《平面的基本性质》PPT课件

有且只有一个平面.
不共线的三点A,B,C的
图形语言：
平面通常记作〝平面ABC 〞
符号语言： A ,B ,C 三 点 不 共 线
有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 A ,B ,C
如何理解性质2中的“有且只有一个”？
“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一.
性质2可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴确定平面；⑵证明两个平面重合.
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请大家拿起一本书，把这本书的一个
角放在桌面上，如果我们分别把这本书和 桌面都看作一个平面的话，试问这两个平 面是否就只有这一个公共点，如果还有其 他公共点的话，它们和这个公共点有什么 关系？
基本性质3：如果两个平面有一个公共点，那 么它们还有其他公共点，这些公共点的集合 是经过这个公共点的一条直线.
45°
如果是非水平平面，只要画成平行四 边形. 画直立的平面，一组对边为铅垂线 .
如果几个平面画在一起，当一个平面 有一部分被另一个平面遮住时，应把 被遮部分的线段画成虚线或不画.
3. 平面的表示法
⑴在一个希腊字母 , , 的前面加 “平面” 二字，如平面 ，平面 ， 平面 等，且字母通常写在平行 四边形的一个锐角内.
问题：当我们想象海平面是一平如镜时， 它有什么特点？
很大、很平.
以上例子给我们“平面”的直观，平面 是一个不加定义的概念，具有“平”、 “无限延展”、“无厚薄”的特点.
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一条直线可以把平面分成两部分， 我们所画的只是一条直线的一部分，因 此，刚才所说的物体如果是平的，也只 是它所在平面的一部分.
一个平面可以把空间分成两几部分呢. ？
根据性质1可得， 这条直线上所有的点都在这个平面内，
故这条过平面外一点的直线也在这个平面内，
与已知矛盾. 所以这条直线与这个平面只有一个公共点.
【例3】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点.
(1)作出由A1，C1，M三点所确定的平面 与正方体表面的交线；
(2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线．
（或平面AC经过直线AB）
AA平面AC 直线AA1不在平面AC内
（或平面AC不经过直线AA1 ）
1
A
图形语言
P
A
B
C
A
B
M A
A1
A
A
C
B
AB A
A A1 C A
C
C
C A C A1
练习．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1，分别记作 、、，试用适当的
符号填空．
(1)A1_∈_____, _B1__∈_____
(2)B1_∈_____, _C1__∈_____ (3)A1_∈_____, _D1 __∈_____
(4)_∩____A _1B_ 1 __∩____B_1B
(5)A1B1______,_B_B1 ________
A1B1 ________
∩∩ ∩
（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）
图形语言：
符号语言：P P l且Pl
性质3可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判断两个平面是否相交；
⑵判定点是否在直线上.
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条 公共直线叫做这两个平面的交线.
数学运用
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚；
⑵用表示平行四边形的两个相对顶
点的字母来表示，如平面AC.
D
C
A
B
⑶用三角形表示平面，用三角形三
个顶点的字母来表示，如平面ABC.
4. 点、直线、平面之间的基
本关系
空间图形的基本元素是点、直线、平 面，从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合.因此，它们之间的关系除了用文字和图 形表示外，还可以借用集合中的符号语言 来表示.
②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面不是平面；
④平面是绝对的平，没有大小、没有
厚度，可以无限延展的抽象的数学
概念. 其中正确的的命题是__③__④______.
【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一 点，它和这个平面有几个公共点？为 什么？
解： 这条直线和这个平面只有一个公共点. 假设这条直线和这个平面有两个公共点，
5.平面的基本性质
请大家拿出你的一把尺，如果把桌 面看作一个平面，把你的尺看作是一条 直线的话，你觉得在什么情况下，才能 使你的尺所代表的直线上的所有点都能 在桌面上？
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
图形语言：
符号语言：B A 直线AB 性质1可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判定直线或点是否在平面内； ⑵检验平面.
自行车的撑脚一般安装在自行车的什么 位置？能不能安装在前后轮一条直线的地方 ？
照相机支架需要几条腿？两条行不行？三 条在一条线上行不行？
根据上面的实例，你得到怎么样的一个结论？ 如何用数学语言描述上述事实？
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基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，
文字语言
点P在直线AB上 （或直线AB经过点P）
点C不在直线AB上 （或直线AB不经过点C）
点M在平面AC内 （或平面AC经过点M）
点A1不在平面AC内 （或平面AC不经过点A1）
直线AB与直线BC交于点B
符号语言
PAB CAB M平面AC A1平面AC AB BCB
AB平 面 AC 直线AB在平面AC内
2. 平面的画法
通常我们画出直线的一部分来表示 直线；同样地，我们也可以画出平面的 一部分来表示平面.(“借代”)
当我们从适当的角度和距离来观察 桌面或黑板面时，感到它们都很象什么 图形呢？ 平行四边形
通常画平行四边形来表示平面.
在画平行四边形表示平面时，所表示 的平面如果是水平平面，通常把锐角 画成45°，横边画成邻边的两倍.
情境引入
问题1：平静的湖面，广阔的草原，这些 画面会给你留下怎样的印象呢？
问题2：如何形象直观的在纸上表示平面？ 如何表示点与直线，直线与平面 的位置关系？
1. 平面的特点
意义建构
问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？
问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？
桌面、黑板、地面、海平面等.
【例4】已知：ABC 在平面 外，AB P，
AC R， BC Q
求证：P，Q，R三点共线.
证明： AB P,
P A B ， P 平 面 ,