高中数学第2讲证明不等式的基本方法 1 比较法、综合法与分析法课后练习新人教A版选修4-5

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2016-2017学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法 1 比较法、

综合法与分析法课后练习新人教A 版选修4-5

一、选择题

1．设0

中最大的一个是( ) A ．a B ．b

C ．c

D ．不能确定

解析： ∵02x ＝4x >2x ，

∴只需比较1＋x 与1

1－x 的大小．

∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x

1－x <0，

∴1＋x <1

1－x .

答案： C

2．已知a ，b ，c ，d ∈{正实数}且a b

A.a b

b ＋d <

只要比较a (b ＋d )与b (a ＋c )的大小，

3．已知a >2，x ∈R ，P ＝a ＋1a －2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P >Q

C ．P

D ．P ≤Q 解析： ∵a >2，∴a －2>0，

P ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2

＋2≥2＋2＝4. 又Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－2＝4.∴P ≥Q . 答案： A

4．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b >2，ab >1”是“a >1，b >1”的( )

解析： ∵a >1，b >1⇒a ＋b >2，ab >1

a ＋

b >2，ab >1⇒/ a >1，b >1

举例说明a ＝3，b ＝12

. 答案： B

二、填空题

5．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析： ∵a >b >0，

∴x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b )

＝b a ＋b ＋a －b a ＋a －b

＝

b a －b －a ＋b a ＋b ＋a a ＋a －b <0. 答案： <

6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a ＋b c

的取值范围是________．

解析：由题意知c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，即ab c 2≤12

∴a ＋b c ＝a 2＋b 2＋2ab c 2＝1＋2ab c

7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.

证明： 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，

从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.

8．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2.求证：a 2

a ＋1＋

b 2

b ＋1≥1.

解答：证明：因为a ，b 都是正实数，所以原不等式等价于

a 2(

b ＋1)＋b 2(a ＋1)≥(a ＋1)(b ＋1)，

即a 2b ＋a 2＋ab 2＋b 2≥ab ＋a ＋b ＋1.

等价于a 2＋b 2＋ab (a ＋b )≥ab ＋a ＋b ＋1，

将a ＋b ＝2代入，只需要证明a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2＝4≥ab ＋3，即ab ≤1. 而由已知a ＋b ≥2ab ，可得ab ≤1成立，所以原不等式成立．

另证：因为a ，b 都是正实数，所以

a 2a ＋1＋a －14≥a ，

b 2b ＋1＋b ＋14≥b . 两式相加得a 2a ＋1＋a －14＋b 2b ＋1＋b ＋14

≥a ＋b ，因为a ＋2＝2，所以a 2

a ＋1－

b 2

b ＋1≥1.

9．设a ，b ，c 是不全相等的正实数．

求证：lg a ＋b

2＋lg b ＋c

2＋lg c ＋a

＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：方法一：要证：lg

a ＋

b 2＋lg b ＋

c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c 只需证：lg ⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc ) 只需证：

c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a

2≥abc ＞0成立．

高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法、综合法与分析法课后练习 新人教A版选修4-5

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