x x x =-. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且ln ln b a a b a b -=-,证明:112e a b<+<.参考答案1.B 【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=, 故选:B . 2.C 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选:C. 3.B 【分析】设圆锥的母线长为l ,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值,即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则2l ππ=l =故选:B. 4.A 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈,利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭, 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈,解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈, 取0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭, 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A 选项满足条件,B 不满足条件; 取1k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭, 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,CD 选项均不满足条件. 故选:A. 【点睛】方法点睛:求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成()sin y A ωx φ=+形式,再求()sin y A ωx φ=+的单调区间,只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数. 5.C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==,借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立). 故选:C . 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题,常常从椭圆的定义入手,注意基本不等式得灵活运用,或者记住定理:两正数,和一定相等时及最大,积一定,相等时和最小,也可快速求解. 6.C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(221sin cos θθ=+),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入tan 2θ=-即可得到结果. 【详解】将式子进行齐次化处理得:()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++. 故选:C . 【点睛】易错点睛:本题如果利用tan 2θ=-,求出sin ,cos θθ的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论. 7.D 【分析】解法一:根据导数几何意义求得切线方程,再构造函数,利用导数研究函数图象,结合图形确定结果;解法二:画出曲线x y e =的图象,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ,对函数x y e =求导得e x y '=,所以,曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-,即()1tty e x t e =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上,可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-,令()()1t f t a t e =+-,则()()t f t a t e '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减, 所以,()()max af t f a e ==,由题意可知,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,则()max ab f t e <=,当1t a <+时,()0f t >,当1t a >+时,()0f t <,作出函数()f t 的图象如下图所示:由图可知,当0a b e <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选:D.解法二:画出函数曲线x y e =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选:D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法,其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计,解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上,直观解决问题的有效方法. 8.B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲,乙,丙,丁, ,1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙,甲丁甲丁,1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙,丙丁丁丙,故选:B 【点睛】判断事件,A B 是否独立,先计算对应概率,再判断()()()P A P B P AB =是否成立 9.CD【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =,即可判断正误;根据中位数、极差的定义,结合已知线性关系可判断B 、D 的正误. 【详解】A :()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠,故平均数不相同,错误;B :若第一组中位数为i x ,则第二组的中位数为i i y x c =+,显然不相同,错误;C :()()()()D y D x D c D x =+=,故方差相同,正确;D :由极差的定义知:若第一组的极差为max min x x -,则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-,故极差相同,正确;故选:CD 10.AC 【分析】A 、B 写出1OP ,2OP 、1AP ,2AP 的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C 、D 根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误. 【详解】A :1(cos ,sin )OP αα=,2(cos ,sin )OP ββ=-,所以1||cos 1OP ==,2||(cos 1OP ==,故12||||OP OP =,正确; B :1(cos 1,sin )AP αα=-,2(cos 1,sin )AP ββ=--,所以1||(cos 2|sin|2AP α====,同理2||(cos 2|sin|2AP β==,故12||,||AP AP 不一定相等,错误;C :由题意得:31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+,12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+,正确;D :由题意得:11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=,23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+,故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误; 故选:AC 11.ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离,可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围,可判断AB 选项的正误;分析可知,当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,利用勾股定理可判断CD 选项的正误. 【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142x y+=,即240x y +-=, 圆心M 到直线AB45==>,所以,点P 到直线AB42-<410+<,A 选项正确,B 选项错误; 如下图所示:当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ⊥,BM ==4MP =,由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选:ACD. 【点睛】结论点睛:若直线l 与半径为r 的圆C 相离,圆心C 到直线l 的距离为d ,则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+. 12.BD 【分析】对于A ,由于等价向量关系,联系到一个三角形内,进而确定点的坐标;对于B ,将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内,确定路线,进而考虑体积是否为定值; 对于C ,考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数;对于D ,考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数. 【详解】易知,点P 在矩形11BCC B 内部(含边界).对于A ,当1λ=时,11=BP BC BB BC CC μμ=++,即此时P ∈线段1CC ,1AB P △周长不是定值,故A 错误;对于B ,当1μ=时,1111=BP BC BB BB BC λλ=++,故此时P 点轨迹为线段11B C ,而11//B C BC ,11//B C 平面1A BC ,则有P 到平面1A BC 的距离为定值,所以其体积为定值,故B 正确. 对于C ,当12λ=时,112BP BC BB μ=+,取BC ,11B C 中点分别为Q ,H ,则BP BQ QH μ=+,所以P 点轨迹为线段QH ,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,1A ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,0P μ,,10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则11A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()110A P BP μμ⋅=-=,所以0μ=或1μ=.故,H Q 均满足,故C 错误;对于D ,当12μ=时,112BP BC BB λ=+,取1BB ,1CC 中点为,M N .BP BM MN λ=+,所以P 点轨迹为线段MN .设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭,所以01,2AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以00311104222y y +-=⇒=-,此时P 与N 重合,故D 正确. 故选:BD . 【点睛】本题主要考查向量的等价替换,关键之处在于所求点的坐标放在三角形内. 13.1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-,故()()322x x f x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=, 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x x a --,故1a =, 故答案为:1 14.32x =- 【分析】先用坐标表示P Q ,,再根据向量垂直坐标表示列方程,解得p ,即得结果. 【详解】抛物线C :22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直, 所以P 的横坐标为2p,代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,所以Q 在F 的右侧, 又||6FQ =,(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥,所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=,所以C 的准线方程为32x =- 故答案为:32x =-. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15.1 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞,讨论102x <≤、112x <≤、1x >,并结合导数研究的单调性,即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知:()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞, ∴当102x <≤时,()122ln f x x x =--,此时()f x 单调递减; 当112x <≤时,()212ln f x x x =--,有2()20f x x'=-≤,此时()f x 单调递减; 当1x >时,()212ln f x x x =--,有2()20f x x'=->,此时()f x 单调递增; 又()f x 在各分段的界点处连续,∴综上有:01x <≤时,()f x 单调递减,1x >时,()f x 单调递增; ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为:1. 16.5 ()41537202n n -+-【分析】(1)按对折列举即可;(2)根据规律可得n S ,再根据错位相减法得结果. 【详解】(1)由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,所以对着三次的结果有:5312561032022⨯⨯⨯⨯,,;,共4种不同规格(单位2dm ); 故对折4次可得到如下规格:5124⨯,562⨯,53⨯,3102⨯,3204⨯,共5种不同规格;(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为12的等比数列,首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭,对于第n 此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为1n +种(证明从略),故得猜想1120(1)2n n n S -+=,设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑,则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++, 两式作差得:()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ ()11601120122401212n nn -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-,因此,()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为:5;()41537202n n -+-. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于{}n n a b 结构,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于{}n n a b +结构,利用分组求和法; (4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构,其中{}n a 是等差数列,公差为()0d d ≠,则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用裂项相消法求和. 17.(1)122,5b b ==;(2)300. 【分析】(1)根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+,从而可求{}n b 的通项. (2)根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-,利用(1)的结果可求20S .【详解】(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++= 又22211k k a a ++=+,2122k k a a +=+,*()k N ∈ 故2223k k a a +=+,即13n n b b +=+,即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列,故()21331n b n n =+-⨯=-. (2)设{}n a 的前20项和为20S ,则2012320S a a a a =++++,因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-,所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛:对于数列的交叉递推关系,我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18.(1)见解析;(2)B 类. 【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.(2)与(1)类似,找出先回答B 类问题的数学期望,比较两个期望的大小即可. 【详解】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,20,100.()010.80.2P X ==-=; ()()200.810.60.32P X ==-=; ()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以X 的分布列为(2)由(1)知,()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=.若小明先回答B 问题,记Y 为小明的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,80,100.()010.60.4P Y ==-=; ()()800.610.80.12P Y ==-=; ()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=. 因为54.457.6<,所以小明应选择先回答B 类问题.19.(1)证明见解析;(2)7cos 12ABC ∠=. 【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有acBD b=,结合已知即可证结论. (2)由题设2,,33b bBD b AD DC ===,应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠,又ADB CDB π∠=-∠,可得42221123b b a a +=,结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】(1)由题设,sin sin a C BD ABC =∠,由正弦定理知:sin sin c b C ABC =∠,即sin sin C cABC b=∠, ∴acBD b=,又2b ac =, ∴BD b =,得证.(2)由题意知:2,,33b b BD b AD DC ===, ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅,同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅, ∵ADB CDB π∠=-∠,∴2222221310994233b bc a b b --=,整理得2221123b a c +=,又2b ac =, ∴42221123b b a a +=,整理得422461130a a b b -+=,解得2213a b =或2232a b =,由余弦定理知:222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-,当2213a b =时,7cos 16ABC ∠=>不合题意;当2232a b =时,7cos 12ABC ∠=;综上,7cos 12ABC ∠=. 【点睛】关键点点睛:第二问,根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系,结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠. 20.(1)详见解析(2) 【分析】(1)根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ,即可证得结果; (2)先作出二面角平面角,再求得高,最后根据体积公式得结果. 【详解】(1)因为AB=AD,O 为BD 中点,所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,AO ⊂平面ABD , 因此AO ⊥平面BCD ,因为CD ⊂平面BCD ,所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ,所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ,即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ,FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ,即BC ⊥ME则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以BCD 为直角三角形 因为2DE EA =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11111332BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法:一是定义法,二是三垂线定理法,三是垂面法,四是投影法.21.(1)()221116y x x -=≥;(2)0. 【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支,求出a 、b的值,即可得出轨迹C 的方程; (2)设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,联立直线AB 与曲线C 的方程,列出韦达定理,求出TA TB ⋅的表达式,设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得出TP TQ ⋅的表达式,由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值. 【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以,轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>,则22a =,可得1a =,4b =,所以,轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥;(2)设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭,若过点T 的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C 无公共点, 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,即1112y k x t k =+-, 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩,消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-,211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-, 所以,()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭, 设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-,因为TA TB TP TQ ⋅=⋅,即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--,整理可得2212k k =,即()()12120k k k k -+=,显然120k k -≠,故120k k +=. 因此,直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0. 【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.22.(1)()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,+∞;(2)证明见解析. 【分析】(1)求出函数的导数,判断其符号可得函数的单调区间; (2)设1211,x x a b==,原不等式等价于122x x e <+<,前者可构建新函数,利用极值点偏移可证,后者可设21x tx =,从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题,利用导数可证明该结论成立. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+, 又()1ln 1ln f x x x '=--=-,当()0,1x ∈时,()0f x '>,当()1,+x ∈∞时,()0f x '<, 故()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,+∞.(2)因为ln ln b a a b a b -=-,故()()ln 1ln +1b a a b +=,即ln 1ln +1a b a b+=, 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设1211,x x a b==,由(1)可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时,()()1ln 0f x x x =->,(),x e ∈+∞时,()()1ln 0f x x x =-<, 故21x e <<. 先证:122x x +>,若22x ≥,122x x +>必成立.若22x <, 要证:122x x +>,即证122x x >-,而2021x <-<, 故即证()()122f x f x >-,即证:()()222f x f x >-,其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<,则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦,因为12x <<,故()021x x <-<,故()ln 20x x -->,所以()0g x '>,故()g x 在()1,2为增函数,所以()()10g x g >=, 故()()2f x f x >-,即()()222f x f x >-成立,所以122x x +>成立, 综上,122x x +>成立. 设21x tx =,则1t >, 结合ln 1ln +1a b a b+=,1211,x x a b ==可得:()()11221ln 1ln x x x x -=-,即:()111ln 1ln ln x t t x -=--,故11ln ln 1t t tx t --=-,要证:12x x e +<,即证()11t x e +<,即证()1ln 1ln 1t x ++<, 即证:()1ln ln 111t t tt t --++<-,即证:()()1ln 1ln 0t t t t -+-<,令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->, 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭, 先证明一个不等式:()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-,则()1111xu x x x -'=-=++, 当10x -<<时,()0u x '>;当0x >时,()0u x '<,故()u x 在()1,0-上为增函数,在()0,+∞上为减函数,故()()max 00u x u ==, 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时,112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭,故()0S t '<恒成立, 故()S t 在()1,+∞上为减函数,故()()10S t S <=, 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立,即12x x e +<成立. 综上所述,112e a b<+<.【点睛】方法点睛:极值点偏移问题,一般利用通过原函数的单调性,把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题,也可以引入第三个变量,把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。
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2021年广西梧州市高考数学一模试卷〔文科〕一、单项选择题(共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.〔5分〕设集合,,那么A.B.C.D.2.〔5分〕是虚数单位,是实数集,,假设,那么A.B.C.2D.3.〔5分〕命题“假设,那么〞的逆否命题是A.假设,那么且B.假设,那么C.假设或,那么D.假设或,那么4.〔5分〕游戏?王者荣耀?对青少年的不良影响巨大,被戏称为“王者农药〞.某车间2021年工人都有着不低的游戏段位等级,其中白银段位11人,其余人都是或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人,假设抽得段位的概率是0.2,那么抽得铂金段位的概率是A.0.2021.0.22C.0.25D.0.425.〔5分〕对任意等比数列,以下说法一定正确的选项是A.,,成等比数列B.,,成等比数列C.,,成等比数列D.,,成等比数列6.〔5分〕双曲线的方程为,那么以下说法正确的选项是A.焦点在轴上B.虚轴长为4C.离心率为D.渐近线方程为7.〔5分〕函数是自然对数的底数〕的图象大致为A.B.C.D.8.〔5分〕假设函数的局部图象如下图,那么的单调递增区间是A.,B.,C.,D.,9.〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输出的结果为2,那么输入的正整数的可能取值的集合是A.,2,3,4,B.,2,3,4,5,C.,3,4,D.,3,4,5,10.〔5分〕函数假设〔a〕,那么实数的取值范围是A .,,B .C .D .,,11.〔5分〕一个几何体的三视图如下图,该几何体的各个外表中,最大面的面积为 A .B .C .2D .412.〔5分〕假设关于的方程存在三个不等实根,那么实数的取值范围是 A .B .C .D .二、填空题〔本大题共4小题,毎小题5分,共2021 13.〔5分〕平面内有三点,,,且,那么为 . 14.〔5分〕数列中,,,那么数列的前9项和等于 .15.〔5分〕过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,假设,那么椭圆的离心率为 . 16.〔5分〕假设直线是曲线的切线,也是曲线的切线,那么 .三、解答题〔共70分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.) 17.〔12分〕,,分别为三个内角,,的对边,. 〔1〕求角的大小;〔2〕假设,的周长为8,求的面积.18.〔12分〕基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大创造〞之一,短时间内就风行全国,带给人们新的出行体验,某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况,对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计,结果如表:〔1〕请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系,如果能,请计算出关于的线性回归方程,并预测该公司2021年12月的市场占有率.如果不能,请说明理由.〔2〕根据调研数据,公司决定再采购一批单车扩大市场,现有采购本钱分别为1000元辆和800元辆的,两款车型,报废年限各不相同.考虑公司的经济效益,该公司决定对两款单车进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如表:经测算,平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元.不考虑除采购本钱以外的其他本钱,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,用频率估计每辆车使用寿命的概率,分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据,如果你是该公司的负责人,会选择釆购哪款车型?参考数据:,,参考公式:相关系数回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.19.〔12分〕如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且,.〔1〕求证:平面;〔2〕设,假设直线与平面所成的角为,求三棱锥的体积.202112分〕直线与抛物线交于,两点.〔1〕假设以为直径的圆经过原点,求的值;〔2〕以为直角边作直角三角形,假设的三个顶点同在一个圆心为,的圆上,求圆的面积.21.〔12分〕函数.〔1〕求函数的单调区间;〔2〕假设恒成立,求的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做选定的题目.如果多做,那么按所做的第一题计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.〔10分〕在直角坐标系中,圆的参数方程为为参数〕,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.〔1〕求的极坐标方程;〔2〕射线与圆的交点为,与直线的交点为,求的范围.[选修4-5:不等式选讲]23.函数,.〔1〕假设,解不等式;〔2〕假设对任意恒成立,求实数的取值范围.2021年广西梧州市高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、单项选择题(共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)【解答】解:集合,,.应选:.【解答】解:由,得,即.应选:.【解答】解:根据逆否命题的定义知,原命题的逆否命题为:假设,或,那么.应选:.【解答】解:段位的人数是,那么抽得铂金段位的概率是.应选:.【解答】解:项中,,,故项说法错误,项中,故项说法错误,项中,故项说法错误,项中,故项说法正确,应选:.【解答】解:双曲线的方程为,焦点在轴上,所以不正确;,所以不正确;双曲线的离心率,所以正确;渐近线方程为所以不正确;应选:.【解答】解:,那么函数是奇函数,图象关于原点对称,排除,.当时,,排除,应选:.【解答】解:根据函数的局部图象,可得,,再根据五点法作图可得,求得,.令,求得,故函数的增区间为,,应选:.【解答】解:输入值,此时,执行循环体后,,,不应该退出;再次执行循环体后,,,应该退出;故,解得:,故输入的正整数的可能取值的集合是,3,4,,应选:.【解答】解:由的解析式可知,在上是单调递增函数,在由〔a〕,得即,解得.应选:.【解答】解:由中的三视图可得:该几何体是一个三棱锥:,,平面,其直观图如下图:,,底面的面积为:,侧面的面积为:,侧面的面积为:,侧面是腰长为,底长的等腰三角形,故底边上的高为,其面积为:,综上可知,最大的面的面积为,应选:.【解答】解:由题意知,令,的两根一正一负,由,,令,解得:,令,解得:,故在递增,在递减,故〔e〕,且时,,假设关于的方程存在三个不等实根,只需令的正根满足:,解得:,应选:.二、填空题〔本大题共4小题,毎小题5分,共2021【解答】解:,,,,可得.故答案为:1.【解答】解:,,数列的公差,又,,,故答案为:27.【解答】解:由题意知点的坐标为或,,,即.,或〔舍去〕.故答案为:.【解答】解:直线与的切点为,,与的切点为,,由的导数为,的导数为,可得,消去,可得,那么或1,那么切点为,或,或1,那么切线为或,可得或1.故答案为:0或1.三、解答题〔共70分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)【解答】解:〔1〕由正弦定理得:.因为,所以,又为的内角所以.〔2〕因为及的周长为8,所以,由余弦定理得.所以十,所以,所以的面积.【解答】解:〔1〕,故,故,故两变量之间有较强的相关关系,故可用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系,,,故回归方程是,时,,即2021年12月的市场占有率是;〔2〕用频率估计概率,这100辆款单车的平均利率为:〔元,这100辆款车的平均利润为:〔元,故会选择釆购款车型.【解答】证明:〔1〕四边形是菱形,,,且,平面,,,是的中点,,,平面.解:〔2〕由〔1〕可得平面,那么是在平面上的射影,是直线与平面所成角,即,又,且,△是正三角形,,由棱柱性质得,及平面,平面,得到平面,三棱锥的体积:.【解答】解:〔1〕设,,,,与联立,得,由△得,那么,,由为直径的圆经过原点,,,即,满足题意.〔2〕设弦的中点为,那么,,,,即那么的坐标为,,,,,,从而圆的面积为【解答】解:〔1〕的定义域是,,令,解得:,令,解得:,故在递减,在,递增;〔2〕恒成立,即恒成立,时,即在恒成立,,令,那么,故在递增,故,故,故在递增,由,故,时,显然成立,时,即在恒成立,令,,,故在递增,由,故,综上,.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做选定的题目.如果多做,那么按所做的第一题计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]【解答】解:〔1〕圆的参数方程为为参数〕,圆的普通方程是,又,,圆的极坐标方程为;〔2〕设,,那么有,设,,且直线的方程是,那么有,,.的范围是,.[选修4-5:不等式选讲]【解答】解:〔1〕当时,,原不等式可化为,两端平方得化简得,解得,那么不等式的解集为.〔2〕,对任意恒成立,即对任意恒成立,即,又因为,那么,解得,那么实数的取值范围为.。
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广西省梧州市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别,数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究,且每个方向均有研究生学习,其中刘泽同学学习人脸识别,则这6名研究生不同的分配方向共有( ) A .480种 B .360种 C .240种 D .120种【答案】B 【解析】 【分析】将人脸识别方向的人数分成:有2人、有1人两种情况进行分类讨论,结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【详解】当人脸识别方向有2人时,有55120A =种,当人脸识别方向有1人时,有2454240C A =种,∴共有360种.故选:B 【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题. 2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“10a <”是“20210S <”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前n 项和公式,判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列,所以20212021111q S a q -=⋅-,由于2021101q q ->-,所以 1202100a S <⇔<,故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选:C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查等比数列前n 项和公式,属于基础题. 3.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A .若//m α,//m β,则//αβB .若m α⊥,m n ⊥,则n α⊥C .若m α⊥,//m n ,则n α⊥D .若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中,α与β相交或平行;在B 中,//n α或n ⊂α;在C 中,由线面垂直的判定定理得n α⊥;在D 中,m 与β平行或m β⊂. 【详解】设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则: 在A 中,若//m α,//m β,则α与β相交或平行,故A 错误; 在B 中,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,故B 错误;在C 中,若m α⊥,//m n ,则由线面垂直的判定定理得n α⊥,故C 正确; 在D 中,若αβ⊥,m α⊥,则m 与β平行或m β⊂,故D 错误. 故选C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知点()0,2A -,()1,0N ,若动点M 满足MA MO=,则·OM ON u u u u r u u u r的取值范围是( )A .[]0,2B .0,⎡⎣C .[]22-,D .-⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ,依据题目条件,求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=,写出点M 的参数方程,则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ,根据余弦函数自身的范围,可求得·OM ON u u u u r u u u r结果. 【详解】 设(,)M x y ,则∵MA MO=,()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)则由向量的坐标表达式有:·os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选:D 【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力,熟练掌握代数式转换,能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,属于中档题.求解轨迹方程的方法有:①直接法;②定义法;③相关点法;④参数法;⑤待定系数法5.若复数z 满足1z =,则z i -(其中i 为虚数单位)的最大值为( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,再根据复数的几何意义即可确定z i -,即可得z i -的最大值. 【详解】由1z =知,复数z 对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离,又复数z 对应的点所在圆的圆心到()0,1的距离为1, 所以max 112z i -=+=. 故选:B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用,属于基础题.6.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<,8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数,则下列说法正确的是( )A .12ω=B .8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D .函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ,在()0,π上是单调函数,确定 01ω<≤,然后一一验证, A.若12ω=,则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ,由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得34πϕ=,但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ,再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ,在()0,π上是单调函数, 所以2T ≥π ,即22ππω≥,所以 01ω<≤ ,若12ω=,则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ,又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ,解得34πϕ=,而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ,故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭f ,不妨令2ωπϕπ+= ,得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ,得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时,2=23k πω+,不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时,22=33k πω+,此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ,函数()f x ,在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增,故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 错误. 故选:B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题. 7.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A .2 B .3 C .4 D .5【答案】D 【解析】试题分析:抛物线24x y =焦点在y 轴上,开口向上,所以焦点坐标为(0,1),准线方程为1y =-,因为点A 的纵坐标为4,所以点A 到抛物线准线的距离为415+=,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点:本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离,考查学生的运算求解能力.点评:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,这条性质在解题时经常用到,可以简化运算. 8.下列判断错误的是( )A .若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=,则()20.22P ξ≤-=B .已知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C .若随机变量ξ服从二项分布: 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:, 则()1E ξ= D .am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解. 【详解】对于A 选项,若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=,根据正态分布曲线的对称性,有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=,故A 选项正确,不符合题意;对于B 选项,已知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,则当//αβ时一定有l m ⊥,充分性成立,而当l m ⊥时,不一定有//αβ,故必要性不成立,所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件,故B 选项正确,不符合题意;对于C 选项,若随机变量ξ服从二项分布: 14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:, 则()114E np ξ==4⨯=,故C 选项正确,不符合题意;对于D 选项,am bm >Q ,仅当0m >时有a b >,当0m <时,a b >不成立,故充分性不成立;若a b >,仅当0m >时有am bm >,当0m <时,am bm >不成立,故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确,符合题意. 故选:D 【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.9.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为176,320,则输出的a 为( )A .16B .18C .20D .15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ,的最大公约数. 【详解】输入的a ,b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ,的最大公约数,按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16, 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.10.已知向量()3,1a =r,()3,1b =-r ,则a r 与b r的夹角为( )A .6π B .3π C .23π D .56π 【答案】B 【解析】 【分析】由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果. 【详解】解:由题意得,设a r 与b r的夹角为θ,311cos 222a b a b θ⋅-∴===⨯r rr r ,由于向量夹角范围为:0θπ≤≤, ∴π3θ=. 故选:B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围. 11.“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-,令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤,()f x 的图像如下图当0a >,()f x 的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.12.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数2R 的值判断拟合效果,2R 越小,模型的拟合效果越好; ③若数据123,,,,n x x x x L 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y L ,其线性回归方程ˆˆˆybx a =+,则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ,1210010y y y y ++=L ”的充要条件;其中真命题的个数为( )A .4B .3C .2D .1【答案】C 【解析】 【分析】①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,④根据点()00,x y 满足回归直线方程,但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断. 【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确;②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误;③若统计数据123,,,,n x x x x L 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为224=,故③正确; ④因为点()00,x y 满足回归直线方程,但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点,即1210010x x x x +++=L ,1210010y y y y ++=L 不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当1210010x x x x +++=L ,1210010y y y y ++=L 时,点 ()00,x y 必满足线性回归方程 ˆˆˆybx a =+;因此“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ,1210010y y y y ++=L ”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选:C. 【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。