公平的席位分配论文

公平的席位分配论文 This manuscript was revised on November 28, 2020

题目：公平的席位分配问题

摘要

数学问题中离不开分配问题，下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中，我会先按照比例的分配方法分配，再按照比例家惯例的方法进行分配，表示不公平的席位分配，最后我们利用Q值法对题目进行重新分配，以Q值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法，但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。

关键词：席位分配比例法比例加惯例 Q值法

一、问题的重述与分析

问题的重述

某学校有3个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，三个系分别为10，6，4个席位。现因学生转系，三系人数分别为103，63,34名，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。

问题的分析

本题讲将有200名学生，甲103、乙63、丙34，现有20个或21个席位，那我们应该怎么来分配呢看到这个题，首先想到的是用比例加惯例法，得出：20个席位，三系仍分别占有10,6,4个席位；21个席位，三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席，最后通过比较，还是Q值法分配相对公平。

二、符号设定

1、各系的人数：

p i

（i=1,2,3……）

2、各系分配到的席位数：

n i

（i=1,2,3……）

3、各系不公平程度的指标：r i

（i=1,2,3……）

4、各系Q 值：Q i （1,2,3……）

三、模型的建立与求解

比例加惯例分配

如下表

分配的席位取整数，20席位时，甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4；可是总席位增加1个席位时，丙系却由4席减为3席，这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配，有的时候是不公平的。

不妨设A 、B 方人数分别为 p 1、p 2，席位分别为 n 1、n 2

当p 1/n 1=p 2/n 2时，分配公平

当p 1/n 1>p 2/n 2时，对A 不公平

p 1

/n 1-p 2

/n 2～对A 的绝对不公平度

如：p 1=150，n 1=10，p 1/n 1=15 p 1=1050，n 1=10，p 1/n 1=105

p

2

=100，n 2=10，p 2/n 2=10 p 2=1000，n 2=10，p 2/n 2=100

p 1

/n 1-p

2

/n 2=5 p 1/n 1-p 2/n 2=5

虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A 的不公平程度已大大降低。 若 p 1/n 1﹥p 2/n 2，定义

～对A 的相对不公平度，类似地定义r B

(n n 21-)

公平分配方案应使r A ，r B 尽量小

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设A, B 已分别有n 1, n 2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B

不妨设分配开始时p 1/n 1﹥p 2/n 2，即对A 不公平 讨论以下几种情况：

（1）若p 1/（n 1+1）﹥p 2/n 2，则这席应给 A （2）若p 1/（n 1+1）﹤p 2/n 2，应计算r B (n n 21,1+) （3）若p 1/n 1 ﹥p 2/（n 2+1），应计算r A (1,21+n n ) 问：p 1/n 1 ﹤p 2/（n 2+1）是否会出现 否！ 若r B (n n 21,1+)﹤r A (1,21+n n ),则这席位应给A 若r B (n n 21,1+)﹥r A (1,21+n n )，则这席位应给B 分配新方法“Q 值法”

（一）当r B (n n 21,1+)﹤r A (1,21+n n )，该席给A

r A ，r B 的定义

该席给A ，否则该席给B 定义： 该席给Q 值较大的一方

),(///212

22

211n n r n p n p n p A =-)

1()1(1121

2222+<

+n n p n n p

推广到m 方分配席位，计算 ，该席给Q 值最大的

一方

（二）三系用Q 值法重新分配21个席位： 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕

甲系：p 1=103，n 1=10 乙系：p 2=63，n 2=6 丙系：p 3=100，

n 3

=10

用Q 值法分配第20席和第21席

第20席：

最大,第20席给甲系

第21席：

最大，第21席给丙系 Q 值方法分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席，相对要公平 结果对比

综上所述：按惯例分配法得到的席数分别为：10,6,4，而按Q 值计算得到的结果为：11,7,3，只有这样才能做到相对公平

四、模型评价

席位分配问题应该对各方公平，其关键在于建立合理的数量指标，比例法所得的结果是相对不公平的，在这个前提下，使用Q 值法求出结果，这是相对公平平等的。

五、参考文献

《数学建模》（第四版） 姜启源

m i n n p Q i i i i ,2,1,)

1(2

=+=3.964

334,5.947663,4.9611101032

32221=⨯==⨯==⨯=Q Q Q 1Q 3Q 3.964

33423,5.94766322,4.80111010321=⨯==⨯==⨯=Q Q Q