线代答案

第六章 线性空间与线性变换

1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1;

解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为

(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,

所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

⎪⎭⎫ ⎝⎛=00

011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100

3ε, ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1000

4ε

是S 1的一个基.

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;

解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2

. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0100

3ε 是S 2的一个基.

(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.

解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,

(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,

所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.

⎪⎭⎫ ⎝⎛=00

011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1000

3ε

是S 3的一个基.

2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.

解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ∉V , 即V 不是线性空间.

3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .

证明 设ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ⋅⋅⋅ +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ⊆U , 而由已知知U ⊆V , 有U =V .

4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ⋅⋅⋅, a n , 使a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r , a r +1, ⋅⋅⋅, a n 成为V n 的一个基.

证明 设r

无关的. 若r +1=n , 则命题得证, 否则存在a r +2∉L (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1), 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +2线性无关, 依此类推, 可找到n 个线性无关的向量a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n , 它们是V n 的一个基.

5. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T 在基α1=(1, 3, 5)T , α2=(6, 3, 2)T ,

α3=(3, 1, 0)T 下的坐标.

解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,

其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-----=-1528981553621

A .

因为 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,

所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T .

6. 在R 3取两个基

α1=(1, 2, 1)T , α2=(2, 3, 3)T , α3=(3, 7, 1)T ; β1=(3, 1, 4)T , β2=(5, 2, 1)T , β3=(1, 1, -6)T .

试求坐标变换公式.

解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,

(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,

其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=614121153B .

设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,

故α在基β1, β2, β3下的坐标为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=321499

10726313941811913x x x .

7. 在R 4中取两个基

e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知