IEEE浮点数表示法

IEEE浮点数表示法-------------------------------------------------float 共计32位(4字节)由最高到最低位分别是第31、30、29、 031位是符号位，1表示该数为负，0反之30~23位，一共8位是指数位(-128~127)22~ 0位，一共23位是尾数位每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA31 30 23 22 0|------------------------|| ||------------------------|注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。

如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。

纯整数的表示方法-------------------------------------------------现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。

在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示:1 11100010 01000000也可以这样表示:1 11100010 01000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位:1.11100010 01000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样1 11100010 01000000 =1.11100010 01000000 * (2^16)现在我们要的尾数和指数都出来了。

显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。

这样尾数的二进制就变成了: 1110001001000000 最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010 01000000 0000000 (MD，这些个0差点没把我数的背过气去)再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 ~ 255的无符号整数，也可以表示-128~127的有符号整数。

但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127。

在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为: 10001111123456.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:01000111111100010 01000000 0000000再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了: 00 20 F1 47输出4个字节的浮点数内存数据-------------------------------------------------#include <stdio.h>int main(){float f = 123456.0;unsigned char * c = (char *)&f;int i = 0;for (i = 3; i >= 0; i--)printf("%p\n", c[i]);}0x470xf10x20(nil)整数和小数混合的表示方法-------------------------------------------------有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。

按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。

对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。

整数部直接化二进制: 1111011。

小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000 ...，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3...，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、 ...、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了!没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625...。

乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。

现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.456这个十进制纯小数，该如何表示呢?现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。

我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：1/2^1位(为了方便，下面仅用2的指数来表示位)，0.456小于位阶值0.5故为0；1/2^2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.456减去0.25得0.206进下一位；1/2^3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；1/2^4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；1/2^5位0.0185小于0.03125，为0...。

问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。

不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。

我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。

0.456 0.5 (1/2^1) 0.456<0.5 0 0.456-0.5*0=0.4560.456 0.25(1/2^2) 0.456>0.25 1 0.456-0.25*1=0.2060.206 0.125 0.206>0.125 1 0.206-0.125*1=0.0810.081 0.0625 0.081>0.0625 1 0.081-0.0625*1=0.01650.0165 0.03125 0.0165<0.031250 0.0165-0.03125*0=0.01650.0165 0.015625 0.0165>0.015625 1 0.0165-0.015625*1= 0.000875OK，我们继续。

嗯，刚说哪了?哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了(最高位的1不存入内存)：1111011. 011101001 01111001。

某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗?当然要加一位喽!”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3...”好了，一共移了6位，6加上127得133(怎么跟教小学生似的?呵呵)，二进制表示为：10000101，符号位为...再...不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧：0 10000101 1110110111010010111100142 F6 E9 7979 E9 F6 42将小数部分换算成二进制-------------------------------------------------#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){float f;f = 0.456;int i, j;unsigned char c[23];for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) { if (f > pow(2, i)) {c[j] = 1;printf("c[%d] = %d\n", j, c[j]);f = f - pow(2, i);}else {c[j] = 0;printf("c[%d] = %d\n", j, c[j]);}}}纯小数的表示方法-------------------------------------------------下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。

对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx*(2^n)的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式:n = int(-1+log(2)X);0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592*(2^-5)。

转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理:1. 01110101100011100010001去掉第一个101110101100011100010001-5 + 127 = 1220 01111010 01110101100011100010001最后：11 C7 3A 3D另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。

将十进制的纯小数用二进制表示-------------------------------------------------#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){float f;int i, j;f = 0.0456;i = (int)(-1 + log(f)/log(2));f = f / pow(2, i);f = f - 1;unsigned char c[23];for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) { if (f > pow(2, i)) {c[j] = 1;printf("%d", c[j]);f = f - pow(2, i);}else {c[j] = 0;printf("%d", c[j]);}}printf("\n");}01110101100011100010000为什么最后一位不一致！是不是需要计算24位(011101011000111000100001)，然后将最后一位进位！。