1-6 极限运算法则
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
1-6极限运算法则
5
y e x e x
4 3
ye
2 1
x
ye
x
0
-1 -5
1 y x x e e
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
cos x 6、 lim x __________. x e e x
1 y x x e e
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
( x h) x 2、 lim h 0 h
2
2
练习题答案
1 一、7、 ； 2 二、1、2； 3、-1； 3 30 8、 ( ) . 2 2、 2 x ；
1 3 3、 lim ( ) 3 x 1 1 x 1 x
( 2 x 3) 20 ( 3 x 2) 30 8、 lim __________. 50 x ( 2 x 1)
(2 x 3) (3x 2) (2 x 3) (3x 2) lim lim 50 x x (2 x 1) 20 (2 x 1)30 (2 x 1) 20 30 3 2 2 3 20 30 x x 2 x 3 3x 2 lim lim x 1 1 x 2 x 1 2x 1 2 2 x x 3 30 ( ) 2
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
1-6 极限的运算法则
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小 然后再求极限. 子,分母 以分出无穷小 然后再求极限 分母 以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限. 先变形再求极限
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高等数学1-5极限的运算法则
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
求极限举例
例例11 求 lim (2x1) x1
解 lim (2x1) lim 2x lim 12 lim x12111
x1
x1
x1
x1
•讨论
若 P(x) a0xn a1xn1 an1x an
则 lim P(x)? x x0
•提示
lim
x x0
P(x)
P(x0
)
例例22
求 lim
x2
x2
x3 1 5x 3
解
6
lim
x 2
x3 1
lim (x3 1)
x2
x2 5x3 lim (x2 5x3)
23 1 22 103
7 3
x2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例例33
求 lim
4
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x3 x2 5x4
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) ? xx0 Q(x)
•提示
当 Q(x0 ) 0 时
lim P(x) P(x0) xx0 Q(x) Q(x0)
当 Q(x0 ) 0 且 P(x0 ) 0 时
lim P(x) xx0 Q(x)
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
8
首页
上页
返回
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件(一)极限四则运算法则条件引言在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。
它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。
然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。
本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。
加法法则和条件1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。
2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
减法法则和条件1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。
2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
乘法法则和条件1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。
2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
除法法则和条件1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。
2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。
结论四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。
这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。
在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。
大学一年级 1(5)极限的运算法则
注意: 若没有条件: 当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时, 有 g(x) ≠u0,
o
lim lim 则条件: u →u0 f [u ] = A 应加强为: u →u0 f [u ] = f (u0 )
结论仍然成立. u = g ( x)
x → x0
lim f [ g ( x)]
x → x0时 === u → u0
10
极限运算法则
例 求 lim ( x 2 + 3 x −
x → +∞
x 2 + 1) (∞− ∞型 )
解 不满足每一项极限都存在的条件 不能直接 不满足每一项极限都存在的条件, 应用四则运算法则. 应用四则运算法则 分子有理化
原式 = lim
x → +∞
∞ ( 型) 2 2 x + 3x + x + 1 ∞
x→0
是函数的分段点, 解 x = 0 是函数的分段点 左右极限为
x →0
x →0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
x →0
2
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
x →0
y = 1− x y
y = x2 +1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
x → x0
当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时,
o
u→ u0
有 g(x) ≠u0,
则
u = g ( x) x → x0时, === lim f [ g ( x)] lim f [u ] = A x → x0 u →u0 u → u0
u ≠ u0
1-6极限运算法则
二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2
x3 1 3x5
limx3 lim1
x2
x2
lim(x2 3x5)
x0
x
6、xl im excoexsx ______. ____
7、lx i0m 4x34x22x22xx______. ____ 8、lim (2x3)20(3x2)30_____._____
x (2x1)50
二、求下列各极限:
1、 li(m 111.. .1)
n 2 4
2n
2、lim (xh)2x2
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 求lx i m 27xx33 34xx22 1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
2x3 3x2 lx im 7x3 4x2
5lim23xx53 1 x74xx13
limsinx0. x x
y sin x x
例7
设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,
x0 ,求 lif m (x ). x0 x 0
解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧极限
lim f(x )li(m 1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x)li(m x21 ) 1,
思考题
1-6 极限的计算(一)
极限的计算
一、极限的运算法则 二、极限的存在准则 三、两个重要极限 四、变量代换与无穷小代换
精品课件
一、极限的运算法则 （一）运算法则 （二）适用条件
精品课件
一、极限的运算法则 （一）运算法则 （二）适用条件
精品课件
1．和的法则
lifm (x ) A ,lig ( m x ) B lim f(x)g (x)A B
推广：若 lf i 1 ( x m ) A 1 , lf i 2 ( x m ) A 2 , , lf i n ( x m ) A n
则 l f 1 i ( x ) m f 2 ( x ) f n ( x ) A 1 A 2 A n
2．积的法则
lifm (x ) A ,lig ( m x ) Blim f(x)g(x)A B
有 g(x)u0, 则
lim fg(x)lim f(u)A .
x x0
u u0
➢应用
例17 求下列极限
(1) limtan2xtanx
x
4
(2) lim1xtan x
精品课件
例3 求lim xsin 1
x0
x
例4 求lism ix n 1 six n x
例5 求nl i m n12n22nn21 例6 求lxim1x24x3x32
精品课件
➢关于商的极限
lim f (x) A
若
lim
f (x)
lim g(x) B g ( x )
例7 求 lxim3 x2x24x93
例14 求下列极限
(1) lim tan x (2) lim arcsinx
x0 x
x0 x
精品课件
y
高等数学1-5极限运算法则(包含几种技巧)
f ( u) A .
o x x0
又 u ( x ), lim ( x ) a，且x U ( x0 ) 时， ( x ) a，
对于 0, 0, 当 0 x x0 时, 恒有 0 ( x) a u a . 综合上述两步: 0, 0, 当 0 x x0 时,
P( x) , 其中 P ( x ), Q( x ) 例3. 设有分式函数 R( x ) Q( x )
为多项式 , 若Q( x0 ) 0, 试证: lim R( x ) R( x0 ) . x x
0
证:
P ( x0 ) R( x0 ) lim R( x ) x x0 lim Q ( x ) Q ( x0 )
例2. 设 n 次多项式 Pn ( x ) a0 a1 x an x n ,
lim 试证 x x Pn ( x ) Pn ( x0 ).
0
证:
x x0
an lim x n lim Pn ( x ) a0 a1 lim x x x
x x0
0
a0 a1 x0 an x0 n Pn ( x0 )
无穷小因子分出法 ( 适用于 型 )
分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求 极限。
例8
2x3 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 2x3 3x2 5 求 lim x 4x2 1
第五节
极限的运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、 无穷小运算法则
1-6 极限运算法则
定理1.6.1推论1
如果 lim f (x)存在, 而c为常数,
则 lim [cf (x)] c lim f (x).
常数因子可以提到极限记号外面。 （常因可提）
定理1.6.1推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数,
则
lim [f (x)]n [ lim f (x)]n .
例1.6.6
分析： 当x 时，分子、分母均趋于，
此极限属于“ ”未定型， 不能直接运用极限运算法则， 应使用倒数法，
由于分子、分母次数相同，它们趋于的速度属于 同一等级，
因此极限式是非整体， 但是分子、分母又是局部， 可以局部将转化为无穷小， 亦即应用局部倒的方法，
具体方法：分子、分母同除以最大项
处理方式是 整体非无穷大， 局部倒。
具体方法： 同除以最大项。 （不含常系数）
x2 2 x 3 补例1：求解 lim 3 x x 4 x 2 5 【分析】这是“ ”型未定极限， 应用倒数法，
x2 2 x 3 【解】 由于 lim 3 x x 4 x 2 5
未定型极限分类及一般解法
• 1)商式未定型： • 这是未定型极限的基本类型，其它类型必须 化为商式未定型后求解； • 2)积、差式未定型：1“ 0 ” 2“ -” • 积、差式未定型必须转化为商式未定型后求 解； “ ”“0 ”“ “0 ”“ ” 1” • 3)幂指函数型： • 幂指函数未定型极限须用取对数法或指数法 化为商式未定型后求解。
0
0
0 1 “ ” 0
2“
”
4x 1 . 例1.6.3 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
极限运算公式总结
极限运算公式总结极限运算是数学中一项重要的运算概念，它广泛应用于微积分、数学分析及其他相关领域中。
极限运算可以帮助我们研究函数和序列的性质，以及解决各种求解问题。
在极限运算中，有一些重要的公式和定理，它们可以帮助我们更方便地计算和理解极限。
本文将总结一些常用的极限运算公式，以供参考和学习。
一、基本极限运算公式：1. 常数函数极限：lim（c）=c，其中c为常数。
2. 单变量函数极限：lim（x→a）f（x）=L，其中x为自变量，a为趋向点，f(x)为函数，L为极限。
3. 数列极限：lim（n→∞）an=L，其中an为数列的第n项，L为极限。
4. 数列极限的唯一性：如果数列an的极限存在，则极限必唯一。
二、运算法则：1. 极限的四则运算法则：（1）和差法则：lim（x→a）[f（x）±g（x）]=lim（x→a）f （x）±lim（x→a）g（x）（2）积法则：lim（x→a）[f（x）·g（x）]= [lim（x→a）f （x} ·lim（x→a）g（x）]（3）商法则：lim（x→a）[f（x）/g（x）]= [lim（x→a）f （x} /lim（x→a）g（x）]（其中lim（x→a）g（x）≠0）2. 极限的乘方法则：（1）lim（x→a）[f（x）^n]= [lim（x→a）f（x}]^n（2）lim（x→a）[^n√f（x）]= ^n√[lim（x→a）f（x})]（其中n为整数）3. 极限的复合函数法则：（1）lim（x→a）f（g（x））= f（lim（x→a）g（x））（前提是f和g各自的极限都存在）（2）lim（x→∞）f（x）= lim（t→∞）f（t）（当x→∞等价于t→∞）4. 极限的夹逼准则：设函数f（x），g（x），h（x）在区间（a，b）上有定义且满足：f（x）≤ g（x）≤ h（x），对于x在（a，b）上的所有点成立；lim（x→a）f（x）= lim（x→a）h（x）=L，则lim（x→a）g（x）=L。
高等数学课件1-6极限的运算法则
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
极限的六个运算法则
极限的六个运算法则问题，介绍极限的六个运算法则。
一、引言极限是数学分析中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域。
在研究极限时，我们经常需要对极限进行一系列运算，比如加减乘除、求导、积分等，在这些运算过程中，我们需要遵循一些特定的规则和定理，这些规则和定理被称为极限的六个运算法则。
本文将一步一步回答问题，介绍这六个运算法则。
二、什么是极限？在介绍极限的六个运算法则之前，我们需要了解什么是极限。
极限是数列或函数在无限趋近于某个数或者无限趋近于正无穷或负无穷时的极值，通俗来讲，就是一种趋于无穷小或无穷大的状态。
因此，极限的研究是对无限趋近的一种研究。
三、极限的六个运算法则是什么？极限的六个运算法则包括加减乘除、复合、取极限、求导、积分等运算。
这些运算法则在解决极限问题中被广泛使用。
接下来，我们将逐一讲解这些运算法则。
1、加减乘除运算法则加减乘除是求极限过程中常用的运算法则，其规则如下：（1）极限的加减法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有:lim[a_n+b_n] = A + Blim[a_n-b_n] = A - B（2）极限的乘法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有：lim[a_n*b_n] = A*B（3）极限的除法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B且B≠0时，有：lim[a_n/b_n] = A/B2、复合运算法则复合是指将一个函数代入到另一个函数中的运算，其规则如下：(1) 复合函数的极限法则设f(x)在x0处连续，g(x)在y0=f(x0)处连续，lim(x→x0)f(x)=y0，则有lim(x→x0)g[f(x)]=g[y0]3、取极限运算法则取极限是求解极限问题的重要运算法则，其规则如下：（1）夹逼准则若当n趋近于无穷大时，某一数列{un}有两个相邻的数列{vn}和{wn}夹在中间，即有vn≤un≤wn，则lim(n→∞)vn=lim(n→∞)wn=L，则有lim(n→∞)un=L。
求极限的方法及例题总结
1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
高等数学 第六节 极限运算法则.
第六节极限运算法则
本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记
号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形.
内容分布图示
★极限运算法则★例1 ★例2
★例3-4 ★例5 ★例6
★例7 ★例8 ★例9
★例10 ★例11
★复合函数的极限运算法则
★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题 1- 6
★返回
内容要点：
一、极限的四则运算：定理1 推论1 推论2
二、复合函数的极限运算法则：定理2
例题选讲：
极限的四则运算
例1(讲义例1求.
例2(讲义例2求.
例3 (讲义例3求.
例4 (讲义例4求.
例5 (讲义例5 求.
例6(讲义例6计算
例7(讲义例7 求
例8 计算
例9 (讲义例8求
例10 计算下列极限：
（1）（2）
例11(讲义例9 已知, 求
例12(讲义例10求极限.
复合函数的极限运算法则
.例13 (讲义例11已知, 求之值. 课堂练习
1. 求极限:
2.在某个过程中, 若有极限, 无极限, 那么是否有极限? 为什么?。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b , 当n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + L + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + L + bn 0 1 ∞ , 当n < m ,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
解
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
练习题答案
-5； 一、1、-5； 5、 5、0； 二、1、2； 1 5、 5、 ； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、 ； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、 ； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
1 当x → ∞时, 为无穷小, x
y=
sin x x
而 sin x是有界函数 .
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x
1 − x, 例7 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点 两个单侧极限为 是函数的分段点,
lim P ( x )
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
解 Q lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→ +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
第六节 极限运算法则
一、极限运算法则 二、求极限方法举例 三、小节 思考题
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2