第三章 应力分析与应变分析

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3.1.4 点的应力状态
全应力： S S x2 S y2 S x2 全应力S在法线N上的投影就是斜微分面上 的正应力σ ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之 和，即： S l S m S n
x y z
x l 2 y m 2 z n 2 2( xy lm yz m n zx nl)
（3）各向同性假设。变形体内各质点在各个方向上的物理性
（4）初应力为零假设。物体在受力之前是处于自然平衡
状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。 （5）体积力为零假设。体积力如重力、磁力、惯性力等 与面力相比十分微小，可忽略不计。 （6）体积不变假设。 物体在塑性变形前后体积不变。

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3.1.4 点的应力状态
点的应力状态：指受力物体内一点任意方位微分面 上所受的应力情况。 只有了解变形体内任意一点的应力状态，才能推断 整个变形体的应力状态。要想了解一点的应力状态 必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该 点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为 此必须采用其他方式进行描述。 若已知过一点的三个相互垂直的微分面上的九个应 力分量，如何求得过改点任意微分面上的应力分量？
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型钢轧制
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轧辊的断裂
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锤锻过程
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飞机蒙皮的成形
破裂 起皱
F
F
能否一次成形，用什么样的模具? 变形量是否满足要求（厚度减薄量等）? 要想定量的研究变形过程，建立理论公式， 在研究塑性力学行为时，必须采用一些假设。
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3.1.1 六个基本假设
（1）连续性假设。变形体内均由连续介质组成，即整个变形体
内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的， 可化为坐标的连续函数。 且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。 能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。
（2）匀质性假设。变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀
整理得：
S x x l yx m zx n S y xy l y m zy n S z xz l yz m z n
S x x yx zx l 或 S y xy y zy m S z xz yz z n
S P P cos 0 cos F1 F0 1 2
S cos 0 cos 2 S sin 0 sin 2
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在单向匀速拉伸条件下，可用一个σ0来表示其一点的应力状态，称为单向应力状态。
2.多向受力下的应力分量
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2.多向受力下的应力分量
（4）剪应力互等定律
由于单元体是处于静力平衡状态，所以绕 单元体各轴的合力矩必须等于零，由此可 以得到如下的关系式：
这个式子叫做剪应力互等定律。它表明了： 为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对 出现。因此，实际上只需六个应力分量就 可以表示点的应力状态。即九个应力分量 只有六个是独立的。
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3.1.4 点的应力状态
现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方 向的分量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体 QABC处于平衡状态，由静力平衡条件由∑Fx = 0，∑Fy= 0，∑Fz = 0即有：


SxdF –σxdFx – τyxdFy – τzxdFz = 0 SydF –σydFy – τxydFy – τzydFz = 0 SzdF –σzdFz – τyzdFy – τxzdFz = 0
斜切微分面上的切应力为：
S 2 2
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综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通 过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个 应力分量来表示。
x
y z
xy yx yz zy
zx xz
或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所 截取的三个相互垂直的微分面上各应力 ij 已知 时，便可确定该点的应力状态。
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3.1.4 点的应力状态
已知某个坐标系中Q点的三个互相垂 直的坐标面上的九个应力分量。现过 Q点作一个任意斜切微分面ABC，这 样就组成一个微小四面体QABC。外 法线方向为N，则这个斜面与三个坐 标轴x、y、z的方向余弦分别为： l = cos（ N，x）； m = cos（ N，y ）； n = cos（N，z）。 假设斜面ABC面积为dF，则dF在三 个坐标面上的投影面积分别为： dFx =ldF；dFy = mdF；dFz = ndF
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3.1.2 外力
塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使 其成形的一种加工方法。 作用于金属的外力分为两类： 面力或接触力：作用于金属表面的力，可以是 集中的，但一般是分布的力。 体积力：作用在金属物体的每个质点上的力。
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1.面力
作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的 力，用于使金属坯料产生塑性变形，又称主动力。可 以实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。 在不同的加工工序中，可以是压力、拉力或剪切力。 反作用力 一般情况下，作用力与反作用力互相平行， 并组成平衡力系。 摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力， 其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动 趋势相反。摩擦力最大值不应超过金属的抗剪强度。 摩擦力的存在往往会引起变形力的增加，对金属的塑 性往往是有害的。 正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或 金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。
（1）应力分量的提出
设在直角坐标系中有一个承受外力 的物体，物体内有一个质点Q，现在围 绕Q点切取一个矩形六面体作为单元体， 六面体的棱边分别平行于坐标系的三根 坐标轴。取六面体中三个互相垂直的表 面作为微分面，各个微分面上的全应力 都可以按坐标轴方向分解为一个正应力 和两个切应力，三个微分面共有九个应 力分量，其中三个正应力分量，六个切 应力分量。可以用这九个应力分量来表 示物体内点的应力状态。
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3.1.2 外力
重力
体积力
惯性力
电磁力
……
特点：分布在物体体积的外力，它作 用在物体内部的每一个质点上
外力
作用力（主动力）
面力
约束反力
反作用力 正压力 摩擦力
特点：分布在物 体表面的外力
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3.1.3 内力和应力
内力：在外力作用下，物体内各质点之间产 生的相互作用的力。 应力：单位面积上的内力。

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在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何 学和物理学等角度考虑。静力学角度是从变形 体中质点的应力分析出发、根据静力平衡条件 导出应力平衡微分方程。几何学角度是根据变 形体的连续性和匀质性假设，用几何的方法导 出小应变几何方程。物理学角度是根据实验和 基本假设导出变形体内应力与应变之间的关系 式，即本构方程。此外，还要建立变形体由弹 性状态进入塑性状态并使继续进行塑性变形时 所具备的力学条件，即屈服准则。
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应力边界条件方程
如果该四面体素的斜面 恰好为变形体的外表面 上的微面素，并假定此 面素单位面积上的作用 力在坐标轴方向的分力 分别为px、py、pz，则
p x x l yx m zx n p y xyl y m zy n p z xzl yz m z n
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应力边界条件方程的物理意义： 建立了过外表面上任意点，单位表面力与过 该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。
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3.5.1 求和约定和应力张量
（1）求和约定
为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和 约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵 与向量的乘法：
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2.多向受力下的应力分量
（3）应力分量的正、负方向规定
应力分量的正、负按以下方法确定：在 单元体上，外法线指向坐标轴正向的微 分面叫做正面，在正面上，指向坐标轴 正向的应力分量取正号，指向负向的取 负号；相反的，外法线指向坐标轴负向 的微分面叫做负面，在负面上，正向坐 标轴正向的应力分量取负号，指向负向 的取正号。按照这个规定，正应力分量 以拉为正，压为负。
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2.多向受力下的应力分量
（2）应力分量的表示
为了清楚的表示各个微分面上的应力分量，我们给三个 微分面命名为：X面、Y面、Z面；让每一个应力分量都 带上两个下标，第一个下标表示应力分量的作用面，第 二个下标表示应力分量的作用方向。所以，九个应力分 量可以表示为：

可以看出，两个下标相同的应力是正应力，如σxx，一般 写成σx的形式；两个下标不相同的是剪切应力，如τxy。
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若将C-C截得的下半部分放在 空间直角坐标系oxyz中，使CC截面垂直于某坐标轴，如y轴， 即C-C截面外法线方向N平行于 y轴，则过Q点的微分面称为y 面。将Q点的全应力S在三个坐 标轴上的投影称为应力分量。 每个应力分量可用两个下角标 的符合表示，第一个角标表示 该应力分量所在的平面，第二 个下角标表示其作用方向。
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2.体积力
体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如 重力、磁力和惯性力等。 对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的 面力比较起来要小的多，在实际工程计算中一般可 以忽略。 但在高速加工时，如高速锤锻造、爆炸成形等，金 属塑性流动的惯性力应该考虑。如锤上模锻时，坯 料受到由静到动的惯性力作用，惯性力向上，有利 于金属充填上模，故锤上模锻通常形状复杂的部位 设置在上模。
x yx xy y xz yz
ixli zx l x x l x yx l y zx l z i x , y , z zy l y xy l x y l y zy l z iyli i x, y, z z l z xz l x yz l y z l z izli i x, y, z
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P dP S lim dF F 0 F
S为截面C-C上点Q的全应力。全应力为矢 量，可分解成两个分量，一个垂直于截面 C-C，即C-C截面外法线N上的分量，称为 正应力，一般用σ 表示；另一个平行于截面 C-C，称为切应力，用τ 表示。则：
S 2 2 2
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1.单向受力下的应力及其分量
一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。
过试棒内一点Q并垂直于拉伸轴线横截面C-C上的应力为：
S0 dP P 0 dF F0
0 0
若过Q点做任意切面C1-C1，其法线N与拉伸轴成θ 角，面 积为F1。由于是均匀拉伸，故截面C1-C1上的应力是均布的。 此时截面上Q点的全应力Sθ 、正应力σ θ 、切应力τ θ 分别 为：
第三章 应力分析与应变分析
3.1应力与点的应力状态
3.1.1 六个基本假设 3.1.2 外力 3.1.3 应力和内力
3.1.4 点的应力状态
3.1.5 张量与应力张量
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3.1 应力状态基本概念
金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产 生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工 中工件所受的外力及其在工件内的应力和应 变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及 其表示方法。这是塑性加工的力学基础。