高等数学上复旦第三版 课后习题答案

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高等数学上（修订版）（复旦出版社）

习题六 无穷数级 答案详解

1．写出下列级数的一般项： (1)111135

7

++++ ；

(2)2

2242462468x x x x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ；

(3)3579

3579

a a a a -+-+ ；

解：(1)1

21

n U n =-； (2)()2

!!

2n n x

U n =

；

(3)()

21

1

121

n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()()

11

11n x n x n x n ∞

=+-+++∑

；

(2)

(

)1

221n n n n ∞

=+-++∑；

(3)23

111

5

55+

++ ； 解：(1)()()()

()()()()1

11111211n u x n x n x n x n x n x n x n =

+-+++⎛⎫

-=

⎪+-++++⎝⎭

284

从而()()()()()()()

()()()()()()()1111

1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-= +++++++⎝⎫

++

-

⎪+-++++⎭

⎛⎫

-=

⎪++++⎝⎭

因此()

1lim 21n n S x x →∞

=+，故级数的和为

()

121x x +

(2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()()

()()()()3243322154432112112

1

12

21

n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++

所以lim 12n n S →∞

=-，即级数的和为12-． (3)因为2111

5551115511511145n n

n n S =+

++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣

⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 从而1lim 4

n n S →∞

=，即级数的和为14

． 3．判定下列级数的敛散性： (1) (

)1

1n n n ∞

=+-∑；

(2)

()()

11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ ； (3) ()23133222213333

n n n --+-++- ；

285

(4)31111

5555

n +

++++ ； 解：(1) ()()()3212111

n S n n n =+++-+--=+-

从而lim n n S →∞

=+∞，故级数发散． (2) 111111

111566111116

5451111551n S n n n ⎛⎫

=-+-+-++-

⎪-+⎝⎭

⎛⎫=- ⎪+⎝⎭

从而1lim 5

n n S →∞

=，故原级数收敛，其和为15

． (3)此级数为23

q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵1

5

n n U =

，而lim 10n n U →∞

=≠，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：

(1) ()1

1

1n n n +∞

=-∑；

(2)

1

cos 2n

n nx

∞

=∑； (3)

1

1

11313233n n n n ∞

=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，

()()()()122341

111112311111231111112112311

n n n p

n n n n p U U U n n n n p

n n n n p

n p n p n n p n n n +++++++++++----=++++

++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=

----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭

<

+

当P 为奇数时，

286

()()()()1223411111123111112311111112311

n n n p

n n n n p U U U n n n n p

n n n n p

n p n p n n n n +++++++++++----=++++

++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=

---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭

<

+

因而，对于任何自然数P ，都有

12111n n n p U U U n n

++++++<

<+ ， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦

，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p

U U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，级数()1

1

1n n n +∞

=-∑收敛． (2)对于任意自然数P ，都有

()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n n n p n p n p n

U U U x n p x x

n n ++++++++++++++++=+++

≤

+++⎛⎫

- ⎪⎝⎭

=

-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<

于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

，当n >N 时，对任意的自然数P

都有12n n n p U U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛． (3)取P =n ，则