初高中衔接_第二讲_因式分解
初高中衔接教材之因式分解
初高中衔接教材之因式分解因式分解的主要方法有： 提取公因式法、 公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 (a b)(a b)a2b 2；（2）完全平方公式222( a b) a 2 a b．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2 23 3(a b) ( a a b b) a ；b（2）立方差公式22 33(a b) ( a a b b)a；b（3）三数和平方公式2 222；( a b c)abc 2 ( a b b c ) a c （4）两数和立方公式3322 3(a b) a3 a b 3 a b；b（5）两数差立方公式3322．( a b) a 3 a b 3 a bb1．提取公因式法与分组分解法、公式法例 1 分解因式：2（1） 2（ y －x ） +3（ x － y ）（2）mn （m －n ）－ m （n －m ）2（ 3）9 x 2 y 22xy（ 4） a 2 4ab 4b 22a 4b（5） x 3 x 2 y xy 2 y 3（ ） b)(a 1) ab b 26 (a2．十字相乘法例 2 分解因式：（ 1） x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x － 12；（3） x 2(a b) xy aby 2；（4） 6x2xy 2y23．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）若关于 x 的方程ax2bx c0(a 0) 的两个实数根是 x1、 x2，则二次三项式ax2bx c(a 0) 就可分解为 a( x x1)( x x2 ) .例 3把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）x22x 1；（）x24xy 4y2．2当堂反馈：1．填空：（ 1）1a2 1 b2(1b1a) （）；9423（ 2）(4m)216m24m () ；(3 ) (a 2b c)2a24b2c2() ．2．分解因式：（ 1） 5（ x－y）3+10（－）2（）2222 y x 2 c ab a b c4x222a 3 2a4（3）2x x y x y xy y x（4）2（5） 8a 3－ b3；（6）x2＋6x＋8；（7）4( x y 1) y( y 2x)（8）4x413x29 ；（9）20a433a2b27b4（10） x225x 96 5x10 x24．在实数范围内因式分解：（ 1）x25x 3 ；（ 2）x2 2 2 x 3 ；（3）3x24xy y2；（4）( x22x)27( x22x)12 ．5．分解因式：x2＋ x－ (a2－ a)．初高中衔接教材之 一元二次方程第 1 课时 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋ c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为(xb )2 b 24ac ．①2a 4a 2因为 a ≠0，所以， 4a 2＞0．于是（1）当 b 2－4ac ＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1， 2＝bb 24ac ；2a（2）当 b 2－4ac ＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根1＝ x 2 ＝－ b；x2ab )2 （3）当 b 2－ 4ac ＜ 0 时，方程①的右端是一个负数， 而方程①的左边 ( x2a一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由 b 2－ 4ac来判定，我们把 b 2－4ac 叫做一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式 ，通常用符号 “Δ”来表示．2综上所述， 对于一元二次方程 ax ＋bx ＋ c ＝ 0（ a ≠0），有x 1，2＝b b 24ac ；2a（2）当＝ 0 时，方程有两个相等的实数根x 1 ＝x 2＝－ b；2a（3）当 ＜ 0 时，方程没有实数根． 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－ 3x ＋3＝0； （2）x 2－ ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋ (a －1)＝ 0；（4）x 2－ 2x ＋a ＝0．说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做 分类 讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法， 在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题． 【当堂反馈】1、方程 x22 3kx 3k20 的根的情况是。
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点1.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．2.因式分解的方法:提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式)、配方法，十字相乘法，分组分解法，拆、添项法，求根法，待定系数法．３．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．４．十字相乘法：2()x p q x pq +++型的因式分解， 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．。
第二讲 因式分解(必上)
，常数项
c
分解成
c1c2
，把
a1
,
a2
,
c1
,
c2
写成
a1 a2
c1 ，这 c2
里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2c1 ，如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数 b ，
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1 )(a2 x c2 ) ，其中 a1, c1 位于上一行， a2 , c2 位于下一行．
一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (立方和公式)
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
解：(1) 12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1)
3 2
41
(2) 5x2 6xy 8y2 (x 2 y)(5x 4 y)
1 2 y
5 4 y
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，
为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一
x2 5x 24 [x (3)](x 8) (x 3)(x 8)
(2) 15 (5) 3, (5) 3 2
x2 2x 15 [x (5)](x 3) (x 5)(x 3)
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数
(1) 8 x3
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
专题02分解因式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）法一： ,
法二：
； ca88 https:// ca88 ；
当陆泽听说南宫沉默而杀气时，他的心很冷，好像他不小心死了一样。他很快就说了一个严肃的开场白：“南宫的老师在哪里，我只是看到美丽的南宫老师亲自加了我的朋友。此刻此刻太兴奋和错误了。”南宫静：“ ..”她首先发现 有些人敢在她面前如此瘦。果然，下次我见面时，铁拳制裁的程度会增加一级。但是现在她忽略了吕泽的话并且说：“等我再重新添加，我是你的导师。此外，一个月后，精英班将接受入学测试，你准备好了，不要死。”泽点点头，回过 头来说：“哦，好吧，我会做好充分的准备..”他只说了一半，突然发现自己听到了一个坏词？他咳嗽哭了起来，确认道：“老师，你说死不对，你的意思是什么？” “吨吨.嗝〜字面意思。”陆泽：“..”听着南宫悄悄地倒了一口酒， 满意的呼吸，冷静地给出了解释，陆泽觉得他的心态已经爆发了。哪所学校的入学考试将会死亡？入门测试不应该比虚拟现实中的比赛更好吗？他抽搐了一下口：“好吧，老师不会惹麻烦，入学考试将会死亡。” “当然，我们联邦大学和 帝国理工学院的入学考试可能已经死亡，但你可以放心，死亡率仍然非常低。只有不到10％。”我吃了！ ！真的死了？陆泽震惊了！他的眉头微微皱起，有些有尊严的问道：“南宫先生，我们的入学考试是什么？”南宫静带着一点酗酒说 道：“啊？没事。只要走到前线。”几场战斗，攻击几个城市，这是联邦大学和皇家学院精英班的传统。
ax 2 bx c 的一次项系数 b ，即
a 1c2 a2c 1 b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax 2 bx c a1x c1 a2x c2 .
要点诠释： （1）分解思路为“看两端，凑中间”
a 1x c1 与 a2x c2 之积，即
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
初高中衔接教材教案《因式分解分解》
初高中衔接教材教案《因式分解分解》因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xya ab b a bx x y xy y a b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）2262x xy y +-解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --*例3 因式分解：（双十字相乘法） 222222(1)282143(2)31092(3)422473x xy y x y x xy y x y x xy y x y +-++---++-+-++-3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-+．－1 1 x y图1．2－5练 习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m 2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2 ()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322aa -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a a b b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
2024--2025学年初升高数学衔接课+++第二讲-因式分解
的两个实数根是x1、x2 ，则二次三项式ax2 bx c(a 0)
返 首 页
【典例例题】 题型一：十字相乘法
例1分解因式 x2 2x 8 x__4__x__2 ．
例2分解因式mx2 6mx 5m m__(x___1_)_(_x___5_)_．
练习1.分解因式 x2 xy 6 y2 _x__2_y___x___3_y__．
x 12 x2 2x 1
(2)原式
3a
b2
9
2
36b2
3ab2 9 6bb2 9 6b
3a b 32 b 32
返 首 页
之积，即ax2 bx c a1x c1a2x c2 .
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里
返
面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
首 页
知识点3：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到 括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法 叫做提公因式法。
，则 p、q同号(若c 0 ，则 p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q
的符号；
（2）若x2 bx c 中的b,c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解
的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.
返 首 页
知识点2：首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2 bx c ( a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax a2 2ab bx b2 因式分解；
初高中教材衔接第二讲因式分解(初高中衔接教材)
第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各样恒等变形中起侧重要的作用．是一种重要的基本技术．因式分解的方法许多，除了初中课本波及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完整平方公式 )外，还有公式法 (立方和、立方差公式 )、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．一、公式法 ( 立方和、立方差公式)a3b3(a b)(a2ab b2 )a3b3(a b)(a2ab b2 )这就是说，两个数的立方和( 差 ) ，等于这两个数的和( 差) 乘以它们的平方和与它们积的差( 和) ．运用这两个公式，能够把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例 1】因式分解：(1)8x3(2)0.12527b3解： (1)8x323x3(2x)(42x x2 ) .(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2 ](0.5 3b)(0.25 1.5b9b2 ) .说明： (1)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，常常要逆用幂的运算法例，如8a3b3(2 ab)3，这里逆用了法例 (ab)n a n b n；(2)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，必定要看准因式中各项的符．【例 2】因式分解：(1)3a3 b 81b4(2)a7ab6解： (1)3a3b 81b43b(a327b3 )3b(a3b)( a23ab 9b2 ) ．(2)a7ab 6a(a6b6 )a( a3b3 )(a3b3 )a(a b)(a2ab b2 )(a b)(a2ab b2 )a(a b)(a b)( a2ab b2 )(a2ab b2 ).a7ab6a(a6b6 ) a( a2b2 )(a4a2 b2b4 )a(a 2b2 )[( a2b2 )2a2b2 ]a(a b)(a b)(a2ab b2 )( a2ab b2 ).二、分组分解法以前方能够看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主假如二项式和三项式．而关于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式能够提取．所以，能够先将多项式分组办理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的重点在于怎样分组．【例3】把2ax10ay5by bx 分解因式．解：2ax10 ay5by bx2a( x 5 y)b( x 5 y)( x 5 y)(2 a b) .说明：用分组分解法，必定要想一想分组后可否持续达成因式分解，由此合理选择分组的方法．此题也能够将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不如一试．【例 4】把 ab(c 2 d 2 ) (a 2b 2 )cd 分解因式．解： ab(c 2d 2 ) (a 2 b 2 )cdabc 2 abd 2 a 2cd b 2 cd(abc 2a 2 cd ) (b 2cdabd 2 )ac(bc ad ) bd (bc ad )(bc ad )(ac bd ) .【例 5】把 2x 2 4xy 2 y 2 8z 2 分解因式．解： 2x 24xy 2 y 2 8z 2 2( x 22xy y 2 4z 2 )2[( x y)2(2 z)2 ] 2( xy 2z)( x y2z) .三、十字相乘法1． x 2 ( p q) x pq 型的因式分解(1)二次项系数是 1； (2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．x 2( p q)xpq x 2px qx pq x(x p) q( x p)( x p)( x q) .所以， x 2( p q) x pq(xp)( xq) .【例 6】因式分解：(1)x 27 x 6(2)x 2 13x36解： (1)x 2 7x6 [ x ( 1)][ x( 6)] ( x 1)( x 6) ．(2)x 2 13x 36(x 4)( x9) .【例 7】因式分解：(1)x 2 xy 6 y 2(2)( x 2 x) 28( x 2 x) 12解： (1)x 2 xy 6 y 2x 2yx62 (x 3y)(x 2 y) .(2) ( x 2x) 2 8( x 2 x) 12( x 2x 6)( x 2x 2)(x 3)( x 2)( x 2)( x 1) .2．一般二次三项式 ax 2bxc 型的因式分解大家知道， (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) a 1a 2 x 2 (a 1c 2 a 2 c 1 ) x c 1 c 2 ． 反过来，就获得： a 1a 2 x 2 (a 1c 2a 2c 1 ) x c 1c 2(a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )我们发现，二次项系数a分解成 a 1a 2 ，常数项 c 分解成 c 1 c 2 ，把 a 1 , a 2 , c 1 ,c 2 写成a1c 1，这里按斜a 2 c 2线交错相乘，再相加，就获得a 1 c 2 a 2c 1 ，那么 ax 2 bx c 就能够分解成 (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) ．这类 借助画十字交错线分解系数，进而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例 8】因式分解：(1) 12 x 2 5x 2(2)5x 26xy 8 y 2解： (1) 12x25x2 (3x 2)(4 x1).3 24 1(2) 5x26 xy 8y2( x2 y)(5 x 4y) .1 254【例 9】因式分解：(1)( x 2 2x) 7( x 2 2x)8(2)x 22x 15 ax 5a剖析： 用十字相乘法分解因式也要注意分解完全，有时可能会多次使用十字相乘法，而且关于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项能够三、二组合.解： (1)原式(x 22x1)( x22x8)( x 1)2 ( x2)( x 4) .(2)原式( x 22x15)(ax5a)( x3)( x 5)a(x 5) (x 5)( x 3 a) .四、配方法【例 10】因式分解 (1)x26x 16（ 2）x24xy 4y2解： (1)x26x 16(x3)252(x 8)( x2) .(2)x24xy 4 y2( x24xy4y2 ) 8 y2( x 2y)28 y2(x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2y) .说明：这类想法配成有完整平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，而后用平方差公式分解．五、拆 ( 添) 项法【例 11】因式分解x33x24解：x33x2 4 (x31)(3x23)(x1)(x2x1)3( x1)(x1)( x 1)[( x2x 1) 3( x 1)](x1)(x24x4)( x1)( x2) 2.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按以下步骤进行：(1)假如多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 假如各项没有公因式，那么能够运用公式法或分组分解法或其余方法( 如十字相乘法) 来分解；(3)因式分解一定进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止．。
初高中数学衔接讲义2 根式 分解因式
一、【内容概述】0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥ 0,0)a b =>≥ 【典型例题—1】：基本的化简、求值例7.化简下列各式：+ 1)x ≥例8.变式1:a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数变式2:若3x <|6|x -的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９变式3：有理化因式和分母有理化例9.计算：（1）21)(1-+ +例10.设x y ==，求33x y +的值二、分解因式【典型例题—1】十字相乘（1）2()x p q x pq +++型的因式分解例18.把下列各式因式分解： (1) 276x x -+(2) 21336x x ++例19.把下列各式因式分解： (1) 2524x x +-(2) 2215x x --例20.把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++，我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +。
如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例21.把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-【典型例题—2】：分组分解法【内容概述】从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式（1）分组后能提取公因式例16.把2105ax ay by bx -+-分解因式。
3.初高中衔接—因式分解
高
中
衔
接
因式分解
因式分解的概念
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式。来自提公因式法换元法
公式法
求根公式法
长除法
余数定理法
十字相乘法
因式分解没有普遍的方法
对称多项式轮换对 称多项式法
拆项和添减项法 待定系数法
分组分解法 双十字相乘法
方法 1 提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法。
Lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here, lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here , lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here , lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
New Semester，new Beginning
新学期展翅翱翔
ax ay ax y
方法 2 公式法 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
方法 3 分组分解法
方法 4 配方法
方法 5 拆项添项法
初高中衔接教材之因式分解
初高中衔接教材之因式分解因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b a b b -=-+-．1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）2262x xy y +-3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．当堂反馈： 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322a a -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a ab b x x x x -+-+--（）（）4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．初高中衔接教材之一元二次方程第1课时 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b aca-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 【当堂反馈】1、方程222330x kx k -+=的根的情况是 。
初高中数学衔接：第2讲+因式分解
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)；2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x +(2)30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式：（1）()()255ab a b -+-； （2）32933x x x +++．解：（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．【例5】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习：1．多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________． 2．()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____． 3．()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____．4．()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________． 5．()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______． 6．2105ax ay by bx -+-=_________________ 7．2222()()ab c d a b cd ---【答案】1．2xy ；2．()m n -；3．()m n +；4．()m n -；5．(1)m -．6．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－p qx x1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=，∴21336(4)(9)x x x x ++=++．(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=，∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+．(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-，∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．－1 －2x x图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．【练习】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法 1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．1．把下列各式分解因式： (1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4)224202536a ab b -+- (5)22414xy x y +-- (6)432224a b a b a b ab +--(7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+B 组1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．3．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除． 4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．第二讲 因式分解答案A 组1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．B 组1．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+． 2．2833．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++。