高考数学一轮总复习 8.8曲线与方程课件
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高考数学总复习精品课件8-8曲线与方程(理) 62张(人教版)
(4)代入法： 形成轨迹的动点 P(x， y)随另一动点 Q(x′， y′) 的运动而有规律的运动， 且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将 x′、y′用 x、y 表示，再代入 Q 的轨迹方程，然后 整理得点 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法. (5)参数法： 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、 纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使 x、y 之间 建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨 迹方程．
3 ．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方 程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了； 若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的 曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果能 绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹 是什么曲线，则可不求轨迹方程．
夯实基础 稳固根基 1．曲线方程的定义 在直角坐标系中， 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线 C 上；那么这个 方程叫做曲线 C 的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的基本步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
考点典例讲练
曲线与方程的概念
[例 1] (2012· 银川一中二模)方程 x－1lg(x2＋y2－1)＝0 所表示的曲线图形是( )
分析：方程 f(x，y)· g(x，y)＝0 表示的曲线是 f(x，y)＝0 和 g(x，y)＝0 的曲线，还要特别注意应使方程有意义．
一轮新高考数学全国通用版知识点复习第8章第8节曲线与方程课件
然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程
的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视
的；
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
第一节 平面向量的概念及线性运算
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
第一节 平面向量的概念及线性运算
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
P→N＝－N→P＝(1－x，－y)，
M→N＝－N→M＝(2,0)，
第一节 平面向量的概念及线性运算
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
所以M→P·M→N＝2(1＋x)，P→M·P→N＝x2＋y2－1，
N→M·N→P＝2(1－x)． 于是M→P·M→N，P→M·P→N，N→M·N→P是公差小于0的等差数列等价于
考点二 定义法求轨迹方程
x与x＝y2表示同一曲线．(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
第一节 平面向量的概念及线性运算
二、教材习题衍生
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
1．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方
程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
C [由题意可知，动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y＝－4的距
离，故点M的轨迹为以点F(0,4)为焦点，以y＝－4为准线的抛物线，其
高考理科第一轮复习课件(8.8曲线与方程)
5.曲线C1: x 1
4
2
2 y 2 1与曲线C2:y=1－(x+1) 的公共点的个数
是_______.
x 12 y2 1 【解析】由 4 消去x得4y2－y－3=0, y 1 x 1 2 － 3 Δ＝(－1)2－4〓4〓(－3)=49>0，y1 － ，y 2 1, 4 3 7 当y1 － 时得x － 1 , 4 2
【规范解答】(1)如图，|AD|=|AE|=8，
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的
x 2 y2 双曲线的右支，方程为 1 x 3 . 9 16 x 2 y2 答案： 1 x 3 9 16
(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P
的轨迹方程.
【思路点拨】(1)根据题设条件，寻找动点C与两定点A，B距离
的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨 迹为双曲线的一部分，再求其方程. (2)根据题设条件，寻找动点P与两点A，F距离的和满足的等量 关系|PA|+|PF|=2，用定义法求方程.
当动圆与圆O1相外切时，有
|O1M|=R+2. ①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10-R.
将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,
②
∴动圆圆心M(x,y)以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭 圆. ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,
由已知得 2x 2 2 2y 2 2y 2, 化简得曲线C的方程为x2=4y. 答案：x2=4y
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第8节 曲线与方程课件 理 新人教版
意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) F1x，y＝0， 方程组 ＝0，则C1，C2的交点坐标即为________F__2_x_，__y_＝___0__的 实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．
[谨记通法] 1．直接法求轨迹方程的2种常见类型 类型1：题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入 即可得出方程． 类型2：题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利 用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽 视，如“题组练透”第3题易漏λ≠0，x≠±1. 2．讨论曲线类型参数分段的2个标准 (1)二次项系数为0的值； (2)二次项系数相等的值．
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响．
[小题纠偏]
1．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且
以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______．
考点二 定义法求轨迹方程 常考常新型考点——多角探明
[典例引领] 已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2 ＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右 半轴的交点为A. (1)求轨迹T的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不 在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点， 并求出该定点的坐标．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y) F1x，y＝0， 方程组 ＝0，则C1，C2的交点坐标即为________F__2_x_，__y_＝___0__的 实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点．
[谨记通法] 1．直接法求轨迹方程的2种常见类型 类型1：题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入 即可得出方程． 类型2：题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利 用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽 视，如“题组练透”第3题易漏λ≠0，x≠±1. 2．讨论曲线类型参数分段的2个标准 (1)二次项系数为0的值； (2)二次项系数相等的值．
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响．
[小题纠偏]
1．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且
以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______．
考点二 定义法求轨迹方程 常考常新型考点——多角探明
[典例引领] 已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2 ＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右 半轴的交点为A. (1)求轨迹T的方程； (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不 在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点， 并求出该定点的坐标．
高考数学一轮复习 8.8 曲线与方程课件 理 新人教A版
问题探究 1：若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎 样？
提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方 程．
2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
确定曲线的类型需根据字母的取值来确定．
(2013·福州质检)已知 a>b>0，曲线 C 上任意一点 P 分别与点 A(－a,0)、B(a,0)连线的斜率的乘积为－ab22.
(1)求曲线 C 的方程； (2)设直线 l：y＝kx＋h(k≠0，h≠0)与 x 轴、y 轴分别交于 M、 N 两点，若曲线 C 与直线 l 没有公共点， 求证：|MN|>a＋b.
第
八
解析几何
篇
(必修 2 第三、四章 选修 2－1 第二章)
第八节
曲线与方程
高考导航
考纲要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
考情分析
从近三年的高考试题来看，由定义法求曲线的方程、由已知 条件直接求曲线的方程等是高考的热点，题型大多为解答 题，难度为中等偏高，主要考查曲线的定义，求曲线轨迹方 程的方法，考查学生的运算能力，以及分析问题、解决问题 的能力．如 2013 年福建卷 18、四川卷 20 等． 预测与备考：2015 年仍以求曲线的方程和研究曲线的性质 为主，要多关注与向量知识的综合．备考时要能结合具体条 件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，熟练掌握求曲线方程 的常用方法.
高考数学一轮复习 8-8曲线与方程课件 理 新人教A版
当P在y轴左侧时，|PF|＝2－x， 即点P到F(2，0)的距离等于P到直线x＝2的距离， 从而有y＝0(x<0)， 综上可知所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0).
用相关点法(代入法)求轨迹方程
例 2 [2012·广东揭阳]已知直线 l：x5＋1y2＝1，M 是直 线 l 上的一个动点，过 M 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足 A、 B，P 在直线 AB 上，且A→P＝2B→P，求点 P 的轨迹方程．
解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y02＝0.
由M→N＝2M→P得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴xy＝－2xy0＝0 －2x0，即xy00＝＝12－y x. ∴－x＋y42＝0，即y2＝4x. 故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上
的椭圆.
高考测点典例研习
直接法或定义法求轨迹方程
例1 [2012·西安调研]已知定点A(0，7)、B(0， －7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求 另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨] 由于椭圆过A，B两点，且以C、F为 焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
■ ·考点自测· ■
1. [2012·山东青岛]动点 P(x，y)到定点 A(3，4)的距 离比 P 到 x 轴的距离多一个单位长度，则动点 P 的轨迹方 程为( )
A. x2－6x－10y＋24＝0 B. x2－6x－6y＋24＝0 C. x2－6x－10y＋24＝0 或 x2－6x－6y＝0 D. x2－8x－8y＋24＝0
用相关点法(代入法)求轨迹方程
例 2 [2012·广东揭阳]已知直线 l：x5＋1y2＝1，M 是直 线 l 上的一个动点，过 M 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足 A、 B，P 在直线 AB 上，且A→P＝2B→P，求点 P 的轨迹方程．
解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y02＝0.
由M→N＝2M→P得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴xy＝－2xy0＝0 －2x0，即xy00＝＝12－y x. ∴－x＋y42＝0，即y2＝4x. 故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上
的椭圆.
高考测点典例研习
直接法或定义法求轨迹方程
例1 [2012·西安调研]已知定点A(0，7)、B(0， －7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求 另一焦点F的轨迹方程．
[思路点拨] 由于椭圆过A，B两点，且以C、F为 焦点，所以可利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
■ ·考点自测· ■
1. [2012·山东青岛]动点 P(x，y)到定点 A(3，4)的距 离比 P 到 x 轴的距离多一个单位长度，则动点 P 的轨迹方 程为( )
A. x2－6x－10y＋24＝0 B. x2－6x－6y＋24＝0 C. x2－6x－10y＋24＝0 或 x2－6x－6y＝0 D. x2－8x－8y＋24＝0
高三数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版
∴当t＝ 5时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
第二十六页，共47页。
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)， 又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)．① 直线A2B的方程为y＝x－0－y03(x－3)．② 由①②得y2＝x－20－y029(x2－9)．③
第八页，共47页。
4．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是________．
第十九页，共47页。
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂 足分别为A′、B′、O′.
∵|AO|＝|BO|， ∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8， 设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝ 8， 又|AB|＝4， ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上， 设所求椭圆方程为xa22＋by22＝1， 则a2＝42＝16，b2＝42－22＝12， ∴抛物线焦点的轨迹方程为1x62＋1y22 ＝1(x≠±4)．
第二十页，共47页。
1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4，0)不合要求，致 使答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满 足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以(kěyǐ)直接根据 定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫 做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
2．相关点法求轨迹方程：形成(xíngchéng)轨迹的动点 P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动 点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示 成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方 程．
第二十六页，共47页。
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)， 又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)．① 直线A2B的方程为y＝x－0－y03(x－3)．② 由①②得y2＝x－20－y029(x2－9)．③
第八页，共47页。
4．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是________．
第十九页，共47页。
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂 足分别为A′、B′、O′.
∵|AO|＝|BO|， ∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8， 设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝ 8， 又|AB|＝4， ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上， 设所求椭圆方程为xa22＋by22＝1， 则a2＝42＝16，b2＝42－22＝12， ∴抛物线焦点的轨迹方程为1x62＋1y22 ＝1(x≠±4)．
第二十页，共47页。
1．解答本题时，易忽视点(－4，0)和(4，0)不合要求，致 使答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满 足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以(kěyǐ)直接根据 定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫 做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
2．相关点法求轨迹方程：形成(xíngchéng)轨迹的动点 P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动 点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示 成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方 程．
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)第八节 曲线与方程(课件)
第八节 曲线与方程
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：求曲线的轨迹方程及利用方程研究轨迹的性质仍是高考 考查热点，题型多出现在解答题的第(1)问．
学科素养：通过轨迹方程的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素 养．
3．和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为 ____2_x2_＋__2_y2_－__2c_x_＋__c_2－__c_＝_0x轴上)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴 上 ， 且 满 足 ∠APO ＝ ∠BPO ， 其 中 O 为 原 点 ， 则 P 点 的 轨 迹 方 程 是 _(_x_－__2)_2_＋_y_2_＝_4_(_y≠__0_)____．
顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
答案：D
解析：设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M，N，P不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
线就没有交点．
√ × × ×
(二)教材改编 2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 () A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．一条射线 D．双曲线右边一支
答案：C
解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2，0)为端点向右的 一条射线．
必备知识—基础落实
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：求曲线的轨迹方程及利用方程研究轨迹的性质仍是高考 考查热点，题型多出现在解答题的第(1)问．
学科素养：通过轨迹方程的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素 养．
3．和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为 ____2_x2_＋__2_y2_－__2c_x_＋__c_2－__c_＝_0x轴上)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴 上 ， 且 满 足 ∠APO ＝ ∠BPO ， 其 中 O 为 原 点 ， 则 P 点 的 轨 迹 方 程 是 _(_x_－__2)_2_＋_y_2_＝_4_(_y≠__0_)____．
顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
答案：D
解析：设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得x2＋y2＝4. ∵M，N，P不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
线就没有交点．
√ × × ×
(二)教材改编 2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 () A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．一条射线 D．双曲线右边一支
答案：C
解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2，0)为端点向右的 一条射线．
必备知识—基础落实
高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.8 曲线与方程课件.ppt
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2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系。 (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)。 (3)列式——列出动点P所满足的关系式。 (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方 程式，并化简。
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(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 3．两曲线的交点
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝
4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。
答案：(1)A (2)A
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►名师点拨 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程。可直接代入即可得出方程。 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程。可利用已知条件寻找等量关系，得 出方程。
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 □5
_公_共__解____，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两
条曲线就有几个交点，方程组□6 无__解____，两条曲线就没有交点。 (2)两条曲线有交点的 □7 _充__要___条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。
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(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义 法，这样可以减少运算量，提高解题速度。
(2)代入法(相关点法)：当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x′，y′)(称之为相 关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程。此时应注 意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成关于x，y的式子，同时要注意x′，y′ 的限制条件。
第八章
解析几何
1
第八节 曲线与方程
2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系。 (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)。 (3)列式——列出动点P所满足的关系式。 (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方 程式，并化简。
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(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 3．两曲线的交点
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝
4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。
答案：(1)A (2)A
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►名师点拨 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程。可直接代入即可得出方程。 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程。可利用已知条件寻找等量关系，得 出方程。
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 □5
_公_共__解____，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两
条曲线就有几个交点，方程组□6 无__解____，两条曲线就没有交点。 (2)两条曲线有交点的 □7 _充__要___条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。
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(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义 法，这样可以减少运算量，提高解题速度。
(2)代入法(相关点法)：当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x′，y′)(称之为相 关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程。此时应注 意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成关于x，y的式子，同时要注意x′，y′ 的限制条件。
第八章
解析几何
1
第八节 曲线与方程
新高考数学人教版一轮课件：第8章 第8讲 曲线与方程
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为___x42_－__y5_2_＝__1_(x_≤__－__2_)_____．
[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心 M的轨迹方程为__x4_2－__y_52_＝__1_(x_≥__2_)______．
M 的轨迹是
(D )
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以
点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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3．(选修2－1P37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴 上 ， 且 满 足 ∠ APO ＝ ∠ BPO ， 其 中 O 为 原 点 ， 则 点 P 的 轨 迹 方 程 是 _x_2＋__y_2_－__4_x_＝__0_(y_≠__0_)________．
[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的 轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≥__1_)______．
[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则 动圆圆心M的轨迹方程为__x4_2_－__y52_＝__1____．
第八章 解析几何
题组三 走向高考 4．(多选题)(2020·山东)已知曲线 C：mx2＋ny2＝1． A．若 m＞n＞0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m＝n＞0，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn＜0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y＝± D．若 m＝0，n＞0，则 C 是两条直线
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(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲 线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨 迹方程．
(4)代入法(相关点法)：当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之 为相关点)而运动．如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们 可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就 把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方 法叫做相关点法或代入法．
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对点自测
知识点一
曲线与方程的概念
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( )
(2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝
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问题探究 问题 1 求曲线的方程有哪些常见的方法？ (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如 距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我 们只需把这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根 据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
答案 C
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知识点二
求曲线的方程
3.已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，
Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的轨迹方
程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
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解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(－2－ x,4－y)，代入 2x－y＋3＝0 得 2x－y＋5＝0.
答案 D
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4．F1、F2 为椭圆x42＋y32＝1 的左右两焦点，A 为椭圆上任一点，
过焦点 F1 向∠F1AF2 的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的 轨迹方程是( )
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备考知考情
1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个热点． 2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇 考查．考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法． 3.题型大多数以解答题形式出现，属中高档题.
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
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问题 2 求轨迹与轨迹方程有什么不同？ (1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应 关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解 变形；二是是否符合题目的实际意义． (2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求 轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
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高频考点
考点一
直接法求轨迹方程
【例 1】 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足M→N·M→P＝6|N→P |.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的距离的最小值． 【思维启迪】 设动点坐标，列式化简即可．
y2.( )
(4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×
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2．方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是( )
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解析 由题意可得 x＋y＋1＝0 或xx2＋＋yy＋2－1≥4＝0，0， 它表示直线 x＋y＋1＝0 和圆 x2＋y2－4＝0 在直线 x＋y＋1＝0 右上方的部分．
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听 课 记 录 (1)设动点 P(x，y)， 则M→P＝(x－4，y)，M→N＝(－3,0)，P→N＝(1－x，－y)， 由已知得－3(x－4)＝6 1－x2＋－y2， 化简得 3x2＋4y2＝12，即x42＋y32＝1. ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C：x42＋y32＝1.
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第八章 平面解析几何
Байду номын сангаас
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1
第八节 曲线与方程(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基 本方法． 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
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知识点一
曲线与方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个
二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点． 那么这个
方程叫做 曲线的方程 ，这条曲线叫做 方程的曲线 .
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知识点二 求动点的轨迹方程的一般步骤 1.建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
解析 设 P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即 x2＋y2－4x＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆． 即轨迹所包围的面积等于 4π.
答案 4π
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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(2)由几何性质意义知，l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
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解析 如图，由椭圆定义知 |AF1|＋|AF2|＝|AF2|＋|AM|＝2a＝|F2M|. 又 D 为 F1M 的中点，O 为 F1F2 的中点， ∴|OD|＝12|F2M|＝a. ∴点 D 的轨迹是圆．
答案 B
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5．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 那么点 P 的轨迹所包围的图形的面积为________．