2016年12月电大《微积分初步》复习题及答案
电大《微积分初步》试题分类整理已排版剖析
电大《微积分初步》试题分类整理一、填空题（每小题4分，本题共20分）㈠函数的的基本知识（一般是填空题的第1题）⒈函数xx x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉ 函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃--．⒊ 函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,0()0,1(⋃-．⒋函数)2ln(1)(+=x x f 的定义域是),1()1,2(+∞-⋃--．⒌函数 )2l n ()(+=x xx f 的定义域),1()1,2(+∞-⋃--⒍函数)2ln()(-=x xx f 的定义域是),3()3,2(+∞⋃．⒎函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域),3()3,2(+∞⋃⒏函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是),2()2,1(+∞⋃⒐函数241)(x x f -=的定义域是（-2，2）⒑函数x x f -=51)(的定义域是)5,(-∞⒒函数x x x f -++=5)1ln(1)(的定义域是)5,0()0,1(⋃- ⒓ 函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(xf ． ⒔ 如果是242++x x ，则是x 2-2⒕ 函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 62+x ．⒖ 如果是22)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 12+x⒗ 函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f 12+x⒘ 函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ⒙ 设122)1(-+=+x x f χ,则=)(x f 22-χ ⒚ 若函数 2(1)22f x x x ++++，则()f x =12+x⒛ 若函数22(1)25,()6f x x x f x x -=--=-则21 函数24)2(2+-=-x x x f ，则=)(x f 22-x22函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是),1[+∞-．16.函数x x xx f -+-=5)2ln()(的定义域是]5,3()3,2(⋃㈡极限与连续（一般是填空题的第2题）⒈若24sin lim0=→kx xx ，则=k 2．⒉若2sin 6sin lim0=→kx xx ，则=k 3． ⒊若23sin lim0=→kx x x ，则23=k ⒋=→xxx 2sin lim02．⒌=∞→x x x 1sin lim 1． ⒍=∞→x x x 2sin lim 0． =→x x x 2sin lim 021⒎若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2．⒏函数⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x ，则=)0(f 2⒐若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 1．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k = -1．⒒若函数1sin ,0()1,0x k x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在x = 0处连续，则k = 1． ⒓函数1322+--=x x x y 的间断点是1-=x ．㈢导数的几何意义（一般是填空题的第3题） ⒈ 曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ．⒉曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． ⒊ 曲线在12y x -=在点（1，1）处的切线方程是1322y x =-+⒋曲线在任意一点处的切线斜率为x ，且曲线过点（1，1），则曲线方程为313223+=x y⒌ 曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的切线斜率是21．⒍曲线()1f x =在点（1，2）处的切线斜率是12⒎ 曲线x y =在点)1,1(处的切线斜率是21．⒏ 曲线1e 2+=xy 在2=x 处切线的斜率是42e⒐曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是1．10.已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是313223-=x y ㈣导数与积分（一般是填空题的第4题） 1.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = -6．2.已知x x f 2)(=，则)(x f ''=2)2(ln 2x ．3.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '=)3ln 1(27+．4.已知nx x f 1)(=，则21)(x x f -=''4.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =x 2cos 2．5.=+⎰e12d )1ln(d d x x x 0． 6.=⎰x xd 2c x +2ln 2． 7.若x1是)(x f 的一个原函数，则=')(xf ． 若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 2ln 2x x x c -+ 若)(x f 的一个原函数为x x 2e --，则=')(x f 24x e --8. =⎰-x x d e d 2x x d e 2-． 9.='⎰x x s d )in ( c x +sin ． 10.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(c x F +-)32(21． 若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2()2112F x c --+ 11.=+-⎰-x x x d )235(1134．12．⎰2de x=C x+2e ． 13．若⎰xdx sin =-cosx+c14．由定积分的几何意义知，⎰=-adx x a 02224a 15.若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f '＝-4cos2x ．16.若()ln f x dx x x c =+⎰则1()f x =1x若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =2cos 2x 17. =-⎰-x x x x d )2cos (sin 11232- 18. =')2(xx x 22ln 2 19.若xx x f -=e )(，则='')0(f 2- 若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=-1若x x x f cos )(=，则='')(x f x x x cos sin 2-- 若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f x sin -20.函数y x =-312()的单调增加区间是),1[+∞21. 函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足0≥a22.=+-⎰-x x x x d )cos 4(225ππ223.x x a ad 022⎰-241a π=24.x x d e 02⎰∞-21=㈤微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第5题） 1.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 通解为e x y c =2.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为12+=x y ．3.微分方程03=+'y y 的通解为x ce y 3-=4．微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为3．5.x y y y 2sin ln )(4='''++'为3阶微分方程. 6.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为4 ． 7.微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数是3． 8.微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为4． 9.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是3 10.微分方程3(4)52()sin y y x y x ''+=的阶数为4 11．微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 2 ． 12.微分方程''3(5)6()4sin y xy y x +=的阶数为 5 13.微分方程0='y 的通解为c y = 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）㈠函数的的基本知识（一般是单项选择题的第1题） ⒈ 设函数x x y sin =，则该函数是（A ．）．如果是x x y sin 2=选 b 奇函数A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 2．下列函数中为奇函数是（D ． ）． A ．x x sinB ．x lnC ．2x x +D ．)1ln(2x x ++3.设函数21001xx y +=-，则该函数是（B ．）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数4.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ．）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数5.设函数2e e xx y --=，则该函数是（A ．）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数6.函数2e e xx y -=-的图形关于（A.）对称．A.坐标原点B.x 轴 C ．y 轴 D.x y =7.函数22()2x xf x x -+=的图形是关于（D.）对称A ． y x = B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点8.函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（A ．）A ．先减后增B ．先增后减C ．单调减少D ．单调增加9.函数722++=x x y 在区间)2,2(-是（C ．）A ．单调减少B ．单调增加C ．先减后增D ．先增后减10.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（D ．）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增11．函数12+=x y 在区间)2,2(-是（B ．）A ．单调下降B ．先单调下降再单调上升C ．先单调上升再单调下降D ．单调上升 12.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（D ．）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -313.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（B ．）．A ．x sinB ．2xC ．2x D. 25x -下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=14．函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ．）．或)5ln(41+++=x x y 是5->x 且4-≠x A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x15.函数()ln(1)xf x x =+的定义域是（C.）A. (-1 , )∞B. (0 , + )∞C. (-l ,0)(0 , )⋃∞D. (0,1)(1 , )⋃∞16.设32)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f （D ．）A ．12-xB ．22-xC ．42-xD ．42-x17.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ．）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x18. 设1)1(2-=-x x f ，则=)(x f （A ．）A ．)2(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x㈡极限与连续（一般是单项选择题的第2题） 1.若函数xxx f 2sin )(=，则=→)(lim 0x f x （A ．）.A ．21B ．0C ．1D ．不存在 2. 已知sin ()1xf x x=-,当( C.)时,)(x f 为无穷小量. A.x →+∞ B.x →-∞ C. 0x → D. 1x →3.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（C ．）.A ．x 1B ．x x sinC ．)1ln(x + D ．2xx4.已知xxx x f sin )(-=,当→χ( D.)时,)(x f 为无穷小量.A.∞+B.∞C.1D.05.当=k （C ．）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．36.当=k（D ．）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．当=k （C ．）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1+e8.当k =（A ．）时，函数⎩⎨⎧=≠+=00,1)(2x kx x x f ，在0=x 处连续.A ．1B ．2C ．1-D ．09. 当k =（B ．）时，函数21,0()0x x f x kx ⎧-≠=⎨=⎩，在0=x 处连续.A ．0B ．-1C ．1D ．210.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ．）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点㈢导数与积分（一般是单项选择题的第3，4题）1．函数x x f ln )(=在e =x 处的切线方程是（C.）． A.x y e 1= B.1e 1-=x y C.1e 1+=x y D.1e e1+-=x y 2.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C ．）． A ．12+=x y B ．22+=x y C ．y = x 2+ 3 D ． y = x 2+ 43.下列结论中（C ．）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在4.若函数f (x )在点x 0处可导，则(B ．)是错误的． 不可导点上. A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5. 满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（C ．）A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ．间断点6下列等式中正确的是（D.）． A . )cos d(d sinx x x = B. )1d(d lnxx x =C . )d(d x xa x a=D.)d(2d 1x x x=7.以下等式成立的是（A ．）A ．3ln 3d d 3x xx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xxd d = D ．)1d(d ln x x x = 8.设y x =lg2，则d y =（D ．）．A ．12d x xB ．1d xx C ．ln10x x d D ．1d x x ln10 9.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（B.）.A.c x x ++2 B. c x x ++C. c x x ++2323221 D. c x x ++23223若c x x x f x+=⎰22e d )(，则=)(x f （ A ）. A.)1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '-10.下列等式成立的是（A ．）．A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰11.=''⎰x x f x d )(（A.）A.c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1(12.如果等式⎰+-=c x x f xx11e d e)(，则=)(x f （B.）A.x 1-B. 21x - C.x1D.21x13. 下列无穷积分收敛的是（B ．）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+-02d e x x C ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x14.⎰-=+112cos )2sin .(dx x x ex( D.)A.0B.1C.32D.34⎰-x a x d d 2=（ c）．A ．x a 2-B ．x a a x d ln 22--C ．x a x d 2-D ．c x ax+-d 215.设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰a ax x f -d )(（D ．）A ．⎰-d )(2a x x f B ．⎰-d )(a x x f C ．⎰ax x f 0d )( D ．0 16. 下列结论中( A )不正确.A. ()f x 在0x x=处连续，则一定在0x处可微B. ()f x 在0x x=处不连续，则一定在0x处不可导 C. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上D. 若()f x 在 [ a ， b ] 内'()f x ＜0恒有则在 [ a ， b] 内 函数是单调下降的17.若11()()x x f x edx e c f x --=-+=⎰，则（B.）A.21xB.21x- C. 1x D. 1x -18.若10(2)2x k dx +=⎰，则k=( A ) A. 1 B. -1 C. 0 D.12 19.下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x x x d 2ee 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．xx x d )cos (3⎰-+ππ D ．xx x d )sin (2⎰-+ππ20. =⎰x x d sin 22-ππ（ D ）．A ．0B ．πC ．2πD ．2 ㈣微分方程的基本知识（一般是填空题或选择题的第5题） 1.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（B.） 若是4xy (4)则选c A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 2. 微分方程x y y y x y sin 4)(53''='''+'的阶数为（C.） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3.微分方程1+='y y 的通解是（A.） A. 1e -=x C y ；B. 1e -=Cx y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 4.微分方程1+='y y 的通解为（B.） A. 1e +=x c y ；B. 1e -=x c y ； C. c x y +=221； D. c x y +=5．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（C ．）．A ．25.0x y =B ．x y -=eC ．x y e =D ． 1e +=xy 6.函数2x y e =是微分方程（D. ）的解A. '0y y +=B. '0y y -=C. '20y y +=D. '20y y -=7.微方程'y y =的通解为（C.）A. cxy e = B.x y ce -= C. x y ce = D.x y e c =+ 8.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B.）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 9.下列微分方程中，（D ．）是线性微分方程．A ．y y yx '=+cos 2 B ．x yx y y sin =+'C ．y y x y ln ='+''D ．x y y x y x ln e sin ='-''三、计算题（本题共44分，每小题11分） ㈠计算极限（一般是计算题的第1题）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ． 1 解：原式214lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x2.计算极限486lim 222-+-→x x x x ． 2解：3.计算极限423lim 222-+-→x x x x ． 3 解：原式41)2)(2()2)(1(lim 2=+---=→x x x x x 4.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ． 4解：原式3212lim )1)(4()2)(4(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x5．计算极限932lim 223---→x x x x ． 5解：原式32)3)(3()1)(3(lim 3=+-+-=→x x x x x 如果是329lim 223---→x x x x 解也倒过来写 6．计算极限623lim 222-++-→x x x x x ． 6解：51)2)(3()2)(1(lim 623lim 2222=-+--=-++-→→x x x x x x x x x x7．计算极限223lim 221-++-→x x x x x ． 7解：31)2)(1()2)(1(223lim 1221-=+---=-++-→→x x x x x x x x x lin x 8.计算极限9152lim 223--+→x x x x ． 8解：原式34)3)(3()3)(5(lim 3=+--+=→x x x x x9.计算极限451lim 221+--→x x x x ． 9解：原式3241lim )1)(4()1)(1(lim 11-=-+=---+=→→x x x x x x x x 10.计算极限4554lim 221+--+→x x x x x ． 10解：原式23645lim )1)(4()1)(5(lim11-=-=-+=---+=→→x x x x x x x x 11.计算极限2224lim 68x x x x →--+ 11解：22(2)(2)2=limlim 2(2)(4)4x x x x x x x x →→+-+==----原式 12.计算极限132lim 221----→x x x x ． 12解：计算极限165lim 221--+→x x x x 解：165lim221--+→x x x x 2716lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 13.计算极限22132lim 56x x x x x →-++- 13解：11(2)(1)21=lim lim (6)(1)67x x x x x x x x →→---==-+-+原式计算极限6586lim 222+-+-→x x x x x 解：6586lim222+-+-→x x x x x 234lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 14.计算极限231lim 221++--→x x x x 14解：原式221lim )2)(1()1)(1(lim11-=+-=++-+=-→-→x x x x x x x x 15.计算极限xx x 11lim0--→解：x x x 11lim 0--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 21111lim 0-=+--=→x x 16.计算极限xx x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim0--→)11(4sin )11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x 81)11(44sin 1lim 41)11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x xx x x x x x 17.计算极限244sin lim 0-+→x xx解：244sin lim-+→x xx )24)(24()24(4sin lim0++-+++=→x x x x x 16)24(44[lim 4)24(4sin lim00=++=++=→→x xxsim x x x x x㈡求导数y '或求微分y d （一般是计算题的第2题）1. 设x y x 1e 1+=+，求y '． 1解： 2111(21e xx y x -+='+2.设1'xy e y =求 2解：1121'()xxy e y e x =+=-3．设xx y 12e =，求y '. 3解：)1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x4．设x x y 3cos 5sin +=，求y '. 4解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=设x x y 3cos 4sin +=，求y ' 解：x x x y sin cos 34cos 42-='5．设x x y cos ln 23+=，求y '. 5解：x x x x x y tan 23cos sin 232121-=-+='6设x x y 3cos ln +=，求y d . 6解：)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-= 7.设x y xcos e 2+=-，求y d . 7解：x y x sin e 22--='- x x y x d )sin e 2(d 2+-=-8.设x y x ln e1+=+，求y d . 8解：x x y x 1121e1++='+ x x x y x d )112e (d 1++=+9.设x x y e cos ln +=，求y d . 9解：10.设x x x y cos ln +=，求y d . 10解：11.设x y x3sin 2+=，求y d 11解：x y x3cos 32ln 2+=' dx x dy x )3cos 32ln 2(+=12.设x x y x+=-2e ，求y d 12解：21223e 2x y x+-='- x x y x d )23e 2(d 212+-=-13.设x x y e cos 3+=，求y d . 13解：x x x y e e sin 3ln 3⋅-=' x y xx x )d e sin e 3ln 3(d -=14.设x x y 1sin ln +=，求y d . 14解：)1(1cos 12x x x y -+=' x x x x y d ))1c o s (1(d 2-=15. 设x x x y 3cos +=，求y d . 15解：x s x y in332321-=' x x s x y d )i n 3323(d 21-= 16. 设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 22-=- dx xy xy dy --=22 17. 设)(x y y =是由方程1222=++xy y x 确定的隐函数，求y d解：两边对1222=++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x0=+++y x y y y x ，)()(y x y y x +-=+，1-=y dx dx y dy -==18.设)(x y y =是由方程4e e 2=++x x y x 确定的隐函数，求y d解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e yy xdx x e e dy xe yxy)2(++-=，dx xexe e dy yy x 2++-= 19.设1e )cos(=++y y x，求y d解：两边对1e )cos(=++y y x 求导，得：0)sin()1(='++'+-y e y y x y 0)sin()sin(='++'-+-ye y y x y y x)sin()]sin([y x y y x e y+='+- )sin()sin(y x e y x y y +-+=' dx y x e y x dx y dy y )sin()sin(+-+='=㈢计算不定积分（一般是计算题的第3题）1计算不定积分x x d )12(10⎰- 1解：x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 2.计算不定积分x x d )21(9⎰- 2解：x x d )21(9⎰-= c x x x +--=--⎰109)21(201)21(d )2-1(21 3．计算不定积分x x d )215⎰-（ 3解：c d dx x x x x +--=---=-⎰⎰655)21(121)21()21(21)21( 计算不定积分⎰-x xexd 解：⎰-x xe x d c e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----⎰⎰)(4.计算不定积分x x x d 1cos2⎰ 4解：x x x d 1cos2⎰= c xx x +-=-⎰1sin 1d 1cos5.计算不定积分21sin x dx x ⎰ 5解：21sin 111sin ()cos x dx d c x x x x=-=+⎰⎰6.计算不定积分⎰x x xd e216解：7．计算不定积分x x x d e 112⎰ 7解:c x x x x x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 1 8.计算不定积分x x x d sin ⎰ 8解：x x xd sin ⎰= C x x x +-=⎰cos 2d sin 29．计算不定积分dx x x ⎰cos 9解：c x x d x dx x x+==⎰⎰sin 2cos 2cos10．计算不定积分x x x d )1(2⎰+ 10解：x x x d )1(2⎰+= C x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(2 11．计算不定积分x xx d e 5e ⎰+ 11解：c e e d e dx e e xx x x x ++=++=+⎰⎰52)5(515 12.计算不定积分x x x d cos ⎰ 12解：x x x d cos ⎰= c x x x x x s x x ++=-⎰cos sin d in sin计算不定积分⎰x x x d 2sin解：⎰x x x d 2sin ⎰⎰--=-=)2cos 2cos (212cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2sin 412cos 2113.计算不定积分⎰+-x x x x x d sin 33解：⎰+-x xxx x d sin 33⎰⎰⎰+-=xdx dx x dx x sin 13c x x x +--=cos 32ln 323㈣计算定积分（一般是计算题的第4题） 1.计算定积分xxx d ln 113e 1⎰+ 1解：x xx d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x2.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+2解：x x x d ln 51e1⎰+e e x x x 121)5ln (1101)5ln )d(15ln (151+=++=⎰27)136(101=-=3.计算定积分x x xd e 1⎰ 3解：x x xd e 10⎰-=1x xe1d e 11=-=⎰x xee x4.计算定积分x x x d e 210⎰4解：x x x d e 21⎰22e 2e 2d e 2e 21010=+-=-=⎰x x x x5.计算定积分x x xd e 10⎰- 5解：x x xd e 10⎰-ee e x e xe xx 21111d 1010-=+--=+-=⎰-- 6.计算定积分x x xd e 210⎰- 6解：1010101010222222x x x x x e e dx e xe dx xe dx xe -------=+-==⎰⎰⎰ ee e 42222-=+--= 7计算定积分xx d ln 2e 1⎰7解：222222111ln ln |2(1)1e e exxdx x x dx e e e x=-=--=+⎰⎰ 8.计算定积分x x ed ln 1⎰ 8解：9.计算定积分xx x d cos 2⎰π9解：1202cos 2sin 02sin cos 2020-=+=-=⎰⎰x xdx x x xdx x 10．计算定积分⎰π0d sin 2x x x 10解：⎰⎰⎰+-==0000cos 21cos 21sin 21sin 2xdx x x xdx x xdx x 2sin 2120=+=x 计算定积分⎰π0d 2sin x x x 解：⎰π0d 2sin x x x ⎰⎰-==ππ002cos 2)2(2sin 2x xd x d x x dx x dx x x x ⎰⎰=--=πππ0002cos 2)2cos 2cos (242sin 4)2(2cos 400===⎰ππxx d x11.计算定积分2sin x sdx π⎰11解：22220000sin cos |cos sin |1xdx x x xdx x ππππ=-+==⎰⎰12．计算定积分x x x d ln e1⎰ 12解：x x x d ln e1⎰-=e x x 12ln 2141e 4141e 41e 21d 21222e 12+=+-=⎰x x x 13. 计算定积分x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰解：x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰319389)1(31)1()1(2ln 0322ln 0=-=+=++=⎰x x x e e d e 四、应用题（本题16分）1.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解： 设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知322==V h x ，2x V h =，表面积xV x xh x y 4422+=+=， 实际答题时把32代替式中的v,并算出来。
国家开放大学《微积分初步》模拟试题2及参考答案
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
1．计算极限 。
解：原式
2．设 ，求 。
解：
3．计算不定积分 。
解： =
4．计算定积分 。
解：
四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为4 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为 ，高为 ，表面积为 ，且有
所以
令 ，得 ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 时水箱的面积最小。此时的费用为 （元）。
2．若函数f(x)在点x0处可导，则（B）是错误的。(x)在点x0处连续
D．函数f(x)在点x0处可微
3．函数 在区间 是（A）。
A．先减后增B．先增后减
C．单调减少D．单调增加
4．若 ，则 （B）。
A． B．
C． D．
5．微分方程 的阶数为（C）。
国家开放大学《微积分初步》模拟试题2及参考答案
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
1．函数 的定义域是 。
2．若函数 ,在 处连续，则 2。
3．曲线 在点 处的斜率是 。
4． 。
5．微分方程 满足初始条件 的特解为 。
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1．设 ，则 （D）。
A． B．
C． D．
微积分基础考试题及答案
微积分基础考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：D3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. x+C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 曲线y=e^x与直线y=ln(x)相切的切点坐标为：A. (1,1)B. (e,e)C. (ln(e),e)D. (e,ln(e))答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x的拐点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为_________。
答案：02. 函数f(x)=ln(x)的反函数为_________。
答案：e^x3. 曲线y=x^3+3x^2+2x+1在x=-1处的切线方程为_________。
答案：y=-x4. 函数f(x)=x^2-4x+3的极大值为_________。
答案：45. 曲线y=x^2与直线y=2x相切的切点坐标为_________。
答案：(1,1)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) (x^2-2x+1) dx。
2016年电大专科微积分初步期末考试试题及答案
微积分初步考试试题1、填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x . （2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ． 答案：1 （8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k （9）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （10）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（11）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（12）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （13）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-（14）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（15）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a（16）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f . 答案：x2（17）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ．答案：x 2cos 2（18）若______________d os ⎰=x x c 答案：c x +sin （19）=⎰-2de x．答案：c x +-2e（20）='⎰x x d )(sin．答案：c x +sin （21）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(．答案：c x F +-)32(21（22）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2 ．答案：c x F +--)1(212 （23）.______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x答案：32- （24）=+⎰e 12d )1ln(d d x x x. 答案：0 （25）x x d e 02⎰∞-= ．答案：21 (26)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x1，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 .答案：12+=x y (27)由定积分的几何意义知，x x a ad 022⎰-= .答案：42a π(28)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 答案：xy e =(29)微分方程03=+'y y 的通解为 . 答案：x c y 3e-=(30)微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 ．答案：42．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A （8）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2答案：C（9）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（10）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（11）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（12）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（13）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（14）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2x D ．x -3答案：B（15）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d x f x x f =⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d dx f x x f x =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ 答案：C（16）以下等式成立的是（ ）A ． )1d(d ln xx x = B ．)(cos d d sin x x x =C ．x xxd d = D ．3ln 3d d 3xxx =答案：D（17）=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( 答案：A（18）下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ答案：A（19）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aax x f -d )(（ ）A ．0B ．⎰-d )(ax x f C ．⎰ax x f 0d )( D ．⎰0-d )(2ax x f答案：A（20）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ．⎰∞+-02d e x x答案：D(21)微分方程0='y 的通解为（ ）．A ．Cx y =B ．C x y += C ．C y =D ．0=y 答案：C(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y +=d d ；C. x xy x y sin d d +=；D. )(d d x y x xy += 答案：B 3、计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x（4）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（5）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s4-= （6）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （7）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=（8）x x d )12(10⎰-解：c x x x x x +-=--=-⎰⎰111010)12(221)1d(2)12(21d )12( （9）x x x d 1sin2⎰解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos 1d 1sin d 1sin2(10)x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰解：)e d(4)e 4(d )e 4(e 22ln 022ln 0x x x x x ++=+⎰⎰=3152)64216(31)e 4(2ln 03=-=+x (11)x xxd ln 51e1⎰+ 解：27)136(101)ln 51(101)ln 51()ln 51(51d ln 51121e1=-=+=++=+⎰⎰ee x x d x x x x (12)x x x d e 10⎰解：1ee d e ed e 101101=-=-=⎰⎰x xx xx x x x(13)⎰π20d sin x x x解：1sin d cos cos d sin 20202020==+-=ππππ⎰⎰xx x x x x x x4、应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省. （2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）。
电大微积分试题及答案
电大微积分试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴的交点个数取决于c的值。
若交点个数为2，则c的值应满足的条件是：A. c>0B. c=0C. c<0D. c≤0答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数y=3x^2+2x+1的导数是：A. 6x+2B. 2x+3C. 3x^2+2D. 3x答案：A4. 曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 2答案：C5. 定积分∫(0,1) x dx的值是：A. 1/2B. 1/3C. 1D. 2答案：A6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B7. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln xD. x^e答案：B8. 曲线y=x^2与直线y=4x-3的交点坐标是：A. (1,1), (3,9)B. (1,3), (3,3)C. (1,3), (3,9)D. (1,1), (3,3)答案：C9. 函数y=ln x的导数是：A. 1/xB. ln xC. xD. 1答案：A10. 定积分∫(0,π/2) sin x dx的值是：A. 1B. 2C. π/2D. 0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数是________。
答案：3x^2-6x2. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值是________。
答案：13. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6的拐点是________。
答案：(2,-2)4. 函数y=e^x的二阶导数是________。
答案：e^x5. 定积分∫(0,1) (x^2-x) dx的值是________。
答案：1/3三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
超详细电大专科微积分初步期末考试试题及答案
微积分初步考试试题1、填空题 1ln( x （1）函数 f (x) 的定义域是 ．2)答案： x2 且 x3 .1 ln( x 2x （2）函数 f (x)4 的定义域是．2) 答案： ( 2, 1) ( 1,2]x 2f (x 2) 4x 7 ，则 （3）函数 f (x)．x 2 f ( x ) 3答案：3xx sin1, x x 0在 0（4）若函数 x0 处连续，则 kf (x)．k,答案： k 1x 2 （5）函数 f (x 1) 2x ，则 f (x)．x 2 f ( x ) 1答案：2x 2x 13 的间断点是 （6）函数 y ．x 答案： x1 1 x（ 7） lim xx sin．答案： 1 sin 4 x sin kx 22 ，则 k（8）若 ．lim x 0答案： k f (x) x 1在(1,2) 点的切斜率是（9）曲线 ．1 2答案：e x在 (0,1) 点的切线方程是（10）曲线 f ( x) ．答案： yx e3xx3 （11）已知 f ( x)，则 f (3) =．3x 2 3x ( x ) ln 3答案： ff (3) =27（ 1 ln 3)f ( x)ln x ，则 f ( x) = （12）已知 ．1 x1 答案： f ( x) ， f ( x) =2xx，则 （13）若 f ( x) xe f (0) ．xx答案：f ( x) 2exe2f (0)21) 的单调增加区间是（ 14）函数 y 3( x ．答案： (1, )2axf ( x ) 1在区间(0,（ 15）函数 a 应满足) 内单调增加，则 ．a答案： ln x 2，则 （ 16）若 f (x) 的一个原函数为 f (x) .2 x（ 17）若 答案：f ( x)dx sin 2 x c ，则 f ( x)．答案： 2 cos 2x（ 18）若 c os x d xsin x c 答案： 2x（ 19） ．de 2x c答案： e（ 20） (sin x) dx ．sin x c 答案： （ 21）若 f ( x)dxF (x) c f (2 x 3)dx，则 ．1答案：F (2 x 23) c ，则 xf (1 x 2)dx（ 22）若 ．f ( x)dx F (x) c 1F (1 2x 2 ) c 答案： 12(sin x cos2x x )d x.（ 23） x 12 3答案： ddxe2ln( x （ 24）1)dx.1答案： 02 xd x =（ 25） e ．1 2答案：1xf (x) 在任意点 x 处切线的斜率为(26) 已知曲线 y ，且曲线过 ( 4,5) ，则该曲线的方程是.答案： y 2 x 1aa2x 2 d x =(27) 由定积分的几何意义知，.2a4答案：(28) 微分方程 y y, y(0) 1 的特解为.xe答案： y(29) 微分方程 y 3 y 0 的通解为.3x答案： yce)34xy(4)y7( y sin x 的阶数为(30) 微分方程 ．答案： 4 2．单项选择题 xe xe（ 1）设函数 ，则该函数是（ ）．y 2A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案： B（ 2）下列函数中为奇函数是（）．xxee 2x x2x sin x xln( x 1 )A ．B ．C ．D ． 2答案： Cxln( x 5) （ 3）函数 y 的定义域为（ ）． x 4． xA ． x 答案： D 5 4 C ． x5 且 x 0． x5 且 x 4B D2x f (x 1) 1，则 f ( x) （ 4）设 （）2xA ． x( x 1) ． BC ． x( x 2)D ． ( x 2)( x 1)答案： C xe2, x x 0在 0（ 5）当 kx 0 处连续 .（）时，函数f (x)k,C ． 2D ．3 A ． 0 B ． 1答案： D2x1, x x 0，在 0（ 6）当 k（ ）时，函数f (x)x 0 处连续 .k,． 21A ． 0B ． 1 D ． C答案： Bx 3 3x （ 7）函数 f ( x)的间断点是（ ）x22x 1, x 2 x3A ． ．BC ． x 1, x 2, x 3．无间断点D答案： Axf ( x ) e cos x ，则 （ 8）若 f ( 0) =（）．A. 2答案： C B. 1C. -1D. -2（ 9）设 ylg 2 x ，则 d y （）．12x1 x ln10ln10 x1 dxxA ．．C dx B ．dxdxD ． 答案： B （10）设 yf ( x) 是可微函数，则 df (cos 2 x ) （）．． 2 f (cos 2 x )dx ． f (cos 2 x ) sin 2 x d2 x A B． 2 f (cos 2 x ) sin 2 x dx ． f (cos 2x) sin 2 x d2xC D答案： D a 3 ，其中 a 是常数，则 （11）若 f ( x) sin x f (x) （）．． cosx 3a 2．sin x 6a sin xA cosx． ． BCD答案： C1) 2在区间 ( （ 1）函数 y ( x 2,2) 是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案： Df ( x) 0 的点一定是函数 y f ( x) 的（（ 12）满足方程 ） .A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ． 间断点答案： C（ 13）下列结论中（ ）不正确．A ． f ( x) 在 x x 0 处连续，则一定在 x 0 处可微 .B ． f ( x) 在 xx 0 处不连续，则一定在 x 0 处不可导 .. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D ．函数的极值点可能发生在不可导点上 答案：Ａ.(,) 上单调增加的是（（ 14）下列函数在指定区间 ）．x2．sin x 3 x ． exA B． ．CD答案： B（15）下列等式成立的是（ ）．A ． d f (x)dxf ( x) B ． f ( x)dxf ( x)ddxf ( x )d x ( x )df ( x) f ( x)C ．D ． f 答案： C（16）以下等式成立的是（） 1d( )xA ． ln xdx ． sin xdxd(cos x)Bxdx x答案： Dd3x．3 dx xC ．d Dln 3（ 17） xf ( x)dx （ ） xf (x)f ( x) c xf ( x) c A. B. 1 x 2 f ( x) c( x 1) f (x) cC. D.2答案： A（ 18）下列定积分中积分值为0 的是（）．xxxxee ee 11d xd xA ．．B1122( x 3 (x 2 cosx)dxsin x)dxC ．．D 答案： Aa f ( x) 是连续的奇函数，则定积分（ 19）设 f ( x)dx （）- aaA ． 0B ．f (x)dx f ( x )dx D ． 2 f ( x )dx ． C -a 0-a 答案： A（ 20）下列无穷积分收敛的是（ ）．1xA ．sinxdxdxB ．11dx x2 xdxC ．D ．e 1答案： D(21) 微分方程 y 0 的通解为（）．A ． y Cx ． yx C． y C． y 0BCD答案： C(22) 下列微分方程中为可分离变量方程的是（）dy dx dy dxdy dx dy dxx y ；xy y ； A. B.xy sin x ；C.x( y x)D.答案： B 3、计算题2x3x 4 2 （ 1） limx 2．x2 x23x 24( x ( x 2)( x 2)( x 1) 2)x x 1 21 4解： lim x 2limx 2limx 2x22x 9 2 x （2） limx 32x32x 92x lim ( x3)( x 3)( x 3)1) x 3 6 43 2解： limx 3limx32( x x 1 x3 x 3 x 2 6 x 5 x 8 4（ 3） lim x 42x 2 x x6x 5x 8 4( x ( x 4)( x 4)( x 2) 1)x x 2 12 3解： limx 4limx 4limx 421 2x e x，求 1（4）设 y y ．1 1e x (2x 1x2 2xx e (2 x ex) 1)解： y3y sin 4 x cos x ，求 y .（5）设 4 cos4x 3cos 2x ( 解： sin x )y24 c o 4s x 3 si nx c o s x2 ，求 x1 x 1（6）设 y y e.2x 1解： y e2x2 (x 1 （ 7）设 y x x ln cosx ，求 y .1 1 3 2x21cos x3 2x2解： ( sin x ) ytan x（8） (2x 1)10dx 1 21 22(2x 1)10d x101) d(2 x 111)( 2 x (2 x c解： 1)1 sinx d x（9） x2 sin 1x dx 1d 1 cos 1 x解： csin 2 xx x ln 2x x 2d xe (4 e ) (10)ln 2 ln 2 e x (4 e x ) 2d x(4 e x )2 d(4 e x )解：1 3 1523ln 2x 3 = (4 e )(216 64) 01 5 l n xxd x e(11) 1e1 5ln x dx x 1 5 110 1 107 2e e 2 5ln x) 解： (1 5ln x)d(1 5ln x) (1 (36 1)1 111 x e xd x(12)1111x e xd x xe x e xd xe xe 1解：0 00 02x sin xdx (13)2 0sin d cos 2 0cos d sin 1解：x x xx x x x x 2 020 4、应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？108 2 解：设底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知 x h 108, h 2x108 432 x 2 2 2y x 4 x h x 4 x x2 x4320 ，解得 x 令 y 2 x 6 是唯一驻点， 2x2 432 30 ，且 y 2xx 6108 x 6 是函数的极小值点，所以当 x 6 ， 3用料最省 说明 h . 2634 m 的正方形的水箱， （2）用钢板焊接一个容积为已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 4 解：设水箱的底边长为 x ，高为 h ，表面积为 S ，且有 h2x16 , x2x2x所以 S(x)4 x h 16 S ( x) 2 x2x令 S ( x)0 ，得 x 2 ，x 2, h 1 时水箱的面积最小 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 .S(2) 10 40 160 （元）此时的费用为。
《微积分初步》期末复习典型例题
《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
最新国家开放大学电大《微积分初步》期末试题题库及答案
最新国家开放大学电大《微积分初步》期末试题题库及答案盗传必究题库一一、填空题（每小题4分，本题共20分）1. 函a/(x + l) = x 2+2x + 7,则f(x)= c 「 sin 3x2.1im ----- = __________ .x3. 曲线y = x 2在点(1, 1)处的切线的斜率是.24. J ](sinxcos2x-x )dx = _____________5. _________________________________________ 微分方程9" +（y ）4 cosx = e*的阶数为 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1 .函数f （x ） = ―1—的定义域是（）・ln （x-l ） A. (l,+oo) B. (0,l)D(l,+8) C ・(1,2)D (2,+8) D. (0,2)u(2,+oo)A. 0B. 1C. 2D. -1 3.下列结论中正确的是（ ）・A. X 。
是/3）的极值点，则知必是/的驻点B. 使f\x ）不存在的点x 0 一定是/3）的极值点・）时，函数f （x ）= .3 [xsin — + 1,xk.'A 。
在x = 0处连续.x = 0C.若r（x o） = O,则Xo必是，⑴的极值点D.X。
是/3）的极值点，旦尸Oo）存在，则必有.广（工0）= 04.若函数 /'（x） = x +J^（x > 0）,贝0 J /'（x）dx=（）.A.x + Vx + c12 2 |B.—x + —x2 +c2 3C.x2 +x + c31D.x2 + — x2 +c25.微分方程* = 0的通解为（）・A.y = 0B.y - cC.y = x + cD.y = ex三、计算题（本题共44分，每小题11分）1 •计算极限Iim-V--5V + 6 .13 X2 -92.设y = x4x + cos3x，求⑪.3.计算不定积分j x sin xdx4.计算定积分j^e x（l + e x）2dx四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为411?的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？试题答案及评分标准（仅供参考）一、填空题（每小题4分，本题共20分）1 291.x +62. 33.—4.5. 22 3二、单项选择题（每小题4分，木题共20分）四、应用题(木题16分)4解：设水箱的底边长为X ，高为h,表面积为S,且有h = — x 2 所以Sl+4劝“ +皿X10分因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2,h = 1时水箱的表面积最小.题库二一、填空题(每小题4分，本题共20分)1. 函数f(x} = ―1— + V4-X 2的定义域是ln(x + l)---------l.c2.B3.D 4-A5.B 三、计算题(本题共44分，每小题11分)1.解：原式=lim-仃 一 2)(x — 3) = = La (x + 3)(x -3) a x + 3 6 11分2.解：V = 2/-3sin3x23 1 dy = (—x 2 -3sin3x)dx11分3.解：Jx sinxdx = -x cos x + J cos xdx = -x cos x + sinx + c11分4.解： Pe x (l + e x )2dx = J ，n2(l + e x )2d(l + e x ) = -(l + e x )3ln219T11分此时的费用为2X 10+40=160 (元) 16分io_x + i（ri.设函数歹=——-—,则该函数是（A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.当XT 0时，下列变量中为无穷小量的是（A.B. x sinxC. ln(l + x)D.3.设y = lg2x 则dy =(A. —dx2xB. —dxXC. In10 、 --- dxD. xlnlO^4. 在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）。
电大专科《微积分初步》复习题及答案
电大微积分初步考试小抄一、填空题⒈函数xx f -=51)(的定义域是5－x ＞0 →x ＜5⒉=∞→xx x 1sin lim1sin lim=∞→x x x ，01→∞→xx 时，⒊已知x x f 2)(=，则)(x f''⒋若+=cx F x x f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数是 y ''' 6.函数)21)(+=x x f {}{}{-1ln )2(ln 2-x 02ln 02⇒≠+⇒≠++x x x x ＞，＞，＞∴{}1- 2-x |≠且＞x7.→xxx 2sin lim 02112122sin lim 2sin lim00=⋅=→→xx xx x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x – 2)(x – 3)，则y 'y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x 2-x 3+5x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x -+-='x x⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y9.⎰-x x d e d 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx x f dx x f d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为y y ='y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 1两边积分 ecx y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1)c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞12.若函数⎪⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k)()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x处连续)∵k f =)0(113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴xx x x x x （无穷小量x 有界函数）13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是xx y 21== ，x y 2121-=' 切k y ==='∴211x |2121y )1(211y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 16.函数)2ln()(-=xx x f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x n x x x x17.∞→xxx 2sin lim18.已知xx x f 3)(3+=，则)3(f ' 3ln 3)(32xx x f +=' 3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式⎰+-=c x x f xx11ed e )(，则=)(x f )()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-•='-•'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(x x f x e ex f x e x e xxxu =∴=∴=•=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程．6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.10.下列微分方程中为可分离变量方程的11.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （)2(-x x ）可导，则13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增）14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升） 19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2 + 3）． 20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（x y e =）．三、计算题 ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ．解:41)2()1(lim 2)2(1(lim 22=+-=---→→x x x x x x x ）⒉设x x y x +=-2e ，求y d .解：x ex e xx 23221x 2-+=⨯+-ey x21-=ey u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e -2x∴y ′= -2e -2x +x 2123∴dy=(-2·e -2x+x 2123)dx⒊计算不定积分x xx d sin ⎰解：令u=x21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xd u 21=∴⎰u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+c = -2cos c +x⒋计算定积分x x x d e 210⎰ u=x ，v ′=e x ,v= e x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -11|'⎰1)(011111|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e eee e e e e x dxx dx x x x xx x∴原式=2 5.计算极限9152lim 223--+→x x xx34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x6.设x x x y cos ln +=，求y d解：x x x y x x cos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xxx u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xxx cos sin 2321-∴dy=(xxx cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰- 解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u +-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x x d e 10⎰-解：u=x,ee xx v v ---=='，)()(101111|x d dxx dx x ee e ee xxx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee ee x 9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim44=--=----→→x x x x x x x x10.设x y x 3sin 2+=，求y dy 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2x ln2+3cos3x∴dy=(2x ln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+ ⎰⎰⎰⎰+=+=+e e e edx x x dx x x x dx xx dx x 11e 111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1,du=x1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x 14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(e y x 11=) , e y u=1 , xu 1=,x e x e e y x u u x 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=) ee xe x e e x e x x1x 12x12x1x 12x 122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dxx ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2du=2dx∴cdu du dx u uux +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰10d e x x x解：dx x e x⎰⋅10 u=x , e x v =' , exv =1)1(111|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e ee xx x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少 解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。
最新国家开放大学电大《微积分初步》期末试题题库及答案
最新国家开放大学电大《微积分初步》期末试题题库及答案2．当时，为无穷小量。
3．若y=某(某–1)(某–2)(某–3)，则(1)=4．5．微分方程的特解为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．函数的定义域是（）。
A．B．C．D．2．曲线在处切线的斜率是（）。
A．B．C．D．3．下列结论正确的有（）。
A．若(某0)=0，则某0必是f(某)的极值点。
B．某0是f(某)的极值点，且(某0)存在，则必有(某0)=0。
C．某0是f(某)的极值点，则某0必是f(某)的驻点。
D．使不存在的点某0，一定是f(某)的极值点。
4．下列无穷积分收敛的是（）。
A．B．C．D．5．微分方程的阶数为（）。
A．1B．2C．3D．4三、计算题（本题共44分，每小题11分）1．计算极限。
2．设，求。
3．计算不定积分。
4．计算定积分。
2．解：。
3．解：=4．解：。
四、应用题（本题16分）解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的表面积最小，此时的费用为（元）。
题库二一、填空题（每小题4分，本题共20分）1．函数的定义域是2．若，则3．曲线在点处的切线方程是4．5．微分方程的特解为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．设函数，则该函数是（）。
A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．当（）时，函数，在处连续。
A．0B．1C．D．3．下列结论中（）正确。
A．在处连续，则一定在处可微。
B．函数的极值点一定发生在其驻点上。
C．在处不连续，则一定在处不可导。
D．函数的极值点一定发生在不可导点上。
4．下列等式中正确的是（）。
A．B．C．D．5．微分方程的阶数为（）。
A．2B．3C．4D．5三、计算题（本题共44分，每小题11分）1．计算极限。
2．设，求。
3．计算不定积分。
4．计算定积分。
题库三一、填空题（每小题4分，本题共20分）1．函数的定义域是2．若函数,在处连续，则3．曲线在点处的斜率是4．5．微分方程满足初始条件的特解为二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．设，则（）。
电大微积分初步期末复习题
1.定义域 -----0ln ,0,01>⇒≥⇒≠⇒a a a a a axx f -=51)(的定义域是)5,(505-∞∈⇒<⇒>-x x x)2ln(1)(-=x x f 的定义域),3()3,2(321220)2ln(02+∞∈⇒⎩⎨⎧≠>⇒⎩⎨⎧≠->⇒⎩⎨⎧≠->-Y x x x x x x x 24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域]2,1()1,2(21222020)2ln(042---∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧->≠+≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠+≥-Y x x x x x x x2.函数解析式 --- 先设t,解出x ，代入原式整理成t 的函数，最后再把t 换成x函数72)1(2+-=-x x x f ，解6)(67)1(21)(t f(t)1,t x t 1-x 222+=⇒+=++-+=+=⇒=x x f t t 代入原式设函数56)2(2-+=+x x x f ，解132)(1325)2(62)(t f(t)2,t x t 2x 222-+=⇒-+=--+-=-=⇒=+x x x f t t t 代入原式设3奇偶性 --- 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称奇函数：2e e x x y -=-，)1ln(2x x y ++=，x x y sin 2=，222)(x x x x f -+=偶函数：2e e x x y +=-，x x y sin =，21001xx y +=-4.间断点---分母为零的点等函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是2,1023x 2==⇒=+-x x x 令 5．重要极限 1sin lim 0=→x x x ，b a bx ax x =→sin sin lim 0 无穷小量：极限为0（01sin lim ,0sin lim 0==→∞→x x x x x x ）若23sin lim0=→kx x x ,求k 。
微积分初步考试题及答案
微积分初步考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）A. 2x+3B. x^2+3C. 2x^2+3xD. 3x^2+3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）A. 0B. 1C. π/2D. -1答案：B3. 函数f(x)=e^x的不定积分为（）A. e^x+CB. e^(-x)+CC. ln(x)+CD. -e^(-x)+C答案：A4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率为（）A. 1B. -1C. 3D. -3答案：C5. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C6. 函数f(x)=ln(x)的导数为（）A. 1/xB. ln(x)C. xD. 1答案：A7. 曲线y=e^x与y=ln(x)互为反函数，它们的图像关于（）A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称答案：D8. 函数f(x)=x^3的二阶导数为（）A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x答案：B9. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值点为（）A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A10. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标为（）A. (1,5)B. (-1,4)C. (1,4)D. (-1,5)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的一阶导数为f'(x)=_________。
答案：3x^212. 函数f(x)=x^2+2x+1的二阶导数为f''(x)=_________。
答案：213. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线方程为y-1=_________(x-1)。
答案：314. 函数f(x)=e^x的不定积分为∫e^x dx=_________+C。
电大微积分初步专科期末复习题
微积分初步一、填空题⒈函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 .答案:),3()3,2(+∞⋃⒉函数1322+--=x x x y 的间断点是＝ ．答案：1-=x⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 .答案：21 ⒋若⎰+=c x x x f 2cos d )(,则)(x f ' .答案：x 2cos 4-⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 2 .6.函数x x x f 2)1(2+=+,=)(x f .答案：12-x７．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,20,2sin )(x x k xx x f 在0=x 处连续,则k = 2 ．８.曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 .答案：21 9．=+-⎰-x x x d )253(113 ．答案:41０.微分方程0sin )(3=-'+''y y y x 的阶数是 ．答案:2 1１.函数241)(xx f -=的定义域是 ．答案:)2,2(-12.若24sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：213.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案:21x - 1４．若⎰=x x s d in .答案:c x +-cos １5．微分方程yx ex y y x +='+'''sin )(4的阶数是 3 .16．函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是(-2,-1)∪(-１，4】.１７．若24sin lim 0=→kxxx ,则=k 2.１8.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是_ｙ=x+１＿_.19.=+⎰e 12d )1ln(d d x x xﻩ０ ．2０.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 y ＝ｅ的x 次方 . 2１.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃-- ．２２．若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续,则=k ２ .23.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是ﻩ21ﻩ．２4.=⎰x xd 2c x+2ln 2ﻩ ．25.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为12+=x y ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案：),3()3,2(+∞⋃27．函数x x f -=51)(的定义域是 . 答案：)5,(-∞28.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(---２9．函数72)1(2+-=-x x x f ,则=)(x f ﻩﻩ. 答案:62+x30．函数⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x,则=)0(f ． 答案:231.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案: 12-x32．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x３3.=∞→x x x 1sin lim . 答案： 134．若2sin 4sin lim0=→kx xx ，则=k .答案: 2３5．若23sin lim0=→kx xx ,则=k . 答案: 233６．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是21． 37.曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是1+=x y ．38.曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线方程是2321+-=x y .39.=')2(xx x 22ln 21. 40.若y ＝ ｘ (ｘ – 1）(ｘ – ２)(x – 3),则y '(0) =ﻩ－6ﻩ．４１．已知x x x f 3)(3+=,则)3(f '=)3ln 1(27+． ４2.已知x x f ln )(=,则)(x f ''＝21x -. ４3.若xx x f -=e )(，则='')0(f -2ﻩ. 4４.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 大于零ﻩ45.若)(x f 的一个原函数为2ln x ,则=)(x f 。
微积分初步考试题及答案
微积分初步考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -12. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0B. 1C. 0.5D. 23. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是：A. cos(x) + CB. -cos(x) + CC. sin(x) + CD. x + C4. 曲线y = x^3与直线y = 2x在点(1,1)处的切线斜率是：A. 3B. 1C. 2D. 0二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 6x + 8的一阶导数是_________。
2. 函数y = e^x的不定积分是_________。
3. 定积分∫(0到π) sin(x) dx的值是_________。
4. 曲线y = ln(x)在点x=e处的切线方程是y = _______。
三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极值点。
2. 计算定积分∫(0到π/2) cos(x) dx，并说明其几何意义。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其在区间[-1, 2]上的原函数。
4. 求曲线y = x^2 - 4x + 4在点x=2处的切线方程。
四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么f(x)在[a, b]上可积。
2. 证明：如果函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，那么f(x)在[a, b]上的原函数F(x)也是单调递增的。
答案：一、选择题1. A2. C3. A4. C二、填空题1. 3x^2 - 62. e^x + C3. 24. 1 + ln(e) = 2三、解答题1. 极值点：x = 2，此时f(x)取得最小值0。
2. 定积分∫(0到π/2) cos(x) dx = 1。
几何意义：表示曲线y = cos(x)与x轴在[0, π/2]区间内围成的面积。
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微积分初步复习试题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y．⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）A. 2；B. 3；C. 4；D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x x x 四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x．⒉当→x 0 时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2- ．⒋=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e⒊下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限46lim 222----→x x x x ．⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分⎰+-x x xx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 323⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x．⒉=∞→xx x 1sin lim 1 ． ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ．⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． ⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 ⒉当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.A ．x 1B ．x xsin C ．)1ln(x + D ．2xx⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）． A ．x cos B ．x -5 C ．2x D ． x 2⒋ 设c xxx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）．A. x ln lnB. x x lnC. 2ln 1xx - D. x 2ln ⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．A ．x y y x y x ln e sin ='-''B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 2三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x⒉设x x y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x x x y +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21⒋计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省.一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f32+x．⒉若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是 ).1[∞+- ． ⒋=⎰∞-dx e x 0221 ．⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 ⒉当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1⒊若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠⒋若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++2323221⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. )(ln d d y x x y ⋅=；B. x y x y +=e d d ；C. y x x y e e d d +=；D. )ln(d d y x xy +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=，求y dx x y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=⒊计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= c e xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d⒋计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x xx d ln 113e1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e x x x四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r Vr S -='令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2Vr =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．。