三角函数之三角比总结(全)

第三组诱导公式： 第四组诱导公式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-α

απααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( 第五组诱导公式： 第六组诱导公式： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+α

απααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：

两角差的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和的余弦公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+两角和的正弦公式： βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+两角差的正弦公式：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-两角和的正切公式：

)tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβαβ

αβα-⋅+=+⇒-+=+两角差的正切公式： )tan tan 1()tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβ

αβ

αβα+⋅-=-⇒+-=

-※，

)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a 其中（通常取）由，确定。

βπβ20<≤

2

2

cos b

a a +=

β2

2

sin b

a b +=

β4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：

二倍角的正弦公式：

αααcos sin 22sin ⋅=二倍角的余弦公式： ααααα2222

sin 211cos 2sin cos 2sin -=-=-=二倍角的正切公式： αα

α2

tan 1tan 22tan -=半角的余弦公式：

2

cos 12

cos β

β+±

=半角的正弦公式： 2

cos 12

sin β

β

-±

=半角的正切公式：，，

ββ

β

cos 1cos 12

tan

+-±

=βββcos 1sin 2tan +=βββsin cos 12tan -=ββββsin cos 1cos 1sin -=+⇒万能置换公式：，，

2

tan 12tan

2sin 2

α

α

α+=2

tan 12tan 1cos 2

2α

αα+-=

2

tan 12tan

2tan 2

α

α

α-=

二、典型例题：

三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通常“切化弦”。再次观察代数式的结构特点。基本技巧有：

（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例

如：，， ，

ββαββαα+-=-+=)()()()()()(2αβαββαβαα--+=-++=2

2β

αβα+⋅=+等等。 )2

()2(2βα

βαβα---=+【例1】 已知，，那么 _____（答：）

52)tan(=+βα41)4tan(=-πβ=+)4tan(πα22

3

【例2】

已知，且，，则______（答：παπ

β<<<

<

2

091)2cos(-=-

β

α3

2

)2sin(=-βα=+)cos(βα） 729

490

（2）三角比名称互化（切化弦）：

【例3】求值（答：1）

)10tan 31(50sin o

o +

（3）公式变形使用：

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±【例4】已知A 、B 为锐角，且满足，则_____（答：） 1tan tan tan tan ++=B A B A =+)cos(B A 2

2-

（4）三角比次数的升降：本质-----倍角公式和半角公式

【例5】若，化简为_____（答：） )23,(ππα∈α2cos 2

1212121++2sin α

（5）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)：

【例6】求证：

2

tan 12tan 12

sin 21sin 12

α

αα

α-+=-+

（6）常值变换-----主要指“1”的变换：

【例7】已知，求（答：）

2tan =ααααα22

cos 3cos sin sin -+5

3

（7）正余弦“三兄妹”---“，”：知一求二

x x cos sin ±x x cos sin 【例8】若，则= __（答：)； 特别提醒：这里

t x x =±cos sin x x cos sin 2

1

2-±t ]2,2[-∈t

（8）辅助角公式： (其中角所在的象限由a , b 的符号确定，角的值

)sin(cos sin 22βααα++=+b a b a ββ由确定)在求最值、化简时起着重要作用。

a

b

=βtan 【例9】若方程有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）

c x x =-cos 3sin

三、课堂练习：

1．若，则使成立的的取值范围是_______________（答：） π≤≤x 0x x 2cos 2sin 12

=-x ],4

3[

]4

,

0[ππ

π

2．已知，，则___________（答：） 53sin +-=

m m θ524cos +-=

m m θ)2(πθπ<<=θtan 12

5

-3．已知

，则______；_______（答：；）

11tan tan -=-αα=+-ααααcos sin cos 3sin =+⋅+2cos sin sin 2ααα35-3

134．已知，则_______（答：B ）

a o

=200sin =o

160tan A 、 B 、 C 、 D 、

21a a

--21a

a

-a a 21--a a 21-5．的值为______________（答：

） ππ

π21sin )6

7tan(49cos

+-+3322-