相交弦定理教学设计
2018-2019北师大版数学选修4-1教学案：第一章2.5切割线定理相交弦定理
2．4&2.5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1]如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用。
人教版七年级数学下册5.1.1《相交线》教案
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相交线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相交线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相交线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
其次，注重培养学生的空间想象力。在解决实际问题时，我发现部分学生难以将题目中的信息与几何图形联系起来。为了改善这一点，我计划在今后的教学中，多设计一些空间想象力训练的环节，如让学生自己动手画图、制作模型等。
再次，加强小组合作学习的引导。在小组讨论和实验操作过程中，我发现有些学生参与度不高，依赖性强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对小组合作学习的引导，鼓励每个学生积极参与，培养他们的团队协作能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相交线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相交线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.理论介绍：首先，我们要了解相交线的基本概念。相交线是两条在平面内不平行且在某一点相遇的直线。它在几何学中有着重要的作用，可以帮助我们分析图形的性质和解决实际问题。
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ， 即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ， 所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点， 所以AC ＝CD ，BC ＝CE ， 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为 ．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝ ；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE， 把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°， 所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4， 解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ， 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ， 则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2， 即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158， 则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。
初中数学_5.1 相交线教学设计学情分析教材分析课后反思
四、《相交线》教学设计一、教学目标1、情感态度与价值观（1）通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神；（2）通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2、过程与方法（1）通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力；（2）通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，•体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．3、知识与技能（1）理解相交线、邻补角、对顶角的概念；毛（2）理解对顶角相等的性质．三、重点、难点重点:邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.难点:理解对顶角相等的性质.学习方法：采用“观察──问题──目标”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。
教学过程一、情景导入1、读一读,看一看教师在轻松欢快的音乐中演示有关平行线和相交线的多媒体课件。
师:生活中有许许多多的美，这些生活中的美都是有各种各样的线组成的。
线，在我们生活中无处不在，下面，请同学们欣赏图片（多媒体投影带有斜拉铁索大桥的图片、衣架图片和剪刀图片）师：同学们，在图片中你们看到了什么线？（生：相交线）谁还能举出我们生活中相交线的例子？生：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、师：看来同学们对相交线并不陌生，你们今天我们就来探究和相交线有观的问题教师板书：5.1.1相交线2、观察转动木条的过程,引入两条相交直线所成的角多媒体演示两根木条相交的过程,提出问题:两根木条相交时，给我们什么形象？你能用直线表示出这种情形吗?3、学生动手画图：一个学生黑板上画图[说明:从学生日常生活经验中发现问题、提出问题，引导学生初步地、概括地了解新的学习任务，为整节课的学习活动提供动力和规划方向。
自然引出本节课题。
]二、探究新知1、认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质（1）学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角，各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?（2）学生思考并在小组内交流,全班交流.当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时, 教师引导学生用几何语言准确地表达,如:∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.∠1和∠3有公共的顶点O,而是∠1的两边分别是∠2两边的反向延长线.三、师生交流概括形成邻补角、对顶角概念(1)师生共同定义邻补角、对顶角.有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.（2）练习:练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？通过三个不同类型图形的判断，来加深对对顶角概念的理解。
相交弦定理精品PPT教学课件
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB
（完整版）相交弦定理课件
（完整版）相交弦定理课件相交弦定理教学⽬标：1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运⽤它们进⾏有关的简单证明和计算；2．学会作两条已知线段的⽐例中项；3．通过推论的推导，获取由⼀般到特殊的思想⽅法．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．教学难点：在定理的叙述和应⽤时，我们往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从⽽导致证明中发⽣错误，因此务必清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三⾓形相似，从⽽就可以⽤对应边成⽐例的结论直接写出定理．1、图形变换：①观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．②进⼀步得出：△APC∽△DPB．③如果将图形做些变换，去掉AD和BC，图中线段PA，PB，PC，PD之间的关系会发⽣变化吗?为什么? 2、证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内⼀点P．求证：PA·PB＝PC·PD．（⼆）定理及推论1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．结合图形让学⽣⽤数学语⾔表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．2、从⼀般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进⾏适当的调整，使其中⼀条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?指出：PC2＝PA·PB．．推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的⼀半是它分直径所成的两条线段的⽐例中项．3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论⼜可叙述为：半圆上⼀点C向直径AB作垂线，垂⾜是P，则PC2＝PA·PB．若再连结AC，BC，则在图中⼜出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·ABC=A B=D（三）应⽤、反思例1 已知圆中两条弦相交，第⼀条弦被交点分为12厘⽶和16厘⽶两段，第⼆条弦的长为32厘⽶，求第⼆条弦被交点分成的两段的长．例2 已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a⼗b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．反思：这个作图是作两已知线段的⽐例中项的问题，可以当作基本作图加以应⽤．练习1 如图，AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP＝1厘⽶，求CD．变式练习：若AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB ⊥CD，垂⾜为P，AP＝4厘⽶，PD ＝2厘⽶．求PO的长．练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB 上⼀点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB（四）⼩结知识：相交弦定理及其推论；能⼒：作图能⼒、发现问题的能⼒和解决问题的能⼒；思想⽅法：学习了由⼀般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想⽅法．切割线定理教学⽬标：1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运⽤它们进⾏计算和证明；2．掌握构造相似三⾓形证明切割线定理的⽅法与技巧，达到从⼏何图形归纳出⼏何性质的能⼒3．能够⽤运动的观点学习切割线定理及其推论教学重点：理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常⽤到的重要定理．教学难点：定理的灵活运⽤以及定理与推论问的内在联系是难点．（⼀）问题1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内⼀点．如果两弦延长交于圆外⼀点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图当其中⼀条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为⼀点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT 之间⼜有什么关系？2、猜想：引导学⽣猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB．3、证明：让学⽣根据图2写出已知、求证，并进⾏分析、证明猜想．分析：要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三⾓形与以PT，BP为边的三⾓形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B⼜∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．4、切割线定理从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项．（⼆）切割线定理的推论1、问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．2、组织学⽣⽤多种⽅法证明：⽅法⼀：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三⾓形和以PD，PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)⽅法⼆：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三⾓形和以PC、PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，⼜∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5) ⽅法三：观察图2，⽴即会发现．PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD推论：从圆外⼀点引圆的两条割线，这⼀点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）（三）初步应⽤例1 已知：如图，⊙O的割线PAB 交⊙O于点A和B，PA=6厘⽶，AB=8厘⽶，PO=10.9厘⽶，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的⼀条割线，⽽OD⼜恰好是⊙O的半径，于是运⽤切割线定理的推论，问题得解．例2 已知如图7，线段AB和⊙O 交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，求证：AE＝BF．分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同⼀直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．（四）⼩结知识：切割线定理及推论；能⼒：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；⽅法：在证明切割线定理和推论时，所⽤的构造相似三⾓形的⽅法⼗分重要，应注意很好地掌握．。
《相交弦定理》教案
《相交弦定理》教案一、教学目标1.理解相交弦定理，掌握相交弦定理的证明方法。
2.能够运用相交弦定理解决一些实际问题，进一步加深对定理的理解和应用。
3.培养学生的观察、分析、推理等思维能力，提高他们的数学素养。
二、教学重点和难点1.重点：相交弦定理的证明与应用。
2.难点：如何引导学生通过观察、分析、推理等思维活动发现并证明相交弦定理。
三、教学过程1.导入：通过回顾平行线性质和三角形全等的判定方法，引导学生思考相交弦定理与这些知识的联系，激发他们的学习兴趣。
2.探究：让学生观察一些具体的图形，通过观察、分析、比较、归纳，发现相交弦定理的形式，并鼓励他们尝试证明自己得出的结论。
3.讲解：教师对学生的探究结果进行总结和补充，并给出相交弦定理的完整证明过程，让学生明确定理的证明方法和思路。
4.练习：给出一些与相交弦定理相关的练习题，让学生通过练习加深对定理的理解和应用。
5.总结：对本节课所学内容进行总结，强调相交弦定理的应用价值，并引导学生思考如何将本节课所学知识应用到其他领域。
四、教学方法和手段1.教学方法：采用探究式教学法，引导学生通过观察、分析、推理等思维活动发现并证明相交弦定理，同时结合讲解和练习，加深学生对定理的理解和应用。
2.教学手段：利用多媒体课件展示图形和练习题，提高课堂效率。
五、课堂练习、作业与评价方式1.课堂练习：让学生完成一些与相交弦定理相关的练习题，通过练习加深对定理的理解和应用。
2.作业：布置一些与相交弦定理相关的作业题，让学生回家继续练习，巩固所学知识。
3.评价方式：对学生的练习和作业进行评价，评价方式可以采用教师评价和学生互评相结合的方式，让学生了解自己的学习情况并发现自己的不足之处。
六、辅助教学资源与工具1.图形计算器：利用图形计算器展示相交弦定理的几何意义和证明过程，帮助学生更好地理解定理。
2.教学课件：利用教学课件展示教学内容和练习题，提高课堂效率。
3.教学视频：提供一些与相交弦定理相关的视频资料，让学生回家继续学习。
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案
在今天的课堂上，我们探讨了相交线的概念和性质，以及它们在实际生活中的应用。我注意到，学生在理解同位角、内错角、同旁内角这些概念时，起初有些混淆。我通过反复举例和直观演示，帮助他们逐步理清了这些角的区别和联系。这也提醒我，对于这类几何基础概念的教学，直观性和重复性是非常重要的。
我尝试了一种新的教学方法，让学生在小组讨论中解决实际问题，感觉效果还不错。学生们积极参与，讨论热烈，通过合作探究，他们不仅加深了对相交线性质的理解，还学会了如何将这些知识应用到解决具体问题中。这一点让我感到很欣慰，也证明了实践活动在数学教学中的价值。
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案
一、教学内容
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案：
1.理解相交线的概念，掌握两条直线相交形成的四个角及其分类。
2.学习同位角、内错角、同旁内角的概念，并能够识别和判条直线是否垂直。
4.探索并掌握垂直的性质及其应用，如：垂直线段最短、直角三角形的性质等。
4.强化学生的数学建模能力，将相交线的性质应用于解决实际问题，培养运用数学知识解决现实问题的能力。
5.培养学生的数学运算能力，通过几何作图和计算，巩固基本的几何变换和代数运算技能。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-两条直线相交形成的四个角的识别及其分类，特别是同位角、内错角、同旁内角的定义和特点。
-垂直的概念及其判断方法，理解两条直线垂直的条件。
-掌握垂直性质及其在实际问题中的应用，如直角三角形的性质和垂线段最短原理。
-通过几何作图和计算，运用相交线和垂直的知识解决具体问题。
举例解释：
-在讲解同位角、内错角、同旁内角时，重点强调它们在两条相交直线上的位置关系和数量关系，通过直观图示和实际操作加深学生理解。
七年级数学相交线教案
七年级数学相交线教案 好的教学设计可以为教学活动提供科学的⾏动纲领，使教师在教学⼯作中事半功倍，取得良好的教学效果。
这是店铺整理的七年级数学相交线教案，希望你能从中得到感悟! 七年级数学相交线教案(⼀) ⼀、教学⽬标 1、经历观察、推理、交流等过程，进⼀步发展空间观念和推理能⼒; 2、了解邻补⾓和对顶⾓的概念，掌握邻补⾓、对顶⾓的性质; 3、培养学⽣解决实际问题的能⼒。
⼆、教学重点与难点 重点：对顶⾓相等的探索过程。
难点：学⽣推理能⼒和表达能⼒的培养。
三、教学准备 学⽣：三⾓尺、量⾓器。
教师：多媒体课件、剪⼑。
七年级数学相交线教案(⼆) 教学设计(教学过程) 1、情景引⼊(多媒体投影汕头⼤桥的图⽚) 同学们，你们看这座宏伟的⼤桥，它的两端有很多斜拉的平⾏线，桥的侧⾯有许多相交线段组成的图案，这些都给我们以相交线、平⾏线的形象。
两条直线相交能形成哪些⾓?这些⾓⼜有什么特征?这就是我们今天这堂课要研究的内容：5.1.1相交线(板书)。
设计意图说明：通过学⽣熟悉的事物，直观形象地给出了⽣活中的平⾏线和相交线，激发了学⽣的学习兴趣。
2、探究新知 (1)教师动⼿操作：⽤剪⼑剪开布⽚。
在这个过程中握紧把⼿时，随着把⼿之间的⾓逐渐变⼩，剪⼑刃之间的⾓也相应变⼩，直到剪开布⽚。
如果把剪⼑的构造看成两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的⾓的问题。
(2)取两根⽊条a、b，将它们钉在⼀起，并把它们想像成两条直线，就得到⼀个相交线模型。
如图1所⽰。
在七年级上册中我们已经知道∠1与∠2的和等于180°，所以∠1与∠2互补，再仔细观察，这时的∠1与∠2有⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向延长线，具有这种关系的两个⾓不仅互补，⽽且互为邻补⾓。
设计意图说明：⽤现实⽣活中的例⼦引出两条直线相交所成的⾓的问题，⾃然⽽贴切。
这样安排既可以复习七年级上册中互补的知识，⼜为学习本堂课的新知识做了铺垫。
3、谈论交流 (1)让学⽣讨论教科书中第4页的“讨论”。
《相交弦定理》说课教案
《相交弦定理》说课教案一、教材分析：1、本节教材的地位和作用：《相交弦定理》是平面几何第七章第二单元《直线与圆的位置关系》的重要内容之一，相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
圆幂定理是进行几何论证、计算和作图的常用定理，是解决理论和实际问题的一个重要工具，但是应用难度较大，所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考，培养学生的发散思维能力.2、教学目标、教学重点、难点：（1）知识教学点：①使学生理解相交弦定理及其推论；②初步学会运用相交弦定理及其推论；③使学生学会作线段的比例中项。
（2）能力训练点：①在推导定理的过程中，培养学生主动探索，总结规律，尝试创新的能力；②在运用相交弦定理时，使学生清楚运用几何性质，代数解法解有关弦长计算问题，培养学生的综合运用能力；③在运用相交弦定理的推论作线段的比例中项时，培养学生的作图能力和运用基本理论解决实际问题的能力。
（3）教学重点：使学生正确理解相交弦定理及其推论，这是以后学习中非常重要的定理。
（4）教学难点：在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，教学时，让学生自已得出定理并证明，因为自已通过实践得出的结论往往是最不容量忘记的。
二、学法指导：没有学生参与的教学活动几乎是无效（起码是低效）的教学活动．本节课主要采用在教师指导下，让学生通过《几何画板》这个工具，开展“探索——猜想——证明——应用”的自主探索式学习方法。
让学生以主人翁的姿态、以研究者的身份出现，并在教师引导下，发现问题，进而建立理论和运用理论解决问题。
三、教法使用：本节课的引入采用《智力猜数》的游戏式的教学方法，激发学生学习兴趣。
定理的得出采用探索式的教学方法，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学中，让学生自已动手，利用《几何画板》实验得出结论并证明，培养学生探究问题的能力。
改变原来的“听数学”为“做数学”。
定理的应用采用分层式的教学方法，根据不同学生的实际，进行不同层次的教学。
七年级数学《相交线》教学设计
七年级数学《相交线》教学设计七年级数学《相交线》教学设计一、教学目的:1.知识与技能:理解相交线、垂线的定义，在具体的情景中了解同位角、内错角和同旁内角的定义，能找到图形中的同位角、内错角和同旁内角以及对顶角。
2.过程与方法:能够通过观察推断等方法准确找到图形中的邻补角、对顶角，能够进一步发展空间观念。
3.情感态度价值观:培养识图能力，发展空间想象能力，和逻辑推理能力。
二、教学重难点1.重点:邻补角、对顶角的概念，对顶角的.性质与应用，以及对同位角、内错角和同旁内角的概念和应用的理解。
2.难点:理解对顶角相等的性质的探索。
三、教学过程1.创设情景:通过多媒体展示自然界中的相交线的图形，和同学们探讨自然界中还存在哪些相交线的图形，帮助同学们理解数学和生活的紧密关系。
2.尝试活动:让同学们提前准备道具，在课上用剪刀剪纸，并且提出问题，在剪纸过程中如果把剪刀看成两条线，则在剪纸的过程中剪刀发生了哪些变化？3.抽象图形:抽象出具体的图形，和同学们一起给出相交线的定义。
4.尝试探究:任意画两条相交的直线，形成四个角，让同学们把形成的四个角两两一组结对，一共能有几种，并且提问角一和角二有什么样的位置关系？角一和角三呢？5.尝试反馈:在和同学们的探讨中和同学们一起给出邻补角和对顶角的定义。
6.在相交线的模型中，如果两条相交线形成的四个角为直角，介绍垂线的定义。
7.进一步研究:在研究了一条直线与另一条直线之间的关系之后进一步研究一条直线与两条直线分别相交时，讨论没有公共顶点的两个角之间的关系，理解同位角、内错角和同旁内角的定义。
四、总结拓展引导同学们一起进行总结本节课学习的内容，并强调对顶角的概念和性质的理解。
五、布置作业第七页，第二题，第六题，第十题。
相交弦定理PPT教学课件
θ
f
(M+m)g
例4 、如图，有一斜木块，斜面是光滑的，倾角为θ，放在水
平面上，用竖直放置的固定挡板A与斜面夹住一个光滑球，球
质量为m，要使球对竖直挡板无压力，球连同斜木块一起应向
(填左、右)做加速运动，加速度大小左是
.
gtanθ N
解: 画出小球的受力图如图示:
合力一定沿水平方向向左,
F=mgtanθ
BC
B、b球先落地
C、两球落地时速率相等
D、a球先落地
例1、物A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分 别为mA,mB,mC，得到三个物体的加速度a与其所受拉力F 的关系如图所示，图中A、B两直线平行，则下列由图线 判断的关系式正确的是 （ ）
AB、、BmμDAA==μmB=B<μmC C C、mA>mB>mC D、μA<μB=μC
∴a= gtan θ
mg
例5 、一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升
的电梯中，加速度为a，如图所示．在物体始终相对于斜面静
止的条件下，下列说法中正确的是 (
)
BC
（A）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小 （B）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大 （C）当a 一定时， θ 越大，斜面对物体的正压力越小 （D）当a 一定时，θ 越大，斜面对物体的摩擦力越小
证明：
EM=FN
EM+MN=FN+MN
A
EN=FM AM ·BM=EM ·FM CN ·DN =FN ·EN
AM ·BM=CN ·DN
E M
B
C NF D
练习3 如图，M是⊙O1与 ⊙O2 的公共弦AB上的一点， CE，DF 分别是⊙O1 ，⊙O2 的弦，他们相交于点M。 求证：MD ·MF=ME ·MC
相交弦定理
相交弦定理本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！各位老师，今天我说课的内容是：初三几何“圆”这一章中“和圆有关的比例线段”的第一课时“相交弦定理”。
下面，我从教学内容分析、教学方法、学法指导、教学程序四大部分对本课教学构思设想进行说明。
一、教学内容分析：1、教学内容及其地位、作用本节课的主要内容是相交弦定理及其推论，内容非常重要，但并非难点。
实际上这节内容在前面已有伏笔：在圆周角中，我们讨论同弧所对的圆周角；在P95第1题中找相等的角中等已有该问题的萌芽.在圆内接四边形中，我们也接触过类似的问题，现在有了这些知识作辅垫，只需将这些问题做些深化，相交弦定理便可呼之即出。
相交弦定理和下一节的切割线定理同出一辙，都是涉及圆中两弦位置关系的问题，本节教学还想从这个高度出发，让学生学会思考问题的方法以及领悟问题的本质。
、教育教学目标使学生掌握相交弦定理及其推论，并会利用它们进行有关的计算和论证，培养学生逻辑推理能力。
培养学生善于利用所学知识去探索、发现结论，提高学生发现问题的能力，培养学生的探索精神。
对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点教育，培养学生综合运用所学知识的能力。
、重、难点：重点是相交弦定理及其推论，因为它们都是研究圆中重要的比例线段，在圆中应用相当广泛。
难点是灵活运用相交弦定理及推论，解决圆中的线段的计算问题。
二、教学方法：引导探索、发现结论法教学不只是传授知识，让学生单纯记忆前人的研究成果，更重要的是激发学生创造思维，引导学生去探索、发现结论的方法。
正如叶圣陶先生所说：“教是为了不教”，这样方能培养出创造性人才，这正是实施创造教育的关键。
本节的定理及推论都是开门见山地给出，没有引入，如果照本宣科，势必会影响学生的思维积极性，教学效果自然会大打折扣。
因此本节采用引导探索、发现结论法，有利于调动学生思维的积极性。
362.相交弦定理教学案11[1]
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BA【预习引领】问题1：四边形ACBD为⊙O的内接四边形，AB是直径，CD⊥AB，图中有哪些相似三角形（不包括全等）？答案：Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ABC，Rt△ADE∽Rt△DBE∽Rt△ABD﹒【要点梳理】相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．已知：求证：证明：答案：已知：在⊙O中，弦AB﹑CD相交于点P﹒求证：PA·PB=PC·PD﹒证明：连结AC﹑BD﹐则∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴PBPCPDPA=，∴PA·PB=PC·PD﹒﹒推论:如果弦与直径垂直相交时，那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项．如图，AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足是P，则PC2=P A· PB例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长．解：设第二条弦被交点分成的两段中一段长为x cm﹐则另一段为（32-x）㎝由题意知，x·(32-x)=12×16，解得：x1=8，x2=24，当x=8时，32-x=24，当x=24时，32-x=8．答：第二条弦被交点分成的两段的长分别为24㎝和8㎝．例2已知：线段a和b．求作：线段c，使得c2=ab．作法：1﹒作线段AB=a，在AB的延长线上截取BC=b；2﹒作线段AB的垂直平分线EF，垂足为O；3﹒以点O为圆心，OA长为半径作⊙O；4﹒过B作DE⊥AC交⊙O于点D﹑E，则BE为所求线段c﹒，答案：（1）18，22（2）122（3）43，63（4）6，122．已知：如图AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=11，P A=3，OP=5，则⊙O的半径是．3．已知：如图点C为弧AB的中点，点D为弦AB的中点，CD=1，AB=6，则⊙O的直径是．4．已知：如图AB是直径，CD⊥AB于点P，PB=4，CD=12，则PC= ，P A= ，OP= ，AC．第2题第3题第4题答案：2．7 3．10 4．6，9，2.5．例3 如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，直线CF交弦AB于P，分别交⊙O1于C、D，交⊙O2于E、F，求证：PC·PD=PE·PF．证明：在⊙O1中，弦CD交弦AB于P，则PC·PD=PA·PB，在⊙O2中，弦EF交弦AB于P，则PE·PF=PA·PB，∴PC·PD=PE·PF．例4如图：已知△ABC中，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于F、E，AD⊥BC，垂足为D，AD交⊙O于G，交BE于H．求证：DG2=DH·DA．证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC=90°，∴∠1+∠C=90°，又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，又∵∠BHD=∠ADC=90°，∴△BDH∽△ADC，∴DCDHADBD=，∴BD·D C=DH·AD，又∵BD·D C=DG2，∴DG2=DH·DA．A BDCEA B CDEacbEFOO B PA 练习：已知：P 为CD 的中点，AB 为⊙O 的直径，F 为AB 延长线上一点，AB 与CD 相交于P ，PE ⊥DF ，求证：AP ·PB =DE ·DF证明：∵P 为CD 的中点，AB 为⊙O 的直径，∴CD ⊥AB ，∵P 为CD 的中点，∴DP 2=AP ·BP ， 又∵PE ⊥DF ，CD ⊥AB ， ∴DP 2=DE ·DF ， ∴AP ·PB =DE ·DF ﹒ 【课后盘点】1．如图A 、B 、C 、D 为⊙O 上的四个点，AC 、BD 相交于点E ，延长BA 、CD 交于点P ． 图中相似三角形有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 （ ） 答案：C ﹒ 2．如图AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足是P ，弦EF 经过点P ，则下列各式错误的是（ ） A ．PE ·PF =P A · PB B ．PE ·PF =PC 2 C ． P A ·PB =14CD 2 D ． BP ·BA =EP ·EF 答案：D ﹒3．如图⊙O 的弦BA 、CD 交于点P ，CP =2，DP =6，AB =10，则以AP 、BP 的长为根的一元二 次方程 （ ） A ．x 2+8x +12=0 B ．x 2+10x +12=0 C ．x 2－10x +12=0 D ．x 2－10x +16=0第1题 第2题 第3题 第7题答案：C ﹒4．在⊙O 中，弦BC 垂直平分线OA ，垂足为E ，且OA =4，则BC 的长为 （ ） A ．8 B ．43 C ． 23 D ．16 答案：B ﹒5．已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足E ，且AE =4cm ，BE =9cm ，则tan ∠ACE =（ ） A ．94 B ．49 C ． 32 D ．23答案：C ﹒6．已知P 是⊙O 内一点，OP =5， ⊙O 的半径为13，AB 是经过点P 的弦，则AB 的最小值是A ．12 B ． 16 C ． 24 D ．32 （ ） 答案：C ﹒7．如图，AB 是⊙O 的弦，P 是BA 上一点，PO =5，PB =6，P A =4，则⊙O 的半径为 ． 答案：7﹒8．⊙O 的两弦AB 、CD 交于点E ．(1)若AE =3，BE =14，CE =6，则CD = ； (2)若AB =9，CD =6，EA =8，则EC = ；(3)若AE =18，AB =30，CE :DE =3:8，则CD = ； (4)若AE =EB ，CE :ED =1:4，则AE :CE = ； (5)若CE =3cm ，BE =5cm ，则AC :BD = ．答案：(1)13，(2)2或4，(3)33，(4) 2:1， (5)3:5﹒9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足是P ， 若PB =CD ，AP =2，则CD = ，⊙O 的半径是 ． 答案：8，5﹒10．如图，⊙O 的半径OA 与BC 相交于点D ，若OD =AD =3，BD :DC =2:3，则BC = ． 答案：2215﹒ 11．如图P 为⊙O 的弦AB 上的一点，PC ⊥OP 交⊙O 于点C ，若PC =6，AP =4，求AB 的长． 解：延长CP 交⊙O 于点D ，∵OP ⊥CD ， ∴DP =CP =6，∵PA ·PB =PC ·PD ，∴4PB =6×6， ∴PB =9，∴AB =AP +BP =13﹒ 12． 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥OB 于P ，弦EF 经过点P ，CD =46，AB =11，EP :PF =2:3， 求PB 和EF 的长．解：设EP =2x ，BP =y ， 则PF =3x ，AP =11-y ， ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥OB 于P ，CD =46， ∴CP =DP =21CD =26， ∵PE ·PF =PC ·PD ，PA ·PB =PC ·PD ， ∴2x ·3x =24，（1-y ）y =24 解得:x =2（负舍），y =3或y =8（舍去）， ∴PB =3，EF =5x =10﹒13．如图，两弦AB 、CD 交于点M ，且AC =CM =MD ，MB =21AM =1，求圆的直径． 解：连结AD ﹒设DM =x ，则AC =CM =x ﹒∵AM ·BM =CM ·DM ， ∴2×1=x 2，∴x =2，∴AC =CM =DM =2， ∴CD =2x =22， ∵AC =CM =2，AM =2， ∴AC 2+CM 2=AM 2， ∴∠C =90°，EF OC B P DA 第9题 第10题 D∴AD 为⊙O 的直径， 在Rt △ACD 中，AD =1022=+CD AC ，∴圆的直径为10﹒14．如图，⊙O 过点C 且与⊙C 相交于A 、B ，⊙O 的弦CD 交AB 于点E ． 求证：CA 2=CE 2+AE ·BE ．证明：连结AD ﹒∵∠CAB =∠D ，∠C =∠C ，∴△CAE ∽△CDA ，∴CDCACA CE =， ∴CA 2=CE ·CD ， ∴CA 2=CE (CE +DE )， ∴CA 2=CE 2+CE ·DE ， 又∵CE ·DE =AE ·BE ， ∴CA 2=CE 2+AE ·BE ﹒15．已知A 为⊙O 上一点，B 为⊙A 与OA 的交点，⊙A 与⊙O 的半径分别为r 、R ，且r ＜R ． （1）如图1，过点B 作⊙A 的切线与⊙O 交于M 、N 两点，求证：AM ·AN =2R r ；（2）如图2，若⊙A 与⊙O 交于E 、F ，C 是弧EBF 上任意一点，过点C 作⊙A 的切线与⊙O交于P 、Q 两点，试问AP ·AQ =2R r 是否成立，并证明你的结论．证明：（1）延长AO 交⊙O 于点C ，连结CM ﹒ ∵MN 切⊙A 于点B ， ∴AC ⊥MN ，又∵AC 过圆心O ， ∴AM =AN ，∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠CMA =90°， 又∵AC ⊥MN ，∴△CMA ∽△MBA ， ∴MACABA AM =， 又∵AM =AN ，∴NA CABA AM =， ∴NARr AM 2=， ∴AM ·AN =2R r ； （2）成立﹒证明：延长AO 交⊙O 于点D ，连结PD ﹑AC ﹒ ∵PQ 切⊙A 于点C ， ∴AC ⊥PQ ， ∴∠ACQ =90°， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠APD =90°， ∴∠ACQ =∠APD ， 又∵∠Q =∠D ，∴△APD ∽△ACQ ，∴AQ ADAC AP =， ∴AQRr AP 2=， ∴AP ·AQ =2Rr ﹒。
两条相交弦定理教学案例(优选)word资料
两条相交弦定理教学案例(优选)word资料两条相交弦定理教学案例秦皇岛市第十六中解向东一、教材分析：本节是初中学习中最后的知识点中最重要的一个知识环节，对全章以及以后的学习都非常的重要，它是圆中前后联结的桥梁，是后面学习圆的基础，是圆的重要组成部分。
二、教学目标：知识与技能：掌握相交弦定理，能运用定理去解决相关的问题。
教学思才：在这节中让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
解决问题：通过探究定理，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
情感态度与价值观：在探究活动中让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。
三、教学重、难点：重点：相交弦定理难点：定理的探究过程四、教学方法；“引导发现法”与“动像探索法”五、教具、学具：教具：多媒体课件等。
课例背景 :根据本校实际，结合新课程改革，进行了“民主互动教学模式”的课题研究，力求在数学的教学实践中努力培养学生追求新知、实事求是的求学精神热和独立思考、勇于创新的能力，让学生在民主、互动的学习过程中获取新知，提高能力，锤炼素质、真正成为学习的主人。
本着这一目的，我们在教学实践中探索出了“设疑——探究——解答——演变——反思”的教学模式，尝试创造民主、和谐的教学氛围，培养学生乐思、进取的探究精神，于是有了《相交弦定理》一节的实践探索。
课堂实录:（师代表老师，生代表学生）师：我们以前学习过了圆心角、圆周角及化们的关系，并且知道一条弧所对的圆周角等于它的圆心角的一半。
今天我们就一起来研究圆内两条弦之间又有什么关系？首先大家想一想圆内的两条弦有几种位置关系。
生：相交和平行。
（电脑显示图形）师：大家想一想弦是一条什么线？生：是一条线段，哦——，还有既不相交也不平行的。
（电脑显示图形）师：很好，今天我们就主要来探究圆内两条相交弦之间的关系？大家能否在卡片上画出两条相交弦的不同形式？看谁画的多。
数学人教版七年级下册相交线的教案
相交线、对顶角一、素质教育目标(一)知识教学点1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．(二)能力训练点1．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．2．通过对顶角性质的推理过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．(三)德育渗透点从复杂图形分解为若干个基本图形的过程中，渗透化难为易的化归思想方法和方程思想．二、教学重点、难点(一)重点对顶角的概念及性质．(二)难点在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．三、教学方法教具直观演示法，启发诱导，尝试研讨法，变式，回授．四、教具准备投影仪或电脑、三角尺、自制复合胶片、木条制成的相交直线的模型．五、教学步骤(一)创设情境，引入课题投影打出本章的章前图(投影片1)，然后引导学生观察，并回答问题．学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线，平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．它们就是我们本章要研究的课题：[板书] 第二章相交线、平行线【教法说明】以立交桥为实例引出本章内容，目的是①通过实例，让学生了解相交线、平行线是我们日常生活中经常见到的；②通过画面，培养学生的空间想象能力；③通过画面，启发学生广泛地联想，让学生知道，相交线、平行线的概念是从实物中抽象出来的；④通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣．学生活动：请学生举出现实空间里相交线、平行线的一些实例．师导入：相交线、平行线在日常生活中经常见到，有着广泛应用，所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，从而引入本节课题．[板书] 2．1相交线、对顶角(二)探索新知，讲授新课教师演示：取两根木条a，b，用钉子将它们钉在一起，并且能随意张开．固定木条a，绕钉子转动b，可以看到，b的位置变化了，a，b所成的角a也随着变化．这说明两条直线相交的不同位置情况，与它们的交角大小有关．可以用它们所成的角来说明相对位置的各种情况．所以研究两条直线相交问题首先来研究两条直线相交得到的有公共顶点的四个角．这四个角都有一个公共顶点，其中有些有公共边，有些没有公共边，故我们把这些角分成两类，对顶角和邻补角．【教法说明】演示相交线的模型，目的是使学生领会研究相交线为什么要研究它们相交所成的角．1．对顶角和邻补角的概念学生活动；观察图2-1，同桌讨论∠1与∠3有什么特点，然后：举手回答，教师统一学生观点并板书．[板书] ∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找图2-1中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？生答：∠2和∠4也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：(1)辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边，符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．(2)对顶角是成对存在的，它们是互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．反馈练习：投影显示(投影片2)下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？(射线OA是活动的)学生活动：观察图，∠1和∠2与对顶角相比，有什么相同点和不同点，从而得出邻补角的定义．生答：∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4都是邻补角．【教法说明】讲解邻补角的概念与对顶角概念对比着讲，便于掌握概念之间的联系与区别，加深对概念的理解提出问题：如图2-2，∠1和∠2还是邻补角吗？为什么？师：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，由此可知，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角．图2-2这样的邻补角在图形中也是常见的．在这种情况下，只存在一对邻补角，而不存在对顶角，与两条直线相交所得的角不同．教师演示：图2-2中射线OC固定在一个位置不动，把∠1和∠2拉开，并且保持角的大小不变，如图2-3，(投影片3)．提出问题：∠1和∠2的和是多少度？∠1和∠2还是邻补角吗？为什么？学生活动：观察图形的变换，回答教师提出的问题，同桌可相互讨论．【教法说明】此问题意在区别互为补角和互为邻补角的概念，演示活动投影片，有助于学生抓住概念的本质，比教师单纯地强调效果更好．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，并口答为什么．【教法说明】学生说出对顶角∠1＝∠3后，启发学生再说出∠2=∠4，然后得出对顶角相等的性质．在学生理解推理思路的基础上，板书为几何符号推理的格式．对顶角的性质不难得出，放手让学生展开讨论，充分发挥学生的主动性，在活跃课堂气氛的同时，培养学生创造性思维能力．[板书] ∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角定义)，∴∠1＝∠3(同角的补角相等)．注意：∠1与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1=180°-∠2 ∠3=180°-∠2(邻补角定义)，(三)尝试反馈，巩固练习投影显示(投影片4)为此，对顶角有2×3＝6个，邻补角的对数为4×3＝12个．第3、4题是有关的概念的综合训练，其中第4题意在区别互为补角和互为邻补角的概念．投影显示(投影片5)【教法说明】第1题是直接利用对顶角相等的性质得出，第2、3题是结合图形利用对顶角相等的性质，第4题是课本54页练习第4题，是两条直线相交的一种特殊情况，为下节课讲两直线互相垂直埋下伏笔．(四)变式训练，培养能力投影显示，(投影片6)学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演．解：∠3＝∠1＝40°(对顶角相等)．∠2=180°-40°=140°(邻补角定义)．∠4＝∠2＝140°(对顶角相等)．1=40°变为∠1∶∠2＝2∶9借助代数方程来解决．(五)归纳小结学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．【教法说明】课堂小结以提问形式，由学生自己讨论，系统归纳总结，以便培养学生的概括表达能力．。
人教版小学七年级数学《相交线》教案
人教版小学七年级数学《相交线》教案相交线一、教学目标(一)知识与技能：1.表述对顶角、邻补角的概念、性质，并能利用它进行简单的推理和计算；2.通过对顶角性质的推理过程，提高推理和逻辑思维能力；3.通过变式图形的识图训练，提高识图能力.(二)过程与方法：经历实际操作，通过观察讨论等活动，能在具体的情境中认识对顶角、邻补角.(三)情感态度与价值观：从图形变化过程中，树立正确的辩证唯物主义观点：认识几何图形的位置美.二、教学重点、难点重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用.难点：理解对顶角相等的性质.三、教学过程你能在身边找出一些相交线的实例吗？观察剪刀工作过程，你能发现它的角有什么变化？如果把剪刀的构造看做两条相交的直线，你们想想它是一种怎样的几何结构？如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交；公共点叫做这两条直线的交点.上图的几何描述为：直线AB、CD相交于点O.探究任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.探究与发现1形如∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线(∠1和∠2互补)，具有这种关系的两个角，互为邻补角.图中还有哪些角也是邻补角呢？探究与发现2形如∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.图中还有哪些角也是对顶角呢？∠1与∠3在数量上又有什么关系呢？对顶角相等∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补(邻补角的定义)∴∠1=∠3(同角的补角相等)(注：“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”.)例1如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数.解：由邻补角的定义，得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°由对顶角相等，得∠3=∠1=40°∠4=∠2=140°练习如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型.你能说出其中的一些邻补角与对顶角吗？如果∠α=35°，其他三个角各是多少度？如果∠α等于90°、115°、m°呢？解：∠1与∠α，∠3与∠α，∠1与∠2，∠2与∠3是邻补角；∠1与∠3，∠2与∠α是对顶角.当∠α=35°时，∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；当∠α=90°时，∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；当∠α=115°时，∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；当∠α=m°时，∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们的生活密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展.。
课题相交弦定理(教案)
课题：相交弦定理（教案）一、教学目的：1．通过本节的教学使学生能结合具体图形，准确的表述相交弦定理及其推论。
2．掌握相交弦定理的证明方法。
并能应用定理解决有关计算问题的证明。
3．培养学生在运动变化中观察几何元素之间辩证观点。
二、重点、难点：教学重点是相交弦定理的内容。
难点是相交弦定理的灵活应用。
三、教学过程：A 、引入：1．什么叫线段的内分点、外分点？答：①在一条线段上的点，将线段分成两条线段，这点叫做这条线段的内分点。
如图所示：②在一条线段的延长线的点，有时也叫外分点。
2．问：怎样证明比例式或等积式。
答：利用相似三角形是常用方法之一。
B ．新课：1．我们已经学棕垂径定理，现在○·○内有两条弦A B 、C D 垂直相交于P 。
请同学位作出图形。
（教师的启发下由学生自己作图）如图所示：问：A P ·B P 与C P ·D P 大小有什么关系呢？O(P)ABCDBB你能证明自己的观察（或猜想）得到结论吗？2．当同学们得出A P ·B P = C P ·D P 的正确结论后。
教师进一步引导：3-1问：把上述条件放宽两弦AB 、CD 任意相交在○·○内时，结论还正确吗？（由学生充分讨论后自己回答，以下问题均同）请同学们作出图形分析，并证明结论。
指出：经过上述讨论我们得出相交弦定理的内容。
（教师板书相交弦定理的内容及推论）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两线段长的积相等。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
引申：到两弦交点在延长线上，或两弦交点在圆上的情况。
教师各说明一下。
（放在小结时引申）。
3．讲解例题：例1：已知圆条相交弦，第一条弦被交点分为12cm 和16cm 两段，第二条弦长为32cm ，求第二条弦被交点分成的两段的长。
分析：（1）引导学生作图分析：已知：AP=16cm ，BP=2cm ，CD=32cm 。
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相交弦定理教学设计
这是一篇由网络搜集整理的关于相交弦定理教学设计的文档，希望对你能有帮助。
1、教学内容及其地位、作用?
本节课的主要内容是相交弦定理及其推论，内容非常重要，但并非难点。
实际上这节内容在前面已有伏笔：
(1)在圆周角中，我们讨论同弧所对的圆周角；在P95第1题中找相等的角中等已有该问题的萌芽.
(2)在圆内接四边形中，我们也接触过类似的问题，现在有了这些知识作辅垫，只需将这些问题做些深化，相交弦定理便可呼之即出。
相交弦定理和下一节的.切割线定理同出一辙，都是涉及圆中两弦位置关系的问题，本节教学还想从这个高度出发，让学生学会思考问题的方法以及领悟问题的本质
2、教育教学目标?
(1)使学生掌握相交弦定理及其推论，并会利用它们进行有关的计算和论证，培养学生逻辑推理能力
(2)培养学生善于利用所学知识去探索、发现结论(包括定理、公式等甚至前人未曾发现的)，提高学生发现问题的能力，培养学生的探索精神
(3)对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点教育，培养学生综合运用所学知识的能力
3、重、难点：
重点是相交弦定理及其推论，因为它们都是研究圆中重要的比例线段，在
圆中应用相当广泛。
难点是灵活运用相交弦定理及推论，解决圆中的线段的计算问题
二、教学方法：引导探索、发现结论法
教学不只是传授知识，让学生单纯记忆前人的研究成果，更重要的是激发学生创造思维，引导学生去探索、发现结论的方法。
正如叶圣陶先生所说：“教是为了不教”，这样方能培养出创造性人才，这正是实施创造教育的关键。
本节的定理及推论都是开门见山地给出，没有引入，如果照本宣科，势必会影响学生的思维积极性，教学效果自然会大打折扣。
因此本节采用引导探索、发现结论法，有利于调动学生思维的积极性
三、学法指导?
(1)培养学生善于观察思考，勇于探索，并发现结论的学习方法
(2)体会“温故而知新”，培养学生善于利用所学知识，从不同角度去得到各种有价值的结论，进一步了解“化未知为已知”的数学思想
(3)在教学中还渗透了“从一般到特殊，从特殊到一般”的思想。