湘教版数学九下反比例函数的图像与性质2-精品
湘教版九年级数学下册函数的图象与性质
《22.1.3 函数的图象与性质（一）》一．选择题1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（）A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞03．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x=26．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A．4 B．4+4 C．12 D．2+47．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（）A．B．C．D．二．填空题8．函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条______，对称轴是______，顶点是______，当a ＞0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______，当a ＜0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______．9．抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y 随x 的增大而增大，当x______时，y 随x 的增大而减小．10．若二次函数y=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为______． 11．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y=x 2+k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是______．12．点A （3，m ）在抛物线y=x 2﹣1上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为______．13．若抛物线y=x 2+（m ﹣2）x+3的对称轴是y 轴，则m=______．14．若一条抛物线与y=的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为______．15．与抛物线y=﹣+3关于x 轴对称的抛物线的解析式为______．16．已知A （﹣1，y 1），B （，y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣1（a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是______．（用“＜”连接）三．解答题17．已知抛物线y=ax 2+b 过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数y 随x 的增大而增大．18．已知直线y=2x 和抛物线y=ax 2+3相交于点A （2，b ），求a ，b 的值．19．如图，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，点D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．《22.1.3 函数的图象与性质（一）》参考答案一．选择题1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（﹣1，0）【解答】解：抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．故选：B．2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（）A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0【解答】解：∵开口向上，∴a＞0；∵抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，∴0﹣4ab＞0，∴b＜0．故选A．3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m【解答】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=x2+3.5中得：x=±1.5（舍去负值），即OB=1.5，所以l=AB=2.5+1.5=4．令解：把y=3.05代入y=﹣x2+3.5中得：x 1=1.5，x2=﹣1.5（舍去），∴L=2.5+1.5=4米．故选：B．4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣3顶点坐标为（0，﹣3），抛物线y=2x2顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2向下平移3个单位长度得到的，故选B．5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x=2【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x=0（y轴），故选C．6．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A．4 B．4+4 C．12 D．2+4【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4与x轴交于B、C两点，顶点为A，∴B（﹣2，0），C（2，0），A（0，﹣4）．∴AB=4，BC=AC==2，∴△ABC周长为：AB+BC+AC=4+4．故应选B ．7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致所示中的（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、由一次函数的图象可知a ＞0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两者相矛盾；B 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两者相吻合；C 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＞0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾；D 、由一次函数的图象可知a ＜0 c ＜0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾．故选B ．二．填空题8．函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条 抛物线 ，对称轴是 y 轴 ，顶点是 （0，c ） ，当a ＞0，抛物线开口 向上 ，顶点是抛物线的 最低点 ，当a ＜0，抛物线开口 向下 ，顶点是抛物线的 最高点 ．【解答】解：函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点是（0，c ），当a ＞0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当a ＜0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点． 故答案为：抛物线，y 轴，（0，c ），向上，最低点，向下，最高点．9．抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 （0，﹣3） ，当x ＜0 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0 时，y 随x 的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，﹣3），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：向下，y 轴，（0，﹣3），＜0，＞0．10．若二次函数y=ax 2+c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为 c ． 【解答】解：∵在y=ax 2+c 中，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，∴抛物线的对称轴是y 轴，∴x1，x2互为相反数，∴x1+x2=0，当x=0时，y=c．故填空答案：c．11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是①②③④．【解答】解：抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都向上，故相同，正确；②对称轴都是y轴，故相同；正确，③形状相同；正确，④都有最底点．正确．其中判断正确的是①②③④．故答案为：①②③④12．点A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．【解答】解：∵A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，∴m=9﹣1=8，∴A点坐标为（3，8），∴点A关于x轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．故答案为（3，﹣8）．13．若抛物线y=x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m= 2 ．【解答】解：∵y=x2+（m﹣2）x+3，∴其对称轴方程为x=﹣，∵其对称轴为y轴，∴﹣=0，解得m=2，故答案为：2．14．若一条抛物线与y=的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为 y=x 2+2 ． 【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=x 2+b ，把x=0，y=2代入得：2=b ，则抛物线解析式为y=x 2+2，故答案为：y=x 2+215．与抛物线y=﹣+3关于x 轴对称的抛物线的解析式为 y=x 2﹣3 ． 【解答】解：y=﹣+3的顶点坐标为（0，3），而点（0，3）关于x 轴对称的点的坐标为（0，﹣3），所以抛物线y=﹣+3关于x 轴对称后抛物线的解析式为y=x 2﹣3． 故答案为y=x 2﹣3．16．已知A （﹣1，y 1），B （，y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣1（a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是 y 1＜y 2＜y 3 ．（用“＜”连接）【解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax 2﹣1（a ＞0），∴抛物线的对称轴为直线x=0，∵A （﹣1，y 1）、B （，y 2）、C （2，y 3），∴点C 离直线x=0最远，点A 离直线x=0最近，而抛物线开口向上，∴y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．三．解答题17．已知抛物线y=ax 2+b 过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax2+b得，解得所以这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；（2）∵这个函数的关系式为y=﹣3x2+9；∴对称轴x=0，∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．18．已知直线y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点A（2，b），求a，b的值．【解答】解：把A（2，b）代入y=2x得b=2×2=4，则A点坐标为（2，4），把A（2，4）代入y=ax2+3得4a+3=4，解得a=．19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的顶点为A（0，1），∴抛物线的对称轴为y轴，∵四边形CDEF为矩形，∴C、F点为抛物线上的对称点，∵矩形其面积为8，OB=2∴CF=4，∴F点的坐标为（2，2），设抛物线解析式为y=ax2+1，把F（2，2）代入得4a+1=2，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+1．。
初中数学九年级下册[湘教版]1.2反比例函数的图象与性质4课件
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3．如图，函数 y k 和y=－kx+1(k≠0)在同一坐
标系内的图象大致是x （ D ）
6y
6y
以前做过这样的 题目吗？
-2
-4
A
6y
4
2
5x
-5
O
-2
5x
-4
C
-5 -5
O
-2 -4
B
6y
4 2
O
-2 -4
D
5x
方法：先假设某个函数图 象已经画好，再确定另外 的是否符合条件.
5x
要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．
例1.已知反比例函数y
k x
4).
的图象过点A(2,-
(1)求k的值;
(2)这个函数的图象在哪几个象限?y随x的 增大
怎样变化?
(3)画出函数的图象;
画对出称函点数Ａ(图’4象，)上点点的ＡB点’Ａ在(0（这.４个5，图,-－象1２上6）吗) ，？、找C出点（Ａ关-3于，原点5Ｏ）的 在这个函数 的图 象上吗？ 画出函数图象上的任意一点Ｂ，找出点Ｂ关于原点Ｏ的
该图象分布在第 ____一_、_三____ _ 象限。
思考·探究
观察函数的图象，回答下列问题：y
2
,
y
4
,
y
6
xxx
？ 如果k=－2, －4,－6,那么的图象有又什么共同特征
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
并且不同的两个象限内的y值大小关系怎样？
复习回顾
❖画函数图象的一般步骤
数形结合
列表 描点 连线
图象和性质 比例系数
❖反比例函数是一条双曲线，它
九年级数学下册 第1章反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质第2课时课件 湘教版
则
解得k=3.
3.(2013·六盘水中考)下列图形中,阴影部分面积最大的 是( )
【解析】选C.A,B中阴影部分的面积均为 3 3 C3中； 延长MN
22
交x轴于点P,直线MN的解析式y=-x+4,直线MN与x轴的交点P的
坐标(4,0),则C中阴影部分的面积为S△MOP-S△NOP=12 ×4×3-
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.∵点B的横坐标为1，
∴纵坐标为y= 2 =2,
1
∴AB=2，BC=1，∴S矩形OABC=2×1=2.
2.(2013·内江中考)如图，反比例函数
y＝ k (x＞0)的图象经过矩形OABC对角
x
线的交点M，分别与AB，BC相交于点D，
E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为( )
1 ×4×1=4;D中的阴影部分的面积为 ×1 1×6=3;可见,C中阴
2
2
影部分的面积最大.故选C.
4.(2013·永州中考)如图，两个反比例函数 y 4和y 2 在
x
x
第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，
交C2于点B，则△POB的面积为_____．
【解析】根据反比例函数中k的几何意义,得△POA和△BOA的 面积分别为2和1,所以阴影部分的面积为1. 答案:1
【总结提升】反比例函数的性质总结
对于反比例函数 y (kk≠0)，k的符号、图象所经过的象限、
x
函数的增减性这三者，知其一则可知其二，即：
知识点 2 反比例函数中k的几何意义
【例2】(2013·孝感中考)如图，函数y=-x与函数 y 4 的图
x
湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)
知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》课件
行程问题建模过程
匀速直线运动问题
根据速度、时间和路程之间的反 比例关系，建立反比例函数模型 ，解决匀速直线运动中的追及和 相遇问题。
变速直线运动问题
通过速度和时间的变化规律，建 立反比例函数模型，分析物体1 2 3
电阻、电压与电流关系
在电路中，电阻、电压和电流之间存在反比例关 系。已知其中两个量，可以利用反比例函数求解 第三个量。
REPORTING
两者图象位置关系分析
当反比例函数比例系数$k_1$和 一次函数斜率$k_2$同号时，两 图象在第一、三象限内有两个交
点；
当$k_1$和$k_2$异号时，两图 象在第二、四象限内有两个交点
；
无论$k_1$和$k_2$取何值，反 比例函数的图象都不可能经过原 点，而一次函数的图象必定经过
描绘出函数的图象。
连接完成后，可以检查一遍曲 线的光滑性和准确性，如有需
要可以进行微调。
XXX
PART 03
反比例函数性质分析
REPORTING
增减性判断方法
观察法
通过观察反比例函数的图象，可以直接判断出函数在各象限内的增减性。
解析法
利用反比例函数的解析式，可以推导出函数在各象限内的增减性。具体地，当$k>0$时，函数图象在第一、三象 限内，且在这两个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k<0$时，函数图象在第二、四象限内，且在这两个象 限内，$y$随$x$的增大而增大。
反比例函数的图象与坐标轴没有交点。这是因为当$x=0$时，函数值$y$不存在 ；同样地，当$y=0$时，对应的$x$值也不存在。
虽然反比例函数的图象与坐标轴没有交点，但是它们可以无限接近坐标轴。具体 地，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，函数值$y$趋近于零；同样地，当$y$趋近 于正无穷或负无穷时，对应的$x$值也趋近于零。
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》PPT课件
感悟新知
知1－练
1．若双曲线 y＝kx与直线 y＝2x＋1 的一个交点的横坐 标为－1，则 k 的值为( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
感悟新知
第一章 反比例函数
1.2反比例函数的图象及性质
第1课时 反比例函数 y = k (k＞0)
x
的图象与性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
会用描点的方法画反比例函数
y= k x
(k>0)的图象
理解反比例函数 y =
k
(k>0)的性质
x
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图
四象限内的两支曲线组成， 它们与x 轴、 y 轴都不 相交，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大 而增大.
感悟新知
1．反比例函数 y＝－4x(x>0)的图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知1－练
感悟新知
知1－练
2．如图，函数 y＝1x－(x1x＞(x＜0)，0)的图象所在坐标系的原点是 ( A) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
知1－导
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 y 8 ，可知点 A 的坐标
x
满足函数表达式 ， 点 B 的坐标不满足函数表达式， 所以点 A 在这个函数的图象上，点B不在这个函数 的图象上.
感悟新知
知1－导
(3) 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、 三象限，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的 增大而减小.
感悟新知
反比例函数的图象与性质ppt
反比例函数的周期性
总结词
反比例函数不具有周期性，但可以表现出准周期性。
详细描述
与正比例函数和余弦函数等具有明确周期的函数不同，反比例函数不具有周期性。然而，当自变量x取值范围 较大时，函数值会重复出现，这种重复现象被视为准周期性。这意味着在一定条件下，函数的值会以某种周期 性的方式重复出现。
04
优化方案设计
在工程、设计和科研等领域，反比例函数的图象可以帮助优化方案设计，如最优投入产出 比、最佳设计方案等。
用反比例函数的图象进行数学建模
01 02
建立数学模型
反比例函数是一种重要的数学模型，可以用来描述和解释许多自然和 社会现象，如物体运动的速度与时间的关系、药物在体内代谢的过程 等。
求解方程
坐标轴上的表现
详细描述
在坐标系中，反比例函数的图象会无限接近坐标轴，但永 远不会与坐标轴相交。也就是说，无论k取何值，y轴上的 截距始终为0。
数学模型
y = k/x (k ≠ 0)
图形特点
双曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
反比例函数的图象的变化趋势
总结词：变化趋势 数学模型：y = k/x (k ≠ 0)
投资回报
在投资学中，反比例函数可以用于描述投资回报与投资金额之间的关系。当投资 金额增加时，回报率会降低；当投资金额减少时，回报率会增加。
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《反比例函数的图象与性质ppt 》
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目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的图象的应用 • 反比例函数的应用拓展
01
反比例函数概述
反比例函数定义
1.3 实际生活中的反比例函数湘教版九年级下册
【解析】 根据题意,把d=15代入 S 10 ,得
d
S 10 15
4
解得
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为 2 666.67 m 才能满足需要.
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮
船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天) 与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系? 【解析】由已知轮船上的货物有30×8=240（吨） 所以v与t的函数关系为 v
k v
，
（1）求k和m的值； （2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段 最少需要多少时间？
【解析】（1）将（40,1）代入 t
1 k 40
k v
,得
解得， k 40
40 v
函数解析式为： t
， 当t 0.5时.v 80
所以， k 40, m 80.
（2）令v 60, 得t 40 60 2 3 2 3 小时. .
4
V（m3）
2.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直 不理解自己眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到
近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（m）成反比例，
并请教了师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为 0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y 与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁 能帮助她解决这个问题呢？
1 2
1 2
2 4 4,
D
B
x
2 2 2.
S AOB S ONB + S ONA 4 + 2 6.
最新数学湘教版初中九年级下册第11讲 反比例函数
图象经过第一、三象限
（、y同号）
每个象限内，函数y（、y异号）
每个象限内，函数y的值随的增大而增大
3反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近轴和y轴，但都不会与轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
第11讲反比例函数的图象和性质
一、知识清单梳理
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝(≠0)的函数称为反比例函数，叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②y=-1;③y=(其中为常数，且≠0)
6与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（ab），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a-b）【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分＞0和＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可也可逐一选项判断、排除
例：函数y=3+1，当=－2时，则该函数是反比例函数．
2反比例函数的图象和性质
的符号
图象
经过象限
y随变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
湘教版九年级数学课件-反比例函数的图象与性质
3 6 -6 -3 -2 -1 …?
6 5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 -2
-3 -4 -5
-6
法二：利用對稱性
當x取任一非零實數a時，y
=
-
6 x
的數函值數為值a6 為，從a6 而，都而有y點=P6x（的a,函 a6）
與點Q （a, 6 ）關於x 軸對稱，
x
例：画出函数y 6 的图象 列表 x
你的取值和老師的取 值一樣嗎？取值的時 候應該注意什麼？
比一比
x …?-6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …?
y 6 …? -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …?
x
x …?-6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …?
y 6 x
…? -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …?
若 y1 0 y2 ，則 x1 ＞ x2 .
小結：
1. 請問反比例函數的圖象和性質是什麼？
2. 在反比例函數的圖象和性質的研究中， 我們用到了哪些方法？
中考 試題
(2010·南寧) 已知反比例函數
y
=
k x
的圖象經過點(2，-1)，
下列說法正確的是 （ C ）
A.點(-4，2)在它的圖象上
B.它的圖象分佈在一、三象限
y1， y2的大小.
例2 .如圖是某反比例函數 y k 的圖象. x
根據圖象，回答下列問題：
解（1） 由圖可知， 反比例函數 的圖象的兩支曲線分別位於第 一、三象限內， 在每個象限內， 函數值y隨引數x的增大而減小，因此， k ＞ 0. （2） 因為點A(-3， y1），B（-2， y2）是該圖象 上的兩點，且-3 < 0，-2 < 0， 所以點A，B 都位於 第三象限. 又因為-3 ＜ -2， 由反比例函數圖象的性 質可知：y1 ＞ y2 .
湘教版九年级下册 第一章 反比例函数 1.2 反比例函数的图像与性质 (2)
于是今后画反比例函数
y k k 的0图 象时，不用先画
的图象，y 然 后k沿x轴翻折，而只是“x 列表、描点、连线”三
x
个步骤就可以了．
画反比例函数
y4 x
的图象．
我们按，列表，描点， 连线方法画出这个函数图象
x
－6 －5
－4
－3
－2
－1
1 2
1 2
1
2
34
5
6
y4
2
0.8
1
x3
2
2
的图象，y 2 如图． x
－6 －4 －2
－4
－2
2
4
24 6
－2 －2
－4
－4
y 2 －6
x
⑦你能说出 y 2 图象的性质吗？
x
在二、四象限的两条曲线 组合，它们与x轴、y轴都不 相交，
函数值随自变量取值的增大 而增大
4
－4
－2
2
2
4
－2
当k ＜0时，反比例函数
yk x
具有与
－4
用两种方法画反比例函数y 3 的图象
x
我们按列表，描点， 连线方法画出这个函数图象
列表
x
－4 －3 －2 －1 1
1
1
2
3
4
22
y3 x
0.75
1
1.5
3
6 －6 －3 －1.5 －1 －0.75
描点 连线
6 4 2
－6 －4 －2
24 6 －2
－4
－6
32 4
4
8
－8
－4－24 －1 3－0.82 3
湘教版数学九下反比例函数的图像与性质2
九年级数学下册 反比例函数的图象和性质教案二湘教版一、教学目标1．会用描点法画反比例函数的图象2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法二、重点、难点1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质3．难点的突破方法：画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。
反比例函数x k y =（k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。
教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
三、例题的意图分析教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。
补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式x k y =（k ≠0）中k 的几何意义。
四、课堂引入提出问题：1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？3．反比例函数的图象是什么样呢?五、例习题分析例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴例1．（补充）已知反比例函数32)1(--=m xm y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件略解：∵32)1(--=m x m y 是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0 又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0解得2±=m 且m ＜1 则2-=m例2．（补充）如图，过反比例函数x y 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定分析：从反比例函数x k y =（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B六、随堂练习1．已知反比例函数x k y -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与x a y -=（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x k y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为七、课后练习1．若函数x m y )12(-=与x m y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是2．反比例函数x y 2-=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时；y 的取值范围是3． 已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式答案：3．x y a 25,5--=-=。
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九年级数学下册1.2 反比例函数的图象和性质教案二湘教
版
一、教学目标
1．会用描点法画反比例函数的图象
2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质
2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质
3．难点的突破方法：
画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。
反比例函数x k y
（k ≠0）自变量的取值范围是x ≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。
教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
三、例题的意图分析
教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。
补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反
比例函数解析式x k y =（k ≠0）中k 的几何意义。
四、课堂引入
提出问题： 1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
3．反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2．见教材P48，用描点法画图，注意强调：
（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线
（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴
例1．（补充）已知反比例函数32
)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数
是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件
略解：∵32)1(--=m x m y 是反比例函数 ∴m 2－3＝－1，且m －1≠0
又∵图象在第二、四象限 ∴m －1＜0
解得2±=m 且m ＜1 则2-=m
例2．（补充）如图，过反比例函数x y 1=
（x ＞0）的图象上
任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接
OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2
（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定 分析：从反比例函数x k y =
（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与
x 轴、y 轴所围成的矩形面积k xy S ==，由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B
六、随堂练习
1．已知反比例函数x k y -=
3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围
（1）函数图象位于第一、三象限
（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大
2．函数y ＝－ax ＋a 与x a y -=
（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
3．在平面直角坐标系内，过反比例函数
x k
y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
七、课后练习
1．若函数x m y )12(-=与x m y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是
2．反比例函数x y 2-
=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时；y 的取值范围是
3． 已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，
求函数关系式
答案：3．x y a 25,5--=
-=。