初中数学说题37617

初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿

中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就2012年德州市数学中考第23题第2问进行讲评。

中考题 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P

为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，

使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接

BP 、BH ．

（1）求证：∠APB =∠BPH ；

（2）当点P 在AD 边上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

1.审题分析

本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是0.19。

2.解题过程

同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。

思路与解法一：从线段AD 上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件），可将条件集中到△EAP 与△PDH 上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。

解法如下：

答：PDH 的周长不变，为定值8．

P H G F E D C B A 图1

证明：设a BE =,则a AE -=4，有折叠可知a BE PE ==，

,422-=∴a AP 4224--=a PD ，,900=∠EPG Θ.900=∠+∠∴DPH APE

又,900=∠+∠DPH PHD ΘPHD APE ∠=∠∴

又090=∠=∠D A Θ,AEP ∆∴～PDH ∆.PD

AE PDH AEP =∆∆∴的周长的周长 即.4

22444224---=∆-+a a PDH a 的周长 的周长PDH ∆∴=

.84832=--a a 评析 这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。

思路与解法二：求△PDH 的周长，因为PD 、DH 都在正方形的边上，所以需要将PH 转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。

解法如下：

答：△PDH 的周长不变，为定值8．

证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．

由（1）知∠APB=∠BPH ，又,900=∠=∠BQP A ΘBP=BP ，

∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．

又,900=∠=∠BQH C ΘBH=BH ，∴△ BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．

∴△PDH 的周长为：PD+DH+PH =AP+PD+DH+HC =AD+CD =8.

评析 这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线段,CH AP PH PQ PH +=+=把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未知为已知，使问题迎刃而解。

3.总结提升：

在原题的条件下，还可得以下结论：

⑴求证：045=∠PBH ；

⑵求证：BCH ABP PBH S S S ∆∆∆+=；

⑶当m PH =时，则m S DHP 416-=∆。

证明略。

评析 拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能

图2

A G

力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。

逆向探究：如图1，现有一张边长为4的正方形ABCD 纸片，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．DHP ∆的周长为8.求BPH ∆面积的最小值。

解： 设BPH ∆的面积为S ,,x PD =,y DH =则,4x AP -=,4y CH -=

DHP BPH ABCD S S S ∆∆+=2正方形.

.2

1216xy S +=∴ ,CH AP HP +=Θ.8)4()4(y x y x HP --=-+-=∴

由勾股定理得,222DH DP HP +=

即.)8(222y x y x +=-- 整理得.8

328--=x x y .8

32821216--⋅+=∴x x x S 化简得.0)864()16(22=-+-+S x S x

.0)864(8)16(2≥---=∆∴S S

.0256322≥-+S S

1621616216--≤-≥∴S S 或(舍去)。

.16216-≥∴S

S ∴的最小值为.16216-

评析 加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。

像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。