高中数学 1.3《正弦定理、余弦定理的应用(2)》教案 苏教版必修5

第 6 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；

二、过程与方法

本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题

三、情感、态度与价值观

1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神

【教学重点与难点】：

重点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题

难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题

【学法与教学用具】：

1. 学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。

2. 教学用具：直尺、多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

总结解斜三角形的要求和常用方法：

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

①已知两角和任一边，求其它两边和一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.

（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：

①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材21P 第7题）如图，有两条相交成60角的直线XX '、YY '，交点是O ，

甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，

Y B Q ∙ ∙

甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，

（1）起初，两人的距离是多少？

（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；

（3）什么时候两人的距离最短？

解：（1）设甲、乙两人起初的位置是A 、B ，

则2222cos60AB OA OB OA OB =+-⋅ 2213123172

=+-⨯⨯⨯=，∴起初，两人的距离是7．

（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P Q 、，则4AP t =，4BQ t =，

当304t ≤≤时，2222(34)(14)2(34)(14)cos 6048247PQ t t t t t t =-++--+=-+； 当34t >时，2222(43)(14)2(43)(14)cos12048247PQ t t t t t t =-++--+=-+，

所以，248247PQ t t =-+．

（3）22214824748()44PQ t t t =-+=-+，∴当14

t =时，即在第15分钟末，PQ

最短。

答：在第15分钟末，两人的距离最短。

例2（教材19P 例3）作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =， 250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.

解：3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且

大小相等，方向相反.如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得 ()22305023050cos12070F N =+-⨯⨯=.再由正弦定理，得

150sin12053sin 7014F OF ∠==，所以138.2F OF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F

之间的夹角是141.8.

本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出OF ，图1-3-3

再根据正弦定理求出1

FOF ∠. 例3（教材19P 例4）如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.

解：设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-. 于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+213sin 24

OA OB AB α=⋅+ ()1321sin 54cos 24αα=⨯⨯⨯+-5sin 3cos 34

αα=-+ 52sin 334πα⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭. 因为0απ<<，所以当32ππα-

=时，56απ=，即56

AOB π∠=时， 四边形OACB 的面积最大. 对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形OACB 的面积随着()AOB α∠的变化而变化.这样将四边形OACB 的面积表示成α的函数，利用三角形的有界性求出四边形OACB 面积的最大值.

三、巩固深化，反馈矫正

教材20P 第1，2题

四、归纳整理，整体认识

由学生总结本节课的内容

五、承上启下，留下悬念

六、板书设计（略）

七、课后记：

图1-3-4