几何最值与函数最值
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
几何中的最值问题
几何中的最值问题作为一门重要的数学学科，几何中有许多重要的概念和方法，其中最值问题是一个广泛研究的内容。
在几何中，最值问题是指在某些条件下，某个几何量（如长度、面积、体积等）的最大值或最小值问题。
本文将从不同角度介绍几何中的最值问题及其应用。
一、最值问题的基础概念在几何问题中，最值问题最常见的便是一些面积、长度和体积的最值问题。
最常见的方法是使用微积分的极值定理，通过计算导数为0的点来找到函数的最大值和最小值。
此外，还有最大和最小的边界问题。
这些问题需要考虑的是给定条件下的最大可行解或最小可行解。
例如，给定一个面积固定的矩形，我们需要求出其长度和宽度的最大或最小值。
这些问题与微积分密切相关，但在解决这些问题时需要更多的几何知识和直觉。
二、平面几何中的最值问题在平面几何中，最值问题通常涉及三角形、四边形和圆形等形状。
这些形状的特性可以用来求解最值问题，通常需要使用各种几何知识和技巧。
例如，对于一个给定面积的三角形，在其周长恒定的情况下，需要求出该三角形的最大或最小长度。
为解决这类问题，我们可以利用三角形的海涅定理或余弦定理，通过微积分的极值定理得到最优解。
对于圆形，最值问题可能涉及到面积和周长问题，这些需要用到圆相关的特点和公式，如半径、直径、周长和面积等，通常需要通过微积分的方法求解。
另一方面，对于四边形最值问题，我们需要利用它们的对角线和相邻边的关系来解决，这通常需要将四边形划分为三角形或矩形来计算。
三、空间几何中的最值问题在空间几何中，最值问题通常涉及立体体积，包括长方体、正方体、棱锥和棱柱等。
这些问题需要利用空间几何的特点和公式来求解，常用的方法包括微积分的极值定理和立体几何的体积计算公式。
例如，对于一个矩形长方体，在其表面积固定的情况下，需要求出其有最大或最小的体积。
如果我们设该矩形长方体的长、宽和高分别为x、y和z，那么该矩形长方体的体积可以表示为V(x,y,z)=xyz。
通过微积分的方法，可以证明只有当x=y=z时，该方体的体积最大。
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。
例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。
连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
代数题用几何求解的最值问题例子
代数题用几何求解的最值问题例子初中数学的最值问题一直都是大家学习当中公认的比较困难的一部分内容。
这部分内容的难度相对于其他知识点来说存在很多的不确定性，特别是其中出现做辅助线等方法来辅助解题时不知道从何入手，今天我们将针对几何代数的最值问题进行分类讲解，希望在这过程当中能帮大家理清楚这类题型的大致解题思路。
首先，几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
收到最大值或最小值，那么很多同学就会联想到线段和线段差或者是周长，面积等的最大值和最小值问题。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，可见其出现的形式还是比较多样化的，难易程度多为难题、压轴题。
同学们务必掌握以下几种求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明。
这种特殊的位置。
一般都会通过题目的条件或者是初级的推论就可以得出。
同学们在读取条件的过程当中，一定要重点关注。
（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边等，这类型的应用就相对来说比较简单。
只要根据已学的内容，那么就可以进行解决，其难度不大。
（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造二次函数等。
树形结合来解决二次函数的最值问题，那么通过图形和代数求解的方式相结合，可以很快的也就能得到。
最后的结果，这是我们在初中学习二次函数时就重点学习的对象。
其次，代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
这类型的最值问题作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
他主要考察的是二次函数或一次函数的实际应用，结合真实生活中的应用场景来解决实际问题。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
函数的最值及其几何意义-高中数学知识点讲解
函数的最值及其几何意义
1．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8
的最小值，有 2x +
푥
8
푥≥ 2 2푥
⋅
8
푥
= 8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍
然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
1/ 1。
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
高中数学：几何最值问题求法
高中数学：几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。
分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。
由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。
由OA=2，AP1=AP2=，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。
二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）分析：设，将y=kx代入圆方程得。
x为实数，方程有解，，解得，故。
即。
2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．因，故点P（0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。
当时，，即；当y=7时，，即。
注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．分析：可用截距式设所求直线方程为。
三角函数中几何的最值问题
三角函数中几何的最值问题引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何学中。
在解决几何问题时，我们常常会遇到三角函数的最值问题，即要找到某个三角函数的最大或最小值。
本文将介绍三角函数中几何的最值问题的一些基本概念和解题策略。
基本概念在三角函数中，最常见的三角函数包括正弦函数（sin）和余弦函数（cos）。
这些函数可以表示角度和三角形的关系。
对于给定的角度，正弦函数返回对应的三角形的对边与斜边的比值，余弦函数返回对应的三角形的邻边与斜边的比值。
最大值和最小值在解决三角函数的最值问题时，我们通常需要找到某个角度范围内的最大值或最小值。
这可以通过观察函数的图像或分析函数的性质来确定。
例如，正弦函数和余弦函数的取值范围都在-1到1之间，因此它们的最大值和最小值都在这个范围内。
解题策略要解决三角函数中几何的最值问题，可以采用以下简单的策略：1. 观察函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的最值点，并确定最大值或最小值的位置。
2. 使用性质和公式：三角函数有许多重要的性质和公式，可以用来简化问题。
例如，利用正弦函数和余弦函数的周期性可以帮助我们找到最值点。
3. 列出方程求解：有时候，我们需要利用数学结论和方程求解来找到最值点。
例如，如果要求解正弦函数的最大值，可以列出导数为零的方程，并求解得到最值点。
结论三角函数中几何的最值问题是几何学和三角函数的重要应用之一。
通过观察函数的图像、使用性质和公式以及列出方程求解，我们可以解决这些问题，并找到最大值和最小值的位置。
在解题过程中，需要注意使用简单的策略，并避免复杂的法律问题的引入。
上述是三角函数中几何的最值问题的概述，希望对您有所帮助。
如需更多详细的信息和例题，请参考相关数学教材或咨询数学教师。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
巧用几何意义求函数的最值
是一个难点内容球最填的常见方法有：赢接法、配方 法，反函教法、换元法、单谰性、求导法教形结舟法 等其中散形结台是解决数掌削题的常用方法它· 方面体现７数的严谨性．Ｂ 方面叉体现出形的直观 摊．耐恰当的利用些代数式的几何意女．对求解函 敷的最值可以起到事芈功许的作用下而通过几个例 ，作摘要分析
为『ｏ，了４］ ｏＪ 一
∞最小值
可理解为直线３删４—４一（）上一点（Ⅵ）自定点 分析 √（Ｊ｝３）＋（，一５）７｝√（Ｉ一２）：＋（ｙ－－１５）１
（一３＋５）和（２，ｌ ５）的距离的和本题转化为在直线ｆｔ
，一２堂点时．纵截距最小
解方捍蛆ｔ：亍：二：解得｛：三：ｊ
所以２。＝２×１ｆＩ一３
ｒｐ
‘捌ｓ 集台Ｍ一｛（¨），一一Ⅲ），Ｎ一 ｛（圳）Ｊ一曲一’）若Ｍｎ Ｎ为单元素集求，ｎ
彀形结合．气直线纵葡ｌ距枉［一３，３）之间变化时．
最小值
有一十童点卫ｊ直线与目榴切时只有个室点此
ｈ，一Ａ１月｝一√（３ ２）。ｌ＜ｌ ５｝３）’＝ｓ√１３
∞一３托
平面ｒ ２点Ａ（ｚ、·Ｍ）·Ｂ ｃｔ．，：）．则直线Ａ１３的
斜率＾一兰—三詈和这个形式类似的代数式部日理解
镕ｔ；一３≤…７３女一３口
通过以上几个例十，不难发现．灵活的逗用一些 代数式的几何意女．对求解函数的最值确蜜Ⅵ“起到 化难＊毋的作用在学目解析儿何韵ｎ程中．拽们璺
瓣道矿
求ｗ２｝厂彳的取值范刑
分析；－－‘Ｉ旧ｎ何特征ｑ！＝三磬类似它Ⅱ以表
函数的最值
＿ｃ“ｒ｛Ｔ域内的动点（，．，）ｑ定点Ｐ（ 】２）两点所确
定 女ｐ直 ｔ—线 解的１设斜 ．为到＾则 科
毕月一边抖值，此时，々一１．所“ｍ∈『一１．１）
７倒３求垣救：一嚣貉的值域
解析几何中的最值问题
x6 是动点（x, y）与 定点(6,12)两点连 线的斜率
x y 36 （x 0）
2 2
y
P(6,12)
o
A(0,6)
x
解法小结：数形结合法
y 12 1 、 已知实数x, y满足 x 36 y 0, 则 3 x6 6 4 的最大值为 _______, 2 x y的最大值为 ________ 。
x
x y 例3.设实数x，y满足 1 16 9 12 2 ， 则3x 4 y的最大值是 ______
12 2 . 最小值是 _______
2
2
y
O
x
解1 ：换元法。 设x 4 cos , y 3 sin , 则
知识迁移
若将椭圆换成 双曲线、抛物线 又如何进行换元 呢？
3x 4 y 12(cos sin )
方法：数形结合法
Q1
| AF 1 | 16
7,
.
Y
.
F
O
. .
A
| QF | 。
X
F1
总结规律：延长线段AF1(F1为另一焦点）与 椭圆的交点Q就是所求的点。AQ过另一焦点F1！
Q
例3备
知识迁移
x2 y2 1的右焦点，P是其上一点，定点B(2,1). 变 F是 25 9 17 式 5 | PB | | PQ | 4 题 则 | PB | | PF | 的最小值 _______; 4 37 10 37 最大值 10 | PB | | PF | 的最小值 ________, _______
几何法、换元法
3 表示点P (cos , sin )与A( ,2)连线斜率的一半. 2 3 2 2 即圆x y 1上点与A( ,2)连线斜率的一半. 2 y A 3 设切线方程y 2 k ( x ), 2 圆心O(0,0）到切线的距离等于半径1 可解得 k 12 2 21 , k 12 2 21 O 5 5 x
初中几何中的最值问题
初中几何中的最值问题初中几何中的最值问题是指在几何图形中寻找某个量的最大值或最小值的问题。
这些问题通常涉及到面积、周长、角度等几何量。
一般来说，解决初中几何中的最值问题需要掌握以下基本方法：1. 利用代数方法求解有时候，我们可以将几何图形转换为代数式，然后通过求导或者求平方等方法来求解。
例如，在矩形中，当周长一定时，面积最大；当面积一定时，周长最小。
我们可以设矩形的长为x，宽为y，则周长为2(x+y)，面积为xy。
当周长一定时，即2(x+y)=k(k为常数)时，可以将y表示成x的函数：y=k/2-x，则面积S=x(k/2-x)=kx/2-x^2。
对S求导得到S'=k/2-2x=0，则x=k/4。
因此，在周长一定时，矩形的长和宽相等时面积最大。
2. 利用平均值不等式平均值不等式是一个重要的不等式，在初中几何中也经常被使用。
该不等式表明对于任意两个正实数a和b，有(a+b)/2>=sqrt(ab)。
例如，在三角形ABC中，如果要求最小的边长，则可以利用平均值不等式：设三角形边长分别为a、b、c，则有a+b>c，b+c>a，c+a>b。
将这三个不等式相加得到2(a+b+c)>a+b+c，则a+b+c>0。
因此，(a+b+c)/3>=sqrt(abc)，即(a+b+c)>=3sqrt(abc)。
因此，当三角形的面积一定时，其边长之和最小。
3. 利用相似性质有时候，在几何图形中，我们可以利用相似性质来求解最值问题。
例如，在等腰三角形ABC中，如果要求最大的高，则可以利用相似三角形的性质：设高线AD与BC交于点E，则有AE/ED=BE/EC=AB/BC=2/1。
因此，AE=2ED，BE=2EC。
又因为AD是等腰三角形的高线，所以BD=DC。
则DE=BD-BE=(1/3)BC。
因此，在等腰三角形ABC中，高线对应底边的比值为2:1时，高线最大。
综上所述，在初中几何中解决最值问题需要掌握代数方法、平均值不等式和相似性质等基本方法，并且需要在实际问题中灵活应用这些方法来求解各种复杂的问题。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种数学最值问题是高中数学的重要知识点之一，在解决实际问题中起着重要作用。
本文将介绍高中数学中常见的12种最值问题，并逐一给出解决方法。
1. 数列中的最大最小值数列是数学中常见的一种数学对象，求解数列中的最大值和最小值是数学竞赛和课堂教学中经常遇到的问题。
一般来说，我们可以观察数列的规律，找到最值所在的位置，然后直接求解得出最值。
2. 函数的最值函数的最值问题是数学分析中常见的一种问题，通过寻找函数的极值点来求解函数的最值。
求函数的最值可以利用导数的概念，找到函数的驻点和端点，通过比较函数在这些点上的值来确定最值。
3. 三角函数的最值三角函数也是高中数学中常见的一种函数类型，在求解三角函数的最值时，我们可以利用三角函数的周期性和对称性进行分析。
对于一些无穷大趋势的函数，例如正弦函数，我们可以根据其周期性进行推断。
4. 组合与排列的最值在组合与排列的问题中，有时我们需要求解一系列元素的排列或组合的最大最小值。
在这种情况下，我们可以利用数学方法，例如推导和分析，确定元素之间的关系，从而求得最值。
5. 几何图形的最值在几何学中，我们常常需要求解图形的最值问题。
例如，求解三角形的面积、矩形的周长与面积等。
在这种情况下，我们可以利用几何学中的性质和公式，通过数学推导和分析得出最值结果。
6. 优化问题与约束条件优化问题是数学中重要的问题类型之一，常常涉及到最值问题。
在解决优化问题时，我们需要考虑约束条件，并建立相应的数学模型。
通过优化理论和方法，例如拉格朗日乘数法和微分求解等，可以求解最值问题。
7. 矩阵的最值矩阵是线性代数中的重要概念，也常常涉及到最值问题。
在矩阵的最值问题中，我们可以通过计算特征值和特征向量，或者进行线性代数变换，来求解矩阵的最大最小值。
8. 最短路径与最小生成树在图论中，最短路径和最小生成树是两个重要的最值问题。
通过运用图论算法，例如迪杰斯特拉算法和普里姆算法，可以求解最短路径和最小生成树的问题。
归纳初中数学所有的最值问题
归纳初中数学所有的最值问题初中数学中的最值问题是指在给定条件下确定一个函数的最大值或最小值的数学问题。
这类问题常出现在代数、几何和概率统计等各个领域中。
最值问题涉及的知识点包括函数的最值、二次函数、三角函数、不等式、平方根函数、图像和方程，是数学学习中的重要内容之一。
在初中数学中，最值问题通常涉及以下几个方面：1.函数的最值在求一个函数的最大值或最小值时，需要先求出函数的导数，然后将导数等于零解方程，再将解代入原函数，找出极值点，最后用极值点和边界点比较确定最值。
这是求一元函数最值的一般方法。
2.二次函数的最值对于二次函数，其最值很容易通过求顶点来确定。
若二次函数是抛物线开口朝上的，则顶点为最小值点；若二次函数是抛物线开口朝下的，则顶点为最大值点。
3.三角函数的最值常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在特定区间内有最大值和最小值。
通过观察周期性和对称性，结合函数图像，可以很容易确定三角函数的最值点。
4.不等式求最值在不等式中，也经常需要求出不等式的最大值或最小值。
这种情况下，可以通过化简不等式、取对数、使用平方差公式等方法来求解。
同时，在不等式的求解方法中，对绝对值不等式的处理也是不可或缺的内容。
5.平方根函数的最值平方根函数是一个中心在(0,0)的奇函数，其图像是以原点对称的。
通过观察平方根函数的图像和性质，可以确定其最值点。
6.图像和方程利用图像和方程求解最值问题，通常是在几何解题和函数求值中应用频繁的方法。
通过观察函数的图像和方程的关系，可以找出函数在给定区间内的最大值和最小值。
最值问题在初中数学中占有重要的地位。
它不仅涉及到数学知识的运用，还有助于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而且最值问题也为中学数学学习打下了坚实的基础，为学生将来更深入的数学学习奠定了稳固的基础。
在教学中，师生可以通过具体的案例和实际生活中的问题来讲解最值问题，使学生能够更好地理解和掌握这一知识点。
几何最值问题的常用解法
几何最值问题的常用解法
x
一、几何最值问题
几何最值问题是指：在一定的几何约束条件下，找出可以达到最大值或最小值的所有结果的问题。
它实际上是数学分析中的一类特殊的最优化问题。
二、常用解法
1、极值法：
极值法称为求解几何最值问题的一种最常见的方法，它是利用函数的数学性质，对函数的参数变量进行变化，来求解函数中极值点的位置的方法。
2、数学最优化法：
数学最优化法是指使用约束条件，或者对几何最值问题常用的的数学解法，比如拉格朗日乘子法、Kuhn–Tucker条件、Dantzig–Wolfe 以及模型等方法，通过数学的推理，求解出最优解的方法。
3、迭代方法：
迭代方法是指在不断逼近理想解的过程中，不断重复求解，最终求得几何最值问题最优解的方法。
该方法也可以称之为“贪心法”，经过迭代求解，最终使函数的最优解处于一个最佳的状态。
4、最小二乘法：
最小二乘法是从经验数据出发，利用最小二乘的方法建立的数学模型并应用最优方法求出参数的一种方法，可以用来求出满足给定约
束条件下的最优解。
利用几何知识求解函数的最值
解 问题 ，可 以设 ａ ＝（ ＋ｏ，ｃ），ｂ＝ （一（ ＋ｂ），ｄ），根据
三 角不 等 式 得 出 ，Ｙ＝ （ ＋。） ＋ｃ ＋ （ ＋ｂ） ＋ｄ
＋ｂ的截距 ，此类 一 次 函数 的构 造 相对 简 单 而且 计算 方 便 ，使 ：０或 Ｙ＝０即可求解最值．
解 将函数转化为），＝ ￣／ ＋４ ＋ （３一 ） ＋５ ，
三 、转化为截距求解 函数最值
设 ａ ＝ （ ，４），ｂ ＝ （３一 ，５），贝０ Ｙ＝ Ｉ口Ｉ＋Ｉ ｂ ｌ≥ Ｉ ａ＋
ｂ Ｉ： ＋９ ＝３ 而．所 以 ，当且仅 当ａ与 ｂ同向 ，也 就
高考当中会有一些 数学 问题 ，并没 有直 接 给 出函数
２０１８年第Ｏ７期总第３９２期
数理化 解题研究
＝
理解方面遇到 困难 ，不能 巧妙地 运用在 不 同的题 目中 ，所 以教师需要通过实践 的方 式来 帮助学 生掌握 书本上 的知 识．在几何 的学 习方 面 ，可 以让 学生 自己做一些 简单 的模 型 ，如正方体 、长方体 、三 角形 和圆形等 ，再通过 量每条 边 的边长 ，得 出边长 和周长 的关 系 ，也可 以通过拆 开正方 体 或长方 体 的方法 来总结 有 多少种组 合方 式 ，学生 之 间可 以分组讨论 ，参 与度最 高的小 组可 以获 得一定 的奖励 ，这 种教学 方法 有利 于培养 学生 的 自我 成 功感 ，建立 起对 数 学 的兴趣．
文 献 标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ：１００８—０３３３（２０１８）０７—００１１—０２
在 当前利用 几何 知识求解 函数 最值 中 ，主要 包括 了 向量法 、数形结合法等．数形 结合 法包括 了把最 值转化 为 函数图象 的截距 ，把最值 转 化为两 个 函数 图象上 点 的距 离 、或两点连线 的斜率等．
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几何最值与函数最值“最值”问题大都归于两类：几何最值与函数最值Ⅰ、归于几何“最值”，这类又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一类型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一类型。
Ⅱ、归于函数类型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值一、求两线段和的最小值问题(运用三角形两边之和小于第三边)基本图形解析：1．在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：m BmmABm二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：B（1）解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：mAmAB'PP'（2）解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值1.（贵港）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ．2.如图，正方形的边长为8，M在DC上，DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值=_______3.（贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是 。
4．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2， 点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB= （ ） A ．6 B.8C.10D.12二、应用垂线段最短的性质求最值：1.（四川） 如图，A （-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，B 的坐标为【 】A.（0，0）B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）2.（莱芜）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是3.（乐山）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 中点，E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化；④点C 到线段EF 的最大距离为．其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4.（自贡）如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形， 点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合． （1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．三、应用轴对称的性质求最值：1.（青岛）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．四、应用一次函数、二次函数求最值：1．某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．2.端午节期间，某校“慈善小组”筹集到1240元善款，全部用于购买水果和粽子，然后到福利院送给老人，决定购买大枣粽子和普通粽子共20盒，剩下的钱用于购买水果，要求购买水果的钱数不少于180元但不超过240元.已知大枣粽子比普通粽子每盒贵15元，若用300元恰好可以买到2盒大枣粽子和4盒普通粽子．（1）请求出两种口味的粽子每盒的价格；（2）设买大枣粽子x盒，买水果共用了w元．①请求出w关于x的函数关系式；②求出购买两种粽子的可能方案，并说明哪一种方案使购买水果的钱数最多．3.（自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．4.（扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．5.（宁夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；(2)设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。
当x取何值时，y值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.6.（湖南）如图，A（8，0）、B（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10）秒．解答如下问题：3（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．7.（宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC 重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．8.（南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。
请说明理由。
9.（南昌）如图，⊙O 的半径为2，弦BC=23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）．（1）求∠BAC 的度数； （2）求△ABC 面积的最大值．（参考数据：3sin 60=o ，3cos30=o ，3tan 30=o .）10.如图，直线y=x+1与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y=x 2+bx+c 与直线交于A 、E ， 与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标．参考答案一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值1.要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，如图：连接AG交EF于M，因为等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，所以AG⊥BC，EF∥BC，则AG⊥EF，AM=MG，A、G关于EF对称，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．故答案为：3．2解：如下图所示，∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点∴连接BNBD，则直线AC即为BD的垂直平分线∴BN=ND∴DN+MN=BN+MN连接BM交AC于点P ∵点N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边知当点N运动到点P时，BN+MN= BP+ PM=BM，BN+MN的最小值为BM的长度。
∵四边形ABCD为正方形∴BC= CD= 8，CM= 8-2= 6，BCM= 90°BM=即DN十MN的最小值为10。
3.解∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。
连接OA、OB，在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，∴OD＝OB2－BD2＝102－62＝8。
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，∴OC＝OA2－AC2＝102－82＝6。
∴CD＝8＋6＝14。
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，∴AB′＝AE2＋B′E2＝142＋142＝142。
4.如图，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4。
∴四边形AA′NM是平行四边形。
∴AM+NB=A′N+NB=A′B。
由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小。
过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，，在Rt△A′EB中，。
故选B.二、应用垂线段最短的性质求最值：1. B2.．解：如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。
设AP ′=x ，则由AB ＝AC ＝5得CP ′=5－x ，又∵BC ＝6，∴在Rt △AB P ′和Rt △CBP ′中应用勾股定理，得222222BP AB AP BP BC CP '=-''=-'，。