高中数学人教A版选修第八讲欧式几何与非欧几何课件
非欧几何直角三角形三边关系
非欧几何直角三角形三边关系嘿，朋友们！咱们今天来聊聊这个有点神秘又有趣的“非欧几何直角三角形三边关系”。
您想想，咱们平时熟悉的欧氏几何里，直角三角形的三边关系，那就是大名鼎鼎的勾股定理，a² + b² = c²，简单明了，对吧？可这非欧几何里的情况，就像是一个藏着无数惊喜的神秘盒子，等着咱们去打开。
在非欧几何中，这三边关系可就不那么“循规蹈矩”啦！比如说，在罗巴切夫斯基几何里，三角形的内角和居然小于 180 度，这是不是有点超乎想象？就好像咱们一直认为的白天之后是黑夜，突然有人告诉你，白天之后可能是彩虹！那这非欧几何直角三角形三边关系到底是啥样呢？咱们打个比方，欧氏几何里的三角形就像是在平坦大地上的建筑，规规矩矩，横平竖直。
可非欧几何里的三角形呢，就像是在一个弯曲的大球上或者是在一个马鞍形状的面上的图案，弯弯曲曲，变幻莫测。
比如说，在球面上，您能想象一个直角三角形的三条边都不是直线吗？这就好比咱们走在弯弯的山路上，感觉路都不是直的啦。
那这时候，三边的长度和关系可就不能用咱们熟悉的那套办法来计算啦。
再想想，如果咱们生活在一个非欧几何的世界里，盖房子、测量土地，那得多头疼啊！不像咱们现在，用勾股定理就能轻松搞定好多问题。
这非欧几何直角三角形三边关系的研究，可不是闹着玩的。
它让咱们看到，数学的世界是多么的广阔和神奇，就像宇宙中的星辰，数也数不清。
它也告诉咱们，别总是被固有的观念束缚住，要敢于去探索那些未知的领域，说不定就能发现新的宝藏呢！所以说，非欧几何直角三角形三边关系虽然复杂、神秘，但它就像是一把钥匙，能打开咱们思维的新大门，让咱们看到更广阔的数学天地。
您说是不是这个理儿？。
高中数学人教A版选修第八讲欧式几何与非欧几何课件
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 八讲 欧 式 几何与 非欧几 何 课 件 ( 共3 4张PPT )
那么是否在某个特殊的“平面”上，可 以把某种曲线叫作“直线”，此时，非欧平 行公理是成立的，这个“平面”可作为非欧 几何模型．
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现在我们来分析一下欧氏平行公理： “过直线外一点，有且只有一条直线与该直 线不相交．”在平面上欧氏平行公理是不证 自明的．因为这个结论没有加以证明，所以 我们当然可以怀疑它是否正确．
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我们还可以用另一种方式来怀疑它， 即“过直线外一点，不只一条直线与该直 线不相交”．我们把这样改变后的结论称 为非欧（双曲）平行公理．有双曲平行公 理成立的情况下，推导出来的所有定理所 组成的几何体系称为双曲几何．
高 中 数 学 人 教A版选 修3-3 第 八讲 欧 式 几何与 非欧几 何 课 件 ( 共3 4张PPT )
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二 欧氏平行公理与非欧几何模型 ——庞加莱模型
在球面上欧氏平行公理不成立的原因， 是我们把大圆当作“直线”，因此任意两 条“直线”都相交．但是大圆是弯曲的， 并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是 有限的，而直线的长度是可以无限增大 的．
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）
新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
球面上的几何
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面三角形 球面上最常用的基本图形， 构成球面三角形的大圆弧称 为三角形的边，三条边的交 点称为三角形的顶点，过球 面三角形顶点分别作大圆弧 的切线，两条切线所成的角 称为球面三角形的角。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
• 球面多边形 球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面 多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。 任意两个不同大圆的两个交点是球面上的一 对对径点，即球的同一条直径的两个端点称 为一对对径点。
球面上的几何
目录
1 第一讲 从欧氏几何看球面
2
第二讲 球面上的距离和角
3
第三讲 球面上的基本图形
4
第四讲 球面三角形
目录
1 第五讲 球面三角形的全等
2
第六讲 球面多边形的欧拉公式
3
第七讲 球面三角形的边角关系
4
第八讲 欧氏几何与非欧式几何
主要内容： 1.通过丰富的实际问题 （如测量、航空、卫星定 位），体会引入球面几何 知识的必要性。 2.通过球面图形与平面图 形的比较，感受球面几何 与欧氏平面几何的异同。 例如，球面上的大圆相当 于平面上的直线，球面上 两点之间的最短距离是大 圆弧的劣弧部分，类圆幂 定理。 3.通过对实例的分析，体 会球面具有类似平面的对 称性质。
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
球面三角形的性质
球面三角形的内角和
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
推论2 球面三角形ABC的面积为：
S A BBiblioteka C R球面三角形的周长 定理 球面三角形的周长小于大圆周长
2
第三-七讲 球面上的基本图形、球面三角形性质
非欧几何与欧氏几何的联系
非欧几何与欧氏几何的联系
欧几里德几何（Euclidean geometry）是对平面和空间的理论的研究。
它在许多领域
都有应用，包括建筑、工程、物理学、天文学等。
然而，欧几里德几何是基于一些公理
（公认为真的陈述），这些公理在其他几何体系中不一定是真实的，因此出现了非欧几
何。
非欧几何（Non-Euclidean geometry）是指与欧几里德几何不同的几何体系。
在非欧
几何中，与欧几里德几何中的公理不同，例如，直线可能具有弯曲、平行线在一点处可能
相遇等等。
与欧几里德几何不同，非欧几何不一定是在欧几里德几何的基础上发展而来。
相反，
非欧几何在自身的基础上开创了不同的几何领域。
然而，非欧几何和欧几里德几何之间仍然存在一些联系。
其中最重要的联系是在范畴中。
如果说欧几里德几何是平坦的，那么可以将它看作是一种特殊的拓扑空间。
相比之下，非欧几何通常被认为是曲面的一种形式，因此它们也被归为拓扑空间的一类。
此外，在数学、物理学和其他学科中，非欧几何也有着广泛的应用。
在广义相对论中，非欧几何被用来描述弯曲的时空。
在抽象的数学领域中，非欧几何的一些结构也被用来证
明数学定理。
总之，非欧几何和欧几里德几何之间存在着紧密联系。
它们之间的相互作用使我们能
够更好地理解几何学的本质，并促进了许多领域的发展。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
欧几里得几何学ppt课件
•
上面提到的一切人物都接受了欧几里得的传统。他们
确实都仔细地学习过欧几里得的<几何本来>，并使之成为
他们数学知识的根底。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。
牛顿的<数学原理>一书，就是按照类似于<几何本来>的
“几何学〞的方式写成的。自那以后，许多西方的科学家
都效仿欧几里得，阐明他们的结论是如何从最初的几个假
明过的结论作为论证命题的根据；等等。正由于如此，在 <本来>问世后2000年中，一方面<本来>作为用逻辑来表达 科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学开展起着深远 的影响；另一方面，对于<本来>在逻辑上的欠缺进展修正、 补充和研讨任务从未停顿过，对于<本来>中的定义、公理、
公设的研讨成了历代数学家的重要课题。尤其对于<本来> 中的第五公设，许多数学家对它产生了疑心，最终导致非 欧几何的创建〔见非欧几里得几何学〕。
•
在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过知直线外一点，只需一条直线
与知直线平行〞相等价，如今把后一命题称作欧几里得平行公理。它表达了“欧几里
得几何〞与“非欧几里得几何〞的区别。
Thanks
2.1 早期几何知识
• 约公元前300年，古希腊数学家欧几里得 集前人之大成，总结了人们在消费、生活 实际中获得的大量的几何知识，规定了少 数几个原始假定为公理、公设，并定义了 一些名词概念，经过逻辑推理，得到一系 列的几何命题，构成了欧几里得几何学， 简称欧氏几何。
2.2 著名作品
• 欧几里得著有<几何本来>〔以下简称<本来>〕一书， 该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述 比例和算术实际以外，其他各卷都是论述几何问题的。这 部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等 几何学〔即平面几何和立体几何〕的内容根本全包括在此 书内。中国最早的译本是明代万历年间〔1607〕由大学士 徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的<几何本来>前 6卷。<本来>之所以具有价值，不仅由于欧几里得非常详 尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把 那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演 绎的几何学体系。他是历史上第一个发明了一个比较完好 的数学实际的人
《欧氏几何与非欧几何的意义》课件
爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物 理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都 不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他 们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很 好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要 的物理意义．
课堂小结
作为本书的最后一讲，这里主要 介绍了非欧几何的一种模型——庞 加莱模型。最后简单介绍一下欧氏 几何与非行公理看起 来是相互矛盾的，在一般情况下，如果 有两个互相矛盾的结论，则必定有一个 是错误的，现在我们如何判断谁对谁错？
首先，判断一种几何是否正确的标 准是什么？
1. 这种几何在理论上是否成立， 这是本质上的逻辑问题；
2.这种几何在实际中是否成立， 能否刻画我们生活的物理世界．
数学家用间接的方法，在欧氏几何中 建立了一个非欧几何的模型，在这个模 型中，规定了一些（非欧）基本概念后， 全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的 逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何 与非欧几何的一个“桥梁”．
非欧几何的结论通过模型又可解释为 欧氏几何中的一个结论，这样一来， 如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏 几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞 加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是 无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾 的．
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的意义PPT
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那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备。所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型。
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型。
A
l
x
图8-1
A l
x
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在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （ 图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部 的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”。
欧几里得
庞加莱
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同的。
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
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球面上的大圆可视为“直线”。在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
几何学中的欧氏空间与非欧几何
几何学中的欧氏空间与非欧几何几何学是一门关于空间形状和性质的学科，其基本概念是面积、长度、角度和体积等。
在几何学中，欧氏空间是最基本的概念之一。
欧氏空间是指具有欧氏度量的空间。
在欧氏空间里，我们所熟悉的平凡几何学定理都是成立的。
但是，随着几何学的发展与深入研究，我们发现了无数个非欧几何空间。
本文将会详细探讨欧氏空间和非欧几何空间。
一、欧氏空间欧氏空间是用欧氏度量定义的空间。
在欧氏空间内，两点之间的距离是由勾股定理（a²+b²=c²）推导出的。
欧氏空间的特点是满足传递性、对称性和非负性。
同时，在欧氏空间内，平行线永远不会相交。
欧氏空间的一个非常重要的应用是解析几何。
然而，欧氏空间并不是唯一的空间。
在追求更为真实的数学描述的推进下，数学家们尝试着超越欧氏空间，并发现了许多非欧几何空间。
二、非欧几何空间非欧几何空间是指不满足欧氏公理的空间，如球面空间、双曲面空间等。
它的特点在于满足非欧几何公理。
在非欧几何中，曲线不再是直线。
在球面上，我们可以看到地面上所有的边都弯曲了。
而在双曲面上，直线却是呈现成弯曲的。
一个很好的例子是“球面上两点间最短路径不是直线”，这个性质通往了非欧几何的大门。
相比之下，这正是欧式几何公理中的假设。
在球面空间中，我们可以为一个点在地球表面上指定球面坐标（纬度和经度）。
在双曲面上也有类似的坐标系。
这些坐标系使得我们能够在非欧几何空间中进行研究和计算。
总结来说，非欧几何中的曲线要么是弯曲的，要么可以是弯曲的，但两点之间总有一条最短的路径。
在双曲几何中，平行线永远相交。
而在球面几何中，平行线不可能相交。
三、欧氏空间和非欧几何空间的比较欧氏几何是我们熟知的三角形、圆等形状的集合，其中最基本的特征是勾股定理。
而非欧几何没有勾股定理，并且不满足传递性、对称性和非负性等欧氏公理，因此在很多情况下，非欧几何的推导和欧氏几何完全不同。
在欧氏空间中，平面和立体之间可以无缝连接。
非欧几何PPt
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高斯的生平
C.F,Gauss 是德国著名数学家、物理 学家、天文学家、大地测量学家。他有 数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟 大的数学家天赋，据载他9岁时，用很 短的时间计算出了小学老师布置的任务： 对自然数从1到100的求和。但是据更 为精细的数学史书记载，高斯所解的并 不止1架到100那么简单，而是 81297+81095+….+100899（公差198， 项数100）的一个等差数列。
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非欧几何的诞生
欧几里得第五公理是说：过已知直线外 一点，有且只有一条直线与已知直线平 行。 19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基在 否定第五公理的同时，假设其反面之一： “过已知直线外一点，可作多于一条的 直线与已知直线平行”，得到了一系列 定理，并且认为他得到了一门新的几何 学。这是过去2000年以来的重大突破。
非欧几何
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非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里 得几何是一门大的数学分支，一般来讲， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面 的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧 几何只是指罗氏几何，至于通常意义的 非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何 这两种几何。
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非欧几何的诞生
最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容 并且可以描述物质空间、像欧式几何一 样正确的新几何学的是高斯。但是高斯 害怕这种理论会遭到当时教会力量的打 击和迫害不敢公开发表了自己的看法， 也是在书信中向自己的看法，也不敢站 出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们 的新理论。
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高中数学新人教版A版精品学案《欧氏几何与非欧几何的意义》
欧氏几何与非欧几何的意义【学习目标】知识与能力：1．感知欧拉公式在现实中的应用。
2．掌握欧拉公式。
3．了解庞加莱模型的内涵。
过程与方法：1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。
2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：1．让学生从类比中学习新的知识。
2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。
3．培养合作交流意识。
【学习重难点】重点：欧拉公式的理解与应用。
难点：欧拉公式的证明。
【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：欧式几何内容：_______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________。
（二）知识点二：非欧式几何内容：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
二、探究思考1．查阅资料，并分析研究，你对几何与现实空间之间的联系，有哪些体会？三、习题检测1．证明图中的双曲线与1在双曲平面D上不想交。
2．证明在双曲平面内，过双曲直线外一点，有无数条双曲直线与已知的双曲直线不相交。
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
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那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的
一些最基本的性质.例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备．所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型．
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我们把两条不想交的直线称为平行线， 上述结论最早出现在欧几里得所著的《原 本》中，所以我们把上述结论称为欧氏平 行公理．在欧氏平行公理成立的条件下， 推导出来的所有定理及其他结果所组成的 几何体系成为欧氏几何．
同 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角 的 对应相等，则两个三角形全等． 定 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边 理 对应相等，则两个三角形全等．
5.平面（球面）“等腰”三角形的两底角相等，两腰对应相 等．
…………….
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等的相似三角形．
等的相数 学 人 教A版选 修3-3 第 八讲 欧 式 几何与 非欧几 何 课 件 ( 共3 4张PPT )
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为什么会出现不同？ 追溯其根源，是平面上有这样一个结 论： 过直线外一点，有且只有一条直线 与该直线不相交．
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同 的．
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模 型．
欧几里得
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在欧氏平行公理不成立的条件下， 推导出来的所有定理与其结果所组成的 几何体系，称为非欧几何．
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也就是说，对球面上的大圆而言，欧 氏平行公理是不成立的．于是，在球面上 产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定 理．
庞加莱
教学目标
知识与能力
• 感知球面几何与平面几何的异同点． • 认识非欧几何的特点． • 了解庞加莱模型的内涵．
过程与方法
• 通过比较，了解平面几何与球面几何的异 同点．
• 进一步了解球面几何在实际生活中的应 用．
情感态度与价值观
• 让学生从对比中学习知识． • 从生活中大量存在的现象中总结规律． • 培养合作交流意识．
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二 欧氏平行公理与非欧几何模型 ——庞加莱模型
在球面上欧氏平行公理不成立的原因， 是我们把大圆当作“直线”，因此任意两 条“直线”都相交．但是大圆是弯曲的， 并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是 有限的，而直线的长度是可以无限增大 的．
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平面几何
球面几何
平面三角形内角和为
球面三角形内角和大于
不 相
180°．
180°．
同 的
平面三角形的面积与内角
球面三角形的面积与内角和
定
和无关．
减∏成正比．
理 同一平面上存在两个不全 同一球面上不存在两个不全
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现在我们来分析一下欧氏平行公理： “过直线外一点，有且只有一条直线与该直 线不相交．”在平面上欧氏平行公理是不证 自明的．因为这个结论没有加以证明，所以 我们当然可以怀疑它是否正确．
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义． • 庞加莱模型．
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一 平面几何与球面几何的比较
平面几何
球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三 相 角形全等．
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球面上的大圆可视为“直线”．在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交．