乒乓球团体赛上场队员排序问题

此题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，虽然两队实力相当，但不同的 出场顺序可能导致不同的结果， 所以合理的安排是取得成功的关键，不同的出场 方案会有不同的结果，若站在某队的角度，应采取那种出场方案，对“五局三胜 制”进行的乒乓球赛事进行评价。通过建立数学模型，求解出安排上场运动员次 序的方案，使得本队获胜的概率最大。
α6 =A3 、A2 、A1 、A3 、A2 β6 =B3 、B2 、B1 、B2 、B3 a. 当甲队前三局获胜时，即三场结束比赛，设R mn （m、n=1,2,3,4,5,6）表示
此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率，从而得到矩阵Ｒ。通过 分析,计算 R 矩阵存在以下规律，比如R 23 表示甲队以 α2 =A1 、A3 、A2 、A1 、A3 出场比赛，乙队以β3 =B2 、B1 、B3 、B1 、B2 出场比 赛，即R 23 =Q12 ∗ Q31 ∗ Q23 。R 32 表示甲队以α3 =A2 、A1 、A3 、A2 、A1 出场比 赛，乙队以β2 =B1 、B3 、B2 、B3 、B1 出场比赛，即R 32 =Q21 ∗ Q13 ∗ Q32 ，再 利用 excel 工具以及 Q 矩阵计算，如图：
0.5 0.45 0.4 Q ij = 0.55 0.5 0.45 0.6 0.55 0.5
α1 =A1 、A2 、A3 、A1 、A2 β1 =B1 、B2 、B3 、B2 、B1 α2 =A1 、A3 、A2 、A1 、A3 β2 =B1 、B3 、B2 、B3 、B1 α3 =A2 、A1 、A3 、A2 、A1 β3 =B2 、B1 、B3 、B1 、B2 α4 =A2 、A3 、A1 、A2 、A3 β4 =B2 、B3 、B1 、B3 、B2 α5 =A3 、A1 、A2 、A3 、A1 β5 =B3 、B1 、B2 、B1 、B3
R′mn =
赛四场的矩阵
0.21553125 0.217136976 0.188896891 0.155904584 0.179212319 0.160656805 0.160656805 0.15946875 0.179212319 0.217136976 0.188896891 0.210714073 0.188896891 0.210714073 0.15946875 0.160656805 0.217136976 0.179212319 0.179212319 0.160656805 0.217136976 0.21553125 0.155904584 0.188896891 0.155904584 0.188896891 0.160656805 0.179212319 0.21553125 0.217136976 0.217136976 0.179212319 0.210714073 0.188896891 0.160656805 0.15946875
0.250209 0.24481 0.221826 0.215531 0.190207 0.188897
0.190207 0.192976 0.160657 0.1642 0.132 0.132983
0.221826 0.218643 0.193063 0.188897 0.1606Fra Baidu bibliotek7 0.159469
0.557699 0.527673 0.5577 0.5 0.527673 0.5
0.5276733 0.5 0.527673 0.472327 0.5 0.472327
0.5576998 0.5276733 0.5577 0.5 0.5276733 0.5
另外不防用 excel 检验如下：
Ｗmn =
0.5 0.4723 0.5 0.4423 0.4723 0.4423
0.52767 0.5 0.52767 0.47232 0.5 0.47232
0.5 0.47232 0.5 0.4423 0.47232 0.4423
0.5577 0.527673 0.5577 0.5 0.527673 0.5
S′mn =
队员谁先上场， 通过题目所给的概率表格我们知道A1 队员与乙队所有 运动员的比赛胜率都大于等于 50%，但是A2 运动员则没有这个优势。 在体育比赛中第一局比赛十分重要， 第一局比赛胜利会给之后参加比 赛的队员心里的优势，有利于运动员技术的发挥。相反如果第一局比
赛失利，会增加随后运动员的心理压力。所以第一局应该用把握比较 大的选手。 综上，我们认为甲队以 1 顺序参赛，胜算最大。
R mn =
b.当甲队四场结束比赛时，即前三场比赛输一场，第四场比赛赢。Smn （m、
n=1,2,3,4,5,6）表示此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率，从而 得到矩阵 S，比如S23 表示甲队以α2 =A1 、A3 、A2 、A1 、A3 出场比赛，乙队以 β3 =B2 、B1 、B3 、B1 、B2 出场比赛， S32 表示甲队以α3 =A2 、A1 、A3 、A2 、A1 出场 比赛，乙队以β2 =B1 、B3 、B2 、B3 、B1 出场比赛，再利用 excel 工具以及 Q 矩阵 计算，如图：
所以得到比赛四场结束的甲队获胜的矩阵Ｓ如下：
0.215531 0.217137 0.188897 Smn = 0.190207 0.1642 0.164126
0.24481 0.243 0.218643 0.217137 0.192976 0.193063
0.188897 0.193063 0.159469 0.164126 0.132983 0.133905
所以得到比赛三场结束的甲队获胜的矩阵Ｒ如下： 0.125 0.122206 0.122206 0.117183 0.116279 0.114048 0.122206 0.125 0.117183 0.122206 0.114048 0.116279 0.122206 0.116279 0.125 0.114048 0.122206 0.117183 0.116279 0.122206 0.114048 0.125 0.117183 0.122206 0.117183 0.114048 0.122206 0.116279 0.125 0.122206 0.114048 0.117183 0.116279 0.122206 0.12206 0.125
第二问： 同样用第一问中的方法分析，改变题中的胜率，得到如下矩阵： 赛三场的矩阵
0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125 0.076901173 0.122206219 0.122206219 0.189861514 0.122206219 0.189861514 0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125 0.076901173 0.122206219 0.076901173 0.122206219 0.122206219 0.189861514 0.125 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.189861514 0.122206219 0.122206219 0.125
二、模型建立与求解
设甲队三名队员分别为A1 、A2 、A3 ， 乙队三名队员分别为B1 、B2 、B3 ， Pij 为 一局比赛中甲队Ai 选手赢乙队Bj 选手的概率，Qij 为Ai 选手赢乙队Bj 选手的概率。 由题目所给的概率表可以列出Pij 的矩阵为
0.50 0.55 0.6 Pij = 0.45 0.50 0.55 0.40 0.45 0.50
所以得到比赛五场结束的甲队获胜的矩阵Ｔ如下： 0.159468 0.1329834 0.1888968 Tmn ＝ 0.1349107 0.1918480 0.1641260 0.1606568 0.132 0.1918480 0.1329834 0.19297 0.1629852 0.1888968 0.1629852 0.215531 0.1641260 0.2171369 0.1912119 0.19121193 0.16065680 0.22182591 0.15946875 0.22028398 0.18889689 0.2202839 0.192976 0.244810 0.1918480 0.243 0.21713697 0.2218259 0.1918480 0.2483584 0.1888968 0.2448103 0.2155312
C.当甲队五场结束比赛时，即前四场比赛输两场，第五场比赛赢。Tmn （m、 n=1,2,3,4,5,6）表示此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率，从而 得到矩阵 S，比如T23 表示甲队以α2 =A1 、A3 、A2 、A1 、A3 出场比赛，乙队以 β3 =B2 、B1 、B3 、B1 、B2 出场比赛， T32 表示甲队以α3 =A2 、A1 、A3 、A2 、A1 出场 比赛，乙队以β2 =B1 、B3 、B2 、B3 、B1 出场比赛，再利用 excel 工具以及 Q 矩阵 计算，如图：
由上述ａ、ｂ、ｃ三种情况可以知道：甲队在此次比赛中以不同出场方式获胜的 概率矩阵 Ｗmn ＝R mn ＋Smn ＋Tmn 所以：
Ｗmn =
0.5 0.47232 0.5 0.4423 0.47232 0.4423
0.52767 0.5 0.52767 0.47232 0.5 0.47232
0.5 0.47232 0.5 0.4423 0.47232 0.4423
因为两个选手之间一场比赛可能出现打 2 局和打 3 局的情况， 所以可以得到 Qij 的计算公式为：
1 Q ij = Pij 2 + C2 × （1 − Pij ）Pij 2
用 excel 计算
得到Qij 的矩阵：
由题意知， 每队有三名上场队员， 他们所有可能出场的顺序有六种， 分别设为αm 、 βn （m、n=1,2,3,4,5,6）即：
2012 年北京工业大学 “太和顾问杯”数学建模竞赛初赛 题目：乒乓球团体赛上场队员排序问题
一、 问题重述： 比赛规则：每支队伍有三名队员参赛。比赛之前，双方应抽签决定 A、B、C 和 X、Y、Z 的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单，分别 代表各队的出场顺序。 比赛顺序：第一场 A—X，第二场 B—Y，第三场 C—Z，第四场 A—Y，第五场 B—X。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应 结束。 现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比 赛队员分别是：B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，甲队运动 员在每一局中获胜的概率如表 B.1 所示 表 B.1：两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率 队员 A1 A2 A3 B1 0.50 0.45 0.40 B2 0.55 0.50 0.45 B3 0.60 0.55 0.50
0.52767 0.5 0.52767 0.472327 0.5 0.472327
0.5577 0.5276733 0.5577 0.5 0.5276733 0.5
三、分析 从 W 矩阵可以看出当甲队伍以 1 和 3 队员顺序出场比赛时，无论乙队以何 种队员顺寻出场，甲队的胜率都大于等于 50%，另外当甲队以 1 和 3 顺序参加 比赛，乙队以β4 或者β6 顺序参赛时，甲队获胜的几率最高，有 55.77%。 相比之下，甲队以其他出场顺序参赛时，总会出现胜率低于 50%的情况，并且最 高胜率仅为 52.8%，比前者的 55.7%低。 下面比较的区别 1 和 3 ： 由 W 矩阵可知，这两种排序方式的结果完全相同，唯一的区别是A1 、A2 两名