易拉罐形状和尺寸的最优设计模型综述

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

查建飞郑娴雅金兰贞

(2006年获全国二等奖)

摘要：目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。而资源

是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。

模型I :把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h与底面半径r之间的关系为h - ：^：：.2 r，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型U进行分析。

模型U :进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。通过对模型I中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。

模型川：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。

最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。

关键词：最优设计形状与尺寸合适度

一、问题重述

生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：

(1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。

(2)设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

(3)设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

图一

（4） 禾I 」用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。

（5） 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、问题分析

要使易拉罐达到最优设计，必须满足以下条件： （1） 保证容量是足够的。

（2） 材料要最节省，使生产者在保证质量的情况下，成本能降到最低。 （3） 能够保证易拉罐对容器内液体和气体的压力。

（4） 易拉罐是大批量生产、运输的，要避免运输过程中瓶罐之间因碰撞造成的损失, 必须稳定

放置两个易拉罐，才能保证安全运输。

三、模型假设

（1） 研究的对象是容量为355ml 的碳酸饮料的易拉罐，如可口可乐、雪碧、蓝代啤酒 （2） 测量的是无变形、无损坏的易拉罐。 （3） 测量的是铝制易拉罐。

四、符号定义

r :易拉罐柱体部分的内半径

S :易拉罐的总面积。

b 2 :易拉罐下底厚度。

Z :所用材料的体积。

:下底厚与侧壁厚的比值。

>2 :上底厚与侧壁厚的比值。

d i :上底内直径。

d 2 :下底内直径。

V :易拉罐的容量，为一固定值。

b :易拉罐侧壁的厚度

b i :易拉罐上底厚度。 h :易拉罐的内高度。 H :易拉罐的总体高度

a i :上底内咼。

a 2 :下底内咼。

h 3 :上底内高。

h 4 :下底拱高。

-：：舒适度。

上底厚bl

厂

图一

五、模型建立与求解

问题一

1.1测量方法

㈠测厚度：

把易拉罐切开压平，n层的易拉罐壁进行叠加，直至总厚度可达m mm则单个易拉罐

壁厚则为m/n mm同样方法对不同品种的易拉罐进行测量，取平均值.

㈡测外径：

用一条无弹力的绳子水平绕标准易拉罐的柱体部分一圈，再利用直尺测出绳子的长度。为减少误差，用以上相同方法进行多次测量，取得平均值。由 c = 2“：r，得出r。㈢其余的数据全由千分尺测得。近似取值为小数点后两位数。

对易拉罐所测得的数据见下表一：

表一：自己测量得到的易拉罐所需数据表（单位:mm）

问题二（模型I）

2.1模型假设：

易拉罐的形状为正圆柱体，如图

图

2.2模型分析：

把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

2.3模型的建立与求解：

易拉罐侧面所用材料的体积:二hr b 2-二hr2=2：rbh二hb2,

b《r •二hb2可以忽略•所以侧面材料的体积可以近似看作2…rbh

易拉罐上底面所用材料的体积：:f：r2b

易拉罐下底面所用材料的体积：一二r2b

则Z r,h -二"厲匕2r2• 2rh 1 ①

②代入①得： Z = b 2V

:［宀'—2 r 2

丨

③

知2

—-哼宀

V

令dz

=0,解得临界点为r 处：—

V

,代入②得:

dr

. ： i ： 2 ■:

所以当h =〉1 *2 r 时,Z 取得最优值.

根据测量数据:-1 :、2;〉2 2，则：［心2 =4，代入公式得匕=4

r

圆柱型的易拉罐的尺寸虽然与实测数据相对比较吻合，但还是有一定的误差。通过 观察发现实际中易拉罐的上部分有类似圆台的地方，这是为了减少材料还是其他目的 呢？因此建立模型。

问题三（模型n ）

3.1 补充假设（如图三）

(1) l 为圆台部分的母线长。 (5) S 2表示圆柱上底面积。 (2) h 1表示圆台部分的高度。 (6) V 1表示圆台的体积。 (3) h 2表示圆柱上线高度。

(7) V 2表示圆柱上线的体积。

(4) S 1表示圆台上底的面积。

(8)

355- v 1 =355- v 2 即 v 1 =v 。

V =二 r 2

h

2

h 二 V /

h ，

「1*2 二

宀亠二2

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又因为—S dr 2

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