高考数学一轮总复习 8.8曲线与方程课件

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听 课 记 录 (1)设动点 P(x，y)， 则M→P＝(x－4，y)，M→N＝(－3,0)，P→N＝(1－x，－y)， 由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2， 化简得 3x2＋4y2＝12，即x42＋y32＝1. ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C：x42＋y32＝1.
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(2)由几何性质意义知，l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
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解析 如图，由椭圆定义知 |AF1|＋|AF2|＝|AF2|＋|AM|＝2a＝|F2M|. 又 D 为 F1M 的中点，O 为 F1F2 的中点， ∴|OD|＝12|F2M|＝a. ∴点 D 的轨迹是圆．
答案 B
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5．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 那么点 P 的轨迹所包围的图形的面积为________．
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高频考点
考点一
直接法求轨迹方程
【例 1】 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足M→N·M→P＝6|N→P |.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的距离的最小值． 【思维启迪】 设动点坐标，列式化简即可．
第八章 平面解析几何
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第八节 曲线与方程(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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高考明方向
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基 本方法． 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
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知识点一
曲线与方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个
二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点． 那么这个
方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 .
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知识点二 求动点的轨迹方程的一般步骤 1.建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
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问题 2 求轨迹与轨迹方程有什么不同？ (1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应 关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解 变形；二是是否符合题目的实际意义． (2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求 轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
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解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(－2－ x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0.
答案 D
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4．F1、F2 为椭圆x42＋y32＝1 的左右两焦点，A 为椭圆上任一点，
过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的 轨迹方程是( )
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问题探究 问题 1 求曲线的方程有哪些常见的方法？ (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如 距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我 们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根 据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
答案 C
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知识点二
求曲线的方程
3.已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，
Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的轨迹方
程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
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解析 设 P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即 x2＋y2－4x＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆． 即轨迹所包围的面积等于 4π.
答案 4π
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
y2.( )
(4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
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2．方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是( )
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解析 由题意可得 x＋y＋1＝0 或xx2＋＋yy＋2－1≥4＝0，0， 它表示直线 x＋y＋1＝0 和圆 x2＋y2－4＝0 在直线 x＋y＋1＝0 右上方的部分．
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备考知考情
1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个热点． 2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇 考查．考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法． 3.题型大多数以解答题形式出现，属中高档题.
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
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对点自测
知识点一
曲线与方程的概念
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( )
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝
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(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲 线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨 迹方程．
(4)代入法(相关点法)：当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之 为相关点)而运动．如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们 可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就 把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方 法叫做相关点法或代入法．