几何最值与函数最值

几何最值与函数最值

“最值”问题大都归于两类：几何最值与函数最值

Ⅰ、归于几何“最值”，这类又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一类型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”

凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一类型。

Ⅱ、归于函数类型：

即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值一、求两线段和的最小值问题(运用三角形两边之和小于第三边)

基本图形解析：

1．在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：

m B

m

m

A

B

m

二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

（1）点A、B在直线m

同侧：

B

（1）解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：

m

A

m

A

B'

P

P'

（2）解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值

1.（贵港）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_ ．

2.如图，正方形的边长为8，M在DC上，DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值=_______

3.（贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，

过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的

最小值是 。

4．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2， 点B 到直线b 的距离为3，AB=

．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，

满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB= （ ） A ．6 B.8

C.10

D.12

二、应用垂线段最短的性质求最值：

1.（四川） 如图，A （-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，B 的坐标为【 】

A.（0，0）

B.（2

1

-

，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）

2.（莱芜）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是

3.（乐山）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 中点，E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CEDF 不可能为正方形；

③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化；④点C 到线段EF 的最大距离为．

其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

4.（自贡）如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形， 点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合． （1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF ；

（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？

如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

三、应用轴对称的性质求最值：

1.（青岛）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

四、应用一次函数、二次函数求最值：

1．某校运动会需购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；

若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．

（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？

（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，

且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，

写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．2.端午节期间，某校“慈善小组”筹集到1240元善款，全部用于购买水果和粽子，然后到福利院送给老人，决定购买大枣粽子和普通粽子共20盒，剩下的钱用于购买水果，要求购买水果的钱数不少于180元但不超过240元.已知大枣粽子比普通粽子每盒贵15元，若用300元恰好可以买到2盒大枣粽子和4盒普通粽子．

（1）请求出两种口味的粽子每盒的价格；

（2）设买大枣粽子x盒，买水果共用了w元．

①请求出w关于x的函数关系式；

②求出购买两种粽子的可能方案，并说明哪一种方案使购买水果的钱数最多．

3.（自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．

4.（扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．

5.（宁夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），

过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y值最大？最大值是多少？

(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

6.（湖南）如图，A（8，0）、B（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10

）秒．解答如下问题：

3

（1）当t为何值时，PQ∥BO？