函数的单调性教师版
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单调增区间
函数y ＝x x
+-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞)
.函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32
，＋∞) C.(－1，32) D.[32
，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的定义 域为(－1,4)，
又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32
，4)上递减， 所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32
，4)上递增. 答案：D
函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是
2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++
解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)
x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和
（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+
当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--
即22(1)4(13)(1)4(13)
x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和
单调性的应用
1.求参数范围
(精选考题·抚顺六校第二次模拟)f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x >1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)
B ．[4,8)
C ．(4,8)
D ．(1,8)
解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.
解得4≤a <8，故选B.
2. 若函数f (x )＝|log a x |(0 ________． 解析：由于f (x )＝|log a x |在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0 ，此即为a 的取值范围． 答案：12 3. ．已知函数f (x )＝3－ax a －1 (a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时10，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 答案：(1)⎝ ⎛⎦ ⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 4. 【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2 在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )． A ．a ＝－3 B ．a <3 C ．a ≤－3 D ．a ≥－3 解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎨⎧ a －3<0，a ＋2≤－1， 即⎩ ⎨⎧ a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C 5. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，且周期是3，那么下列三个数(lg100)f , f (2 π), f (23π)，从大到小的顺序是f (2 π)>(lg100)f >f (23π) 例5．函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围． 分析：由函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x +- >恒成立． 解：∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得1212 88a a x x x x +-<+-，即1212 ()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴12 10,a x x +> 121,a x x >- 12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥； 又∵函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->， 即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-． 另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+- 在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x '=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．