环境系统工程学人口模型

环境工程系统工程学

——GM(1,1)灰色模型预测

南通市人口

组员：金艳青李月寒陆祎韵王翻翻杨小梅张月

GM(1,1)灰色模型预测南通市人口

摘要：人口预测是制定国民经济计划、区域发展规划、城市总体规划的基础，对研究区域和城市发展战略具有重要意义。本文以灰色预测理论为指导，选取南通市不同时期的三组样本分别建立了人口规模GM(1,1)模型，并对未来人口规模进行了预测和精度分析。

关键词：灰色预测、GM(1,1)模型、南通市人口预测

1人口预测的意义

人口增长是影响一个国家、一个地区持续发展的重要因素。自第二次世界大战结束以来，世界人口进入了快速增长时期。1987年7月11日世界人口突破50亿大关，而据联合国人口基金会的估计，世界人口将在本世纪末超过60亿，其中新增人口的90%集中在发展中国家。人口的过速增长已经带来了诸如环境污染、资源短缺等一系列问题。

由于人口数量极其增长速度在区域发展战略中具有举足轻重的地位，因此在制定国民经济计划、区域发展规划、城市总体规划以及区域或城市发展战略时，人口问题便自然成为必须深入探讨的一项课题，其中对研究地区未来人口的预测更显重要。

人口发展受多种因素的影响如人口政策受教育程度、经济条件、社会发展水平、宗教习俗、自然环境等等。人口预测就是根据人口现状及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来人口规模、结构、变动和趋势所作的测算。但是，在影响人口发展的各种因素中，对特定地区的人口发展而言，许多因素是不能定量描述的或模糊的，有些因素甚至是不可知的。所以，利用传统的计量方法建立人口预测模型时，对那些不可知或部分不可知的影响因素很难把握。实际上，人口发展是一个比较典型的灰色系统，利用灰色系统理论建立预测模型进行人口预测，能够获得比较满意的效果[1]。本文用GM(1,1)模型对江苏省南通市人口规模进行预测，进而对其预测精度进行一些必要的探讨。

2人口预测模型的选择

2.1相关模型介绍

2.1.1一元线性模型

一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。常用统计指标：平均数、增减量、平均增减量，其确定直线的方法是最小二乘法最小二乘法的基本思想：最有代表性的直线应该是直线到各点的距离最近。然后用这条直线进行预测。

一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x 与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。

一元线性回归分析法的预测模型为：

（1）

式中，x t代表t期自变量的值；

代表t期因变量的值；

a、b代表一元线性回归方程的参数。

a、b参数由下列公式求得（用代表）：

为简便计算，我们作以下定义：

(2)

式中：

这样定义a、b后，参数由下列公式求得：

(3)

将a、b代入一元线性回归方程Y t = a + bx t，就可以建立预测模型，那么，只要给定x t值，即可求出预测值。

在回归分析预测法中，需要对Ｘ、Ｙ之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数Ｙ，其公式如下：

相关系数r的特征有：

①相关系数取值范围为：-1≤r≤1 。

②r与b符合相同。当r>0，称正线性相关，X i上升，Y i呈线性增加。当r<0，称负线性相关，X i上升，Y i呈线性减少。

③|r|=0，X与Y无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X与Y存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；

0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。

(4)

2.2．2马尔萨斯模型

最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。记t时刻的人口总数为x(t)。初始时刻t=0时的人口为x0。人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。最简单的假定是r是x

的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。因此就有，这个模型就是Logistic模型。

Logistic模型

2.2.3灰色预测GM（1,1）

如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称GM模型，它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。

灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

从灰色系统中抽象出来的模型。灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。灰色系统理论是控制论的观点和方法延伸到社会、经济领域的产物，也是自动控制科学与运筹学数学方法相结合的结果。

如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序