三角函数之三角比总结(全)
三角函数总结归纳
最新三角函数总结归纳大全三角函数是数学中的重要概念，主要用于描述三角形中角度和边长之间的关系。
以下是三角函数的总结归纳：1. 定义：- 正弦（sin）：定义为对边与斜边的比值，记作sin(θ)，其中θ为角度。
- 余弦（cos）：定义为邻边与斜边的比值，记作cos(θ)。
- 正切（tan）：定义为对边与邻边的比值，记作tan(θ)。
2. 基本关系：- Pythagorean identity：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
这是三角函数的基础，常用于角度和三角形的计算。
- Pythagorean theorem：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
- Cotangent identity：cot(θ) = 1/tan(θ)。
- Secant identity：sec(θ) = 1/cos(θ)。
- Cosecant identity：csc(θ) = 1/sin(θ)。
3. 诱导公式：- 公式一：sin(π/2 - α) = cos(α)。
- 公式二：cos(π/2 - α) = sin(α)。
- 公式三：sin(π/2 + α) = cos(α)。
- 公式四：cos(π/2 + α) = -sin(α)。
- 公式五：sin(π- α) = sin(α)。
- 公式六：cos(π- α) = -cos(α)。
- 公式七：sin(π+ α) = -sin(α)。
- 公式八：cos(π+ α) = -cos(α)。
4. 和差公式：- sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ。
- cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ。
- tan(α+ β) = (tanα+ tanβ)/(1 - tanαtanβ)。
5. 倍角公式：- sin2α= 2sinαcosα。
- cos2α= cos^2(α) - sin^2(α)。
- tan2α= 2tanα/(1 - tan^2(α))。
了解三角函数与三角比的基本概念
了解三角函数与三角比的基本概念三角函数与三角比是数学中重要的概念，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
它们不仅有着深厚的理论基础，还具有实际的应用价值。
本文将介绍三角函数与三角比的基本概念，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角函数的定义和性质三角函数是以角度作为自变量，输出一个比值的函数。
在平面几何中，我们常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）的定义是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数（cos）的定义是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数（tan）的定义是一个角的对边与邻边的比值。
这些定义可以用下面的公式表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边三角函数具有一些重要的性质。
首先，它们都是周期函数，周期为360度或2π弧度。
其次，正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = co s(90° - θ)，cosθ =sin(90° - θ)。
最后，正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
二、三角比的定义和应用三角比是三角函数的特殊应用，它们是一种比较两个角或两个边之间关系的方法。
常见的三角比有正弦比、余弦比和正切比。
正弦比（sin比）定义为一个角的正弦值与另一个角的正弦值之比，余弦比（cos比）定义为一个角的余弦值与另一个角的余弦值之比，正切比（tan比）定义为一个角的正切值与另一个角的正切值之比。
三角比在实际应用中有着广泛的运用。
例如，在三角测量中，我们可以利用正弦比来计算两个不相似的三角形的边长比例。
在航海中，我们可以利用余弦比来计算两个不相似的三角形的角度差。
在物理学中，我们可以利用正切比来计算物体在斜面上的滑动摩擦力。
三、三角函数的图像和性质三角函数的图像是理解它们的性质和应用的关键。
正弦函数的图像是一个周期为2π的正弦曲线，它在原点处取得最小值0，在π/2和3π/2处取得最大值1和-1。
三角比资料
• 钝角三角比（90° < θ < 180°）
• tanθ的取值范围是实数集
• 直角三角比（θ = 90°）
02
三角比的常用公式与定理
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理
• a / sinA = b / sinB = c / sinC
• 用于求解三角形的角度和边长
余弦定理
• c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC
• 使用生活实例引入三角比概念
• 举例说明三角比的应用
• 利用图形直观展示三角比性质
• 引导学生进行三角比的练习
• 通过实际问题激发学生学习兴趣
通过实例与应用提高学生的解题能力
教学方法
• 分析三角比在实际问题中的应用
• 讲解三角比的计算方法和技巧
• 组织学生进行三角比应用的练习
教学技巧
• 使用实际案例提高学生解题能力
• 计算三角形的周长
• 计算三角形的外接圆半径
三角比在计算问题中的应用实例
• 使用海伦公式计算三角形的面积
• 使用周长公式计算三角形的周长
• 使用正弦定理计算三角形的外接圆半径
几何问题中的三角比应用
三角比在几何问题中的应用
• 证明几何定理
• 求解几何问题
• 设计几何图形
三角比在几何问题中的应用实例
三角比与概率知识的结合
• 三角比在概率计算中的应用
• 三角比在概率分布中的应用
• 三角比在概率分析中的应用
三角比与概率知识结合的应用实例
• 使用三角比计算概率
• 使用三角比分析概率分布
• 使用三角比求解概率问题
05
三角比的教学方法与技巧
锐角的三角比
锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。
锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。
三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。
正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。
三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。
在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。
四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。
五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。
数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。
六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。
当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。
七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。
数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。
当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。
初中数学三角函数公式必备大全
对于初中数学来说，让学生头痛的一部分就是三角函数部分公式不能够数量的记忆和掌握。
很多同学对与三角函数中正弦、余弦、正切、余切中的公式容易混淆，导致在做题的时候不能够运用正确的公式，以至于三角函数题成为了他们失分的重要部分，为了让初中生们能够熟练掌握这一部分知识，下面小编总结了初中三角函数公式大全，下面给大家做一下分享。
关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的特殊值。
如：sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。
两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。
所以同学们还是要好好掌握。
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB以上就是给大家介绍的关于初中主要的三角函数公式，实际上三角函数这块内容还是比较好学的，只要掌握了公式的意义，能够熟练记忆这些公式，在考题中很容易就找到解答方法。
三角比的和差公式
三角比的和差公式三角比的和差公式，这可是数学中的重要内容，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
咱先来说说啥是三角比的和差公式。
简单来讲，就是能把两个角的三角函数通过加加减减变成一个角的三角函数。
比如说，正弦的和差公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB ，sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB ；余弦的和差公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB ，cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB ；还有正切的和差公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) ，tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB) 。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我出了一道题：已知sinα = 3/5 ，cosβ = -12/13 ，α 是第一象限角，β 是第二象限角，求sin(α + β) 。
这可把小明难住了，他抓耳挠腮，半天也没理出头绪。
我就提醒他，先利用同角三角函数的基本关系求出cosα 和sinβ ，然后再用正弦的和差公式。
小明恍然大悟，赶紧动手计算。
他先算出cosα = 4/5 ，sinβ = 5/13 ，然后代入正弦的和差公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ ，得到：sin(α + β) = (3/5)×(-12/13) + (4/5)×(5/13) = -36/65 + 20/65 = -16/65 。
算出答案的那一刻，小明脸上露出了开心的笑容，我也为他感到高兴。
其实，三角比的和差公式在解决很多实际问题中都特别有用。
比如在测量山的高度时，如果我们知道了两个角度和一条边的长度，就可以利用这些公式算出山的高度。
再比如说，在物理学中，研究波动、振动等问题时，也经常会用到三角比的和差公式。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳三角函数是数学中的重要概念，涉及到角度和三角形的关系。
下面是三角函数的一些重要知识点的归纳：1. 弧度与角度：角度是常见的度量角的方式，弧度是另一种度量角的方式。
弧度是以半径长为单位的角度度量，一个圆上的一弧长等于半径长的角度称为一弧度，记作1 rad = 180/π°。
2. 三角比的定义：三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，余切函数(cot)，正割函数(sec)和余割函数(csc)。
这些函数都是角度的函数，可以表示角度和三角形的关系。
3.正弦函数和余弦函数：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
在单位圆中，正弦函数定义为纵坐标与半径之比，余弦函数定义为横坐标与半径之比。
4.正切函数和余切函数：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，余切函数定义为邻边与对边之比。
在单位圆中，正切函数定义为纵坐标与横坐标之比，余切函数定义为横坐标与纵坐标之比。
5.正割函数和余割函数：正割函数定义为斜边与邻边之比，余割函数定义为斜边与对边之比。
在单位圆中，正割函数定义为半径与横坐标之比，余割函数定义为半径与纵坐标之比。
6.三角函数的性质：三角函数有一些重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数的值在区间[-1,1]之间，正切函数和余切函数的值在整个实数轴上都有定义。
另外，三角函数具有周期性，即在一定的角度范围内，函数值会重复出现。
7. 三角函数的关系：三角函数之间存在一些重要的关系。
例如，正弦函数和余弦函数是互为余角的，即sin(π/2 - x) = cos(x)。
正切函数和余切函数是互为倒数的，即tan(x) = 1/cot(x)。
8.三角函数的图像：三角函数的图像是学习三角函数的重要内容。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，正切函数和余切函数的图像有无穷多个渐近线。
9.三角函数的应用：三角函数在物理、工程、几何等领域有广泛的应用。
中学三角比的知识点和公式汇总
三角比的各个知识点和公式与解斜三角形同角的三角比关系tanA³cotA=1互为余角的三角比关系sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tanA=cot(90-A)cotA=tan(90-A)直角三角形边、角关系边与边a^2+b^2=c^2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。
任意角的三角比象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角其三角比的定义：正弦sinθ=y/r余弦cosθ=x/r正切tanθ=y/x余切cotθ=x/y正割secθ=r/x余割cscθ=r/y公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝ tanαcot（π＋α）＝ cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝ cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于k²π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是双数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（单变双不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
完整版)三角函数知识点总结
千里之行，始于足下。
完整版)三角函数知识点总结三角函数是高中数学中的重要部分，它与几何图形的性质、三角形的边角关系、周期函数等有着密切的联系。
以下是三角函数的一些重要的知识点总结：一、三角函数的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正弦函数的值等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，余弦函数的值等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正切函数的值等于对边长度与邻边长度的比值。
二、三角函数的重要性质：1. 三角函数的周期性：sin、cos、tan函数的周期都是2π。
2. 三角函数的奇偶性：（1）正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
（2）余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
（3）正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 三角函数的界值：（1）正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，即-1≤sin(x)≤1。
（2）余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，即-1≤cos(x)≤1。
（3）正切函数的取值范围为全体实数。
三、三角函数的基本关系与恒等式：1. 余弦与正弦的基本关系：cos(x)=sin(x+π/2)。
2. 正切与正弦、余弦的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。
3. 三角函数的和差公式：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
（1）sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。
（2）cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。
4. 三角函数的倍角公式：（1）sin(2x)=2sin(x)cos(x)。
（2）cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)。
（3）tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))。
5. 三角函数的半角公式：（1）sin(x/2)=√[(1-cos(x))/2]。
三角比与三角函数知识点整理
三角比、三角恒等变换与解三角形1．弧度制的定义：l Rα=角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。
2．三角比定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααx y =αtan3．三角比符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”） 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. 5．同角三角比的基本关系：x x xx x tan cos sin ;1cos sin 22==+等8个6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=± ④)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅±=± ⑤sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan baϕϕϕ===). （2）二倍角公式(含万能公式、降幂公式) ①θθθθθ2tan 1tan 2cos sin 22sin +==②θθθθθθθ222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-=③θθθ2tan 1tan 22tan -=④22cos 1sin 2θθ-= ⑤22cos 1cos 2θθ+=（3）半角公式（及其变式）（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ⑤2sin 2cos 12θθ=-③2cos 12cosθθ+±=④2cos 12cos 2θθ+= ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ○7θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±= 7．正、余弦定理： ⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。
三角比及解三角形复习
三角比及解三角形复习一、知识点归纳（一）三角比1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的 角)，可以表示为k ·360°+α，k ∈Z 。
(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化： 1°＝180π弧度，1弧度＝(π180)°(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。
弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=21lR=21｜α｜R 23.周期函数：(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
(2)几个常见结论：①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)也是y=f(x)的周期。
三角比的计算
应用：在解三角形、求角度、证明恒等式等方面有广泛应用。
注意事项：在运用三角比的乘法定理时，需要注意角的范围和运算的准 确性。
注意事项：在 使用诱导公式 时，需要注意 角度的取值范 围和三角比的
符号。
公式：s2x=cos²x-sin²x
公式：tan2x=(2tanx)/(1-tan²x)
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三角比的加法定理
定义：三角比的加法定理是指对于任意角度α、β、γ，有 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ， tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。
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目录
三角比的概念
三角比的定义： 三角比是三角形 中两条边的比值， 用于描述三角形 中各角的相对大 小。
三角比的意义： 三角比是解决几 何问题的重要工 具，可以用于计 算角度、长度等 几何量。
三角比的分类： 根据比值的不同， 三角比可以分为 正弦、余弦、正 切等类型。
计算高度：在土木工程中，利用三角比计算建筑物的高度，以评估其稳定性并确保安全。
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计算公式：tan(θ) = opposite / adjacent
应用：在三角函数 和几何学中，正切 比常用于计算角度 和长度
性质：正切比与角 度有关，角度不同 ，正切比也不同
任意角的三角比,正弦,余弦,正切,三角函数线
任意角的三角比1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r r =>，则α的六个三角比为：其中第二行的三角比分别为第一行三角比的倒数。
2.三角比在各象限的符号：（1）正弦值（r ya =sin ）的正负看角终边的纵坐标； （2）余弦值（r xa =cos ）的正负看角终边的横坐标；（3）正切值（xya =tan ）的正负看角终边的横、纵坐标之商；（1）平方关系：； （2）倒数关系：sin αcsc α=1，cos αsec α=1，tan αcot α=1； （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； 注意：已知一个角任意一个三角比，就可以求出它的其他五个三角比的值。
5.三角函数线：在单位圆中（r=1），正弦y r y a ===sin ；余弦x rxa ===cos ； 正切OAx y a ===tan ；我们把、OM 、AT 三条有向线段叫做三角函数线。
注意：（1）三角函数线的字母顺序不能调换，它是有方向的，其方向的正负性代表了三角比的正负性：与坐标轴的正方向相同表示三角比的值是正值；与坐标轴的正方向相反表示三角比的值是负值。
（2）角的正切线的方向为由A 点指向T 点。
T 点为过A 点垂直于x 轴的直线与角的终边（角的终边在一、四象限时）或终边延长线（角的终边在二、三象限时）的交点。
222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=三角函数线第二象限第一象限第三象限第四象限6.三角函数线可以用来求三角函数的定义域、求解和证明三角不等式、比较大小等。
例1.解答下列问题：（1）若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的正负性；（2）若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围。
三角函数总结大全附记忆口诀
三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
初中数学三角函数知识点汇总
初中数学三角函数知识点汇总初中数学的三角函数知识点是指与角度和三角形有关的数学概念和公式。
三角函数是数学中一种重要的函数，它们与角度的大小和位置有关，被广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
以下是初中数学中常见的三角函数知识点的详细介绍：1. 角度和弧度制：角度制是最常用的角度表示方法，以度（°）为单位；而弧度制是一种更精确的表示方法，用弧长与半径的比值来表示角度。
一个整圆的角度为360°或2π弧度。
2. 三角比：三角函数最基本的概念就是三角比。
在直角三角形中，三角比是通过两个直角边的比值来定义的。
对于一个角为θ的直角三角形，sinθ等于斜边与斜边对应的直角边之比，cosθ等于邻边与斜边之比，tanθ等于对边与邻边之比。
这些比率分别对应于三角函数sine、cosine和tangent。
3. 正余弦定理：正余弦定理是用来求解任意三角形的边长和角度的重要公式。
对于一个三角形ABC，设a、b和c分别表示对应的边长，则正余弦定理可以表示为：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC4. 三角函数的周期性：三角函数都具有周期性。
正弦和余弦函数的周期是360度或2π弧度，即sin(θ ± 2nπ) = sinθ，cos(θ ± 2nπ) = cosθ（其中n为整数）。
而正切函数的周期是180度或π弧度，即tan(θ ± π) = tanθ。
5. 特殊角的三角函数值：对于一些特殊的角度，其对应的三角函数值是可以直接计算得到的。
例如，对于30度角（π/6弧度），sin30°=0.5，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3。
类似地，对于45度角（π/4弧度）和60度角（π/3弧度），也可以直接计算得到它们的三角函数值。
三角函数边与边之间的比值关系
三角函数边与边之间的比值关系
三角函数比值关系：tana=角a的对边/邻边、cota=角a的邻边/对边、sina=角a的对边/斜边、cosa=角a的邻边/斜边。
tana=角a的对边/邻边
cota=角a的邻边/对边
sina=角a的对边/斜边
cosa=角a的邻边/斜边
三角比是三角函数定义中的两线段的数量比。
定义锐角三角函数时，是指含此锐角的直角三角形中任意两边的比。
定义任意角三角函数时，是指角的终边上任意一点的纵、横坐标和原点到这点的距离三个数量中任意两个的比。
三角函数性质：
1、分清一个直角三角形中的对边和邻边。
2、三角函数的值就是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关。
当一个锐角的值确认时，它的四个三角函数的值也就确认了。
3、任何一个锐角都有四个相应的函数值，不因这个角不在某个直角三角形内而不存在。
4、由三角函数的定义所述：0\ucsina\uc1;0\uccosa\uc1。
三角比公式
三角函数常用公式：（^表示乘方,例如^2表示平方）正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数vercosθ=1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/*1-tan^2(α)+·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/*1+tan^2(α/2)+cosα=*1-tan^2(α/2)+/*1+tan^2(α/2)+tanα=2tan(α/2)/*1-tan^2(α/2)+·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)*sin(α+β)+sin(α-β)+cosα·sinβ=(1/2)*sin(α+β)-sin(α-β)+cosα·cosβ=(1/2)*cos(α+β)+cos(α-β)+sinα·sinβ=-(1/2)*cos(α+β)-cos(α-β)+·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin*(α+β)/2+cos*(α-β)/2+sinα-sinβ=2cos*(α+β)/2+sin*(α-β)/2+cosα+cosβ=2cos*(α+β)/2+cos*(α-β)/2+cosα-cosβ=-2sin*(α+β)/2+sin*(α-β)/2+。
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第三组诱导公式： 第四组诱导公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( 第五组诱导公式： 第六组诱导公式： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：两角差的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+两角和的正弦公式： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+两角差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-两角和的正切公式：)tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα-⋅+=+⇒-+=+两角差的正切公式： )tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβαβα+⋅-=-⇒+-=-※，)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a 其中（通常取）由，确定。
βπβ20<≤22cos ba a +=β22sin ba b +=β4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin ⋅=二倍角的余弦公式： ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2sin -=-=-=二倍角的正切公式： ααα2tan 1tan 22tan -=半角的余弦公式：2cos 12cos ββ+±=半角的正弦公式： 2cos 12sin ββ-±=半角的正切公式：，，βββcos 1cos 12tan+-±=βββcos 1sin 2tan +=βββsin cos 12tan -=ββββsin cos 1cos 1sin -=+⇒万能置换公式：，，2tan 12tan2sin 2ααα+=2tan 12tan 1cos 22ααα+-=2tan 12tan2tan 2ααα-=二、典型例题：三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。
再次观察代数式的结构特点。
基本技巧有：（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。
例如：，， ，ββαββαα+-=-+=)()()()()()(2αβαββαβαα--+=-++=22βαβα+⋅=+等等。
)2()2(2βαβαβα---=+【例1】 已知，，那么 _____（答：）52)tan(=+βα41)4tan(=-πβ=+)4tan(πα223【例2】已知，且，，则______（答：παπβ<<<<2091)2cos(-=-βα32)2sin(=-βα=+)cos(βα） 729490（2）三角比名称互化（切化弦）：【例3】求值（答：1）)10tan 31(50sin oo +（3）公式变形使用：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例4】已知A 、B 为锐角，且满足，则_____（答：） 1tan tan tan tan ++=B A B A =+)cos(B A 22-（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式【例5】若，化简为_____（答：） )23,(ππα∈α2cos 21212121++2sin α（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：【例6】求证：2tan 12tan 12sin 21sin 12αααα-+=-+（6）常值变换-----主要指“1”的变换：【例7】已知，求（答：）2tan =ααααα22cos 3cos sin sin -+53（7）正余弦“三兄妹”---“，”：知一求二x x cos sin ±x x cos sin 【例8】若，则= __（答：)； 特别提醒：这里t x x =±cos sin x x cos sin 212-±t ]2,2[-∈t（8）辅助角公式： (其中角所在的象限由a , b 的符号确定，角的值)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a ββ由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
ab=βtan 【例9】若方程有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）c x x =-cos 3sin三、课堂练习：1．若，则使成立的的取值范围是_______________（答：） π≤≤x 0x x 2cos 2sin 12=-x ],43[]4,0[πππ2．已知，，则___________（答：） 53sin +-=m m θ524cos +-=m m θ)2(πθπ<<=θtan 125-3．已知，则______；_______（答：；）11tan tan -=-αα=+-ααααcos sin cos 3sin =+⋅+2cos sin sin 2ααα35-3134．已知，则_______（答：B ）a o=200sin =o160tan A 、 B 、 C 、 D 、21a a--21aa-a a 21--a a 21-5．的值为______________（答：） πππ21sin )67tan(49cos+-+3322-6．已知，则，若为第二象限角， 54)540sin(-=+αo______)270cos(=-oαα则=________。
（答：；） )180tan()]360cos()180[sin(2ααα+-+-oo o 54-1003-7．命题P ：，命题Q ：，则P 是Q 的_________（答：C ）0)tan(=+B A 0tan tan =+B A A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 8．已知，那么（答：） 53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα______2cos =β2579．______（答：4）=-oo 80sin 310sin 110．已知为锐角，,，，则与的函数关系为______巧变角 βα,x =αsin y =βcos 53)cos(-=+βα（答：） x x y 541532+--=)153(<<x 11．已知，，求（答：）切化弦 12cos 1cos sin =-ααα32)tan(-=-βα______)2tan(=-αβ8112．设中，，，则此三角形是_____________三角形ABC ∆B A B A tan tan 33tan tan =++43cos sin =A A （答：等边）公式变形使用13．函数的单调递增区间为__________________三角比次数的升降 )(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-=（答：） )](125,12[Z k k k ∈+-ππππ14．化简：（答：）式子结构的转化 )4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππx 2cos 2115．若，，求的值。
（答：）正余弦三兄妹),0(πα∈21cos sin =+αααtan 374+-16．已知，试用k 表示的值（答：）正余弦三兄妹 k =++αααtan 1sin 22sin 2)24(παπ<<ααcos sin -k -117．当函数取得最大值时，的值是______(答：) 辅助角公式 x x y sin 3cos 2-=x tan 23-18．如果是奇函数，则= (答：－2) 辅助角公式 )cos(2)sin()(ϕϕ+++=x x x f ϕtan 19．求值：________(答：32) 辅助角公式 =+-ooo 20sin 6420cos 120sin 3222斜三角形一、知识点梳理：§1.4正弦定理和余弦定理： 三角形面积公式： C ab B ac A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 正弦定理：（R 为的外接圆半径） R CcB b A a 2sin sin sin ===ABC ∆余弦定理：，，bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=解题思想：采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想．二、典型例题：【例1】在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin Bsin A6【例2】在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B baA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π2【例3】在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6B ．2C ．3D ．4 666解析：选A.由余弦定理，得AC ＝＝ ＝6.AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 42＋62－2×4×6×13【例4】在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．3解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10， 3∴AB ＝.10三、课堂练习：1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、3C 2C 214A2c .解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A2sin B sin C ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin Ab sin B csin Cb ＝c ＝a ＝2×＝2.sin B sin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2. 2π3π62．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为2.153．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．5π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，AB sin C BCsin A得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin Csin A5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 255于是sin A ＝＝.1－cos 2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝.35所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.π4π4π42104．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得＝.sin C sin B cb由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝＝.sin C 2sin B c2b又根据余弦定理，得cos A ＝，所以＝，b 2＋c 2－a 22bc c 2b b 2＋c 2－a 22bc即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．【学生总结】：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【教师寄语】：春天是碧绿的天地，秋天是黄金的世界。