圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．

即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()22

2210x y a b a b

+=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率 ()2

2101c b e e a a

==-<

二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于

12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程 ()22

2210,0x y a b a b

-=>> ()22

2

210,0y x a b a b

-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()10,a A -、()20,a A

轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2

211c b e e a a

==+>，e 越大，双曲线的开口越阔

渐近线方程

b

y x a

=±

a y x b

=±

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线

1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．

2、抛物线的几何性质：

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．

4、设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、

，直线AB 的倾斜角为θ，则

⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ

= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； (4)

112.||||FA FB P

+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧⎩⎨

⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有

)

位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置

直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与

双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若0≠a ，设ac b 42-=∆。a .0>∆时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0=∆时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点

()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则

AB =2k 1+21x x -=2

k 1+()212214x x x x -+

=211k +

2

1y y -=2

1

1k +()212214y y y y -+