基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟

基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟

ALI SHAJII，DANIEL SMITH

MKS Instruments, 90 Industrial Way, Wilmington, MA, USA, 01887 对于各个计算组织，等离子体的

模拟一直是个极大的挑战，有很多不

同近似程度的模拟计算方法。包括完

整的动力学计算方法，流体近似方法

和关于漂移扩散方程的方法。近几年

来，有人用Fokker-Planck方程处理

等离子体中的电子，同时把离子当作

流体进行耦合计算，获得了很好的计

算结果。本章我们将介绍基于通用

Fokker-Planck方程的计算求解过程，

并通过一个具体实例得到电容放电过程的电子密度分布。希望通过该简单模型使读者对等离子放电建模过程有个初步的了解。

1．引言

各种工业等离子体应用“过程”中都存在一个关键步骤[2][3]。历史上曾采用各种不同方法对等离子体进行简化建模，分别对应于不同层面问题所需准确性

[3][5][7]。这些层面包括：

●完整的动力学模型（多组分Boltzmann方程）[4]；

●使用Monte-Carlo方法的颗粒模拟[3]；

●Fokker-Planck近似[1][7]；

●多尺度流动模型（也被称作漂移扩散模型）[3]。

出于种种原因，使得

等离子体的建模和模拟

非常困难。首先，最直接

的使用多流体方程的模

型不能反应相关的等离

子体物理过程。其次，“水

动力学”系数完全取决于

研究的特定问题，不能作

为纯气体或液体的常数

简单测量。最重要的一点

是，完整的动力学模型包

括Boltzmann方程，计算

求解非常困难。

对于完整动力学模型和流动模型之间的需求空白，通常采用Fokker-Planck (FP)近似或者Monte Carlo (MC)颗粒模拟。这两种方法可以在所需计算复杂度和捕获等离子体重要物理细节之间找到一个很好的平衡。

本章的主要目的是展现用COMSOL Multiphysics求解FP方程的功能。为了对该问题给出一个整体认识，我们把侧重点集中在一个简单的例子上。特别是在

第二节我们通过一个简单的例子对FP 方程给出一个直观描述，将它用于布朗运动的颗粒模拟。本章最主要的贡献在于介绍了如何在外部电场情况下对电子动力学过程进行建模。最后，在第四节中对如何使用COMSOL Multiphysics 实现该模型给出了详细的讨论。

2．一维FP 和Langevin 方程

对FP 方程直接求导可以得到Langevin 方程[1]。考虑浸没在流体中的“布朗”颗粒，如果颗粒足够小，会同时受到两种力。一是颗粒和流体介质间的粘性力，它会降低平均颗粒速度。二是颗粒与流体“分子”间随机碰撞的力。该布朗颗粒的运动控制方程如下[1]：

()t υ

γυ=-+Γ (1)

其中γ是阻尼系数，随机项()t Γ表示颗粒与背景流体的连续碰撞。对于这个简单的例子，通常我们假设粘性力线性依赖于颗粒速度。同时，根据随机近似，

Langevin 力必须满足以下方程[1]：

()0()(')(')

t t t q t t δΓ=ΓΓ=-

其中2/q kT m γ= [1]，

表示整体平均，T 是流体温度，k 是Boltzmann 常数，

m 是布朗颗粒的质量。同时注意到力Γ可以很容易的通过MATLAB 函数randn （见第四节）实现。给定适当的颗粒数和初始条件后，使用MC 方法可以很容易的求解方程(1)。为了对颗粒在时间t 时的速度进行精确静态测量，颗粒数通常需要超过一百万。最简单的初始条件为0(0)t υυ==。

总之，Langevin 方程描述了背景流体介质中布朗颗粒的运动。当然，如果没有随机力，颗粒的路径为0t e γυυ-=。但是由于Γ的存在，方程(1)对于很多颗粒算出的解通常是条分布曲线，分布的宽度由q 决定[1]。

FP 方程为MC 方法提供了另一种思路。包含随机力的Langevin 方程可以等价与以下偏微分方程：

2w q w w w v t v v v γ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

(2)

初始条件和边界条件为：

0(0)()()0w t v v w v δ==-→±∞=

(3)

其中w 是颗粒在速度空间中的分布概率，也就是颗粒出现的概率，在无限大系

统中，速度通常表示为wdv 。初始条件(3)如图1所示。

求解该偏微分方程等价于对无限个颗粒进行Monte-Carlo 模拟，以获得t >0时的概率分布函数。图2给出了两种方法的比较。MC 方法针对初始条件为00υ=的情况，求解了20000个常微分方程。

这还不是强非线性阻尼力和三维空间情况下的颗粒运动，即使如此，对于这个简单的例子，求解偏微分方程的时间和常微分方程一样。当颗粒痕迹的常微分方程是非线性时，或者需要从FEA模拟中查询外部力的值时，MC方法的计算时间就会变得非常大。

图1 初始条件w

图2 各时间步长下Fokker-Planck 和Monte Carlo 方法的对比

作为例子，我们考虑修改后的Langevin 方程：

3()t υ

γυ=-+Γ

(4)

和相应的FP 方程[1]：

1

21D w w w D w D t v v v

v γ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (5)

其中31D v γ=-，2/2D q =。这种情况下的分布函数如图3所示。即使计算一百万个颗粒，常微分方程的分布函数也存在很大的数值噪声，而FP 结果就很平滑。

这里出现的静态噪声是有限颗粒MC 方法模拟的经典问题（也就是说数据的后处理是很精细、很关键的步骤）。