导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介：

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a

f x →= 及()lim 0x a

g x →=；

(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()

()

lim

x a

f x l

g x →'='， 那么 ()

()lim x a f x g x →=()

()

lim

x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞

= 及()lim 0x g x →∞

=；

(2)0A

∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；

(3)()

()

lim

x f x l g x →∞'='， 那么 ()()

lim

x f x g x →∞

=()

()

lim

x f x l g x →∞

'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a

f x →=∞及()lim x a

g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()

()

lim

x a

f x l

g x →'='， 那么 ()

()lim x a f x g x →=()

()

lim

x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○

1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a

+

→，x a

-

→

洛必达法则也成立。

○

2洛必达法则可处理00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0

∞，00，∞-∞型。 ○

3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0

∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

○

4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理

1.(2010年全国新课标理)设函数2

()1x

f x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 原解：（1）0a =时，()1x

f x e x =--，'()1x

f x e =-.

当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在

(0,)+∞单调增加

（II ）'()12x

f x e ax =--

由（I ）知1x

e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故

'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，

从而当120a -≥，即1

2

a ≤

时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x

e x x >+≠可得1(0)x

e x x ->-≠.从而当1

2

a >

时，

'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，

故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.

综合得a 的取值范围为1,

2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

原解在处理第（II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解:（II ）当0x =时，()0f x =，对任意实数a,均在()0f x ≥；

当0x >时，()0f x ≥等价于2

1

x

x a e

x

--≤

令

()2

1

x

x g x e

x

--=

(x>0),

则

3

22

()x x

x x g x e e x

-++'=

，令

()()220x

x

h x x x x e e =-++>，则()1x

x

h x x e e '=-+，()0x

h x x e ''=>，

知()h x '在()0,+∞上为增函数，()()00h x h ''>=；知()h x 在()0,+∞上为增函数，

()()00h x h >=；()0g x '∴>，g(x)在()0,+∞上为增函数。

由洛必达法则知，

2

0001

1

22

2lim

lim lim x

x x

x x x x x e

e e x

+

++→→→--===，

故1

2

a ≤

综上，知a 的取值范围为1,

2⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭

。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 原解：（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=

-

+

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2

f f =⎧⎪

⎨=-⎪⎩即

1,1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩

解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1

f ()1x x x x

=

++，所以

22ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x

h x x -++=。

（i ）设0k ≤，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h （x ）递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得

2

1

()01h x x

>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得

2

11

x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k

.

（ii ）设0

(1)(1)2k x x -++=2

(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且

244(1)0k ∆=-->，对称轴x=

111k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'

h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，

k -11）时，h （x ）>0，可得2

11

x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时2

12x x +≥，2

(1)(1)20k x x -++>⇒'

h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈

（1，+∞）时，h （x ）>0，可得

2

11

x

- h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<

2

2ln 11x x

x

+-恒成立。