黑龙江省哈师大附中2020至2021学年高二下第一次月考数学真题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021 2021学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021 2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题Word版含答案黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题word版含答案2022-2022哈尔滨师范大学附中高二第二学期期中考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟，满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项目是正确的）1.复数i(3?4i)的虚部为（）2.在命题“如果a？B，那么ac2？BC2”的四个命题及其逆命题、无命题和逆无命题中，真命题为（）a.0个b.2个c、三,a.4ib.3ic.4d.3d、四,3.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从a,b,c三所中学抽取60名教师进行调查，已知a,b,c三所学校分别有180,270,90名教师，则从c学校中应抽取的人数为（）a、十b.12c、 18d.244.图中的茎叶图记录了A组和B组五名学生在英语听力测试中的分数（单位：分）。
假设A组数据的中位数为15，B组数据的平均值为16.8，则A组的值分别为（）A.2和（）A.55.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及b、 5,5c。
5,8d。
8,8k2公式算得：k?8.846，参照附表得到的正确结论是（）.841a。
在出错概率不超过0.100的前提下，认为“热爱运动与性别无关”B.在出错概率不超过0.100的前提下，认为“热爱运动与性别无关”-1-c、在犯错概率不超过100的前提下，认为“热爱运动与性别有关”D。
在犯错概率不超过100的前提下，认为“热爱运动与性别无关”6已知集合a？？十、R1.2倍？6.B 十、R1.十、M1.如果x？B建立一个2？充分必要条件是x？a、那么实数m的取值范围是（）a.m?2b、 m？2c。
M2d。
？2.M二7.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于（）8.在图中所示的程序框图中，如果输出s为是，则在①a.n?5b.n?6c.n?7d.n?89.命题“，”的否定是（）a.，b.，c.，d.，a、不列颠哥伦比亚省。
黑龙江高二高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．2.在处可导,为常数,则（）A．B．C．D．03.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（甲、乙可以不相邻）那么不同的排法共有（）A．24种B．60种C．90种D．120种4.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A．140种B．120种C．35种D．34种5.函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.的值为（）A．0B．C．2D．-28.设函数，则该函数曲线在处的切线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9.用5种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（）A.120B.160C. 180D.24010.若不等式对于大于的一切正整数都成立，则正整数的最大值为（）A．43B．42C．41D．4011.设是虚数单位，在复平面上，满足的复数对应的点的集合是 ( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．线段12.一个平面将空间分成两部分，两个平面将空间最多分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，…，由此猜测()个平面最多将空间分成（）A．部分B．部分C．部分D．部分二、填空题1.设，，是虚数单位，复数，观察：，，…，得出一般性结论为：_ _______.2.设，，且，则 .3.书架上有4本不同的书，甲、乙、丙三人去选书，每人至少选一本，则共有_____种不同选法.4.在等差数列中有性质：（），类比这一性质，试在等比数列中写出一个结论： .三、解答题1.一箱里有10件产品，其中3件次品，现从中任意抽取4件产品检查.（1）求恰有1件次品的概率；（2）求至少有1件次品的概率.2.已知，复数，.（1）求证：；（2）求的最值.3.（1）设函数，.求函数的单调递减区间；（2）证明函数在上是增函数.4.用数字0、1、2、3组成3位数. 不允许数字重复.①可以组成多少三位数？②把①中的三位数按从小到大排序，230是第几个数？③允许数字重复，可以组成多少个能被3整除的三位数.5.已知函数，是否存在实数，使函数在上递减，在上递增？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由.6.已知数列中，，前项的和为，对任意的，，，总成等差数列. （1）求的值；（2）求通项；（3）证明：.黑龙江高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，共轭复数为【考点】复数运算及共轭复数点评：复数运算中，复数的共轭复数是2.在处可导,为常数,则（）A．B．C．D．0【答案】B【解析】【考点】导数的定义点评：导数的定义：3.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（甲、乙可以不相邻）那么不同的排法共有（）A．24种B．60种C．90种D．120种【答案】B【解析】甲乙两人属于特殊元素，优先安排有种，其余三人安排位置有种，所以不同的排法种数共有种【考点】排列组合点评：本题中排队时出现了特殊元素，一般遵循特殊元素优先考虑的原则，先安排甲乙二人，此外还经常考查相邻与不相邻问题，分别采用捆绑法和插空法4.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A．140种B．120种C．35种D．34种【答案】D【解析】分情况考虑：1男3女有种；2男2女有种；3男1女有种所以共有种【考点】组合点评：本题还可用去杂法，任意选4人减去不满足题意的选法种5.函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数导数时恒成立，即，设【考点】函数导数与单调性点评：由函数在是增函数可得时有恒成立，反之由函数在是减函数可得时有恒成立。
黑龙江高二高中数学月考试卷带答案解析
黑龙江高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的虚部为（）A．2B．1C．-1D．-i2.“用反证法证明命题“如果x<y，那么 >”时，假设的内容应该是（）A．＝B．<C．＝或<D．＝或>3.已知复数是虚数单位对应的点在复平面内第二象限，且，则（）A．B．C．D．4.以下给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i<20B．i>10C．i<10D．i≤105.若复数满足，则复数z在复平面内的轨迹为（）A．一个圆B．两个圆C．一条直线D．两条直线6.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉一组数据后，要使剩下的4组数据的相关性最强，应去掉点（）A．A B．B C．C D．D7.已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8.下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中( )A．大前提错误，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提正确，结论错误9.给出下列说法：①命题“”的否定是“”；②若“”为假命题，则均为假命题；③ “三个数成等比数列”是“”的既不充分也不必要条件其中不正确的个数为A．B．C．D．10.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.设，且恒成立，则的最大值是（）A．1B．4C．6D．912.已知函数的图象与轴只有一个交点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题1.若复数满足，则复数的模为________．2.椭圆上一点与椭圆两焦点、的连线的夹角为直角，则的面积为 .3.，，猜想，当时，有．4.设Sn 是数列{an}的前n项和，且a1=—1，an+1=SnSn+1，则Sn=__________________________．三、解答题1.当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.2.当前《奔跑吧兄弟第四季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第四季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．（1）试根据题设数据完成下列列联表，并说明是否有99．9％的把握认为收看《奔跑吧兄弟第四季》与年龄有关；（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人.从这7人中任意抽取2人，求至少有一人收看《奔跑吧兄弟第四季》的概率．3.已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和，证明：—2.4.如图，已知在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面.5.如图所示，椭圆C：的一个焦点为 F(1,0)，且过点。
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)(含解析)
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数，则a的值为()A. −2B. 2C. 1D. −12.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<<B. a<<<bC. a<<b<D. <a<<b3.设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的()条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.当时，复数在复平面内对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值6.已知函数，则的值为()A. B. C. D.7.设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)=2，且f′(2)=−4，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程是()x+2A. y=−2x+2B. y=−4x+2C. y=4x+2D. y=−128.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行程序框图，若输入的a为2，2，5，x与n均为2，则输出的s等于()A. 34B. 17C. 12D. 79.执行如图所示的程序框图，输出的a值为()A. 3B. 5C. 7D. 910.过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为(c,0)，则的最大面积是()A. AbB. bcC. AcD.11.下列有关命题的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B. 命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是：“γx∈R，均有x2+x+1<0”C. 在△ABC中，“A>B”是“cos2A<cos2B”的充要条件D. “x≠2或y≠1”是“x+y≠3”的非充分非必要条件12.已知双曲线的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为()．A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=x−√x，则f′(1)=______ ．14.华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示______？(如图)15.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0～9和字母A～F共16个记数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：十六进制0123456789A B C D E F十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则用十六进制表示：B×C=______ ．16.在下图所示的三角形数阵中，用a i,j(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N∗),已知a i,1=a i,i=1−1(i∈N∗),且当i≥3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即a i,j= 2i−1a i−1,j−1+a i−1,j(2≤j≤i−1),若a m,2>100,则正整数m的最小值为______________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.选做题22.(本小题满分10分)如图设为圆的内接三角形，为圆的弦，且，过点作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F。
【数学】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考(理)
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、 选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（ ） A ．4B. 3C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（ ） A. 有相同的长轴长和短轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ） A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．5B.15C.5D .5-7.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x += B. 2212516xy += C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O xy +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ） A.B. 2C.D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184yx +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（ ） A ．B. 8C. 4D.8311.长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π，2AB AD ==，则点B 到平面1D AC 的距离等于（ ）A.2B.3C .3D.1212. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. )1,21[B.)1,22[C.)1,215[- D.]220，（ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13.已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为 ．14.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .15.已知椭圆2213x y +=上动点为M ，则点M 到直线80x y --=：的距离的最小值为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点．（1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线 垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点． （1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值．20. （本小题12分） 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知,2,1AB BC AC AB AA ===ABC AA 平面⊥1，点Q M ,分别是1,CC BC 的中点，点P 是棱11B A 上的任一点．（1）求证：MP AQ ⊥；（2）若平面11A ACC 与平面AMP 所成的锐角为θ，且32cos =θ，试确定点P 在棱11B A 上的位置，并说明理由．21.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,(c F -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ． （1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程．22.（本小题12分） 已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，左、右焦点分别为21,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与N M ,两个不同的点，记M QF 2∆的面积为1S ，N OF 2∆的面积为2S ，令21S S S +=，求S 的最大值．。
黑龙江省2020-2021年高二数学9月月考试题
黑龙江省高二数学9月月考试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，共60分） 1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（）A. tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使B. tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使C. tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使 D. tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 椭圆22213x y m m+=-的一个焦点是(0,1)，则m 的值是( )A ．1B ．-2或 D. -2或1或 4. 双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．332或2 B ．332或2 C ．3或2 D ．3或25．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．0C ．1或3D ．1或06．(理)已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －26．（文）椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．327．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.358．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(1,2]D ．(1，2]9．若点Ο和点F （-2，0）分别为双曲线2221(0)ax y a -=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为（ ）A. [3)-+∞B. [3)++∞C. 7[,)4-+∞D.7[,)4+∞ 10．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 211．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形12．已知A,B,C 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且2|AF|=|CF|则双曲线的离心率是（ ）A.53 D. 94二、填空题（（每小题5 分，共4小题，共20分） 13.抛物线2(0)x ay a =>的焦点坐标是14.已知F P ),1,4(-为抛物线x y 82=的焦点，M 为此抛物线上的点，且使MF MP +的值最小，则M 点的坐标为15．对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25。
高二数学4月月考试题文含解析 2(共15页)
师大附中2021-2021学年(xuénián)高二下学期第一次月考试卷文科数学第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 复数的虚部是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,所以该复数的虚部为，应选C.考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.2. 假设集合，集合，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，那么A∩B={x|﹣1＜x＜1}=〔﹣1，1〕，应选：C．3. 假设，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】是定义域上的增函数，是定义域上的减函数，是定义域上的减函数(hánshù)，应选4. 某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图复原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，.....................∴该四棱锥(léngzhuī)的最长棱的长度为．应选：．5. 圆的圆心到直线的间隔为1，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的间隔为1，所以，解得，应选A.【考点】圆的方程，点到直线的间隔公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的间隔 d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或者取值范围．视频6. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，那么抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含(bāohán)的根本领件有：〔2，1〕，〔3，1〕，〔3，2〕，〔4，1〕，〔4，2〕，〔4，3〕，〔5，1〕，〔5，2〕，〔5，3〕，〔5，4〕，一共有m=10个根本领件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．应选：D．点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件数：1．根本领件总数较少时，用列举法把所有根本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图〞列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．7. 阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，那么输出的结果为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】程序在执行过程中的值依次为：程序完毕，输出，应选C．视频(shìpín)8. ，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由诱导公式解得：，又因为：且，解得：，所以：，所以答案为B．考点：1．诱导公式；2．同角三角函数的根本关系．9. 过双曲线：〔，〕的右焦点作圆：的切线，切点为，交轴于点，假设为线段的中点，那么双曲线的离心率是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，且,∴，∴,∴，即,∴,应选A．考点：双曲线的简单性质．10. 以下说法错误的选项是〔〕A. 命题“假设，那么〞的逆否命题是：“假设，那么〞B. “〞是“〞的充分不必要条件C. 假设且为假命题，那么、均为假命题D. 命题：“，使得〞，那么：“，都有〞【答案(dá àn)】C【解析】逆否命题是对条件结论都否认，然后原条件作结论，原结论作条件，那么A是正确的；x>1时，|x|>0成立，但|x|>0时，x>1不一定成立，故x>1是|x|>0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，那么p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否认是全称命题，故D是正确的。
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二第一学期期中数学(理)试题【解析版】
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高二第一学期期中数学（理）试题【解析版】一、单选题1350x y +-=的倾斜角为（ ） A ．300 B ．600C ．1200D ．1500【答案】C【解析】∵350x y +-=的斜率为：3-直线的倾斜角为α，所以tan 3α=-120α=︒，故选C.2．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+=【答案】A【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为2,3则直线l 的斜率为3,2-所以直线l 的方程为32(1).3210.2y x x y -=-++-=即故选A3．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．1(4，0)C ．1(0,)4D ．1(0,)8【答案】D【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和p ，进而求出焦点坐标. 【详解】解：整理抛物线方程得212x y =∴焦点在y 轴，14p =∴焦点坐标为1(0,)8故选D4．设F 1，F 2分别是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5【答案】A【解析】由题意知OM 是12PF F △的中位线，∵3OM =，∴26PF =，又12210PF PF a +==，∴14PF =，故选A.5．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-= 【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，0024{22x x y y =-=+，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.【解析】1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.6．过原点的直线l 与双曲线226x y -=交于A ,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线PA 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)P x y ，代入双曲线的方程，作差，可得22221y nx m-=-，再由直线的斜率公式，结合平方差公式，计算可得所求值. 【详解】由题意可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)P x y ， 则226m n -=，226x y -=， 即有2222y n x m -=-，即22221y n x m -=-， 由PA y n k x m -=-，PB y nk x m+=+， 可得2222·1PA PBy n k k x m -==-， 因为2PA k =，所以12PB k =. 故选：C .7．如果椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=【答案】D【分析】设这条弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ,则：2222112211369369x y x y +=+=，,用点差法得到：12120369x x y y k +++=，代入中点坐标，即得解斜率k . 【详解】设这条弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，斜率为1212y y k x x -=-，则：2222112211369369x y x y +=+=，两式相减得：2222121212121212()()()()00369369x x y y x x x x y y y y ---+-++=∴+=变形得：12120369x x y y k +++=，又弦中点为：()4,2，故12k =-故这条弦所在得直线方程为：1242()y x -=--，即280x y +-= 故选：D【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.8．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（ ） A ．2 B ．83C ．24 D ．48【答案】C【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210F F =.根据题意和双曲线的定义知1222241233PF PF PF PF PF =-=-=,所以26PF =,18PF =, 所以2221212PF PF F F +=,所以12PF PF ⊥.所以121211682422PF F SPF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.9．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 与双曲线22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且2AK =，则A 点的横坐标为（ ） A ．2 B ．3C ．23D ．4【答案】B【详解】因为已知条件中，抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合，而双曲线中，a=2，5b =可知右焦点（3,0），抛物线的准线x=-2p,故点K （-2p ，0），设点A （x,y ）,且22(0)y px p =>，则2AK AF =，可知222()2()()2222p p px y x x px ++=+∴+=，且由于3,62p p ==，解得点A 的横坐标为3， 故选：B.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的性质以及抛物线的定义，运用坐标表示处关系式2AK AF =，然后借助于等式来求解点A 的坐标，属于基础题．10．已知抛物线2:8y x τ=，过抛物线τ的焦点且斜率为k 的直线l 交τ于M ，N 两点，已知(2,3)P -，0PM PN =，则k =（ ） A ．34B ．43C ．12D ．2【答案】B【分析】本题先根据题意写出直线l 的直线方程，然后联立直线l 与抛物线τ的方程，消去y ，化简整理可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理可得12284x x k+=+，124x x =，接着计算出12y y +，12y y 关于k 的表达式，写出向量PM ，PN 的坐标式，代入并化简计算PM PN ，根据0PM PN =可进一步计算出k 的值，得到正确选项. 【详解】解：由题意，画图如下：由抛物线方程28y x =，可知抛物线τ的焦点坐标为(2,0)，则直线l 的直线方程为：(2)y k x =-，显然0k ≠. 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则联立2(2)8y k x y x =-⎧⎨=⎩， 消去y ，整理得22224(2)40k x k x k -++=， 故12284x x k+=+，124x x =， 121212288(2)(2)(4)(44)y y k x k x k x x k k k∴+=-+-=+-=+-=， 2221212121228(2)(2)[2()4][42(4)4]16y y k x x k x x x x k k=--=-++=-++=-，1(2PM x =+，13)y -，2(2PN x =+，23)y -，∴1212·(2)(2)(3)(3)PM PN x x y y =+++--121212122()43()9x x x x y y y y =++++-++28842(4)41639k k =+++--⋅+22(34)k k -=，0PM PN =，∴22(34)0k k-=，解得43k =. 故选：B .【点睛】关键点睛：本题主要考查向量与解析几何的综合问题.考查了方程思想，韦达定理的应用，向量的运算能力，解答本题的关键是由题意1212·(2)(2)(3)(3)PM PN x x y y =+++--，然设出直线方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，在代入得到关于k 的方程.本题属中档题.11．点(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3C 5D ．2【答案】C【解析】试题分析：设1(,0)F c -是双曲线的左焦点，圆222()39c b x y -+=的圆心为(,0)3c M ，半径为3b ，由于14233c cF M c MF =+==，又2PQ QF =，因此1//PF QM ，所以1F P PF ⊥，13PF MQ b ==，222243PF c b c a =-=+，由双曲线定义得12PF PF a -=，2232c a b a +=，解得5ce a==．故选C ． 【解析】双曲线的几何性质，双曲线的定义，直线与圆的位置关系．【名师点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，解题时，借助几何方法得出1PFF ∆中线段与,,a b c 的关系及1PFF ∆的性质，大大减少了计算量，而且明确得出了,,a b c 的等式，方便求出双曲线的离心率．这是我们在解解析几何问题要注意地方法． 12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．52⎫-⎪⎪⎝⎭B ．52⎛- ⎝⎭C ．510,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．51,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】C【分析】过1B 作直线22A B 的垂线l ，题意说明射线1B P 在直线l 上方，由此可得,,a b c 的不等关系（利用直线与x 轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围． 【详解】设直线l 为过1B 且与22A B 垂直的直线，易知22,B A bk a=-则直线l 的斜率为a k b=， 而()10,B b -，则该直线l 的方程为ay x b b=-，所以该直线与x 轴的交点坐标为2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使得12B PB ∠为钝角，则说明直线1B P 在直线l 上方，故满足2b c a <，结合222b a c =-，得到22,,cac a c e a<-=结合得210e e +-<，结合01,e <<解得51e ⎛-∈ ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过1B 与直线22A B 垂直的直线l 与射线1B P 关系得出不等式．二、填空题13．若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥-≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =+的最大值为_____________．【答案】32【解析】试题分析：由下图可得在1(1,)2A 处取得最大值，即max 13122z =+=.【解析】线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为a zy x b b=-+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.14．若双曲线C 经过点(2，2)，且与双曲线2214y x -=具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为 ．【答案】221312x y -=【解析】试题分析：由题意设双曲线C 的标准方程为224y x λ-=，又过点(2，2)，所以3,λ=-221312x y -=．【解析】双曲线渐近线15．倾斜角为45的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，则AB 的长为__________________. 【答案】8【分析】直线l 的方程为1y x =-，与抛物线方程联立可得2610x x -+=，从而可得6A B x x +=，再根据抛物线的定义即可求出AB 的长.【详解】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=-，即1y x =-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，所以6A B x x +=， 由抛物线的定义可知628A B AB x x p =++=+=，所以AB 的长为8. 故答案为：8【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线焦点弦长的求法，属于中档题.16．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____． 【答案】2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1， 抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==， 所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． （Ⅰ）求圆心M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）100x y +-=.【分析】（Ⅰ）由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（Ⅱ）求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程.【详解】（Ⅰ）设动点(,)M x y 22(2)|2|x y x -+=+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；（Ⅱ）由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.18．已知圆22 :(3)(4)4C x y -+-=，（1）若直线1l 过定点1,0A ，且与圆C 相切，求1l 的方程.（2）若圆D 的半径为3，圆心在直线2:20l x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程.【答案】（1）1x =或()314y x =-；（2）()()22319x y -++=或()()22249x y ++-=.【分析】（1）将1l 的斜率分成存在和不存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径，求得1l 的方程.（2）设出圆D 的圆心，利用两圆外切的条件列方程，由此求得圆心D 的坐标，进而求得圆D 的方程.【详解】（1）圆C 的圆心为()3,4C ，半径为12r =.当直线1l 斜率不存在时，即直线1x =，此时直线与圆相切.当直线1l 斜率存在时，设直线1l 的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，由于1l 与圆C 相切，圆心到直线的距离等于半径，即23421k k k --=+，即221k k -=+34k =，直线1l 的方程为()314y x =-. 综上所述，直线1l 的方程为1x =或()314y x =-. （2）由于圆D 圆心在直线2l 上，设圆心(),2D a a -+，圆D 的半径23r =，由于圆D 与圆C 外切，所以12CD r r =+()()22324235a a -+-+-=+=，即()()223225a a -++=，解得3a =或2a =-.所以圆心()3,1D -或()2,4D -.所以圆D 的方程为()()22319x y -++=或()()22249x y ++-=.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查直线方程和圆的方程的求法，属于基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =，E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，3PE =223BE AB AE =-=则点33(0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(1,)22E D C PF ---， ∴(1DC =-30)，(1DP =，03)，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即3030x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33x x z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)；又33(22EF =-， 设EF 与平面PDC 所成角为θ，∴36sin |cos |55?2EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC 6. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.20．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D ，E 分别为AC ，1AA 的中点.（1）求点1B 到平面BDE 的距离； （2）求二面角1D BE C --的余弦值. 【答案】（12；（2）14. 【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面BDE 的法向量n ，则1B 到平面BDE 的距离为1·nB n B ；（2）求出平面1BEC 的法向量m ，计算m ，n 的夹角得出二面角的大小. 【详解】解：（1）取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，ABC ∆是等边三角形，BD AC ∴⊥，以D 为原点，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(0D ，0，0)，(0B 30)，(1E ，0，1)，1(0B 32)，1(1C -，0，2)，∴(0DB =30)，(1DE =，0，1)，1(0BB =，0，2)，设平面BDE 的法向量为1(n x =，1y ，1)z ，则·0·0n DB n DE ⎧=⎨=⎩，即111300x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11z =可得(1n =-，0，1)，∴点1B 到平面BDE 的距离为1·22B n nB ==（2）(1BE =，3-1)，1(2EC =-，0，1)，设平面1BEC 的法向量为2(m x =，2y ，2)z ，则1·0·0m BE m EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222223020xy z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令21x =可得(1m =，3，2)，cos m ∴<，·14222m n n m n >===⨯， ∴二面角1D BE C --的余弦值为14.【点睛】关键点睛：（1）解题关键是建立空间坐标系，求出平面BDE 的法向量n ，进而用公式求解；（2）解题关键是设平面1BEC 的法向量为2(m x =，2y ，2)z ，则1·0·0m BE m EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求出m 后，利用公式求解二面角1D BE C --的余弦值，难度属于中档题21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为A ，B ，25AB =过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知M 为椭圆C 上一动点（M 不与A ，B 重合），直线AM 与y 轴交于点P ，直线BM 与x 轴交于点Q ，证明：AQ BP ⋅为定值.【答案】（1）221164x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据25AB =2225a b +=，再由过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2，得到2a b =，列出方程组，求得22,a b 的值，即可求解；（2）由（1）得到点,A B 的坐标，设出,,M P Q 的坐标，由点M 在椭圆上，结合,,A P M 三点共线，求得AQ BP ⋅表示，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆C 的左顶点和下顶点分别为,A B ，可得(,0),(0,)A a B b -- 因为25AB =2225AB a b =+=又由过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2，可得222b a=，即2a b =，联立方程组，解得2216,4a b ==，所以椭圆的方程为221164x y +=.（2）由（1）可得(4,0),(0,2)A B --，设00(,),(0,),(,0)P Q M x y P y Q x ，因为点M 在椭圆上，所以2200416x y +=，由,,A P M 三点共线，可得0044P y y x =+， 同理可得0022Q x x y =+， 所以0000002482484242Q P x y x y x y x y AQ BP ++++⋅=+⋅+=⋅++2200000000000000004(4164816)4(16164816)(8)(2)248x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++++==+++++000000002481616248x y x y x y x y +++==+++，即16AQ BP ⋅=，所以AQ BP ⋅为定值.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及椭圆的性质的综合应用，其中解答中根据椭圆的方程，结合三点共线求得P y 和Q x 是解答得关键，着重考查推理与运算能力，属于难题.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3()-，且短轴长为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）4[,1]5. 【分析】（1）利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆方程；（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=；()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩求出P 的坐标，然后推出Q 坐标，求解||OP ，||OQ ，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意知，221314a b+=，22b =，解得2a =，1b =， 故椭圆方程为：2214x y +=.（2）()i 当OP ，OQ 斜率一个为0，一个不存在时，1OPQ S ∆=，()ii 当OP ，OQ 斜率都存在且不为0时，设:OP l y kx =，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得212414x k =+，2222112414k y k x k ==+， 22114y x k x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩，得222244k x k =+，222222144y x k k ==+， ∴2222221122224444,144k k OP x y OQ x y k k ++=+==+=++ ∴22222421144441··2922144421OPQk k S OP OQ k k k k k ∆++===+++++ 又24222999012142k k k k k <=≤++++，所以415OPQ S ∆<， 综上，OPQ △面积的取值范围为4[,1]5.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学(文)试题 Word版
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（文科）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、 选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则m =（ ）A ．4 B. 3 C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=的关系是（ ） A.有相同的离心率 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点D.有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ）A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6.设抛物线2:4C y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是( )A ．5 B. 5.5 C. 6 D. 77.已知双曲线 22142x y -=的右焦点为,F P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为( )A.4B. 4(1C.8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x += B. 2212516x y +=C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）B. 2D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（ ）A ．B. 8C. 4D.8311.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=12.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A.21B.23 C.215- D.22 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13. 以双曲线221169x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 . 14. 已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为 ．15.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点． （1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线 垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点． （1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求四棱锥 P −ABCD 的体积．20.（本小题12分）在ABC ∆中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，cos 220C C ++=. （1）求角 C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求A sin 及c 的值．21.（本小题12分） 已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，右焦点为F ，以原点O为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点，若||3MN =，求直线MN 的方程．22.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为 F (−c,0)，离心率为33，点 M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ．（1）求直线 FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设椭圆上动点P在x轴上方，若直线FP的斜率大于√2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学答案（文科）1-5DDBBC 6-10ABAAD 11.12BC13. 220y x = 14.13 15.2x =或3420x y -+= 16. 94)34(22=+-y x 17.（1） 因为直线 l 1:x −3y +10=0 与 l 2:2x +y −8=0 相交于点 A ， 解方程组 {x −3y +10=0,2x +y −8=0,得 {x =2,y =4, 所以 A (2,4)．因为 O (0,0)，P 为线段 OA 中点，故由中点坐标公式求得 P (1,2)． （2） 当 l ⊥l 1时，直线 l 的斜率为3-，因为直线 l 过 P (1,2)， 所以直线 l 的方程：)1(32--=-x y ，故 l:3x +y −5=0．18. （1） 因为圆 C 的圆心在线段 PQ 的直平分线上，所以可设圆 C 的圆心为 (t ，1)， 则有 (t −3)2+(1−4)2=t 2+(1−1)2，解得 t =3．则圆 C 的半径为 √32+(1−1)2=3．所以圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9．（2）ACB ∆为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或. 19. （1） 因为 AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以 AD ⊥PE ，又因为 △PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PE ⊥AB ，因为 AD ∩AB =A ，所以 PE ⊥平面ABCD . （2） 由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以 PE 是四棱锥 P −ABCD 的高，由 DA =AB =2，BC =12AD ，可得 BC =1，因为 △PAB 是等边三角形，可求得 PE =√3， 所以 V P−ABCD =13S ABCD ⋅PE =13×12(1+2)×2×√3=√3．20. （1） 因为 cos2C +2√2cosC +2=0，所以 2cos 2C +2√2cosC +1=0，即(√2cosC+1)2=0，所以cosC=−√22，因为0<∠C<π，所以∠C=3π4．（2）因为c2=a2+b2−2abcosC=3a2+2a2=5a2，所以c=√5a，所以sinC=√5sinA，所以sinA=√5=√1010，因为S△ABC=12absinC=√22sinAsinB，所以12absinC=√22sinAsinB，所以asinA ⋅bsinB⋅sinC=(csinC)2sinC=√2，所以c=√√2⋅sinC=1．21.（1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+2=0相切，所以b=2()2=√2，a2=2b2=4，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1．（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由{x=my+√2x24+y22=1得(m2+2)y2+2√2my−2=0，y1+y2=−2√2mm2+2，y1y2=−2m2+2．所以∣MN∣=√m2+1∣y2−y2∣=√m2+1√(y1+y2)2−4y1y2=√m2+1√2√2mm2+2)2m2+2)=4(m2+1)m2+2=3，解得m=:0MN x±=.22.（1） 设 FM:y =k (x +c )，O 到直线 FM 的距离为√1+k 2，因为直线 FM 被圆 x 2+y 2=b 24 截得的线段的长为 c ，所以 2√b 24−(2)2=c ，又 e =ca =√33，a 2=b 2+c 2，a 2=3c 2，b 2=2c 2，解得 k =√33． （2） 设 M (x 0,y 0)，x 0>0，y 0>0，则 x 023c 2+y 022c 2=1，又因为 y 0=√33(x 0+c )，且 FM =√(x 0+c )2+y 02=4√33，解得 c =1，c =3（舍）．所以椭圆的方程为x 23+y 22=1．（3） 设点 P 的坐标为 (x 0,y 0)，由题意，y 0x 0+1>√2，平方得 y 02(x0+1)2>2，又 P 在椭圆上，所以x 023+y 022=1，消去 y 0，整理得 23x 02+x 0<0 且 x 0≠−1，所以 −32<x 0<−1 或 −1<x 0<0，又 y 0>0， 所以 x 0>−1， 所以 −1<x 0<0．设直线 OP 的斜率为 m ，得 m =y 0x 0， 所以 m 2=y 02x 02，消去 y 0 整理得 m 2=2x 02−23，由 −1<x 0<0， 得 m 2>43，而 x 0<0，y 0>0， 即 m <0， 所以 m ∈(−∞,−2√33)．综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 (−∞,−2√33)．。
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题文 (I)
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题文 (I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数12z i=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 2.用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A.b a 、至少有一个为0 B .b a 、 至少有一个不为0C.b a 、全不为0D. b a 、只有一个为03．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24、下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n ∈N *，且n ≥3)A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．②④5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为（ ）A ．21n n +B ．311n n -+C ．212n n ++D ．22n n + 6.“若0()0g x '=，则0x 是函数()y g x =的极值点，因为3()g x x =中， 2()3g x x '=且(0)0g '=，所以0是3()g x x =的极值点.”在此“三段论”中，下列说法正确的是（ ）A ．推理过程错误B ．小前提错误C ．大前提错误D ．大、小前提错误7. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是A．p：12)(23+++=mxxxxf在R上单调递增q：34≥mB. p ：1=x q：2xx=C. p：),(Rbabia∈+是纯虚数q：0=aD.p：dbca+>+q：ba>且dc>8．把正整数按右图所示的规律排序，则从xx到xx的箭头方向依次为（）A.↑→2014B．↓→2014C.→↓2014 D.→↑20149、设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则cbaSr++=2，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于( )A．4321SSSSV+++B．43212SSSSV+++C．43213SSSSV+++D．43214SSSSV+++10.函数21()ln2f x x x=-的大致图象是( )11．设曲线()*+∈=Nnxy n1在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则201520162201612016logloglog xxx+++ 的值为( )A．2015log2016- B．()12015log2016- C． -1 D． 112. 对于R上可导的任意函数()x f，若满足()()01'≥-xfx，则必有（）A. ()()()1220fff≥+ B. ()()()1220fff≤+C. ()()()1220fff>+ D. ()()()1220fff<+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13 . 若复数z 满足3(1)1z z i -+=,则2z z +的值等于 .14、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为____ ___．15观察下列式子：212311+=，313422+=，414533+=，515644+=，，归纳得出一般规律为 ． 16. 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为 。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市哈师大附中高二下学期期中考试 数学(理) word版
哈师大附中2021-2022年度高二学年下学期期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 设函数 f (x )=x 2+ax ，且 lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)Δx=1，则 a = ( )A. −23B. −32 C. 1D. −12. 下列函数求导运算正确的个数是 ( )① (3x )ʹ=3x log 3e ； ② (log 2x )ʹ=1x⋅ln2；③ (e x )ʹ=e x ；④ (1lnx)ʹ=x ；⑤ (x ⋅e x )ʹ=e x +1．A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 已知随机变量 ，若 ，则A.B.C.D.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0P 和圆22:1O x y +=，在圆O 上任取一点Q ，连接PQ ，则直线PQ 的斜率大于3-的概率是（ ）A ．16 B ．13 C ．23 D ．565.已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且依次交抛物线E 及其准线于点,,A B C (点B 在点,A C之间）．若2BC BF =，则AF =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16.某校甲､乙课外活动小组(两小组人数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲､乙两组平均成绩分别用1x ，2x 表示，标准差分别用1s ，2s 表示，则（ ） A ．12x x >，12s s > B ．12x x <，12s s > C ．12x x >，12s s < D ．12x x <，12s s <7．某奶茶店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：C ︒）之间的关系如下：x 2-1-0 1 2 y5?221通过上面的五组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程：ˆ；但是现在丢失了一个数据，该数据应为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58. 已知函数 f (x )=x 3−ax 2−bx +a 2 在 x =1 处有极值 10，则 a ，b 的值为 ( ) A. a =−4，b =11 B. a =3，b =−3 或 a =−4，b =11 C. a =−1，b =5 D. a =3，b =−39．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（ ）A ．332B ．227C ．23D ．2910. 函数 f (x )=x 2e x2的大致图象为 ( ). .A. B. C. D. 11.已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=12.定义在 (−1,1] 上的函数 f (x ) 满足 f (x )+1=1f (x+1)，当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x ，若函数g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (32,+∞) B. (32,258) C. (32,2516) D. (23,34)二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =__________.14. 若函数 f (x )=x 3+fʹ(1)x 2+1，且 y =f (x ) 在 (−2,m ) 上有最大值，则 m 的最大值为_____. 15．将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是__________. 16. 已知函数 f (x ) 在 R 上都存在导函数 fʹ(x )，对于任意的实数都有f (−x )f (x )=e 2x ，当 x <0 时，f (x )+fʹ(x )>0，若 e a f (2a +1)≥f (a +1)，则实数 a 的取值范围是 __________.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）已知函数 f (x )=e x −x −1． （1）求函数y =f (x )的最小值；（2）求曲线 y =f (x ) 在x =1处的切线方程. 18．（本题满分12分）“防控传染病，接种疫苗最有效”，而疫苗研发是一个漫长而复杂的过程，包括疫苗筛选､动物实验､临床试验等，以保证疫苗的安全和有效.某生物制品研究所研制某型号疫苗时，用小白鼠进行动物试验， 未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗 20 xA 注射疫苗 30 yB总计5050100现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为25.（1）求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； （2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？ （3）现从感染病毒．．．．的小白鼠中按是否注射疫苗用分层抽样的方法抽取出10只小白鼠，若在这10只小白鼠中任取3只进行病理分析，记取到的已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.附：K 2=2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，n =a +b +c +d .P (K 2≥k 0) 0.05 0.010 0.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.82819．（本题满分12分）某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x 的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为Y ，求Y 的分布列及数学期望E （Y ）.20. （本题满分12分）已知椭圆 C 的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率为 √22，它的一个顶点恰好是抛物线 x 2=−4√3y的焦点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过动点 M (0,m )(0<m <b ) 的直线交 x 轴的负半轴于点 N ，交 C 于点 A ，B （A 在第一象限），且 M 是线段 AN 的中点，过点 A 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 D ，延长线段 DM 交 C 于点 G ．（i ）设直线 AM ，DM 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值； （ii ）求直线 BG 的斜率的最小值． 21. （本题满分12分）已知函数 f (x )=x −2−ln 2x −alnx (a ∈R )．（1）令 g (x )=xfʹ(x )，讨论 g (x ) 的单调性并求极值； （2）令 ℎ(x )=f (x )+2+ln 2x ，若 ℎ(x ) 有两个零点；（ⅰ）求 a 的取值范围；（ⅱ）若方程 xe x−a (lnx +x )=0 有两个实根 x 1，x 2，且 x 1≠x 2，证明：ex 1+x 2>e 2x1x 2．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =2√2−2t,y =√2+t,（t 为参数），以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2=41+3sin 2θ． （1）求直线 l 的直角坐标方程，以及曲线 C 的参数方程；（2）点 P 是曲线 C 上任意一点，点 A 在 l 上，且直线 PA 与 l 的夹角为 45∘，求 ∣PA ∣ 的最大值． 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 f (x )=∣x −1∣−∣x +2∣．（1）若不等式 f (x )≥∣m −1∣ 有解，求实数 m 的最大值 M ；（2）在（1）的条件下，若正实数 a ，b 满足 3a 2+b 2=M ，证明：3a +b ≤4.高二下学期期中考试（数学理）参考答案： 选择题：D B C D A B BADACC 填空题： 13. 1 14.3 15. 16 16. 2-,03⎡⎤⎢⎥⎣⎦解答题：17.解：（1）()1x f x e '=- 令()0f x '>，得0x > 令()0f x '<，得0x <()f x 在(),0-∞递减，在()0,+∞递增，min ()(0)0f x f ∴== ----6（2）(1)1,(1)2f e f e '=-=-∴ ()f x 在1x =处的切线方程为(2)(1)(1)y e e x --=--即(1)1y e x =-- ----1218.解：（ 1）设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物“为事件E ，由302()1005y P E +==，解得10y =，由此能求出40x =，60A =，40B =. ----3（2）求出2100(20103040)5016.6710.828505060403k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，从而有99.9%把握认为注射此种疫苗有效. ----6（3）抽出的感染病毒的小白鼠中共有8只为未注射疫苗的，有2只是注射疫苗的ξ的可能取值为0,1,230823107(0)15C C P C ξ===21823107(1)15C C P C ξ===12823101(2)15C C P C ξ===∴ξ的分布列为：所以7713()0121515155E ξ=⨯+⨯+⨯= ---12 19.解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20＝1， 解得x ＝0.0075； ---2（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， ---4 所以随机变量Y 服从二项分布Y ～B （3，0.4），故P （Y ＝k ）＝C 3k 0.4k 0.63﹣k ，k ＝0，1，2，3， ---6 故Y的分布列为则E （Y ）＝3×0.4＝1.2； ---12 20.解: （1） 因为抛物线 x 2=−4√3y 的焦点是 (0,−√3)， 所以 b =√3． 因为 ca =√22，且 a 2=b 2+c 2，所以 a =√6，c =√3． 所以椭圆 C 的方程 x 26+y 23=1． ---3（2） （i ）设点 A (x 0,y 0)，那么点 D 为 (x 0,−y 0)， 因为 M 是线段 AN 的中点， 所以 A (x 0,2m )，D (x 0,−2m )． 所以 k 1=2m−m x 0=m x 0，k 2=−2m−m x 0=−3m x 0．所以 k1k 2=−13； ---6 （ii ）根据题意得：直线 AM 的斜率一定存在且 k >0，设直线 AM 的方程为 y =kx +m ，则直线 DM 的方程为 y =−3kx +m 联立 {y =kx +m,x 26+y 23=1,整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， 利用韦达定理可知：x 0⋅x B =2m 2−61+2k 2，所以 x B =2m 2−6(1+2k 2)x 0．所以同理可得 x G =2m 2−6[1+2(−3k )2]x 0=2m 2−6(1+18k 2)x 0．所以k BG=y B −y Gx B −x G=kx B +m−(−3kx G +m )x B −x G=kx B +3kx G x B −x G=k 2m 2−6(1+2k 2)x 0+3k 2m 2−6(1+18k 2)x2m 2−6(1+2k 2)x 0−2m 2−6(1+18k 2)x 0=k 1+2k 2+3k1+18k 211+2k 2−11+18k 2=k+18k 3+3k+6k 31+18k 2−1−2k 2=4k+24k 316k 2=14k+32k.因为 k >0，所以 k BG =14k +32k ≥2√14k ⋅32k =√62． 当且仅当14k=32k ，即 k =√66时，等号成立， 所以直线 BG 的斜率的最小值为 √62． ---12 21.解：（1） 因为 fʹ(x )=1−2lnx x−ax ，所以 g (x )=xfʹ(x )=x −2lnx −a ，x ∈(0,+∞) gʹ(x )=x−2x， x ，gʹ(x )，g (x ) 的变化如下：x (0,2)2(2,+∞)gʹ(x )负正g (x )单调递减极小值单调递增所以 g (x ) 单调递减区间为 (0,2)，单调递增区间为 (2,+∞)． 极小值为 g (2)=2−2ln2−a ，无极大值； ---3 （2） （i ）ℎ(x )=x −alnx ， ℎʹ(x )=1−ax =x−a x，①当 a ≤0 时，ℎʹ(x )>0，不可能有两个零点，②当 a >0 时，令 ℎʹ(x )<0,0<x <a ，ℎ(x ) 在(0,a )单调递减， 令 ℎʹ(x )>0，得 x >a ，ℎ(x ) 在(a,+∞)单调递减 所以 ℎ(x )min =ℎ(a )=a −alna ，要使 ℎ(x ) 有两个零点，即使 ℎ(a )<0,a >e ,， 又因为 ℎ(1)=1>0，且 a >e ，ℎ(e a )=e a −a 2>0， 所以 ℎ(x ) 在（1,a)， (a,e a ) 上有两个零点，符合题意； 综上， a >e ---7（ii ）证明：xe x −a (lnx +x )=xe x −aln (xe x )(x >0) 有两个实根， 令 t =xe x ，g (t )=t −alnt 有两个零点 t 1，t 2，t 1=x 1e x 1，t 2=x 2e x 2，所以 {t 1−alnt 1=0,t 2−alnt 2=0.所以 a (lnt 2−lnt 1)=t 2−t 1, ⋯⋯① a (lnt 2+lnt 1)=t 2+t 1, ⋯⋯② 要证 ex 1+x 2>e 2x1x 2，只需证 (x 1e x 1)⋅(x 2e x 2)>e 2，即证 ln (x 1e x 1)+ln (x 2e x 2)>2，所以只需证 lnt 1+lnt 2>2． 由①②可得 lnt 2+lnt 1=t 2+t 1t 2−t 1(lnt 2−lnt 1)=(t 2t 1+1)lnt 2t 1t 2t 1−1，只需证(t 2t 1+1)lnt 2t 1t 2t 1−1>2，设 0<t 1<t 2，令 t =t2t 1，则 t >1，所以只需证 lnt >2t−1t+1，即证 lnt +4t+1−2>0，令 ℎ(t )=lnt +4t+1−2，t >1，则 ℎʹ(t )=1t−4(t+1)2=(t−1)2t (t+1)2>0，ℎ(t )>ℎ(1)=0．即当 t >1 时，lnt +4t+1−2>0， 所以 lnt 1+lnt 2>2，即 (x 1e x 1)⋅(x 2e x 2)>e 2， 即 e x 1+x 2>e 2x 1x 2． ---1222. 解：（1） 由直线 l 的参数方程 {x =2√2−2t,y =√2+t, （t 为参数），得 {x −2√2=−2t,y −√2=t, 消去 t 得 x +2y −4√2=0，故 l 的直角坐标方程为 x +2y −4√2=0，由 x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，结合由 ρ2=41+3sin θ 得 ρ2+3ρ2sin 2θ=4， 又 {x =ρcosθ,y =ρsinθ,所以 ⇒x 2+y 2+3y 2=4⇒x 24+y 2=1，故 C 的参数方程为 {x =2cosα,y =sinα.(α为参数) ---5（2） 在曲线 C 上任意取一点 P (2cosα,sinα) 到 l 的距离为 d =√2∣√5=∣∣2√2sin(α+π4)−4√2∣∣√5，则 ∣PA ∣=dsin45∘=4√55∣∣sin (α+π4)−2∣∣，当 sin (α+π4)=−1 时，∣PA ∣ 取得最大值，最大值为12√55. ---10 23.解：（1） 若不等式 f (x )≥∣m −1∣ 有解，只需 f (x ) 的最大值 f (x )max ≥∣m −1∣ 即可．因为 ∣x −1∣−∣x +2∣≤∣(x −1)−(x +2)∣=3，当且仅当x ≤−2取等，所以 ∣m −1∣≤3，解得 −2≤m ≤4，所以实数 m 的最大值 M =4． ---5（2） 根据（Ⅰ）知正实数 a ，b 满足 3a 2+b 2=4，由柯西不等式可知 (3a 2+b 2)(3+1)≥(3a +b )2，所以 (3a +b )2≤16，因为 a ，b 均为正实数，所以 3a +b ≤4（当且仅当 a =b =1 时取“=”） ---10。
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黑龙江省哈师大附中2020-2021学年高二下学期第一次月考
数学（理）试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）
1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A ．60%
B ．30%
C ．10%
D ．50%
2.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（ ） A.0.95 B.0.6 C.0.05 D.0.4
3．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( )
A ．10种
B ．20种
C ．30种
D ．60种
4．若(x ＋
x
)n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120
5.某班有五十名学生，其中有五名班干部，现选派三名同学完成某项任务，在班干部甲被选中的条件下干部乙被选中的概率为（ ） A.
491 B. 492 C.494 D.49
6 【答案】B
【解析】解：由题意知，当班干部甲被选中的条件下，所有的选法有2
49C ，那么则干部乙被选中的情况为1
48C ，则所求的概率即为1
48C /2
49C =
49
2 6．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，每种树苗足够多，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（ ）
A ．15种
B ．12种
C ．9种
D ．6种
7ξ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
23 223 323 423 523 623 723 823
923
m
则P (ξ＝10)等于( ) A 、.
923 B 、. 1023 C 、. 913 D.、
10
1
3
8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为
1
9
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.
29 B.118 C.13 D.23
【答案】D 【解析】解：
1
P(A)P(B),P(A)P(B)P(B)P(A)
9
1
(1x)(1y)2
x
9
3
(1x)y x(1y)
----
∴===
⎧
--=
⎪
∴∴=
⎨
⎪-=-
⎩
设P(A)=x,P(B)=y,
9.已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()
A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
11．如果ξ～B ,
1
⎛⎫
20
⎪3
⎝⎭
，则使P(ξ＝k)取最大值时的k值为( )
A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错
12．由正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-的8个顶点构成的所有三角形中，任取其中的两个不共面的
概率为（）A.
385
367
B.
385
376
C.
385
192
D.
385
18
现共面的情况为表面6个面与6个对角面，每个
面构成4个三角形，
设任取两个三角形不共面为事件“A”，
2425612C 18367
P(A)1=1-C 385385
=-=
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知随机变量ξξ 1 2 3 4 5 P 0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若η＝2ξ－3，则η的期望为________．
三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15， [)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （1）求m ；
（2）工厂规定从m 个人中任取5人，所选5人任意两人不同组的概率是多少？
18．（本题满分12分）
口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则 （1）第一次取出的是红球的概率是多少？
（2）第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
（3）在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的的概率是多少？
19．（本题满分12分）
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3
1
，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：
（1）随机变量ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的期望和方差.
20．（本题满分12分）
某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学. （1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.
21．（本题满分12分）
如图，底面是矩形的四棱锥P—ABCD中AB=2，BC=2，侧面PAB是等边三角形，且侧面
PAB⊥底面ABCD.
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．
22．（本题满分12分）
设抛物线)0(42
>=p px y 的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于B A ,两
点.
(1)求线段AB 中点的轨迹方程；
(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于)0,(0x N ，求证：p x 30>；
(3)若直线l 的斜率依次取n
p p p ,,,2
时，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为
n N N N ,,,21 ，当时10<<p ，求
),2(1
11*132211N n n N N N N N N S n
n n ∈≥+++=
-- 的值.。