一维抛物线偏微分方程数值解法(3)(附图及matlab程序)

一维抛物线偏微分方程数值解法（3）
上一篇参看一维抛物线偏微分方程数值解法（2）（附图及matlab程序）
解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）
Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0)
U(x,0)=e^x, 0<=x<=1,
U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0<t<=1
精确解为：U(x,t)=e^(x+t);
此种方法精度为o(h1^2+h2^2)
一：用追赶法解线性方程组（还可以用迭代法解）
Matlab程序
function [u p e x t]=CN(h1,h2,m,n)
%Crank-Nicolson格式差分法解一维抛物线型偏微分方程
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m,n分别为空间，时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
x=(0:m)*h1+0; x0=(0:m)*h1; %定义x0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%
t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;
syms f;
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
f(i,j)=0; %f(i,j)=f(x0(j),t0(i))==0%
end
end
for(i=1:n+1)
u(i,1)=exp(t(i));
u(i,m+1)=exp(1+t(i));
end
for(i=1:m+1)
u(1,i)=exp(x(i));
end
r=h2/(h1*h1);
for(i=1:n) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
a(1)=0;b(1)=1+r;c(1)=-r/2;d(1)=r/2*(u(i+1,1)+u(i,1))+h2*f(i,j)... +(1-r)*u(i,2)+r/2*u(i,3);
for(k=2:m-2)
a(k)=-r/2;b(k)=1+r;c(k)=-r/2;d(k)=h2*f(i,j)+r/2*u(i,k)+(1-r)...
*u(i,k+1)+r/2*u(i,k+2);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%
end
a(m-1)=-r/2;b(m-1)=1+r;d(m-1)=h2*f(i,j)+r/2*(u(i,m+1)+u(i+1,m+1). ..
)+r/2*u(i,m-1)+(1-r)*u(i,m);
for(k=1:m-2) %开始解线性方程组消元过程
a(k+1)=-a(k+1)/b(k);
b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k);
d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);
end
u(i+1,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程%
for(k=m-2:-1:1)
u(i+1,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i+1,k+2))/b(k);
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解
e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差
end
end
[u p e x t]=CN(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e); shading interp;
>> xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e');
>> title('误差曲面')
plot(x,e) plot(t,e)
误差较向前欧拉法减小一半
但是运行时间较长，约39秒,而前两次运行只需l秒左右；
[u p e x t]=CN(0.01,0.01,100,100);运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍
[u p e x t]=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e) 运行需要2秒；精度还是挺高的；[u p e x t]=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e)
误差还可以接受
此种方法精度高，计算量较大
二：用迭代法解线性方程组：
Matlab程序如下：
function [u e p x t k]=CN1(h1,h2,m,n,kmax,ep) % 解抛物线型一维方程 C-N格式（Ut-aUxx=f(x,t),a>0) %用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解
%kmax为最大迭代次数
%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;
%e为误差，p为精确解
syms temp;
u=zeros(n+1,m+1);
x=0+(0:m)*h1;
t=0+(0:n)*h2;
for(i=1:n+1)
u(i,1)=exp(t(i));
u(i,m+1)=exp(1+t(i));
end
for(i=1:m+1)
u(1,i)=exp(x(i));
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
f(i,j)=0;
end
end
a=zeros(n,m-1);
r=h2/(h1*h1); %此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1
for(k=1:kmax)
for(i=1:n)
for(j=2:m)
temp=((r/2*u(i,j-1)+(1-r)*u(i,j)+r/2*u(i,...
j+1)+h2*f(i,j)+r/2*u(i+1,j-1)+r/2*u(i+1,j+1))/(1+r));
a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j))*(temp-u(i+1,j));
u(i+1,j)=temp;%此处注意是u(i+1,j),,而不是u(i+1,j+1)% end
end
a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j));
if(k>kmax)
break;
end
if(max(max(a))<ep)
break;
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j)+t(i));
e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));
end
end
[u e p x t k]=CN1(0.1,0.005,10,200,10000,1e-10);运行速度：1秒
迭代次数k =
81
surf(x,t,e)
第二幅图为三角追赶法解方程作出的图，两者几乎一样；
由于迭代法速度很快，所以可以将区间分得更小
[u e p x t k]=CN1(0.01,0.01,100,100,10000,1e-12);surf(x,t,e);shading interp; k=6903。