高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案解析

江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学（理）试题命题人：何卫中贵溪一中审题人：金俊颖余江一中试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}{}3ln12,=xM x y x N y y e x R-==-=,∈集合RM N⋂=则C()A．1|2x x⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B．{}|0y y>C．1|02x x⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D．{|x2. 如图，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、…的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“O”出现的个数为( )A．27 B．29 C．31 D．333．从随机编号为0001，0002，⋅⋅⋅⋅⋅⋅5000的5000名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（）A．4966 B．4967 C．4968 D．49694．写出不大于1000的所有能被7整除的正整数，下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（）A．B．C．D．5．函数xxf x-=)31()(的零点所在区间为（）A．)31,0(B．)21,31(C．)1,21(D．（1，2）A BBCCDD6．实数a 使得复数1a ii +-是纯虚数，10,b xdx c ==⎰⎰则的大小关系是 （ ）A ．B ．C ．b c a <<D ．7．下列四种说法中，错误的个数有 （ ）①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得x2—3x-2≤0”②2|1|(21)0y z ++-=的解集为11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ ③“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件；④集合{0,1}A =,{0,1,2,3,4}B =,满足A C B ⊆的集合C 的个数有7个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知342sin ,cos (),552m m x x x m m ππ--==<<++则tan 2x=（ ） A ．39m m -- B ． 3||9m m -- C ．1-55或 D ． 59．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平 桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”， 事件B 为 “x ,y 中有偶数且y x ≠”，则概率)|(A B P 等于（ ）A ．31B ．21C ．61D ．4110．已知0a >，若不等式316log log 5a a x x n n ++-+≤+对任意*n N ∈恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[3,)+∞D ．[1,3]11．已知2()()x x x m ϕ=-在1x =处取得极小值，且函数()f x ，()g x 满足(5)2,'(5)3,(5)4,'(5)f f m g g m ====，则函数()2()()f x F x g x +=的图象在5x = 处的切线方程为（ ）A ．32130x y --=B ．32130x y --=或230x y --=c b a ,,c b a <<b c a <<a b c <<C ．230x y --=D ．230x y --=或23130x y +-=12．已知函数(1)20152017()2015sin 20151x xf x x ++=++在[,]x t t ∈-上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +的值为（ ）A ．0B ． 4032C ．4030D ．4034 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若α是第二象限角，其终边上一点(P x，且cos 4α=，则sin α= ．14．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+≤≤)0(14300a a y a x y x ，若11y z x -=-的最小值为2531()x x -的展开式的常数项的140，则实数a 的值为 ．15．已知一个正三棱柱,一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱的表面积是 ．16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ=，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，点1(,)n n na A n a +在直线1y kx =+上，当2n ≥时，均有111n n n n a aa a +--=（1）求{}na的通项公式（2）设23,(1)!nnnabn=⋅-求数列{}n b的前n项和n S18．（本小题满分12分）我市“水稻良种研究所”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。

他们分别记日期3月21日3月22日3月23日3月24日3月25日温差x（0C）10 11 13 12 9发芽数y(颗) 15 16 17 14 13(1)请根据以上资料，求出y关于x的线性回归方程；据气象预报3月26日的昼夜温差为140C,请你预测3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽数（结果保留整数）。

(2)从3月21日至3月25日中任选2天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望EX和方差DX。

(参考公式及参考数据122ni iiniix y nx ybx nx=-⋅=-∑∑，a y bx=-，2832,615n ni i ii ix y x==∑∑)19. （本小题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示：（1）请画出此四棱锥的直观图，并求证：PC⊥BD；（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30o？若存在，求DQDP的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于,A B两点的直线l：()y kx m k=+∈R，使得22OA OB OA OB+=-成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明由.21．（本小题满分12分）已知322()9cos48cos18sin,f x x x xαβα=-++'()()g x f x=，且对任意的实数t均有||(1)0,(3sin)0tg e g t-+≥+≤，（1）求cos2cosαβ+的值。

（2）若321()2cos cos3x x x xϕβα=-+，设'()ln()h x xϕ=，对于任意的[0,1]x∈，不等式(1)(22)h x m h x+-<+恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。

若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，A、B是圆O上的两点，︒=∠120AOB，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分OAC∠；（2）延长OA至P使得APOA=，连接PC，若圆O的半径1=R，求PC的长．23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线:l 21cos =θρ与曲线C:θρcos 2=相交于A 、B 两点，O 为极点。

(1)求∠AOB 的大小．（2）设把曲线C 向左平移一个单位再经过伸缩变换''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线C '，设(,)M x y 为曲线C '上任一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|4|||f x x x a =-+-（1）若()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）当1a =时, 若21()()2x g x f x m -=+的定义域为R ，求实数m 的取值范围参考答案 1.A【解析】本题考查集合的运算.M ={x|x <12}，N ={y |y >0}，所以C R M ={x|x ≥12}, 所以C R M ∩N ={x|x ≥12}，应选A.【备注】无 2.B【解析】本题考查等差数列的通项公式.由图可得a 1=1,d =2,∴a n =1+(n −1)d =2n −1，O 是英文字母的第15个字母，所以a 15=29，应选B. 【备注】无 3.C【解析】本题考查系统抽样.系统抽样按等差数列抽取的，由题意可知a 1=18,a 2=68,∴d =50，所以a n =50n −32≤5000，解得n ≤1001625，所以n =100是最大的的编号，即4968，应选C.【备注】无 4.B【解析】本题考查程序框图.A 中第一个输出的是0，所以A 错误，同理C 第一个输出的是0，D 第一个输出的是14，所以应该选B. 【备注】无 5.B【解析】本题考查零点存在性定理.f (0)=1>0，f (13)=1313−√13=√133−√13>0，f (12)=1312−√12=√13−√12<0，f (1)=13−1<0，f (2)=19−1<0，由零点存在性定理可知，零点应该在(13,12)内，应选B. 【备注】无 6.C【解析】本题考查复数的运算以及定积分.a+i1−i =(a+i )(1+i )(1−i )(1+i )=a−1+(a+1)i2，它为纯虚数，所以a =1，b =∫01x d x =x 22|01=12, c =∫01√1−x 2d x ，表示单位圆的四分之一的面积为π4，所以b <c <a ，应选C.【备注】无 7.C【解析】本题考查命题的否定，真假，以及集合的关系.①中，全称命题的否定，变任意为存在，否定结论，所以“∀x ∈R ，均有x 2−3x −2≥0”的否定是：“∃x ∈R ，使得x 2−3x −2<0”，错误；②中，三个式子都是非负数，所以要想让它们的和为0，保证每一项为0，所以解集就一个为{(−1,1,12)}，错误；③p q 为真，即至少有一个为真，不能得到p q 为真，反之成立，所以是必要不充分条件，正确；④中，这样的集合C 有23−1=7个，正确，所以错误的有2个，应选C. 【备注】无 8.D【解析】本题考查三角恒等变换. tan x 2=sin x2cosx 2=sin x2∙cos x2cos x 2∙cosx 2=sin x 21+cos x2=sin x1+cos x=m−3m+51+4−2m m+5=m−39−m，又因为sin 2x +cos 2x =1，所以(m−3m+5)2+(4−2m m+5)2=1， 解得m =0或8，因为π2<x <π，所以sinx >0，cosx <0， 所以m =8，所以tan x 2=5，应选D. 【备注】无 9.A【解析】本题考查条件概率.P (B |A )=P (AB )P (A )， x +y 为偶数有(1,1)，(3,3)，(5,5),(2,2)，(4,4)，(6,6)，(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，(2,6)，(4,6)，共有18种，x,y 中有偶数且x ≠y 有6种，所以P (AB )=636=16，P (A )=1836=12，所以P (B |A )=13，应选A. 【备注】无 10.A【解析】本题考查基本不等式，对数不等式的解法.因为n ∈N ∗，所以当n =2或3时，n +6n 能取到最小值5 ，所以log a+3x −log a+1x +5≤5，即log a+3x ≤log a+1x ，又因为a +3>a +1>1，所以当x >1时，满足题意，应选A. 【备注】无 11.C【解析】本题考查导函数的几何意义.∵φ(x )=x (x −m )2,∴φ′(x )=(x −m )2+2x (x −m )=(x −m )(3x −m )=，因为φ(x)在x =1处取得极小值，所以m =1，F(x)=f(x)+2g(x)，所以F ′(x )=f ’(x )g (x )−g′(x)(f(x)+2)g 2(x)，∴F ′(5)=3m×4−4m16=2，F (5)=44=1，所以切线方程为y −1=2(x −5)应选C. 【备注】无 12.B【解析】本题考查函数的性质.设g (x )=(x+1)+x +1=(x +1)+2x +1=+2x +1，因为函数y =x 是增函数，所以g (x )为减函数，所以当x =−t 时取得最大值，当x =t 时取得最小值，y =sinx 是奇函数，所以它在区间[−t,t]上的最大值和最小值互为相反数，所以和为0，所以M +N =g (−t )+g (t )=+2−t +1++2t +1=4030+2×tt +1+2t +1=4032，应选B.【备注】无 13.√104【解析】本题考查三角函数的定义. cosα=x r=√x 2+5=√2x4，解得x 2=3，又因为α是第二象限角，所以x =−√3，所以sinα=y r=√5√3+5=√104. 【备注】无 14.-1【解析】本题考查线性规划和二项式定理.(x 2−1x 3)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (x 2)5−r (−1x 3)r =C 5r (−1)r x 10−5r ，令10−5r =0 ，则r =2 ，所以常数项为C 52(−1)2=10，所以最小值为14，画出可行域，目标函数z =y−1x−1表示点(x,y )与点(1,1)连线的斜率，在点A 时最小，令y =0，则x =3a ，所以A 点坐标为(3a,0)，斜率为0−13a−1=14，解得a =−1.【备注】无15.18√3【解析】本题考查球与三棱柱内切的问题.球内切于三棱柱，所以直径为三棱柱的高，球的半径为底面三角形的外接圆半径，因为4π3=43×π×r 3，解得r =1，所以底面三角形外接圆半径为1=13ℎ，所以底面三角形的高为，底面边长为2√3，所以底面面积为12×2√3×3=3√3，所以表面积为4√3×3+3√3×2=18√3. 【备注】无 16.2√33【解析】本题考查双曲线的简单几何性质以及平面向量基本定理.由题意可知A (c,bca )，B (c,−bca )，代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(c,bc a )+μ(c,−bc a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bc a )，可得P ((λ+μ)c,(λ−μ)bc a )，代入双曲线方程得((λ+μ)c)2a 2−((λ−μ)bc a)2b 2=1，所以4e 2λμ=1，又因为λμ=316，所以e 2=43，所以离心率为2√33. 【备注】无17.(1)点A n (n,a n+1a n)在直线y =kx +1上，当n =1或n =2时,有{a 3a 2=2k +1a2a 1=k +1⇒a 3a 2−a2a 1=k ,当n =2时,有a3a 2−a2a 1=1，∴k =1，a2a 1=k +1=2.又∵a n+1a n−1=a nan−1⇒an+1a n−a nan−1=1 ⇒a nan−1=n ，因为a n =a n a n−1⋅a n−1a n⋅⋅⋅a 2a 1⋅a 1=n!，即a n =n!.(2)b n =2an(n−1)!⋅3n =2n ⋅3n ,利用乘公比错位相减法求得s n =(n −12)⋅3n+1+32.【解析】本题考查累加求通项以及错位相减法求和.第一问通过给n 取特殊值得到k =1，又有a n+1a n−1=a nan−1，得到a n+1a n−a nan−1=1 ，用累加法可得到a nan−1=n ，再用累乘法得到a n =n!；第二问将第一问的结果代入后可一个差比数列，求和用错位相减法. 【备注】无18.(1)因为x̅=11,y ̅=15, 所以b =832−5×11×15615−5×112=0.7,于是a =15−0.7×11=7.3,故线性回归方程为y ̂=0.7x +7.3,当x =14时,y =0.7×14+7.3=17.1≈17，即3月26日浸泡的30颗水稻种子的发芽数17颗. (2) 因为X =0,1,2P (x =0)=C 32C 52=310P (x =1)=C 31⋅C 21C 52=610 P(x =2)=C 22C 52=110所以EX =45 DX =EX 2−(EX)2=925【解析】本题考查线性回归方程以及分布列和期望.第一问通过已知所给数据结合参考数据求出b ，a ，从而得到回归方程，再将x =14代入回归方程求出发芽数；第二问从表格中得到数据发芽数超过15颗的天数为3，从5天中选2天，发芽数超过15颗的天的概率分别求出来，列出分布列，然后求期望.【备注】无19.(1)由三视图可知P-ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO .PD=PB,OB=OD ⇒PO ⊥BD ，因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，即BD ⊥PC.(2)由三视图可知，BC ＝2，PA ＝2 √2，假设存在这样的点Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，所以∠DOQ 为二面角Q-AC-D 的平面角，在△POD 中，PD ＝2 √2，OD ＝√2，则∠PDO ＝60o ，在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o.所以DP ⊥OQ.所以OD ＝√2，QD ＝√22. 所以DQ DP =14.【解析】本题考查三视图，线线垂直的证明，以及空间角.第一问由三视图画出直观图，先得到BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，从而得到结论；第二问因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，又二面角的定义可知，∠DOQ 为二面角Q-AC-D 的平面角，在△DQO 中可求的DP ⊥OQ ，再利用相似可得比例关系.【备注】无20.(Ⅰ)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)，半焦距为c .依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得a −c =1,解得c =1，a =2.所以b 2=a 2−c 2=3.所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1. (Ⅱ)解：存在直线l ，使得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成立.理由如下： 由{y =kx +m,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0. Δ=(8km)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，化简得3+4k 2>m 2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2.若|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成立， 即|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 所以x 1x 2+y 1y 2=0. x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2−km ⋅8km 3+4k 2+m 2=0,化简得7m 2=12+12k 2.将k 2=712m 2−1代入3+4k 2>m 2中，得3+4(712m 2−1)>m 2，解得m 2>34. 又由7m 2=12+12k 2≥12，m 2≥127， 从而m 2≥127，m ≥27√21或m ≤−27√21. 所以实数m 的取值范围是(−∞,−27√21]∪[27√21,+∞).【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与圆锥曲线的关系.第一问由离心率和右焦点到右顶点的距离为，得到关于a ，c 的两个方程，求得a ，c ，再通过b 2=a 2−c 2求得 b ，可得到方程；第二问将直线和椭圆方程联立，得到两根之和与积，将条件|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |变形可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，转化为两根之和与两根之积，代入可得7m 2=12+12k 2，再代入Δ>0中，可得到m 的取值范围.【备注】无21.(1)∵g(x)=f ′(x)=3x 2−18xcosα+48cosβ,∵1+e −|t|∈(1,2],3+sint ∈[2,4],由题意知g(x)≥0在x ∈(1,2]恒成立, g(x)≤0在x ∈[2,4]恒成立,故g(2)=0且g(4)≤0.即有{g(2)=12−36cosα+48cosβ=0g(4)=48−72cosα+48cosβ≤0⇒36−36cosα≤0⇒cosα≥1⇒cosα=1, 由cosα=1 ⇒cosβ=12,∴cosα+2cosβ=2.(2)由(1)知φ(x)=13x 3−x 2+x ⇒φ′(x)=x 2−2x +1=(x −1)2ℎ(x)=lnφ′(x)=ln(x −1)2=2ln|x −1|,ℎ(x +1−m )=2ln |x −m |,ℎ(2x +2)=2ln |2x +1|,∵x ∈[0,1]⇒|2x +1|=2x +1,∴ln|2x +1|=ln(2x +1)ℎ(x +1−m)<ℎ(2x +2) ⇔0<|x −m|<2x +1∴{−2x −1<x −m <2x +1x ≠m ⇔{−x −1<m <3x +1x ≠m 当x ∈[0,1]时， −x −1∈[−2,−1],3x +1∈[1,4] ⇒−1<m <1,∵x ≠m,∴m ∉[0,1],综上, 所以−1<m <0.【解析】本题考查导函数的综合应用，第一问求导后，通过g(1+e −|t|)≥0,g(3+sint)≤0，可得g(x)≥0在x ∈(1,2]恒成立.g(x)≤0在x ∈[2,4]恒成立.故 g(2)=0且g(4)≤0求得cosα=1 ,cosβ=12，第二问先将ℎ(x)表示出来，再由已知条件化简得0<|x −m|<2x +1，再用恒成立求解m 的取值范围.【备注】无22.(1)证明：连接OC ，∵∠AOB=120°，C 是AB 弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形，∴OA=AC ，同理OB=BC ，∴OA=AC=BC=OB ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC ；(2)解：连接OC ，∵C 为弧AB 中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC ，∴OAC 是等边三角形, ∵OA=AC ，∴AP=AC ，∴∠APC=30°，∴△OPC 是直角三角形，PC =√3OC =√3.【解析】本题考查平面几何的知识，圆的知识.第一问通过∠AOC=∠BOC=60°得到等边三角形，在得到OA=AC=BC=OB ，最后得到菱形，证明AB 平分∠OAC ；第二问通过三角形OAC 为等边三角形，得到∠APC=30°，从而得到直角三角形OPC ，求得PC .【备注】无23.(1)画图易求得∠AOB= 2π3.(2) 曲线C: ρ=2cosθ化为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换{x ′=2x y ′=y得到曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 2=1， 设M(2cosα,sinα),所以x 2−√3xy +2y 2= 3+2cos(2α+π3),α=kπ+π3时，x2−√3xy+2y2的最小值为1,此时点M的坐标为(1,√32)或(−1,−√32).【解析】本题考查极坐标方程，以及函数的伸缩变换，参数方程求最值.第一问直接画出图像来可得到角的大小；第二问先由已知将函数变换，化成普通方程，写出圆的参数方程，将要求的x2−√3xy+ 2y2化成三角求最值.【备注】无24.(1) ∵|x−4|+|x−a|≥|(x−4)−(x−a)|=|a−4|,∴|a−4|=3⇒a=1或a=7.(2)当a=1时, g(x)=2x−1f(x)+2m的定义域为R，f(x)+2m≠0在R上恒成立,即f(x)+2m=0在R上无解，因为f(x)=|x−4|+|x−1|≥3,所以2m>−3,即m>−32.【解析】本题考查绝对值不等式最值的求法.第一问通过绝对值三角不等式，得到最小值为|a−4|，再由已知条件最小值为，可求a；第二问先得到恒成立问题，还是转化为求最值的问题.【备注】无。