线性代数第四章自测题

第四章

（×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤.

5.若齐次线性方程组0AX =

只有零解，则A 的列向量组线性无关.

6．等价的向量组具有相同的秩. （ ）

设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一． （ ）

5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22102m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3

3123m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

总是线性

无关． （ ） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n T

n x x x R x x x x x x x 满足，

则V 是向量空间. （ ）

7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （ ）

.A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关

9．已知43⨯的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （ ）

.A 1；

.B 2； .C 4； .D 3.

10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则 （ ）

.A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；

.D 12,,,m a a a 中仅有一个向量可由其余向量线性表示．

11．下列集合中，可作为向量空间的是（ ）

.A =V {}b Ax x =；

.B =V ()

{

}

R x x x x x n T

n ∈=,,,,022 ；

.C =V ()

{}

R x x x x x n T

n ∈=,,,,122 ；

.D =V ()

{

}

1,,,.1121=++∈=n n T

n x x R x x x x x x 且．

12．设齐次方程Ax ＝0的通解为x=c 1102⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

+c 2

011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

，（12,c c R ∈） 则系数矩阵A 为（ ） A.()1,1,2- B.

⎪⎭

⎫

⎝

⎛-11

0102 C.

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--11

0201

D. ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---11

0224

110

13. 向量组A ：1a ，2a …m a (m ≥3）线性无关的充要条件是（ ）

A. 存在不全为零的数1k ,2k ,…m k ，使02211≠+++m m a k a k a k

B. A 组中任意两个向量都线性无关

C. A 组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

D. A 组中任意一个向量，都不能用其余向量线性表示

14． 设向量组1a ，2a ，3a 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）

A. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，3a －1a

B. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，1a ＋22a ＋3a

C. 1a ＋22a ，22a ＋33a ，33a ＋1a

D. 1a ＋2a ＋3a ，21a －32a ＋223a ，31a ＋52a －53a

15．已知向量组A ：1α，2α，3α，4α线性无关，则与A 等价的向量组是 （ ）

A. 1α＋2α，2α－3α，3α－4α，4α－1α

B. 1α－2α，2α－3α，3α－4α，4α－1α

C. 1α＋2α，2α－3α，3α＋4α，4α－1α

D. 1α＋2α，2α＋3α，3α＋4α，4α +1α

16．设A 为n 阶矩阵，且()1-=n A R ，1α，2α是A x ＝0的两个不同的解，k 为任意常数，则A x ＝0的通解为（ ）

A. 1αk

B. 2αk

C. k (1α-2α)

D. k (1α+2α)

17．设向量组A ：1α，2α，…，s α，B ：1α，2α，…，s α… r s +α则必有（ ）

A. A 相关⇒B 相关；

B. A 无关⇒B 无关；

C. B 相关⇒A 相关；

D. B 相关⇒A 无关.

18. 设n 元线性方程组b Ax =，以下说法错误的是（ ）.

(A) b Ax =有解的充分必要条件是0≠A ；

(B) b Ax =无解的充分必要条件是),()(b A R A R < ； (C) b Ax =有唯一解的充分必要条件是n b A R A R ==),()(；

(D) b Ax =有无穷多解的充分必要条件是n b A R A R <=),()( 19．若A 是n 阶可逆矩阵，下列说法中错误的是（ ）．

A ．0≠A ；

B ．A 的列向量组线性相关；

C ．()n A R =；

D ．A 与单位阵

E 行等价．

20．设b Ax =为非齐次线性方程组，0=Ax 为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的是（ ）．

A ．若1ξ=x ，2ξ=x 为0=Ax 的解，则21ξξ+=x 也是0=Ax 的解；

B ．若1ξ=x 为0=Ax 的解，k 为实数，则1ξk x =也是0=Ax 的解；

C ．若1η=x 及2η=x 都是b Ax =的解，则21ηη+=x 也是b Ax =的解；

D ．若η=x 为b Ax =的解，ξ=x 为0=Ax 的解，则ηξ+=x 是b Ax = 的解． 21.设矩阵()4321,,,a a a a A =，其中432,,a a a 线性无关，3212a a a -=，向量

4321a a a a b +++=，则方程b Ax =的通解为：_______．

22. 设5

000

1302

4A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，33B ⨯的列向量组线性无关，则()R B = 3 ，()R AB =