二次函数的特殊形式

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A复习22.1.1《二次函数》

解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四
象(C限)，y则二次函数 yy=ax2+bx-3 的y 大致图象是y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
·5 ·C
·
·
·
·
·· -3 –2
· o B·
–1 · 1
· 2
x
·
A·
·-3
-4
交点式： y a ( x x1 )( x x 2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点C(2，5)，求其解析式。

《二次函数》知识点总结(修改版)

《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。

3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。

y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。

上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质：先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。

三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤，则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

5二次函数的图像与性质

例3：如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线，∴ ，∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图）（变式1）（变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【答案】D ．【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

二次函数图像与性质(第1课时)

一次项和常数项，但不能没有二次项。（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个整式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
－4
你画出的图象与图中相同吗？
－2 －2 －4
请找出相同点与不同点：
－6
－8
y x2
4
增大
2
不同点：a 值越大，抛物线
的开口越小．
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数
y

x2,
y

1 2
x2,
y

2x2
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y

1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结二次函数是一种特殊的多项式函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。

这篇文章将总结二次函数与 a、b、c之间的关系。

一、a 的影响1. a 的正负：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，图像在 y 轴的右侧向上延伸，形状类似 "U" 字；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，图像在 y 轴的右侧向下延伸，形状也是 "U" 字。

2. a 的绝对值：- 当 |a| > 1 时，二次函数图像的开口较窄，抛物线较陡峭；- 当 |a| < 1 时，二次函数图像的开口较宽，抛物线较扁平。

二、b 的影响1. b 的正负：- 当 b > 0 时，二次函数图像向右平移；- 当 b < 0 时，二次函数图像向左平移。

2. b 的绝对值：- b 的绝对值越大，平移的距离越大。

三、c 的影响1. c 的正负：- 当 c > 0 时，二次函数图像向上平移；- 当 c < 0 时，二次函数图像向下平移。

2. c 的绝对值：- c 的绝对值越大，平移的距离越大。

综上所述，二次函数的形状、开口方向和平移均与 a、b、c 的值相关。

不同的 a、b、c 值组合会产生不同的抛物线图像。

理解这种关系对于解析和图像表示二次函数都至关重要。

无论是在数学学习中还是实际问题中，掌握二次函数与 a、b、c 的关系对于分析和解决问题都具有重要的意义。

在实际应用中，通过调整 a、b、c 的值，我们可以改变二次函数的形状，从而适应不同的需求和情境。

总之，二次函数与 a、b、c 之间存在明确的关系，对于理解和应用二次函数都至关重要。

通过合理地设置 a、b、c 的值，我们可以控制二次函数的图像特征，从而更好地解决实际问题。

因此，在学习和应用二次函数时，我们应该认真分析和理解这种关系，以充分利用二次函数的特性。

人教版九年级数学上册《二次函数的图象与性质》PPT

我们一起用描点法画二次函数y=x2的图象。观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应
的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
画出 y=-x2 的图象
y ax2
喷泉(1)
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
3.画出函数图像的一般步骤是什么？（1）列表，（2）描点，（3）链接
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的下方(除顶点外),在对称轴
3
的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x
的增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 大于或小于 0时,y<0.
（3）判断下列抛物线开口的大小
(1)y x2,(2)y 1 x2,(3)y 2x2,(4)y 3x2,(5)y 3x2,(6)y 2x2 2
布置作业
下课了!
（1)想一想：任何一个抛物线的顶点都是原点吗？对称轴都是y 轴吗？ (2)练习册第（12-14）页
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外) ,它的开口向下 ,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大 .当x=0时函数y的值最小.

二次函数的定义与性质

二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。

本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。

一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。

根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。

对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。

2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。

而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。

当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。

3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。

对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。

顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。

5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

二次函数关于xy轴对称的解析式

二次函数关于xy轴对称的解析式二次函数是一种重要的函数形式，在很多应用中都有广泛的运用。

其中，关于xy轴对称的二次函数是一种特殊的形式，具有一些独特的性质。

本文将介绍二次函数关于xy轴对称的解析式及其性质。

首先，我们来回顾一下一般形式的二次函数：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

我们知道，二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上，当a<0时，抛物线开口朝下。

现在，我们考虑二次函数关于xy轴对称的情况。

如果一个二次函数关于xy轴对称，那么它的图像在xy平面中关于x轴或y轴对称。

我们可以通过以下方式得到这种函数的解析式：当二次函数关于x轴对称时，其解析式为：y = a(x-α)^2 + β其中，α为对称轴的横坐标，β为对称轴与抛物线的交点纵坐标。

这个式子的意思是，将x轴上的点(x,0)沿着对称轴移动到点(α,β)，就能得到抛物线的对称形式。

同理，当二次函数关于y轴对称时，其解析式为：y = a(-x-α)^2 + β其中，α为对称轴的纵坐标，β为对称轴与抛物线的交点横坐标。

这个式子的意思是，将y轴上的点(0,y)沿着对称轴移动到点(α,β)，就能得到抛物线的对称形式。

需要注意的是，对称轴的位置取决于二次函数的系数。

当a>0时，对称轴是x=α，当a<0时，对称轴是y=β。

二次函数关于xy轴对称的性质有很多，这里只介绍几个典型的例子。

首先，对称轴上的点是抛物线的顶点。

其次，关于xy轴对称的二次函数的两个根是关于对称轴对称的。

最后，当a>0时，抛物线的最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线的最高点在对称轴下方。

总之，二次函数关于xy轴对称是一种特殊的形式，具有一些独特的性质。

通过掌握其解析式及性质，可以更好地理解和应用二次函数。

二次函数的概念和表达式

X -2 -1 0 1 2 3 y -16 -6 0 2 0 -6
求该二次函数的解析式师友交流: ①从题目中能获得哪些信息选择优法，提高效率 ②本题有哪些做法？ ③你认为最好的方法是什么？ y 2x2 4x
练习7 抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．求抛物线的函数表达式；
+(m-3)x
+m 是二次函数？
分析：①x的最高次幂为2 。②二次项系数m+1≠0
解:由题意得：m2—2m-1=2
m+1 ≠0 ∴m=3
5、当m取何值时，函数是y= (m+2)x m2-2 分别是
①一次函数？② 反比例函数？③二次函数？
二、二次函数的表达式
• 三种不同形式的表达式 • (1)一般式： y ax2 bx c（a，b，c为常数，
二次函数的概念和表达式
一、二次函数的概念
• 二次函数的定义： • 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数
叫做x的二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项
b为一次项系数，bx叫做一次项
c为常数项
注意：（1）关系式都是整式（2）自变量的最高次数是二次（3）二次项系数不等于零
先化简后判断
知识运用
2、已知函数y=（a+2）x²+x-3是关于x的二次函数，则
常数a的取值范围是(
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分析：因为二次函数的二次项系数不能为零，所以a+2≠0
3、若
是二次函数，则m的值为(
)
分析:二次函数的自变量最高次幂为2，所以 m222

小学五年级数学下册认识简单的二次函数

小学五年级数学下册认识简单的二次函数认识简单的二次函数二次函数是数学中重要的一类函数，也是小学五年级数学下册的学习内容之一。

通过学习二次函数，可以帮助学生进一步认识数学的规律和特点，培养数学思维和解决问题的能力。

本文将介绍小学五年级数学下册认识简单的二次函数的相关知识。

一、什么是二次函数二次函数是指在坐标平面上由二次方程所表示的函数关系。

通常可以写成y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数在坐标平面上呈现出一种特殊的曲线形态，称为抛物线。

二、二次函数的图像特点1. 抛物线的开口方向二次函数的抛物线可以有两种开口方向：向上开口和向下开口。

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

这是因为二次函数的二次方项ax²的系数a决定了抛物线的开口方向。

2. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，将抛物线分为左右对称的两部分。

对称轴的方程一般可以用x=h来表示，其中h为实数。

对称轴的特点是，抛物线上任意一点在对称轴上的对称点也在抛物线上。

3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，也就是离对称轴最近的点。

对于向上开口的抛物线，顶点位于抛物线的上方；对于向下开口的抛物线，顶点位于抛物线的下方。

顶点在坐标平面上的坐标形式一般可以表示为顶点坐标为(h,k)，其中h和k都是实数。

三、二次函数的应用1. 面积问题二次函数的应用之一是求解面积问题。

比如，给定一个矩形的边长为x和y，且矩形的面积为A。

如果已知x和y之间的关系，可以建立一个二次函数表达式，从而通过求解方程找到使得面积最大或最小的边长。

2. 运动问题二次函数的应用之二是求解运动问题。

比如，一个物体在空中以一定初速度向上抛掷，根据物体的初速度和时间的关系，可以得到物体的高度-时间函数的二次函数表达式。

通过对这个二次函数的研究，可以计算物体的最高点、飞行距离等运动信息。

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二次函数的根本形式是y=ax²。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。

其他性质与y=ax²相同。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。

当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。

其他性质与y=a(x-h)²相同。

平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。

具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。

如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。

y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。

y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。

另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。

对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。

抛物线焦点

抛物线焦点什么是抛物线焦点？抛物线是二次函数的一种特殊形式，其标准方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。

抛物线焦点是指抛物线上所有点到焦点的距离都相等的点。

如何计算抛物线焦点？要计算抛物线的焦点，我们需要知道抛物线的标准方程中的参数 a、b 和 c。

根据焦点的定义，我们知道焦点到抛物线上的任意一点的距离与焦点到抛物线的准线的距离相等。

对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c，焦点的坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = (4ac - b^2) / (4a)其中，x 和 y 分别代表焦点在坐标系中的横坐标和纵坐标。

抛物线焦点的性质抛物线焦点具有以下性质：1.焦点在抛物线的准线上；2.焦点到抛物线的准线的距离与焦点到抛物线上的任意一点的距离相等；3.抛物线与焦点的连线与抛物线的对称轴垂直；4.当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方，当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。

抛物线焦点的应用抛物线焦点在数学和物理中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.光学：在抛物面镜中，光线平行于抛物线的对称轴时会被反射到焦点上，这样的设计可以用于制造聚光灯和摄像机镜头等光学设备。

2.天文学：行星和彗星的运动轨迹可以近似为抛物线，其焦点即为行星或彗星的太阳或恒星。

3.工程：抛物线的形状可以用于设计天桥和拱桥等工程结构，以提供最佳的强度和稳定性。

结论抛物线焦点是指抛物线上所有点到焦点的距离都相等的点。

要计算抛物线焦点的坐标，我们可以使用抛物线的标准方程中的参数 a、b 和 c。

抛物线焦点具有一些特殊性质，包括在抛物线准线上、与抛物线对称轴垂直等。

在光学、天文学和工程等领域，抛物线焦点都有重要的应用。

二次函数图象性质重点知识点深度剖析

二次函数【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：（a ≠0） ①；②；③；④，⑤.当时开口向上当时开口向下(轴) (轴)(0，) (，0)(，)()2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.20()y ax bx c a =++≠,,a b c(3) 的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a ≠0）.已知图象上三点或三对、值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a ≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a ≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴只有一个交点，，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，，则方程没有实根.2y ax bx c =++的图象的解知识点一、二次函数的概念例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）．A. y=3x ﹣1B. y=ax 2+bx+cC. s=2t 2﹣2t+1 D ．y=x 2+例2把抛物线向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．B ．C ．D ．【变式】把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

二次函数对称轴表达式

二次函数对称轴表达式二次函数是一种特殊的二元一次方程，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是已知常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的平滑曲线，可以分为两种情况：对称轴为纵轴和对称轴为一条直线。

一、对称轴为纵轴当二次函数的对称轴为纵轴时，表达式可以通过平移变换推导而来。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，通过平移变换，可以使其对称轴平行于y轴，即将x替换为(x-h)，其中h是一个已知常数。

令x=x-h，则可以推导出y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。

接下来，我们展开并化简这个表达式。

首先，用分配律展开括号，得到：y=a(x^2-2hx+h^2)+bx-bh+c。

然后，将各项合并，得到：y=ax^2+(-2ah+b)x+(ah^2-bh+c)。

由于对称轴平行于y轴，即x=0时函数图像经过对称轴，且该点的纵坐标与函数表达式中常数项的值相等，即y=ah^2-bh+c。

综上所述，对称轴为纵轴的二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴表达式为x=0，且该二次函数的对称轴上的点为(0,ah^2-bh+c)。

二、对称轴为一条直线当二次函数的对称轴为一条直线时，也可以通过平移变换来得到对称轴的表达式。

设二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴的表达式为y=kx+d，其中k和d 是已知常数。

为了确定剩余的未知常数k和d，我们需要考虑对称轴上的一点，这点的横纵坐标都与函数表达式的常数项相等。

设对称轴上的点为(p,q)，则p和q的值可以通过解方程组得到。

将(x,y)替换为(p,q)：ap^2+bp+c = q，即ap^2+bp+c-q = 0。

由于对称轴是函数图像的对称轴，对称轴上的三个点(x1,y1)、(x2,y2)、(p,q)满足函数关系：y1 = ap^2+bp+c-y2 = 0。

由于这个二次函数关于对称轴对称，所以根据韦达定理可知x1+x2=-b/a，根据题设中对称轴等于直线y=kx+d可得x1=-k，x2=k。

二轮复习—二次函数基本性质

-2 -1 0 1
二次函数的图象和性质
观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象得出下面的五
条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函数的最小值
为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时，
y1 > y2 你认为其中正确的个数有（ C ）
A．2
B．3
y
C．4
D．5
x
0
2
-3
二次函数的图象和性质
3b
c
0
；③若点
M
1 2
，y1
、
点
N
5 2
，y2
是函数图象上的两点,则
y1
y2 ；④
3a2
5
5
其中正确的结论有（D ）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
y
-1 O
x
x=2
二次函数的图象和性质
平移的两种方法
1.代数法：抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式. 2.几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出变化后的表达式的顶点式.
二次函数
开口方向
对称轴（顶0，点坐k）标
y = ax 2+k
a ＞0 a ＜0
向上直线x=0 向下（或y轴）
二次函数的图象和性质
（三）、形如y = a (x - h) 2
二次函数
开口方向
a ＞ 0 向上
y = a（x - h) 2
a＜0
( a≠0 ) 的二次函数对称轴顶点坐标
直线X=h （h，0）
等式ax2+bx+c>0的解集是 ( C )

二次函数同侧异号 -回复

二次函数同侧异号-回复二次函数同侧异号: 探索变化的规律和实际应用引言：二次函数是数学中一个重要的概念，其具有许多实际应用。

其中一种特殊情况是二次函数同侧异号，即二次函数的图像上上下下地交替出现。

本文将带领读者一步一步地探索这种特殊情况的规律和实际应用。

第一步：理解二次函数首先，让我们回顾一下二次函数的基本形式：f(x) = ax²+ bx + c。

其中，a、b和c是实数，a ≠0。

二次函数的图像可以用一个平滑的曲线表示，这个曲线称为抛物线。

抛物线可以面向上方开口（a > 0），也可以面向下方开口（a < 0）。

第二步：同侧异号的概念当二次函数的图像上上下下地交替出现时，我们称之为同侧异号。

也就是说，当x取某个值时，函数值为正，而当x取另一个值时，函数值为负。

这样例如-2和2在负数和正数之间交替出现，就是同侧异号的情况。

第三步：寻找规律接下来，我们来探索同侧异号的规律。

以一个简单的例子f(x) = x²- 3x + 2为例，我们可以通过画函数图像或者算出不同x值下的函数值来寻找规律。

我们将函数图像画在坐标系上，横轴为x轴，纵轴为y轴。

首先，我们可以找到二次函数的极值点，通常称为顶点。

极值点的横坐标可以用公式x = -b/2a计算得出，即x = -(-3)/(2*1) = 3/2。

将x = 3/2代入函数中，我们可以算出对应的函数值：f(3/2) = (3/2)²- 3(3/2) + 2 = 1/4 - 9/2 + 2 = -15/4。

我们可以看到，当x小于3/2时，函数的值是正的，而当x 大于3/2时，函数的值是负的。

这就是同侧异号的规律。

第四步：解决问题的实际应用同侧异号的概念在实际生活中有很多应用。

例如，在物理中，当一个物体投掷到空中并跳动时，其运动轨迹可以被建模为一个二次函数。

当物体的高度交替上升和下降时，我们可以观察到同侧异号的规律。

通过分析函数图像或计算不同时间下的高度，我们可以预测物体的最高点和运动时间等信息。

二次函数性质复习

抛物线与直线的交点A 抛物线与直线的交点A、B，分别过A 轴的垂线，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C 由图可知：垂足分别为C、D，由图可知：），D C为（—1，0），D为（3，0）
y 12 9 6 3 A -3 -1 0
y=x2
y=2x+3
B
∴方程3x2 –6x –9=0 的根为方程 x1= –1,x2=3
由图象可知,图象与x轴有两个交点, 由图象可知图象与x轴有两个交点, 图象与其横坐标一个在-5与-4之间,另一个其横坐标一个在之间, 之间, 在2与3之间, .
一元二次方ห้องสมุดไป่ตู้的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程x +2x-10=3的近似根的近似根. 利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1)原方程可变形为x2+2x-13=0；原方程可变形为x +2x-13=0；原方程可变形为 (2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；用描点法作二次函数y=x +2x-13的图象的图象；用描点法作二次函数 (3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；观察估计抛物线y=x +2x-13和轴的交点的横坐标；观察估计抛物线
3
x
二次函数表达式
• 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0) • 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0) • 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) （a≠0)
-1
1
• 判断符号 •a 、 b 、 c • 2a+b,2a-b, 2a+b,2a• b2-4ac • a+b+c • a-b+c