线性代数第四章自测题
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案
第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。
若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。
【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。
线性代数第四章练习题答案
线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。
解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。
0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。
⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。
1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。
（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。
线代第4章习题答案
第4章1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）否.2. 证：（1）假设零向量不唯一，即存在两个零向量120,0，但1200≠，则由10αα+=和20αα+=推出1200=，这与假设矛盾. （2）类似（1）中证明. （3）0()0k k k k αααα=-=-=， (1)(01)01ααααα-=-=-=-， 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.（1）是；（2）是；（3）否；（4）否. 4. 证：设11223344k A k A k A k A O +++=，则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，则()4r A =， 故12340k k k k ====，即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11223344k A k A k A k A A +++=， 则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为：()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出，且表达式唯一，则22dim()4R ⨯=，且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解：令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===，即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈，a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若112233k A k A k A A ++=，可解得唯一一组解为： 123,,k a k b k c ===，即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()3V =，且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解：2()65f x x x =-+，故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解：（1）根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标，可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （2）新的基为：21,1,2x x x -+-+. 8. 解：（1）显然对加法和数乘封闭.（2）令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…，001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ，显然可推出120n k k k ==== ，即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若 1122n n k A k A k A A ++= ，可解得唯一一组解为：121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()W n =，且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解：11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =，故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3，一组基为123,,ααα（或124,,ααα）.11．解：过渡矩阵为：205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，若有一非零向量[],,T w x y z =，满足w Cw =，则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为： [5,,]w c c c =-，c 为任一非零常数.12. 证：已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （1）()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=；（2）()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+； （3）()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=；（4）()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥，若(),0αα=，当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==，即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质，故是2R 的内积.13. 解：（1）1||α=2||α=，3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-，故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （2）设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=，则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵：123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-，其中34,b b 为自由变量，或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解：()111,0,1,1Tβα==，)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解：()110,0,1Tβα==，()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=，()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=，()31,0,0Tγ=. 16. 证：（1）()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.（2）A 正交，则||1A =±，*1*||A A A A -==±，则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解：已知1T X X =，则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=， 即Q 为正交矩阵.若T X =，则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解：73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证：因为T Q Q E =，故对任意n X R ∈，有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====，则一定有 ||||QX X =.20.（1）否；（2）是；（3）是；（4）否. 21. 解：（1）A 112(1,1,0)T εεε==+，A 212(1,1,0)T εεε=-=-， A 33(0,0,1)T εε==，所求矩阵为：110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==，A()212002T,,ηη==，A ()31232012T,,ηηηη==-+，故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（2）已知1232αεεε=-+，则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解：010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证：必要性：因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基，则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换，则（A ()i ε，A ()j ε）ij δ=， 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε，A ()j ε，…，A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解：211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=，[]22,3,0,1Tα=-，通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=，]24,3,3,2Tγ=--.。
线性代数__第四单元测试
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性专业 班 姓名 学号一 判断题１．若m ααα,,,21 线性相关，则对于任一组不全为零的数m k k k ,,,21 总有 011=+m m k k αα ( × ) ２．.若m ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合。
( × ) ３．含有非零向量的组向量的最大无关组是唯一； ( × ) ４．.向量组与其自身的任一最大无关组等价。
( √ ) ５．有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ × ） ６．有无穷多个解的非齐次线性方程组的通解的形式不唯一； （√ ） ７集合},,,032),,{(321321321R x x x x x x x x x V ∈=++=是一个向量空间； （√） 8、有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ × ）二．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .解：由相关的充要条件：向量组相关R s(⇔<稚向量的个数)2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 解： 由γβα,,线性无关⇒αβ，无关（整体无关，部分无关），而δβα,,线性相关⇒δαβ可由，线性表示，且表示唯一（表示唯一性定理）⇒δαβγ可由，，线性表示（只需γ前得系数取0）3．.设向量组{}m A ααα,,,21 =，则下列说法不正确的是（C ）A 、若m ααα,,,21 中有一个是零向量，则向量组A 线性相关，B 、若m ααα,,,21 线性无关，则其中任意向量不能由其余向量线性表示C 、若1α可由m αα,,2 线性表示，则表示式必不唯一D 、零向量必可由m ααα,,,21 线性表示。
线代一至四章自测题兼答案
《线性代数》单元自测题第一章 行列式专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有正号的项，则i = ，j = . 2． 在四阶行列式中同时含有元素13a 和31a 的项为__ ___. 3． 各行元素之和为零的n 阶行列式的值等于 .4．已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+++133312321131131211232221333a a a a a a a a a a a a . 5．设)4,3,2,1(2=i A i 是行列式6932987342322212a w a za y a x中元素2i a 的代数余子式，则=+++423222126397A A A A __ ___. 二、 选择题：1．已知,42124011123313)(x x x x x x f --=则)(x f 中4x 的系数为( )（A ）1- ； （B ）1 ； （C ）2- ； （D ）2 ．2．222111c b a c b a=( ) （A ）b c a b c a 222++； （B ）))()((b c a c a b ---； （C ）)(222a c c b b a ++-； （D ）)1)(1)(1(---c b a ．3．已知0014321≠=-k c b a ， 则063152421-+-+c b a =( )（A ） 0 ； （B ）k ； （C ）k - ； （D ）k 2．4．已知01211421=--λλ，则λ=( ) （A ）3-=λ； （B ）2-=λ； （C ）3-=λ或2； （D ）3-=λ或2-． 三、 计算题：1．计算63123112115234231----=D ．2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值．3．计算4443332225432543254325432=D ．4．计算abb a b a b a D n 000000000000 =．5．计算2111121111211112----=λλλλ n D ．6．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值．《线性代数》单元自测题第二章 矩阵专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221，则)(A R = ．2．设A 是3阶可逆方阵，且m A =，则1--mA = ．3．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A ．4．设A 为3阶方阵，且3=A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=-13A ；=*A ；=--1*73A A ．5． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4000003000002000001100041A ,由分块矩阵的方法得=-1A ． 二、选择题：1． 设A 、B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ） 0=AB 0=⇒A 或0=B ； （B ） TT T A B AB =)(；（C ） B A B A +=+； （D ） 22))((B A B A B A -=-+． 2．设A 为54⨯矩阵，则A 的秩最大为( )（A ）2 ； （B ）3 ； （C ）4 ； （D ）5．3．设C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）（A ）E CBA =； （B ）E BCA =； （C ）E BAC =； （D ）E ACB =．4．当=A （ ）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010301； （C ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300； （D ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130010001． 5．设B A ,均为n 阶方阵，且O E B A =-)(,则（ ） （A ）O A =或E B =； （B ） BA A =；（C ）0=A 或1=B ； （D ） 两矩阵A 与E B -均不可逆．三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221011332A ，求1-A ．2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=032211123A ，且X A AX 2+=，求X ．3．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩为3，求a 的值．4．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001-=Λ， （1）求nA ；（2）设()322+-=x x x f ，求()A f ．四、证明题：1、 设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E A +可逆，并求其逆．2．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．《线性代数》单元自测题第三章 向量组的线性相关性专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6402α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101β，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= ． 2．已知向量组T)1,1,2,1(1-=α，T T t )0,,0,2(,)2,5,4,0(32==αα的秩为2，则=t ． 3．若T)1,1,1(1=α，T)2,3,1(2=α，T b a ),0,(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式 ． 二、单选题：1．下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）T )4321(，T )5201(-，T )8642(；（B ）T )001(-，T )012(，T )423(-；（C ）T)111(-，T )202(-，T )313(-；（D ）T )001(，T )010(，T )100(，T )101(．2．下列向量组中，线性相关的是（ ） （A ）T b a)1(，T c b a )222(+；)0(≠c （B ）T )0001(；（C ）T )0001(，T )1000(，T )0010(； （D ）T )001(，T )010(，T )000(．3、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 01,121,011γβα线性无关，则（ ）（A ）1-=t ； （B ）1-≠t ； （C ）1=t ； （D ）1≠t ．4. 设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ ） （A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；（C ）若m ααα,,21 ，线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若有一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关.5、设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ ）（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成比例；(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题：1．判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36122α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=09244α的线性相关性．2．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21012α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63033α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21114α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40125α的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示出来．3、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0611,231,2211321αααx x ，若此向量组的秩为2，求x 的值。
线性代数练习册第四章习题及答案
篇一：线代第四章习题(xítí)解答第四章空间(kōngjiān)与向量运算习题(xítí)4.14-1-1、空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C2,2,1? 〔1〕求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们(tā men)的图形；〔2〕求点A与B 之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用(lìyòng)坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B〔0，4，3〕点在yoz面上C〔3，0，0〕在x轴上 D〔0，－1，0〕在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3〔a－b＋2c〕－2〔－3b－c〕＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假如平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由AO＝OC，DO＝OB 因为AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为〔x,y,z〕prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向(fāngxiàng)余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：〔1〕a2,?1,1? ；〔2〕b4,?2,2? ；〔3〕c6,?3,3? ；〔4〕d?2,1,?1? ．解：〔1〕a＝〔2，－1，1〕a?22?(?1)?122cos22a36cos?1?26cos a6a6〔2〕b=(4,-2,2) b?42?(?2)?2 cos2226? b3cos26?2?b666? cos b0?,?, b6b6b366〔3〕c=(6,-3,3) c?b2?(?4)?3 cos22236?3cos?33?? 6cos23362?6 62〔4〕d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos?263cos16?d6cos?d0{?,,?66d366与前三向量(xiàngliàng)单位同的d{?6,,?。
第4章线性方程组自测题(答案)2
《线性代数》单元自测题答案第四章 线性方程组一、填空题：1、1-=a ；2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321011k ；3、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32012011k （k 为常数）. 二、选择题：1、C ；2、B ；3、C 。
三、计算题：1、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+++054202320322432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并用基础解系表示它的全部解。
解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00005100130212510051003221215422321322123211312r r r r r r r r同解方程组为⎩⎨⎧=-=++05013243421x x x x x ，即⎩⎨⎧=--=434215132x x x x x 。
取⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,0142x x ，则方程组的基础解系为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00121α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=150132α， 所以，方程组的全部解是2211ααk k +（21,k k 是任意常数）。
2、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=-+-=+--04112210234432134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。
解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=225006615002250011311240411221023443121111311),(141312 r r r r r r b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-00000000005252100113115100000000002250011311322423 r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+0000000000525210051151011321r r原方程组的同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=-=--52525115143421x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=++=43421525251511x x x x x 。
线代第四章测试题
线性代数第四章综合自测题一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。
本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知21,u u 是非齐次线性方程组B AX =的两个不同的解，21,v v 是其对应导出组0=AX 的基础解系，21,c c 为任意常数，则非齐次线性方程组B AX =的通解是（ B ）A 、2)(2121211u u v v c v c -+++B 、2)(2121211u u v v c v c ++-+ C 、2)(2121211u u u u c v c -+++ D 、2)(2121211u u u u c v c ++-+ 2.设方程组的系数行列式为零，则（D ）A 、方程组有无穷多解；B 、方程组无解；C 、方程组有唯一解；D 、方程组可能无解，也可能有无穷多解。
3. A 为n m ⨯阶矩阵，则关于齐次方程组的结论是（ C ）A 、n m ≥ 时，方程组仅有零解；B 、n m <时，方程组有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关的解向量；C 、若A 有n 阶子式不为零，方程组仅有零解；D 、若A 所有n -1阶子式不为零，方程组仅有零解4. 321,,v v v 为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，则（ D ）也是该方程组的基础解系。
A 、321323123,3,v v v v v v v +----；B 、3221321,,2v v v v v v v ++++；C 、与321,,v v v 等价的同维向量组4321,,,αααα；D 、与321,,v v v 等价的同维向量组321,,ααα。
5. 要使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2011ξ ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1102ξ 都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为（A ）)(A []112- )(B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 )(C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 )(D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 6. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000313221x x x x x x ，____ C ____是它的一个基础解系。
线性代数(第四章)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第四章 二次型习题4．1 二次型及其标准形（P.108-P.109）1．用矩阵记号表示下列二次型： （1）2222426;f x xy y xz z yz =+++++（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+- 解：（1）2222426f x xy y xz z yz =+++++()111,,143131x x y z y x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x Ax（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-()1212343411211132,,,23101201x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭x Ax 2．用配方法或矩阵变换法化下列二次型为标准形，并求所用的变换矩阵：（1）222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--； 解：222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--22212323232()34x x x x x x x =+-++-2221232332()(2)x x x x x x =+-+--令：11231123223223333311122012001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =+-=----⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=-⇒=+=⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭10C =≠得2221232f y y y =+-（2）222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++； 解： 222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++2221232323()96x x x x x x x =+++++ 2212323()(3)x x x x x =++++令112311232232233333211233013001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =++=-+-⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⇒=-=-⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭， 10C =≠得 2212f y y =+ （3）122334f x x x x x x =++解：令11211212223343343444110110000110011x y y x y x y y x y x y y x y x y y x y =+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩121212343434()()()()()()f y y y y y y y y y y y y =+-+-+++-2222123413142324y y y y y y y y y y y y =-+-++--222213423423243411351()22442y y y y y y y y y y y y =++-+----2222134234341111()()2222y y y y y y y y =++-+++-令1134113422342234333344441111222211112222z y y y y z z z z y y y y z z z z y y z z y y z ⎧⎧=++=--⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++=--⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩,即1122334411102211012200100001y z y z y z y z ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 得 22221234f z z z z =-+-变换矩阵：1110110011112211001111000122001100110010001100110001C ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭40C =≠（4）222123121323255448f x x x x x x x x x =+++-- 解： 222123123232()334f x x x x x x x =+-++-222123233252()3()33x x x x x x =+-+-+令1123112322322333331322,33x y y y y x x x y x x x y y C y x x y ⎧=-+⎪=+-⎧⎪⎪⎪⎪=-⇒=+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩x y 即，其中11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 10C =≠ 得2221235233f y y y =++3．若矩阵1A 合同于12,B A 合同于2B ，试证：12⎛⎫⎪⎝⎭A 00A 合同于12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 00B 。
《线性代数(经管类)》第四章考题
《线性代数（经管类）》第四章线性方程组✧考情提要✧逐题击破一、选择题1.设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为mn矩阵，且r（A）=r1，r（A，b）=r2，则下列结论中正确的是（）A.若r1=m，则Ax=0有非零解B.若r1=n，则Ax=0仅有零解C.若r2=m，则Ax=b有无穷多解D.若r2=n，则Ax=b有唯一解2.设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若1α，2α为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解。
k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）A.k1α B.k2αC.12k2α+αD.12k2α-α3.设A为m×n矩阵，A的秩为r，则（）A.r=m时，Ax=0必有非零解B.r=n时，Ax=0必有非零解C.r<m时，Ax=0必有非零解D.r<n时，Ax=0必有非零解4.设A=111221223132a aa aa a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，b=123bbb⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax=b有解，则增广矩阵A的行列式A=____。
5.齐次线性方程组x1+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为____。
6.4元齐次线性方程组2341231242030x x xx x xx x x--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的基础解析所含解向量的个数（）A.1B.2C.3D.47.设1α、2α是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ ） A.1α+2α B.1α-2αC.β+1α+2αD.121233+-ααβ 8.齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.设1α，2α是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（ ）A.1α-2αB.1α+2αC.121α+2αD.121α+122α10.齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必（ ） A.无解 B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定 12.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为（ ）A.1B.2C.3D.413.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为（ ） A.1212cηηη-+ B. 1212c ηηη-+C.1212c ηηη++D.1212c ηηη++二、填空题14.设3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵（A ，b ）经初级等行变换可化为（A ，b ）→1031011200(k 1)(k 2)1k -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-+-⎝⎭若该方程组无解，则数k=____。
高等数学 线性代数第四章选择题
第四章向量组的线性相关性选择题（不定项）1.向量组s a a a ,...,,21线性无关的必要条件是（）A.s a a a ,...,,21都不是零向量；B.s a a a ,...,,21中至少有一个向量可由其余向量线性表示；C.s a a a ,...,,21中任意两个向量都不成比例；D.s a a a ,...,,21中任一部分线性无关.2.向量组s a a a ,...,,21）（2s ≥线性相关的充要条件是（）A.s a a a ,...,,21中至少有一个零向量；B.s a a a ,...,,21中至少有两个向量成比例；C.s a a a ,...,,21中至少有一个向量可由其余向量线性表示；D.s a a a ,...,,21至少有一部分组线性无关.3.向量组s a a a ,...,,21线性无关的充分条件是（）A.s a a a ,...,,21均不是零向量；B.s a a a ,...,,21中任意两个向量都不比例；C.s a a a ,...,,21中任意一个向量均不能有其余1-s 个向量线性表示；D.s a a a ,...,,21中任一部分组线性无关.4.向量组s a a a ,...,,21的秩不为零的充要条件是（）A.s a a a ,...,,21中至少有一个非零向量；B.s a a a ,...,,21全是非零向量；C.s a a a ,...,,21线性无关；D.s a a a ,...,,21中有一个线性无关的部分组.5.向量组s a a a ,...,,21的秩为r ，则（）A.s a a a ,...,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关；B.s a a a ,...,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s a a a ,...,,21可相互线性表示；C.s a a a ,...,,21中r 个向量的部分组皆线性无关；D.s a a a ,...,,21中1+r 个向量的部分组皆线性相关.6.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是（）A.;)(n A R =B.A 的列秩为n ；C.A 的每个行向量都是非零向量；D.当0≠x 时，0≠Ax ，其中T n x x x x ),...,,(21=.7.矩阵,n m A ⨯有r A R =)(，则（）A.齐次线性方程组0=Ax 的任一个基础解系中都含有r n -个线性无关的解向量；B.0=AX 时，X 为)(r n n -⨯矩阵，则r n X R -≤)(；C.线性方程组b Ax =有解，则r b A R =),(；D.β为一m 维向量，r A R =),(β，则β可有A 的列向量组线性表示.8.齐次线性方程组0=Ax 是b Ax =对应的齐次线性方程组，则（）A.0=Ax 只有零解时，b Ax =有唯一解；B.0=AX 有非零解时，b Ax =有无穷多个解；C.υ是0=Ax 的通解，0μ是b Ax =的特解时，νμ+0是b Ax =的通解；D.21μμ，是b Ax =的解时，21-μμ是0=Ax 的解.。
线性代数第四章练习题
线性代数第四章练习题第四章练习题一、选择题1. 若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则下列结论中正确的是( ).(A)α必可由,βγ线性表示；(B) β必不可由,,αβγ线性表示；(C) δ必可由,αβ线性表示；(D) δ必不可由,αβ线性表示.2. 设向量组I ：12,,,r ααα 可由向量组II ：12,,,s βββ 线性表示，则下面结论中正确的是( ).(A) 当 r s <时，向量组II 必线性相关； (B) 当r s >时，向量组II 必线性相关； (C) 当 r s <时，向量组I 必线性相关； (D) 当r s >时，向量组I 必线性相关.3. 设齐次线性方程组0AX =和0BX =，其中,A B 都是m n ?阶矩阵，现有四个命题（1）设0AX =的解均是0BX =的解，则秩()A ≥秩()B ; （2）若秩()A ≥秩()B ，则0AX =的解均是0BX =的解；（3）若0AX =与0BX =同解，则秩()A =秩()B ; （4）若秩()A =秩()B ，则0AX =与0BX =同解.以上命题正确的是( )(A) (1)(2); (B) (1) (3); (C) (2) (4); (D) (3) (4).4. n 元向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充要条件是（）（A ）12,,,s ααα 中任何两个向量都线性无关；（B ）存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++≠ ；（C ）12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示；（D ）12,,,s ααα 中任何一个向量都不能用其余向量线性表示.二、填空题1. 设A 是54?阶矩阵，()3r A =，1,23,ξξξ是线性方程组AX b =的三个不同的解，且123(1,2,0,4),(2,1,3,2)T T ξξξ=-+=--，则A X b =的所有解为 .2. 设向量组123(1,0,4,5),(2,3,1,5),(0,3,9,15)T T T ααα==-=，则向量组的一个极大线性无关组是，秩是 .3. 设123(1,0,1,2),(2,1,2,6),(3,1,,4),(4,1,5,10)T T T T a αααβ=-=--==--，已知β不能由123,,ααα 线性表示，则 a = .4. 设V 是实数域R 上的全体44?阶反对称矩阵所成的线性空间, 即{}44()|,,T ij ij V A a A A a R ?===-∈ 写出V 的一组基V 的维数是 , 设4阶矩阵02312042,34021220A ??--?=??---?-??写出A 在上面这组基下的坐标是 .5. 向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)TTT Tαααα====的极大线性无关组是，用此极大线性无关组表示其余的向量。
线性代数第四章 综合练习及参考答案
第四章 综合练习及参考答案1. n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（ B ）. (根据性质可得)A. 若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +为Ax b =的解；B . 若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解； C . 若0Ax =有非零解，则Ax b =只有零解；D . 若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.2. 设A 为m n ⨯矩阵，0AX =是非齐次线性方程组AX b =对应的齐次线性方程组，则以下结论中正确的是( D ) .A. 若0AX =只有零解，则AX b =有惟一解；(()R A n = 不能推出(,)()R A b R A =，所以AX b =可能无解)B. 若0AX =有非零解，则AX b =有无穷多解； (AX b =有可能无解)C. 若AX b =有无穷多解，则0AX =只有零解；((,)()R A b R A n =<→0AX =有非零解)D. 若AX b =有无穷多解，则0AX =有非零解.3．m ×n 型齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ A ）．A ．A 的列向量线性无关B ．A 的行向量线性无关C ．A 的列向量线性相关D ．A 的行向量线性相关解：Ax=0只有零解⇔()R A n =⇔ A 的列向量线性无关.4．设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中哪个也是方程组b Ax =的解（ A ）．A ．312+2ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 5. 设(1,3,2),(1,2,0)T T 是3阶非齐次线性方程组Ax b =的解，()2R A =，则A x b =的通解是 （ C ）.A . (1,3,2)(1,2,0)T T k +，k 为任意常数;B . (0,1,2)(1,2,0)T T k + ，k 为任意常数;C . (1,2,0)(0,1,2)T T k +，k 为任意常数;D . (1,2,0)(1,3,2)T T k +，k 为任意常数.6．若齐次线性线性方程组m n A X b ⨯=只有唯一解，则A 的秩为____n______. 解：m n A X b ⨯=只有唯一解，则()m n R A ⨯=未知数的个数=n.7．已知矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，伴随矩阵*0A ≠，且*0A x =有非零解，则____-4_____. 解：*0A x =有非零解，则*()3R A <或*0A =，即32*110A A AA A A -====，所以0A =. 2222222022(2)(4)022222a a A a a a a a a a a ==--=-+=⇒=(舍去，因为此时*0A =) 或4a =-.8. 设线性方程组12342341234022321x x x x x x x a x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪+++=-⎩， 则a 取何值时: 1）该方程组无解？ 2）该方程组有无穷多解，并用基础解系表示其所有解. 解：对增广矩阵作初等行变换得313111101111011110012201220122321110122100001r r A b (,)αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）1α≠时，()23(,)R A R A b =≠=，所以方程组无解；（2）1α=时，()2(,)R A R A b ==，所以方程组有无穷多解，且12111101011101221012210000000000r r A b (,)----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即同解方程组为 1342341221x x x x x x =+-⎧⎨=--+⎩ （34,x x 为自由未知量）， 令340x x ==，则得方程组的一个特解为 (1,1,0,0)T η=-，分别令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得导出方程组的一个基础解系为： 1(1,2,1,0)T ξ=-，2(1,2,0,1)T ξ=-，于是，原方程组的通解为：121234111221100010x x k k R x x (,).-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案.doc
充 1：当 A 列 秩 ( 或 A 可逆 ,A 在矩 乘法中有左消去律AB=0 B=0；AB=AC B=C.明B =(1,, ⋯,t ), AB = Ai =0,i=1,2, ⋯,s., , ⋯ , t 都是 AX =0212的解 . 而 A 列 秩 , AX =0 只有零解 ,i=0,i=1,2,⋯ ,s, 即 B =0.同理当 B 行 秩（或 B 可逆 ），AB 0 B T A T0 A T0A 0AB CB A C充 2如果 A 列 秩（或 A 可逆） , r( AB )=r( B ).分析 : 只用 明 次方程ABX =0 和 BX =0 同解 .( 此 矩 AB 和 B 的列向量 有相同的 性关系, 从而秩相等 .)明：是 ABX = 的解 AB = B =0( 用推 ) 是 BX = 的解 .于是 ABX =0 和 BX =0 确 同解 .同理当 B 行 秩（或B 可逆） ， r( AB )=r( A ).例题一 . 填空1.A m 方 , 存在非零的 m × n 矩 B, 使 AB = 0 的充要条件是 ______.解： Ax 0 有非零解， r Am2.A n 矩 , 存在两个不相等的n 矩 B, C, 使 AB = AC 的充要条件是解： A B C 0 ， B, C 不相等， Ax0 有非零解， r An3.若 n 元 性方程 有解, 且其系数矩 的秩r, 当 ______, 方程 有唯一解;当 ______ , 方程 有无 多解 .解：假 方程A m × n x = b, 矩 的秩 r ( A) r .当 r n , 方程 有惟一解 ; 当 r n , 方程 有无 多解 .4. 在 次 性方程 A m ×n x = 0 中 , 若秩 (A) = k 且 1, , ⋯ , r 是它的一个基 解2系 ,r = _____; 当 k = ______ , 此方程 只有零解。
线性代数第四章线性方程组练题
线性代数第四章线性方程组训练题一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ）A ．α1+α2B ．α1–α2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，–1，3）T ，且系数矩阵A的秩R(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,–1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,–1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,–1)TD ．(1,0,2)T +k (2,–1,5)T3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax =0的一个基础解系，C 1，C 2为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ ）A ．)()(212121121αααββ++++C C B ．)()(212121121αααββ+++-C C C ．)()(212121121ββαββ-+++C C D ．)()(212121121ββαββ+++-C C 4.设3元线性方程组Ax=b,A 的秩为2，1η，2η，3η为方程组的解，1η+2η=（2，0，4）T ， 1η+3η=（1，–2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax=b 的通解为（ ）A ．(1,0,2)T +k(1,–2,1)TB ．(1,–2,1)T +k(2,0,4)TC ．(2,0,4)T +k(1,–2,1)TD ．(1,0,2)T +k(1,2,3)T 5.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解B. η+（1α–2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α–2α是Ax=b 的解 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．设m ×n 矩阵A 的秩为n –1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax =0的两个不同的解，则Ax =0的通解为（ ）A ．k ξ1，k ∈RB ．k ξ2，k ∈RC ．k ξ1+ξ2，k ∈RD ．k (ξ1–ξ2),k ∈R 8．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）= r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解 9..设A 是4×6矩阵，R （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-642002*********M M M ，则该方程组的通解为_________.12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.13.设A 为33⨯矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩R(A )= ___________.14.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________. 15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解.则A （5α2–4α1）=_________.16.设A 是m ×n 实矩阵，若R （A T A ）=5，则R （A ）=_________.17.设线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a =_________.三、计算题18．设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++=++12342243214321431x x x x a x x x x x x x问a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.19．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解. 20.求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325432154321的通解.四、证明题21．设α为Ax=0的非零解，β为Ax=b (b ≠0)的解，证明α与β线性无关.22．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr 线性无关.。
线性代数向量空间自测题(附答案)
《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟）一、选择、填空（20分，每小题4分）1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。
（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量；（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。
3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a aa a W ij 22121211，则它的维数为 ，一组基为 。
5．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。
二、计算题（60分）1.（15分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ，向量α=（2，3，3）T（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。
（2）求α关于这两组基的坐标。
（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+（1）证明：321,,βββ是一组基。
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第四章（×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤.5.若齐次线性方程组0AX =只有零解，则A 的列向量组线性无关.6．等价的向量组具有相同的秩. （ ）设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一． （ ）5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22102m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33123m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭总是线性无关． （ ） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n Tn x x x R x x x x x x x 满足，则V 是向量空间. （ ）7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （ ）.A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关9．已知43⨯的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （ ）.A 1；.B 2； .C 4； .D 3.10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则 （ ）.A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；.D 12,,,m a a a 中仅有一个向量可由其余向量线性表示．11．下列集合中，可作为向量空间的是（ ）.A =V {}b Ax x =；.B =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,022 ；.C =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,122 ；.D =V (){}1,,,.1121=++∈=n n Tn x x R x x x x x x 且．12．设齐次方程Ax ＝0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈） 则系数矩阵A 为（ ） A.()1,1,2- B.⎪⎭⎫⎝⎛-110102 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11022411013. 向量组A ：1a ，2a …m a (m ≥3）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数1k ,2k ,…m k ，使02211≠+++m m a k a k a kB. A 组中任意两个向量都线性无关C. A 组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. A 组中任意一个向量，都不能用其余向量线性表示14． 设向量组1a ，2a ，3a 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）A. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，3a －1aB. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，1a ＋22a ＋3aC. 1a ＋22a ，22a ＋33a ，33a ＋1aD. 1a ＋2a ＋3a ，21a －32a ＋223a ，31a ＋52a －53a15．已知向量组A ：1α，2α，3α，4α线性无关，则与A 等价的向量组是 （ ）A. 1α＋2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αB. 1α－2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αC. 1α＋2α，2α－3α，3α＋4α，4α－1αD. 1α＋2α，2α＋3α，3α＋4α，4α +1α16．设A 为n 阶矩阵，且()1-=n A R ，1α，2α是A x ＝0的两个不同的解，k 为任意常数，则A x ＝0的通解为（ ）A. 1αkB. 2αkC. k (1α-2α)D. k (1α+2α)17．设向量组A ：1α，2α，…，s α，B ：1α，2α，…，s α… r s +α则必有（ ）A. A 相关⇒B 相关；B. A 无关⇒B 无关；C. B 相关⇒A 相关；D. B 相关⇒A 无关.18. 设n 元线性方程组b Ax =，以下说法错误的是（ ）.(A) b Ax =有解的充分必要条件是0≠A ；(B) b Ax =无解的充分必要条件是),()(b A R A R < ； (C) b Ax =有唯一解的充分必要条件是n b A R A R ==),()(；(D) b Ax =有无穷多解的充分必要条件是n b A R A R <=),()( 19．若A 是n 阶可逆矩阵，下列说法中错误的是（ ）．A ．0≠A ；B ．A 的列向量组线性相关；C ．()n A R =；D ．A 与单位阵E 行等价．20．设b Ax =为非齐次线性方程组，0=Ax 为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的是（ ）．A ．若1ξ=x ，2ξ=x 为0=Ax 的解，则21ξξ+=x 也是0=Ax 的解；B ．若1ξ=x 为0=Ax 的解，k 为实数，则1ξk x =也是0=Ax 的解；C ．若1η=x 及2η=x 都是b Ax =的解，则21ηη+=x 也是b Ax =的解；D ．若η=x 为b Ax =的解，ξ=x 为0=Ax 的解，则ηξ+=x 是b Ax = 的解． 21.设矩阵()4321,,,a a a a A =，其中432,,a a a 线性无关，3212a a a -=，向量4321a a a a b +++=，则方程b Ax =的通解为：_______．22. 设500013024A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33B ⨯的列向量组线性无关，则()R B = 3 ，()R AB =3 .（用行列式 满秩来判断）23. 已知维列向量组所生成的向量空间为, 则的维数dim( )；24. 若向量组T 3T 2T 1)0,0,1(,),-12,(,)2,3,1(==-=αααt 线性相关,则t =.25．设齐次线性方程组Ax =0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈）则系数矩阵A=26.元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量 , 其中, , 则该方程组的通解是27.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及 122313111,,,011001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求方程组Ax =b 的通解.28.设四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解向 量，且()T54321=η，()T432132=+ηη，则该方程组的通解为：______ _． 29．以()()TTc c x 1042013221-+-= 为通解的一个齐次线性方程组为：_____________．30.已知向量组123,,a a a 线性无关,证明向量组112223313,,b a a b a a b a a =+=+=+也线性无关.31.设向量组123,,ααα线性无关，证明：1123βααα=++，212323βααα=++，312349βααα=++也线性无关.32设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组r ααα,,,21 线性无关,证明向量组r βββ,,,21 线性无关. 33设向量组线性无关 , 问: 常数满足什么条件时, 向量组,,也线性无关。
34设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,1是实数，满足11=++s k k ．证明 s s k k x ηη++= 11 也是它的解．35．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.36. 设()T3,2,1,21=α，()T3,5,1,12-=α，()31,0,2,1T α=-- ，()41,2,9,8Tα=.(1)求()4321,,,ααααR ；(2)找一极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余向量.37.求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4152,0312,1021,12014321αααα的一个最大线性无关组。
38.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141210123140702314321αααα，，，，求：（1）该向量组的秩；（2）39.该向量组的一个极大线性无关组；（3）将其余向量用该极大线性无关组表示。
40.设向量组：T 1)1,1,1(-=α，T 2)2,4,3(-=α，T 3)0,4,2(=α，T 4)1,1,0(=α，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.41.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.42.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.43．设线性方程组为12345123452345123451323(*)22635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩,(1) 确定a 与b 的值，使线性方程组（*）有解；(2) 在线性方程组（*）有解的情形下，求（*）的通解44. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 45. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x m x x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？46．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+-=-+-0490243032542143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系.。