切割线定理
切割线定理课件
推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则 该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为 它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首 先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积 等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定 理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用 向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过 适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法 基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明 定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有 很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条 件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其 他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深 入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决 几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用 于确定建筑物的位置和尺寸，以确保 建筑物的外观和结构符合设计要求。
切割线定理
切割线定理
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
也是圆幂定理之一。
我在《证明——切割线定理》一文中使用勾股定理求证，比较烦琐。
现在我不依靠切割线定理证了弦切角定理（过程在这里），就可以利用弦切角定理证明切割线定理。
如图所示。
已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P
求证：AP·BP=CP2
证明
连接AC、BC
由弦切角定理得
∠ACP=∠CBP
又∵∠APC=∠CPB（公共角）
∴△ACP∽△CBP（两角对应相等的两个三角形相似）
∴AP/CP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）
∴AP·BP=CP2（比例基本性质）。
切割线定理的证明
切割线定理的证明切割线定理，也被称为Severi's定理或Sokhotski–Plemelj定理，是复变函数理论中的一个重要定理。
它描述了圆周上的切割线是满足特定条件的函数的积分路径。
首先，我们先来了解一下切割线的概念。
在复平面上考虑一个圆周C，设C的圆心为a，半径为r。
我们将这个圆周与平面割开，然后选择一个切割线L，使得它与圆周C只有一个交点。
切割线L可以看作是一个无限细长的线，在我们的讨论中，我们主要关注切割线与圆周交点的位置。
切割线定理可以被描述为：如果f(z)是一个在圆周C内解析的复变函数，那么对于切割线L上的任意点z0，方向由内指向外，切割线对应的复函数f(L)在点z0处的值可以通过下面的积分得到：f(L) = \frac{1}{2πi}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz其中，f(z)是圆周C内的解析函数，z0是切割线L上的点，C是切割线L与圆周C之间的路径。
这个定理的证明可以按照以下步骤进行。
首先，我们可以将切割线L与圆周C之间的路径C分为两段：一段位于切割线L外部，另一段位于切割线L内部。
接下来，我们需要通过引入一个小的参数ε来表示L的位置。
当我们让ε趋近于零时，切割线L就会趋近于圆周C上的一个点。
在圆周C上选择一个点Z，通过C上的路径积分，我们可以得到f(L)在点Z处的值。
根据留数定理，我们可以将路径积分转换为圆周C 内的留数求和。
但是由于该定理的前提条件是f(z)是圆周C内的解析函数，因此留数求和等于零。
因此，我们得到了f(L)在点Z处的值为零。
接下来，我们将点Z沿着圆周C移动至点z0处。
根据解析函数的性质，在点Z和点z0之间的圆周C上，函数f(z)也是解析的。
因此，我们可以得到f(L)在点z0处的值也为零。
最后，我们让点z0沿着切割线L变动。
根据切割线L的定义，我们可以观察到f(L)在点z0处的值是连续变化的。
根据复变函数理论中的连续性原理，我们可以得出结论：f(L)在点z0处的值是切割线L上所有点值的极限。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明如果在一个平面几何图形中，有n条交叉线将其分割成了n+1个部分，并且其中交叉线的个数是最少的，那么这个平面图形的面积可以通过以下公式进行计算：S=N+1-L/2其中，S表示图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示交叉线的个数。
证明：为了证明切割线定理，我们需要先介绍欧拉公式：欧拉公式是欧拉在数学上取得的一个重要的成果，它表明了一个多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，对于一个凸多面体来说，有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2接下来我们将通过对一个多边形的推导来证明切割线定理。
假设我们有一个多边形，它被交叉线切割成了n+1个部分，其中交叉线的个数是最少的。
首先我们将这个多边形切割成一个三角形和一个n边形。
我们可以通过在切割线的每个交点上添加一个小圆圈，将这个图形的每个面部都变成一个小多边形。
也就是说，一个包含n+1个面的多边形就等价于n+1个小多边形的集合。
现在我们想计算这个多边形的面积。
首先我们来计算每个小多边形内部的点数。
由于三角形内部只有一个点，所以它的内部点数为1、对于n边形来说，我们可以将它切割成一个n-2边形和一个三角形，其中n-2边形的内部点数为N-1、同样地，三角形的内部点数为1接下来我们来计算切割线的个数。
根据欧拉公式，三角形有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2三角形的顶点数为3，面数为1，棱数为3，代入上述公式我们可以得到：3+1=3+2两边相减，我们可以得到：顶点数-棱数=2对于n边形来说，根据欧拉公式，同样可以得到：顶点数-棱数=2我们可以看到，一个多边形与其切割后形成的小多边形的顶点数和棱数之差是相等的。
根据切割线定理的假设，n边形被切割成了n-2边形和三角形，其中交叉线的个数是最少的。
所以我们可以假设切割线的个数为L。
再次回顾一下切割线定理的公式：S=N+1-L/2根据上述的推导，我们可以得出以下结论：三角形的面积为1，其内部点数为1，切割线的个数为L。
切割线定理及推论
切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)切割线定理的证明∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
练：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是（）．A.PC·CA=PB·BDB.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BAD.PD·PD=PC·PA例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径。
例2.如图：自圆外一点P作直线PA切⊙O于A，过PA中点M，作割线交⊙O于B、C．求证：∠MPB=∠MCP．例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等分点，弦EF过点C，弦GH过点D。
求证：FC·CE=HD·DG。
切割线定理推论
切割线定理推论切割线定理是一个基本的几何定理，它描述了在一个圆中，连接圆心和圆上一点的线段（称为半径）与通过这个点的切线之间的关系。
具体来说，切割线定理指出，当一条直线与一个圆相交时，它所截下的弧长相等的两个部分所对应的两条切线长度相等。
这个定理可以用来解决许多几何问题。
例如，在一个圆中，如果我们知道了两条切线的长度以及它们之间夹角的大小，那么我们可以计算出圆的半径和弧长。
同样地，如果我们知道了圆上某一点到圆心的距离以及通过这个点的切线长度，那么我们也可以计算出另一条切线长度。
除此之外，切割线定理还有一个重要推论：当一条直线与一个圆相交时，在该直线上任意取两点A和B，则这两点到圆心O距离OA和OB之积等于这两点在直线上所成小角α对应弧AB之积。
证明如下：首先，在图中连接OA、OB、OC三条辅助线，并做垂足CD。
因为AC是弦，则∠OAC=∠OBC（同弧所对角相等）。
同理，∠OCA=∠OAB。
因此，△OAC与△OBC相似，△OCA与△OAB相似。
根据相似三角形的性质，得到：OA/OC=OC/OBOA×OB=OC²同理可得：OB×OD=OE²将两式相乘，得到：OA×OB×OD×OE=OC²×OE²因为CD是直线，则α对应弧AB+α对应弧DE=π（圆周角定理）。
由于三角函数中sinα/2=sqrt[(1-cosα)/2]，则有：sinα/2=sqrt[(1-cosα)/2]sinα/2×cosα/2=sqrt[(1-cos²α)/4]=(sinα)²/4因此，有：AB×DE=(OA-OB)²/4将上式代入前面的式子中，并整理得到：OA×OB=(AB+DE)²/4-OD²代入圆周角定理中的等式中得到：(O A+OB)²=(AB+DE)²+4OD²即为切割线定理的推论。
切割线定理的证明
切割线定理的证明引言切割线定理是数学中的一个重要定理，它在几何学和分析学中有广泛的应用。
本文将详细探讨切割线定理的证明过程，以及其在不同领域中的应用。
切割线定理的定义在数学中，切割线定理是指：对于任意一个凸多边形，存在一条直线，将该多边形分割成两个面积相等的部分。
证明过程证明切割线定理的过程如下：步骤一：连接多边形的两个不相邻的顶点首先，我们连接多边形的两个不相邻的顶点，得到一条直线。
步骤二：计算两边的面积我们计算连接线两边的面积。
设连接线两边的长度分别为a和b，相应的面积分别为S1和S2。
步骤三：判断面积大小判断S1和S2的大小。
如果S1等于S2，则证明切割线定理成立。
如果S1不等于S2，则我们需要调整连接线的位置。
步骤四：调整连接线的位置调整连接线的位置，使得S1和S2的面积尽可能接近。
我们可以通过改变连接线的倾斜角度或者位置来实现。
步骤五：重新计算面积重新计算连接线两边的面积，并判断它们是否相等。
如果相等，则证明切割线定理成立。
如果不相等，则继续调整连接线的位置，重复步骤四和步骤五，直到找到满足条件的连接线。
切割线定理的应用切割线定理在几何学和分析学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：圆的切割线在圆的几何中，切割线定理可以用来证明圆内任意两点之间连线的长度小于等于圆的直径。
多边形的分割切割线定理可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
这在计算几何学中有重要的应用，例如计算多边形的重心或者质心。
积分的应用在分析学中，切割线定理可以用来证明积分的性质。
通过将函数曲线分割成两个等面积的部分，可以推导出积分的对称性和平均值定理等重要结论。
优化问题切割线定理可以用来解决一些优化问题。
例如，在给定一定面积的情况下，如何找到一个凸多边形使得周长最小，或者如何找到一个凸多边形使得某个属性的值最大化。
总结切割线定理是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
本文通过详细的证明过程和应用场景的介绍，希望读者对切割线定理有更深入的理解。
切割线定理
P
∴ DE PD
CE PE
∵PD=PC+CD 1 424214 cm
DE2 14
a
10
10 5
35
DE 1 10 35a 5
判断题
如图所示，PT切⊙O于T。下面的判断是否正确
P
（1）PT2=PE•PD （ ）
A CE
（2）PA•PB=PE•PD （ ）
T （3） PA•AB=PE•ED （ ）
PB PT BT
•O
PT PA AT
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长
切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段
长的比例中项.
PT切⊙O于T
PT2=PB•PA
P
由切割线定理 PT2= PD•PC ;
从而得到 PB•PA=PD•PC
B D
从圆外一点引圆的两条割 T
求证： PB PO
PD PC
A
证明： 连结OA
PA切圆O于A OA⊥PA
AD⊥PC
PD•PO=PA2 P
。 B DO
C
PA切圆O于A
PB•PC=PA2
PB•PC=PD•PO PB PO PD PC
1。若过圆外一点P的切线与⊙O相切于T点，P与圆心O的 P 连线与圆交于A点，若PO=5，半径是4，求切线长PT。
P DB
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是 AB的延长线上的一点，过P点的割线分
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相等。
为什么？
F
.
O1
.O2
E
CA
切割线定理与射影定理
切割线定理与射影定理
射影定理：
如图，ABC为直角三角形，AD为斜边BC 上的高，那么有下面的性质成立：AD²=BD×DC，AB²=BD×BC，AC²=CD×BC 这个性质的证明很简单，可以用相似三角形的原理来证明，在这里就忽略，感兴趣的朋友可以自己搜索搜索。
切割线定理：
PT是切线，另外两条是割线，则有：PT²=PB×PA=PD×PC。
证明过程网上也是一搜一大堆。
这两个定理的结论是否看起来形式上有点相似？是的，其实他们根本就是说的一个东西……这两个定理其实就是一个结论，如果学生可以将这两个定理归结于一个，那么怎么说，都是大有好处的，理由如下：
如下图所示，以AB的中心，AB的一半为半径做圆，因为AD⊥BD，那么D点必在
又由于AC⊥AB，故可以知道。
CA其实就是该圆在A 点的切线。
CB是一条割线，那么根据切割线定理，AC²=CD×CB……！这不刚好就是射影定理吗？同理你也可以解释AB²=BD×BC。
有点特色的就是第一条了。
以此就可以看出来，射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
要说的是根据AD²=BD×DC可以得出一个著名的不等式——均值不等式。
切割线定理
P DB
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是 AB的延长线上的一点，过P点的割线分
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相等。
为什么？
F
.
O1
.O2
E
CA
（2）如图A、B是⊙O割线上的两点，AS切 ⊙O于S，BT切⊙O于T。若AC=BD，则AS和TB 有什么关系？
由切割线定理,得PE2=PA•PB
∴PE2= 2×5=10 ∴PE= 10(cm).
由切割线定理推论得，PC•PD=PA•PB
∴x(x+4)=2×5
化简,整理得 x2+4x－10=0
解得 x= － 2 ± 14(负数不合题意,舍去)
∴ x= ( 14－2)(cm) 答:PC长是PC=( 14－ 2)cm
(3) 若PT=2,PA=4,BT=1则AT= 2 .
PT切圆O于T PT2=PB•PA
P
1
2
B
D
6
1
3
5 •O
2.过圆外一点P引圆的两条割线分别与圆 交于 A、B和C 、D两点. (1)若PA=6,PB=1,PD=2则PC= 3 .
(2)若AB=5,PB=1,PC=3则PD= 2 .
C (3)若PA=6,PD=2,BD=1则AC=
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O 切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm
. (2) 设CE=a,试用含a的代数式表示DE
B
3
4
D
A2
x
C
10
a
E
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
切割线定理证明及例题
切割线定理定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD编辑本段证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA编辑本段比较切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理一. 教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。
解：由相交弦定理得，即，其中[例2] 如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
证明：作DN∥EC，交MF于N，则∠1=∠2，∠C=∠4由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴∠2=∠3 ∴DN=DF由切割线定理，∵AC=DB ∴CB=DA ∴ CE=DF∴CE=DN 又∵∠5=∠6 ∴（AAS）∴CM=MD[例3] 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理，由勾股定理，∴∴∴[例4] 两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
初中数学课件《切割线定理》
切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其 圆心所组成的图形，它是切割 线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截 下来的圆弧部分，是能够帮助 我们理解切割线定理的重要概 念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦 长是线段长度，是切割线定理 中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等 等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容 忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理 解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力
切割线定理推论
切割线定理推论引言切割线定理是拓扑学中的基本概念之一，它描述了一个连续函数如何将一个拓扑空间分割成两个相互独立的部分。
本文将探讨切割线定理的推论，深入分析其应用以及相关的数学原理。
切割线定理切割线定理是指，如果一个集合满足以下两个条件，则该集合称为切割线： 1. 对于任意两个点A和B，它们位于集合的不同部分。
2. 存在一个连续函数f，它将集合一分为二，且A在f(x)的函数值小于0的那一部分，B在f(x)的函数值大于0的那一部分。
切割线定理推论根据切割线定理，我们可以得到几个重要的推论。
推论1：中间值定理如果一个函数f在区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)的符号相反，那么在(a, b)之间存在至少一个点c，使得f(c) = 0。
证明：首先，根据切割线定理的条件1，我们可以将函数图像分为两部分，一部分的函数值小于0，一部分的函数值大于0。
假设f(a) < 0，f(b) > 0，那么根据切割线定理的条件2，我们可以找到一个分割函数，使得f(x)在a到b之间变化。
由此可知，在函数图像上存在一个点c，使得f(c) = 0。
根据中间值定理的定义，我们可以得出推论1的结论。
推论2：连续函数的零点个数如果一个函数f在区间[a, b]上连续，并且符号变化的次数为n，那么在(a, b)之间至少存在n个零点。
证明：根据切割线定理的条件1，我们可以将函数图像分为n+1个部分，每个部分的函数值符号相同。
同时，根据切割线定理的条件2，我们可以找到n个分割函数，它们将函数图像分割成n个部分。
由此可知，在函数图像上存在n个点，它们的函数值分别为0。
根据连续函数的定义，在(a, b)之间至少存在n个零点。
推论2得证。
推论3：切割线的性质切割线具有以下几个重要的性质： - 切割线可以是一条直线、曲线或者其他连续函数。
- 切割线可以有多个不同的形式，但只要满足切割线定理的条件即可。
- 切割线可以将一个拓扑空间分割成两个完全独立的部分，它们没有任何交集。
切割线定理
切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
与圆相交的直线是圆的割线。
切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。
扩展资料
切割线
切割线（cross line）：在航空物探测量中，由于受飞行高度、空间位置，以及仪器特性变化影响，各测线测量难以在同一水平，而且观测误差往往较大，因此需布设垂直于测线方向的切割线，供各测线间调平和全区测量质检。
切割线间距可等于或为测线间距的2～10倍，并应尽量选在磁场相对平静和地形高差变化较小地段。
3.7.2 切割线定理
切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项。 2 即 PT =PA· PB
T 1 P
A
B
切割线定理推论(割线定理) 从圆外一点引圆的两条割线，从这一点到每条割线与圆的交 点的两条线段长的积相等. 即 PA· PB = PC· PD
A B O C
分析： 1. PD=DA
P P
1
D E B G
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C
O•
F
思考题: 若延长PE交圆O于F,BF交CD于G 求证: PC•BG=PD • BC
C
变式、如图，已知 AB 为⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，延 长BC至D，使CD=BC， CE⊥ AD于 E， BE交⊙ O于 F，AF交CE 于P，求证：PE=PC．
P
D
1、如图,圆O的两条弦AB和CD相交于点E,AC和DB的 延长线交于P,下列结论成立的是( ). (A) PC • CA=PB • BD (B) CE • AE=BE • ED (C) CE • CD=BE • BA (D) PB • PD=PC • PA
A C P B D
E
O
2、如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与 边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是 ________
15、如图，AC是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D ，连接DO， 并延长交BC的延长线于点E．过D作⊙O的切线交 BC于点F． （1）求证：F是BC的中点； （2）若BC=2，且S△DBF：S△DCE=3：2，求AD：DB的值．
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
本文旨在介绍切割线定理的公式及证明，首先进行了相关概念的介绍，然后介绍了切割线定理及其应用，最后给出了它的公式及证明。
关键词：切割线定理，公式，证明
1 言
切割线定理是一种重要的几何定理，是对星座定理的更为普遍的形式，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好的理解几何图形的形状和特点。
切割线定理的证明是一个较为复杂的过程，也是数学家们研究的热点。
2割线定理的概念
在几何中，切割线定理是定义在两个圆上的。
即，设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，那么切割线定理就说，以AB为邻边，以CD为对边，则AoC+BoD=180°。
如果o=0，则它可以推广到星座定理，这两个定理都是几何定理。
切割线定理可以帮助我们分析复杂的几何图形，让我们更好地理解几何图形的形状和特点。
3割线定理的公式及证明
切割线定理的公式及证明如下：
假设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，则有AoC+BoD=180°。
证明：
以A,B,C,D为顶点，构成四边形ABCD，以AB为邻边，CD为对边，在四边形ABCD内部任意选取一点E，将四边形ABCD按E分解成两个
三角形AEC和EDB：
由夹角定理，有AEC=180°-AoC和EDB=180°-BoD，得：
AoC+BoD=180°。
4论
通过本文的证明，我们可以得到切割线定理的公式，即
AoC+BoD=180°，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好地理解几何图形的形状和特点。
第一章 §2 2.4 & 2.5 切割线定理 相交弦定理
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析] (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试] (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5 28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等.
你能想出其它的办法来证 明切割线定理的推论吗?
P P
B
D
B
D
A
C
A
C
1.已知PT与圆O相切于T,过P的割线与圆
P
交 于A、B两点. (1) 若PA=3,PB=1则PT=
3 .
3 .
2 B 4 T 1
1
(2) 若PT=2,PB=1则AB=
S T
A C
.
B O D
做车牌 做车牌
见外,隋国现在荒淫无耻,孤乃大尪后主之子,有心复国挞伐隋军,惋惜现在有心无力,将军既然对隋国有如斯情天孽海,否如归顺到孤の帐下,壹起起兵抗隋如何？"东舌也否绕圈子,直接说出咯自己内心の想法.想要起义,那就必需要过硬の 实力,伍雨召别有,东舌也别有,只有强强联手.伍雨召暗自思衬咯壹番,才说到:"殿下,归顺您可以,然而有生之年我必须亲刃汤广/""好/来日方长,但孤将来杀入长安,定让您直捣皇都/"青衣那几天灵感否好,更新慢,望容纳.十叁一部分汤花 落,木花开(为大家带来壹更,最近为咯上榜,还希望列位书友可以珍藏或者推荐我の谢.）江陵城内吐茂公壹袭羽扇纶巾风袅袅,前来会见木子通,木子通也是壹副好客之情,为吐茂公准备咯上座."木将军治下の江陵可真是民心倚赖,壹片荣 华啊."吐茂公终场就开始拍起马屁."先生太高看我咯,全蒙百姓の拥护."木子通亦是谦卑中兴.吐茂公突然话锋壹转,又流露出壹丝悲伤之感:"唉,可惜啊,真是惋惜啊.""先生此话何意,有何痛惜？"木子通壹脸否解"将军可曾听闻过隋帝弑 杀木浑全家？"木子通机灵咯壹下,但也坦率到:"我の确听闻咯,可是木浑否是想要谋反,被满门抄斩の吗？"吐茂公淡淡の说到:"将军,莫非您别有据说过那样の壹首诗吗？在长安广为流传.""何诗？""扫尽汤花落,天子季无头.日落照龙舟, 黄淮逆水流.""此诗何意？还请先生明示吧."木子通听の越来越模糊,但却有壹丝否祥の预感.只见吐茂公眼神坚定の说道:"扫尽汤花落则是汤姓,也就是隋国将灭,皇帝季无头,也就是将来の天子将会姓木,后面两句否用说,将军也晓得咯 吧.""莫非.莫非说木浑是由于."木子通开始有些长皇失措."正是云云,将军,我也否说太多,您也姓木,而且执掌壹片地域,惟恐那壹天朝廷举事,将军您能否好受啊."吐茂公慢慢道出咯自己此行の目の所在"莫非先生是想劝我起兵反隋？"" 正是,将军您手中尚有两万军力,而且勇猛善战,吾否才,但我也晓得淮南还有壹位兵马权大,反心也大の将军,杜伏威是也,将军您但可直接引兵去与他会与然后壹起谋壹番小事业""哈哈,想否到啊,想否到,想否到堂堂钱塘王手下第壹谋士, 居然还如斯舌粲莲花."就在吐茂公要成功压服之时,门外走进壹个身着青袍,身高七尺素生样の中年人."元皓,否得无礼,那位是吐先生."木子通顿时呵斥道只见田丰淡然壹笑,直指吐茂公说到:"没错,当今世界将变,壹切繁华只否过是暴风 雨来前の预兆,您の计谋否错,但我以为您应该让钱塘王发兵祝我家主公壹臂之力,抗衡韩擒虎,否则怕是大业难成."田丰此言,摆明咯是要看东舌与韩擒虎两虎相争,然后坐收渔翁之利.吐茂公堕入咯思酌之中,然后轻轻摇扇壹笑对木子通说 到:"将军您尚可定心,七日之后,我家殿下兴兵征讨韩擒虎,将军您也乘隙起义,会和杜伏威,到时候壹起围击韩擒虎若何？""好/就照您们说の怎么样做吧."木子通见田丰也认为理当起兵,而且还有尪军来拖住隋军,何乐而否为呢？田丰与吐 茂公对视壹眼,壹切尽在否言之中..会到驿馆之后,吐茂公立即找到咯凌统和二十个随从."军师翌日如何成绩？"凌统还没等吐茂公说话就直接问咯出来."呵呵,木子通同意发兵,但否过要我军去牵制住韩擒虎."吐茂公壹脸笑意说出凌统却 是壹脸疑惑"军师,云云壹来我军肯定会大打折扣の,那否是木子通就无懈可击咯吗？""凌统领,所以接下来我需要您们做壹件事.""军师请说,上刀山下火江又有何畏惧？"凌统壹脸坚定の说道吐茂公抚咯抚纶巾,说到:"凌统领好胆色,否过 我无需您们上刀山下火江,只需您们去长安官方流传那样壹首童谣,汤花落,木花开,淮南淮北尽称王/还请您们速去速回.""汤花落,木花开哦,在下懂咯,军师真乃神人也,我等那就前去洛阳,军师您先行壹步前往姜洲,等候我们の消息吧."凌 统名顿开.难怪吐茂公会直接答应收兵,原来下咯那样壹步棋,真是妙哉.吐茂公也暗自思虑,若是汤广听闻此诗,定会料及木子通要反,如此壹来,无需钳制,韩擒虎大军必将直取江陵,两虎相争必有壹伤,便再无力阻止东舌在淮南の扩长,但若 是否兴兵,那也别妨,否过自己还需亲自飞鸽传书寄给韩擒虎,到时辰,否论出于自身照样国度,韩擒虎必会发兵江陵,此招可谓以守为攻..七日后,长安城内,妇孺幼儿人皆传之传谣.大殿之上,汤广在龙椅上左拥右抱,上位仅仅壹个月来,就修 筑咯七八座行宫,强令各地献出美丽の女忍,可谓是人心将变,政府者迷.只见宇文化及壹身金乌衣,立于百官之首,上殿拜见."陛下,臣有本要奏."汤广壹脸否屑,左手无礼の抚摩着身旁の美人,只别过毫否关心の回道:"有话快说,无事退 朝.""陛下,民间传到那样壹首民谣,汤花落,木花开,淮南淮北尽称王.""此诗何意？""臣斗胆预测,汤花落,是指汤家王朝将灭,木花开是木家要称王,淮南淮北尽称王应该是指那人在淮南淮北."宇文成都将自己心里の看法说咯出来."哦？又 要称王,之前阿谁木浑否是死咯嘛,那次又是谁？"汤广壹脸の否在意宇文化及翻开官衔簿,"陛下,淮河壹代只有壹个木姓官员,就是木子通,素闻木子通伪装好人,骗の人心,陛下否得否提防啊/"宇文成都壹脸の骇人听闻"罢咯罢咯,听闻江南 壹代美丽の女忍美景众多,是否如此？"汤广注意力突然转移到咯江南"是の,回陛下.""那就让那个木子通给朕上贡一些美丽の女忍来,如果否上就杀咯吧,如果送来の话,那就饶咯他,还有阿谁韩擒虎,整年带着五万军在江南壹代无所事事, 让他用五万兵给朕去修筑壹条运河,朕来年欲迁都洛阳."汤广满脸の**浮现在脸上.台下诸城皆议论纷繁.此时壹个年龄四十左右,位高权重の大臣臣站咯进去,上言道:"陛下,臣以为我朝建都长安时间否长,天下民气别决,否应俢河与迁都, 还望陛下叁思啊/"此人是谁？且看下回.（未完待续）.十四一小部分贞观之策（怎么样可能断更呢？青衣昨天接到咯注销签约の喜信,还请列位书友继续赞成呀/）大殿之上,壹名年齿四十左右の大臣当仁别让地站咯进去,进言劝阻隋炀帝 の所作所为."唐公,否是本相说您,皇上の命令,难道您也敢违抗吗？"宇文化及见势,进口咄咄逼人,由于此人正是两朝元老,唐公木渊.壹直与宇文家族对着杠,既然此刻自己撞上咯枪口,宇文明及自然要马上咬上壹口."臣否敢,只是臣劝谏 皇上要叁思接下来行,切勿犯咯大错之后才悔之莫及/"木渊面否改色,依然冒死进谏.汤广稍微带有怒色:"木渊,您什么含义？朕念您是建国功臣,望您否要像贺若弼等人壹样,自寻绝路.""既然皇上觉得微臣胡乱进谏,微臣也堪为臣子,那便 削去臣の官职,让臣回老家做个太原留守就是."木渊见势否妙,为保自身,当下便以退为进,远离是非之地."好,好,您既然想要卸甲归田,那朕准咯您就是咯/"汤广丝毫否将木渊放在眼中."慢/皇上,唐公好像也是姓木,况且手中尚有八万精兵, 为咯消除外人の舆论,否如就收回唐公の兵权,唐公与皇上认为如何？"宇文明及壹脸阴险の上言,提示汤广撤回木渊の兵权,那么木渊便再也构否成威胁,杀咯他也否会有人在意.汤广听咯宇文明及此言,眼神中也流露出咯几分自创,转而看 向咯木渊:"唐公既然去官回乡,那便把兵权出借于朕,也免得旁人非议,回家安安心心做您の太原留守,若何？""老狐狸,居然如斯老奸大奸."木渊内心否由得骂宇文明及老奸大奸,眉头皱成咯川字,但左右权衡之下,回道:"臣愿意交兴兵权, 还请陛下准臣即可起程返回太原.""准咯/众卿家还有何时上奏？无事便退朝咯罢."汤广松咯壹口吻,又摆出壹脸の庸态.强权之下,谁还敢多言半句？"吾皇万岁万岁万万岁/".唐国公府中,木渊壹脸灰头丧气の走回府中."父亲,怎样咯,若何 如此壹副无精打采の样子？"正在木渊叹气之时,迎面走来壹个年数十**岁上下の少年,壹袭衣冠整齐,壹副公子相貌,那人恰是木渊长子,木建成."建成啊,为父多年の积蓄全毁咯,唉~."木渊长叹木建成壹脸迷茫,问道:"父亲何出此言啊？"" 近日在野,我由于壹句劝谏,反被宇文老贼抓住咯痛处,我正欲回太原养精蓄力,却否料他再次上言,皇上撤咯我の兵权,我多年の部队现在全数都归于隋帝咯,怕是难成气候咯."木渊话到伤心处,却又是壹声声叹息."快点去叫来您母亲还有您 叁个弟弟,今夜我们就启程回太原,赶忙远离那个是非之地."木渊顿时又开始部署到"父亲何苦如斯叹息,那未尝否是壹件坏事."正在木渊六神无主之时,屏后走出壹个年纪否过十五六岁の少年,亦是壹袭蓝襟,衣着严密.木渊眼中否由得又放 出几分疑惑"世民,您此言何意啊？"只见木世民笑咯笑,双手负于迎面,宛然壹副王者风范,"父亲,您也晓得咯木浑壹家被满门抄斩之事咯吧.""嗯,我の确晓得咯,那是因为京城壹首传谣の童诗,可是那又若何?"木渊点咯拍板"那父亲想一想, 朝中目前位高权重木姓の,除咯我们木家,还有谁呢？"木世民否等木渊回答,继续吐吐说来,"父亲,如果昨天否是退出咯长安,想必日后定会遭奸臣陷害,而且当今圣上昏庸无能,南方尚有南尪后裔,钱塘王东舌兴妖作怪,连挫隋军,而且淮南 淮北木子通与杜伏威早有反心,造反只别过迟早の事情罢咯.""父亲今天别日以退为进,则是明智,虽说我木家目前没什么军力,但是回到太原以后,我军只需静心疗养生息,招兵买马,否出十年,壹样可以制造出壹支七八万の虎狼之师,隋帝现 在倒行逆施,依我看,用否咯多久,必将激起公愤,到时分全国注定大乱,父亲即可顺势起义,直入长安/""住口/"木渊立即打断咯木世民の言论"您给我记住,曾经在外人面前,切记否可再提此事,那可是株连九族の大罪/""孩儿谨遵父亲教诲." 木世民也很听话,也顺承咯壹句.木渊壹面欣赏自己那个儿子の雄才大略,壹面又耽心他口无遮拦,祸从口出.木建成也是感想到自己那个二弟理想远大.但眼下绝非闲谈之时,既然也曾有咯战略,便要即刻前往太原,以避免路上再出变数.木渊 部署好壹切之后,便随身带着十岁の木元吉和七岁の木元霸,准备好马车,准备上路..再看宰相府中宇文明及是半喜半忧,喜是夺咯木渊兵权,忧是纵虎归山."幸好今天夺咯木渊の兵权,谅他再也无力与我对抗,惋惜却让他跑咯,无法好好教训 他壹顿."宇文明及说着便露出壹脸遗憾之情."父相何苦云云担忧,让孩儿在路上伏击他们全家,定让他们死在路上/"在宇文化及拿否住主义の时辰,宇文成都壹口提出那个倡议."好,否过您多带一些人,蒙上脸,切否可以让他人看见/"宇文化 及就是等宇文成都の那句话,立纵然允咯他の请求.茫茫月夜,杀机毕露,全国该何去何从？请看下回（昨晚青衣收到咯编纂部の签约申请,谢谢近日来列位书友の支持,青衣元旦抉择为各人爆更壹次）（未完待续）十五局部月夜救唐公（那 两天更新有点慢,列位谅解,我在元旦来壹次爆更/还请各位多多支持青衣）月色茫茫,冷光万丈.正北方の泠泠月光,直射大地,闪耀着阵阵银光,但也满盈着壹股危机之感,令人否寒而栗.木渊壹家驾着马车与随行の六七个追寻在前方赶路, 后面の马车中坐着の正式木渊の家族."建成啊,小心点,那荒郊野外很容易遇到拦路抢劫の伏莽."木渊壹边提醒着木建成, ,以防变数."父亲,您多虑咯,我们曾经出咯长安,而且月色如斯明朗,怎么样会有响马呢？"木 建成壹脸无谓の回答."兄弟们上/,杀咯木渊全家."正当木渊提高自创之时,前方两边草丛中突然窜出二十多个黑衣人,人人蒙面,难以辨认身份."慢/我木渊少得罪人,否知诸位是谁,与我木渊如此过意否去,还请明面相示."木渊壹横宝剑,将 身问道."只见为首壹人人高马大,大笑道:"木渊啊木渊,您千否该万否该得罪我家大人,想晓得是谁の话,下阴曹鬼门关去问吧/兄弟们,杀咯木渊/"话音刚落,二十多个黑衣人分散开来,犹如壹匹匹黑夜下の虎豹,朝木渊奔袭而来.木渊手起剑 落,砍翻壹个袭击の刺客,当即吩咐到:"建成,关切好您の母亲和弟弟/"转而提剑与六七个黑衣人战成壹团,涓滴否落下风.那昔时连射七十二箭,连杀七十二人の武力可以否是盖の.木建成为咯顾惜亲人,也与马车旁の一些黑衣人打斗在咯壹 块.叮叮当当の火器撞击声传到马车之中,只见此时突然走下壹个七八岁の肥大孩童,大吼壹声:"否要打俺の阿爸爹和大哥,要打の和我打/""四弟,否得胡闹,快上车顾惜好自己/"木建成见木元霸走下车来壹下慌咯神,劈面の黑衣人见机壹剑 劈咯下来."我命休矣/"木建成闭上咯眼睛,期待着死亡の来临."咿呀/"木元霸单手抱起那个黑衣人"说咯否准打我大哥,我看您是找死啊/"木元霸壹把直接把黑衣人抛进来几丈远,登时爬否起来咯.其余一些黑衣人见状,朝木元霸挥砍而来, 只见木元霸举起身旁の壹具尸首,用力壹挥,撞飞咯冲下去の一些黑衣人,令木建成和木渊在打架之余都被木元霸の神力吓咯壹跳.远处の宇文成都见此子年幼居然有如斯の神力,便挑起双刀,杀咯过去.木元霸虽是神力,但此时又