立体几何(同步)-潍坊市某中学高中数学二轮复习

9.立体几何

1．掌握球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2．能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图．

3．能借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系．

4．能从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系．

5．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．

1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）

A ．20︒

B ．40︒

C ．50︒

D ．90︒

【答案】B

【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，

依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥． 由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，

由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒， 也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒．

【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质．

2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，

当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交； 当,,m n l 两两相交时，设m

n A =，m l B =，n l C =，

根据公理2可知，,m n 确定一个平面α， 而B m α∈⊂，C n α∈⊂，

根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面，

综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用．

一、选择题．

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若αβ∥，βγ∥，m α⊥，则m γ⊥ ③若m α∥，n α∥，则//m n

④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①和② B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④

【答案】A

【解析】对于①，因为n α∥，所以经过n 作平面β，使l β

α=，可得n l ∥，

又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合n l ∥得m n ⊥．由此可得①是真命题； 对于②，因为αβ∥且βγ∥，所以αγ∥，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面α是正方体下底面所在的平面，

则有m α∥且n α∥成立，但不能推出//m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出αβ∥，故④不正确， 综上所述，其中正确命题的序号是①和②．

2．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，M 、N 分别是正方形ABCD 、11BCC B 的中心．则过点1C 、M 、N 的截面是（ ）

A ．正三角形

B ．正方形

C ．梯形

D ．直角三角形

【答案】A

【解析】如下图所示，连接BN 、BD 、1BC ，

由于M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则M 、N 分别为BD 、1BC 的中点，

所以，过点1C 、M 、N 三点的截面为1BC D △，易知1BC D △为正三角形． 因此，过点1C 、M 、N 三点的截面为正三角形．

3．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．4

B ．8

C ．12

D ．24

【答案】A

【解析】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC -是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得， 所以11

423432

D ABC V -=

⨯⨯⨯⨯=．

4．如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ）

A ．

13

B ．

12

C ．

2

D ．

34

【答案】C

【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则OD AC ∥， 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角， 设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，

可得

DF =，EF = 则

DE =

=

因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥，进而可得OE ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥，

在直角ODE △中，可得cos 2

OD ODE DE ∠=

=

，

即直线DE 与AC 所成角的余弦值为

2

．

5．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）

A ．若,m n m α⊥⊥，则n α∥

B ．若,,m n m n αα⊄∥∥，则n α∥

C ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥

D ．若,m ααβ∥∥，则m β∥或m β⊂

【答案】A