1.3.1单调性与最大最小值练习题及答案解析

♦ •同步测控• ♦
1. 函数 f(x)= 2x 2- mx + 3,当 x € [ — 2,+^ )时，f(x)为增函数，当 x € ( — ^，― 2]时， 函数f(x)为减函数，贝U m 等于( )
A . — 4
B .— 8
C . 8
D .无法确定
解析：选B •二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.
由题意得函数的对称轴为 x =— 2, 则m =— 2,所以 m = — 8.
2.
函数f(x)在R 上是增函数，若 a + b w 0,则有(
) A . f(a) + f(b)<— f(a)— f(b)
B. f(a)+ f(b)>— f(a)— f(b)
C. f(a) + f(b) w f( — a) + f( — b)
D. f(a) + f(b)>f(— a)+ f( — b)
解析：选C.应用增函数的性质判断.
a +
b w 0,.°. a w — b , b w — a.
又•••函数f(x)在 R 上是增函数，
••• f(a)w f(— b), f(b)w f(— a).
f(a) + f(b) w f(— a) + f (— b).
m , 0)上为减函数的是(
) A .①
B .④
C .①④
D .①②④ 解
析： 选A.①丫=亠=红灶=1 +丄. x — 1 x — 1 x — 1
其减区间为(一a, 1), (1 , + m ).
11 1
② y = x 2 + x = (x + 2)— 4,减区间为(一a,— 2).
③ y =— (x + 1)2，其减区间为(一1 ,+a ),
④ 与①相比，可知为增函数.
4.若函数f(x) = 4x 2— kx — 8在［5,8］上是单调函数，则 k 的取值范围是 ________ .
解析：对称轴x = k ，则k w 5,或8，得k w 40,或k >64,即对称轴不能处于区间内. 8 8 8
答案：( — a, 40］ U ［64 ,+a )
♦少谍时训缘*・
1 .函数y =— x 2的单调减区间是(
) A . ［0,+a ) B . (— a, 0］
C . ( —a, 0)
D . (— a,+a )
解析：选A.根据y = — x 2的图象可得.
2.若函数f(x)定义在［—1,3］上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间［—1,3］上的单调性 是
()
A .单调递增
B .单调递减
C .先减后增
D .无法判断 解析：选D.函数单调性强调 ％ ,
［ — 1,3］，且％ , X 2具有任意性，虽然f(0)<f(1)，但
不能保证其他值也能满足这样的不等关系.
3.
已知函数y = f(x), x € A ，若对任意a , b € A ，当a<b 时，都有f(a)<f(b),则方程f(x) =0的根( )
A .有且只有一个
B .可能有两个 3.下列四个函数：① y = x :② y = x 2 + x ；
x — 1 ③ y =— (x + 1)2:④ y =^ + 2•其中在(一 1 — x
C.至多有一个
D.有两个以上
解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数.若y= f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)= 0至多有一个根.
4. 设函数f(x)在(-m,+m )上为减函数，则()
A . f(a)> f(2a) B. f(a2)v f(a) C. f(a2+ a)v f(a) D . f(a2+ 1)v f(a) 解析：选D. •/ a2+ 1 —a= (a-》2
+ 3> 0,
•・• a? + 1 > a,
••• f(a2+ 1) v f(a),故选D.
5. 下列四个函数在(一a, 0)上为增函数的是()
①y=凶；②y=凶;③y=—右;④y= x+右.
X |X| |x|
A .①②
B .②③
C.③④ D .①④
解析：选C.①y=|x| =—x(x v 0)在(-a, 0)上为减函数；
②y=凶=—1(x v 0)在(-a, 0) 上既不是增函数，也不是减函数；
x
2
x
③y=—门=x(x v 0)在(—a, 0)上是增函数；
凶
④y= x+ x= x—1(x v 0)在(—a, 0)上也是增函数，故选C.
|x|
6. 下列说法中正确的有()
①若X1, X2€ I，当X1< X2 时，f(X1) v f(X2)，则y= f(x)在I 上是增函数；
②函数y= x2在R上是增函数；
③函数y=—1在定义域上是增函数；
X
1
④y=—的单调递减区间是(一a, 0) u (0,+a ).
X
A . 0个B. 1个
C. 2个
D. 3个
解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值X1, X2,强调的是任意，从而①不对；②y = X2在x> 0时是增函数，X W 0时是减函数，从而y = x2在整个定义域上不
1
具有单调性；③y=—丄在整个定义域内不是单调递增函数.如—3v 5,而f(—3) >f(5):④y
X
=1的单调递减区间不是(一a, 0)U (0 , + a )，而是(—a, 0)和(0 , + a )，注意写法.
X
7. ___________________________________________________________ 若函数y=——在(0,+a )上是减函数，则b的取值范围是_____________________________________ .
X
解析：设0v x1v x2,由题意知
b b bx1 —X2\ 一
f(X1) —f(X2) =—_+_= > 0,
X1 X2 X1 X2
■/ 0v x1v x2,二x1—x2v 0, x1X2> 0.
• b v 0.
答案：(—a, 0)
&已知函数f(x)是区间(0，+a )上的减函数，那么f(a2—a+ 1)与1)的大小关系为
解析：•••a2-汀1=(-y+4>4,• f(a2—a+ 1) w f©.
ax —k 1
12.设函数y = f(x)= —在区间(一2,+^ )上单调递增，求 a 的取值范围. x + 2
解：设任意的 X 1 , X 2 € (— 2,+ 8 )，且 X 1 v X 2,
“ ax 1 + 1 ax 2+ 1 ■ f(X1) — f(X2) = X 1+ 2 -
X 2+ 2
(ax 1 + 1 弹2+ 2 — (ax ?+ 1 列+ 2 ) (X 1 + 2 ]X 2+ 2 ) =(X 1 — x 2 (2a — 1 . (X 1+ 2 1(X 2+ 2 y
■ f(x)在(—2,+ )上单调递增，
•- f(X 1) — f(X 2) v 0.
答案：f(a 2— a + 1)w
9. y =— (x — 3)|x|的递增区间是
解析：
y =— (x — 3)|x|= —x 2 + 3x
x 2— 3x
为[0，|]. ，作出其图象如图，观察图象知递增区 x W 0
3 2]
10 .若 f(x) = (1) 求b 与c 的值；
⑵试证明函数f(x)在区间(2,+^ )上是增函数.
解：(1) •/ f(1)= 0, f(3) = 0,
1 + b + c = 0
•-
，解得 b = — 4, c = 3.
9+ 3b +c = 0 2
(2) 证明：■/ f(x)= x — 4x + 3,
•••设 x 1, X 2€ (2,+^)且 x 1v x 2,
2 2
f(X 1)— f(X 2)=(X 1 — 4X 1 + 3) —(X 2 — 4X 2 + 3)
2 2
=(x 1 — X 2)— 4(X 1 — X 2)
=(X 1 — X 2)(X 1 + X 2 — 4),
■/ x 1 — x 2v 0, x 1> 2, x 2> 2,
• • X 1 + X 2 — 4> 0.
二 f(x 1)— f(X 2) v 0,即 f(X 1)V f(X 2). •函数f(x)在区间(2 ,+8)上为增函数.
11.已知f(x)是定义在[—1,1]上的增函数，且f(x — 1) v f(1 — 3x)，求x 的取值范围.
—w —W 答案：［0, x 2 + bx + c ,且 f(1) = 0, f(3) = 0.
解：由题意可得 —1 < 1 — 3x w 1,
x — 1 v 1 — 3x
0< x < 2
2 即 0w x w 3，
••• 0 w xv - 2
... XLX2 2a—J V 0, x i+ 2 X2 + 2
X i —X2 V 0, X i+ 2> 0, X2+ 2 > 0, 2a —1 > 0,. a> 二
' 2'。