第53讲 推理与证明(解析版)

简单已测：1994次正确率：87.2 %1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由⼀般到⼀般的推理；③演绎推理是由⼀般到特殊的推理；④类⽐推理是由特殊到⼀般的推理；⑤类⽐推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：C解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出⼀般性结论的推理．故①对②错；⼜所谓演绎推理是由⼀般到特殊的推理．故③对；类⽐推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从⽽推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：．⼀般已测：2488次正确率：82.5 %2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加⼊“归纳”,则应该放在（ ）A.“合情推理”的下位B.“演绎推理”的下位C.“直接证明”的下位D.“间接证明”的下位考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：A解析：合情推理包括归纳推理与类⽐推理，因此答案为.C A简单已测：1990次正确率：95.2 %3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D.个考点：分析法的思考过程、特点及应⽤、综合法的思考过程、特点及应⽤知识点：综合法、分析法答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确．⼀般已测：3748次正确率：87.4 %4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A.B.C.D.考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常⽤⽅法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：，可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，，的末四位数字与的后四位数相同，是，故选D⼀般已测：1886次正确率：81.9 %5.观察下列各式：，， ，，，，则=（ ）A.B.C.23455=3125,5=15625,5=78125,⋯567520113125562506258125∵5=3125,5=15625,5=781255675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125⋯89101144∵2011÷4=502⋯3∴52011578125a +b=1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123D.考点：根据数列的前⼏项写出数列的⼀个通项公式、归纳推理知识点：数列的概念、周期数列答案：C解析：观察可得各式的值构成数列，，，，，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第⼗项．继续写出此数列为，，，，，，，，，，，第⼗项为，即故选.简单已测：4633次正确率：88.2 %6.下⾯⼏个推理过程是演绎推理的是( )．A.某同学第⼀次数学考试分，第⼆次考试分，由此预测其第三次考试分．B.根据圆的⾯积为，推测球的体积为．C.在数列中，根据，，计算出，，的值，然后猜想的通项公式．D.因为平⾏四边形的对⻆线互相平分，⽽菱形是平⾏四边形，所以菱形的对⻆线互相平分考点：类⽐推理的常⽤⽅法、演绎推理的基本⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：D解析：：由平⾯图的⾯积，推测空间体的体积，是由特殊特殊的推理，为类⽐推理；与都是从特殊⼀般的推理，均属于归纳推理；为三段论，是从⼀般特殊的推理，是演绎推理．故选．简单已测：1408次正确率：86.2 %7.因为指数函数(且)是增函数,⽽是指数函数,所以是增函数,以上推理错误的是（ ）A.⼤前提B.⼩前提C.推理形式D.以上都错考点：类⽐推理的常⽤⽅法、三段论的推理应⽤知识点：类⽐推理、“三段论”推理答案：A解析：当时,函数是⼀个增函数,当时,指数函数是⼀个减函数,是增函数这个⼤前提是错误的,从⽽导致结论错.故选:.199134711⋯13471118294776123⋯123a +b =123.1010C 656871S=πr 2V =πr 3{a }n a =11a =n +1a +1n an n∈N ∗a 2a 3a 4{a }n ∵B →A C →D →D y=a x a >0a ≠1y =( )21x y =( )21x ∵a >10<a <1∴y =a x A简单已测：120次正确率：86.4 %8.设的三边⻓分别为的⾯积为,内切圆半径为,则.类⽐这个结论可知:四⾯体的四个⾯的⾯积分别为内切球的半径为,四⾯体的体积为,则（ ）A.B.C.D.考点：类⽐推理的常⽤⽅法、类⽐推理知识点：类⽐推理、数学归纳法答案：C解析：由题意,的三边⻓分别为的⾯积为,内切圆半径为,则,利⽤等⾯积法得到此结论,类⽐推理到空间中,四⾯体的四个⾯的⾯积分别为内切球的半径为,四⾯体的体积为,利⽤等体积法可知,故.故选.⼀般已测：2772次正确率：78.5 %9.甲、⼄、丙、丁四位同学⼀起去问⽼师询问成语竞赛的成绩．⽼师说：你们四⼈中有位优秀，位良好，我现在给甲看⼄、丙的成绩，给⼄看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对⼤家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A.⼄可以知道四⼈的成绩B.丁可以知道四⼈的成绩C.⼄、丁可以知道对⽅的成绩D.⼄、丁可以知道⾃⼰的成绩考点：进⾏简单的合情推理、进⾏简单的演绎推理知识点：合情推理、演绎推理答案：D解析：四⼈所知只有⾃⼰看到，⽼师所说及最后甲说话，甲不知⾃⼰的成绩⼄丙必有⼀优⼀良，（若为两优，甲会知道⾃⼰的成绩；若是两良，甲也会知道⾃⼰的成绩）⼄看到了丙的成绩，知⾃⼰的成绩丁看到甲、丁也为⼀优⼀良，丁知⾃⼰的成绩，故选：中等已测：1896次正确率：65.4 %10.已知正整数的次幂有如下分解规律：若的分解中最⼩的数为，则的值为．考点：等差数列五个基本量的计算、归纳推理的常⽤⽅法知识点：等差数列的前n 项和公式、归纳推理答案：解析：由题意，从到，正好⽤去从开始的连续奇数共△ABC a ,b ,c ,△ABC S r r =a +b +c 2S P−ABC S ,S ,S ,S 1234r P −ABC V r = S +S +S +S 1234V S +S +S +S 12342V S +S +S +S 12343V S +S+S +S 12344V △ABC a ,b ,c ,△ABC S r r= a +b +c 2S P −ABC S ,S ,S ,S 1234r P −ABC V V = (S +S +S +S )r 311234r = S +S +S +S 12343V C 22→→→Dm 31=1;2=3+5;3=7+9+11;4=13+15+17+19;3333...m (m ∈N )3+91m 1023m 33个，是从开始的第个奇数当时，从到，⽤去从3开始的连续奇数共个当时，从到，⽤去从开始的连续奇数共个．故．故答案为：⼀般已测：4025次正确率：73.6 %11.甲、⼄、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．⼈作出如下预测：甲说：我不是第三名；⼄说：我是第三名；丙说：我不是第⼀名．若甲、⼄、丙⼈的预测结果有且只有⼀个正确，由此判断获得第⼀名的是．考点：进⾏简单的演绎推理知识点：演绎推理答案：⼄解析：若甲正确，则⼄、丙均错误，故丙是第⼀名，⼄是第⼆名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名“正确相⽭盾，故甲错误，因此，甲为第三名；①于是⼄、丙中必有⼀⼈正确，⼀⼈错误．若丙错误（则⼄正确），即丙是第⼀名，⽽甲是第三名，故⼄是第⼆名，与⼄正确”我是第三名“⽭盾，故丙正确，即丙不是第⼀名，为第⼆名；②由①②得：获得第⼀名的是：⼄.故答案为：⼄.⼀般已测：779次正确率：87.9 %12.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各⾃乘，并⽽开⽅除之”，⽤符号表⽰为（），我们把，，叫做勾股数．下列给出⼏组勾股数：，，；，，；，，；，，，以此类推，可猜测第组股数的三个数依次是．考点：归纳推理的常⽤⽅法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：归纳推理、类⽐推理答案：，，解析：先找出勾股数的规律：①以上各组数均满⾜；②最⼩的数（）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最⼩奇数的平⽅等于另两个连续整数的和，如，，，，由以上特点我们可第⑤组勾股数：，故答案为，，．⼀般已测：154次正确率：93.7 %13.由①正⽅形的对⻆线相等；②矩形的对⻆线相等；③正⽅形是矩形．写⼀个“三段论”形式的推理，则作为⼤前提、⼩前提和结论的依次为（写序号）．考点：三段论的推理应⽤知识点：“三段论”推理答案：②③①解析：⽤三段论的形式写出的演绎推理是：2+3+4+...+m =2m +2m −1()()91345m =92393=4429+29−1()()m =10231033 =542(10+2)(10−1)m=101033a +b =c 222a ,b ,c ∈N ∗a b c 3455121372425940415116061a +b =c 222a 3=9=4+525=25=12+1327=49=24+2529=81=40+41…211=121=60+612116061(1)(2)⼤前提②矩形的对⻆线相等⼩前提③正⽅形是矩形结论①正⽅形的对⻆线相等故答案为：②③①简单已测：896次正确率：96.4 %14.已知,,,,若(,均为正实数),则类⽐以上等式,可推测,的值,.考点：综合法与分析法、类⽐推理的常⽤⽅法知识点：类⽐推理、综合法答案：解析：由,,,可知：,则，所以,，则较难已测：249次正确率：55.7 %15.证明下列不等式:⽤综合法证明:若,,求证;⽤分析法证明:.考点：分析法的思考过程、特点及应⽤、综合法的思考过程、特点及应⽤知识点：综合法、分析法(1)答案：⻅解析解析：证明,,,.(2)答案：⻅解析解析：证明:要证成⽴,只需证，即证只需证，即证显然为真,故原式成⽴.⼀般已测：2063次正确率：77.4 %16.试⽐较下列各式的⼤⼩（不写过程）（1）与（2）与通过上式请你推测出与且的⼤⼩，并⽤分析法加以证明．考点：分析法的思考过程、特点及应⽤知识点：分析法=22+3232=33+8383=44+ 154154…=66+tata a t a t a +t=41=22+ 32 32=33+ 83 83=44+ 154154… =n(n ≥2)n + n −12nn −12n =66+ 356356a=6t =35a +t =41a >0b >0(a +b )( + )≥4a1b1 + >2 + 6725∵a >0b >0∴a +b ≥2ab ∴ + ≥2a 1b1 ab 1∴(a +b )( +)≥4a 1b 1 + >2 + 6725 +>2 +(67)2(25)213+2 >13+44210 >2 421042>401− 2 − 23 −23 −34 −n −1n −n n +1(n ≥2n ∈N )答案：（1）（2）证明⻅解析解析：猜想：且证明：要证：且 即证：整理得：平⽅整理得：平⽅并整理得：⽽此不等式⼀定成⽴，故猜想正确⼀般已测：2249次正确率：84.8 %17.已知，，是互不相等的实数，求证：由，，确定的三条抛物线⾄少有⼀条与轴有两个不同的交点考点：⽤反证法证明“⾄多”“⾄少”存在性问题知识点：反证法答案：⻅解析解析：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与有两个不同的交点（即任何⼀条抛物线与轴没有两个不同的交点），由，，得，，．同向不等式求和得，，，，，这与题设，，互不相等⽭盾，因此假设不成⽴，从⽽命题得证1−< − 223 −< −2334 − < −n −1n n n +1(n ≥2n ∈N )− < −n −1n n n +1(n ≥2n ∈N )( −)<( −)n −1n 2n n +12> +1n +n 2n −n 22n −1>2n −n 21>0a b c y=ax +2bx +c 2y =bx +2cx +a 2y =cx +2ax +b 2x x x y=ax +2bx +c 2y =bx +2cx +a 2y =cx +2ax +b 2Δ =(2b )−4ac ≤012Δ =(2c )−4ab ≤022Δ =(2a )−4bc ≤0324b +4c +4a −4ac −4ab −4bc ≤0222∴2a +2b +2c −2ac −2ab −2bc ≤0222∴(a −b )+(b −c )+(c −a )≤0222∴a =b =c a b c。