淮海工学院高等数学目标练习与测试集(下)(苏州大学出版社)

第七章 空间解析几何与向量代数

一、向量代数（A:§7.1,§7.2；B:§7.1） Ⅰ、内容要求

（ⅰ）理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式.

（ⅱ）理解向量的概念（向量，单位向量，模，方向角，方向余弦，分向量与投影）及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系.

（ⅲ）掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积. （ⅳ）学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题. Ⅱ、基本题型

（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题. 1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A ），，（432-

B ），，（432-

C ），，（432--

D ），，（432--. 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为__________；=||AB __________. 3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点坐标. 4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为__________.

5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.

6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标.

（ⅱ）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示.

7．（8'）设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角及单位向量.

8．（6'）若γβα,,为向量a

的方向角，则=++γβα2

22cos cos cos ____________；

=++γβα222sin sin sin ____________.

9.（6'）设）（8,5,3=m ，）（7,4,2--=n 和）（4,1,5-=p ，求向量p n m a

-+=34在x 轴

上的投影及在y 轴上的分向量.

10．（6'）已知点P 的向径OP 为单位向量，且与z 轴的夹角为6π

，另外两个方向角相等，求点P 的坐标.

11.（6'）已知向量a 与各坐标轴成相等的锐角，若32||=a

，求a

的坐标. （ⅲ）向量的数量积与向量积及其坐标运算.

12．（4'）下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（ ）.

A a b b a ⋅=⋅

B a b b a ⨯-=⨯

C 22||a a =

D 0=⨯a a

. 13．（7'）设）

（2,1,3-=a

，）（1,2,1-=b

，求b a

⋅与.b a

⨯ 14.（7'）设)3,0,1(),2,1,1(),2,3,2(=-=-=c b a ，求.)(c b a

⋅⨯

（ⅳ）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影. 15．（每题4'）确定下列各组向量间的位置关系： （1）)2,1,1(-=a

与)4,2,2(--=b

；

（2）)1,3,2(-=a

与)2,2,4(-=b .

16．（7'）求向量)4,3,4(-=a

在向量)1,2,2(=b 上的投影.

（ⅴ）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题.

17．（7'）已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ∆的面积.

18．（7'）ABC ∆三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，则如何用向量积的方法来求出ABC ∆的面积？

19．（7'）试找出一个与)1,1,0(),1,2,1(==b a 同时垂直的向量.

Ⅲ、综合计算题型

（ⅰ）涉及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题. 20．（10'）已知三点)2,1,2(),1,1,1(),1,2,2(321M M M ，（1）求321M M M ∠； （2）求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

21．（8'）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. *Ⅳ、提高题型

（ⅰ）用“几何向量”（即不涉及到坐标表达式的向量）来处理有关向量问题.

22．（7'）已知：c b a ,,为单位向量，且满足0 =++c b a ，求.a c c b b a ⋅+⋅+⋅ 23．（7'）设5||,4||,3||===c b a 且0 =++c b a ，求c b ⋅；.||a c c b b a ⨯+⨯+⨯

24．（8'）设b a k B b a A +=+=,2，已知2||,1||==b a |，且θ=∧),(b a ，πθ<≤0，

（1）若B A

⊥，求k 值.

（2）θ为何值时，A 与B

为邻边的长方形面积为4？

25．（7'）设非零向量b a ,，求证：.|)||(|1lim 0b prj a t b a t

a t =-+→

二、平面方程（A:§7.5; B:§7.1） Ⅰ、内容要求

（ⅰ）掌握平面的法向量及点法式方程，了解平面其它形式的方程. （ⅱ）掌握平面与平面特殊位置关系，了解夹角算法. （ⅲ）学会计算点到平面的距离. Ⅱ、基本题型

（ⅰ）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置. 26．（7'）求过三点)3,2,0(),2,3,1(),4,1,2(321M M M ---的平面方程.

若),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x B z y x A 不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？ 27．（每题5'）指出下列平面方程的位置特点，并作示意图： （1）03=-y ； （2）023=+z y ； （3）.0832=-+-z y x （ⅱ）二平面垂直与平行的判定. 28．（每题4'）判定下列两平面之间的位置关系： （1）042=-+z y x 与1842=-+z y x ； （2）132=+-z y x 与.423=-z x （ⅲ）二平面夹角的计算（夹角规定为[0,

2

π

]）. 29．（4'）求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. （ⅳ）点到平面距离的计算.

30．（4'）点)3,2,1(到平面0121243=+-+z y x 的距离=d ______________. 31．（7'）求01=+++D Cz By Ax 与02=+++D Cz By Ax 之间的距离. （ⅴ）用点法式方程建立平面方程． 32．（每题7'）求满足下列条件的平面方程： （1）平行y 轴，且过点)1,5,1(-P 和)1,2,3(-Q ; （2）过点)3,2,1(且平行于平面0522=+++z y x ；

（3）过点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面.0=++z y x

三、直线方程（A:§7.6 ;B:§7.1） Ⅰ、内容要求

（ⅰ）掌握直线的方向向量及对称式方程，了解直线其它形式的方程.