(完整版)用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程
机器人运动轨迹规划
第2章 工业机器人运动学和动力学
第5讲 讲 机器人运动轨迹规划 机器人运动轨迹规划
第2章 工业机器人运动学和动力学 在规划中,不仅要规定机器人的起始点和终止点, 而且要 给出中间点(路径点)的位姿及路径点之间的时间分配, 即给出 两个路径点之间的运动时间。 轨迹规划既可在关节空间中进行, 即将所有的关节变量表 示为时间的函数,用其一阶、二阶导数描述机器人的预期动作, 也可在直角坐标空间中进行,即将手部位姿参数表示为时间的 函数, 而相应的关节位置、 速度和加速度由手部信息导出。
θ (t ) = c0 + c1t + c2t 2 + c3t 3
(3.67)
第2章 工业机器人运动学和动力学 这里初始和末端条件是:
θ (ti ) = θ i θ (t ) = θ f f & θ (ti ) = 0 θ (t ) = 0 & f
对式(3.67)求一阶导数得到:
第2章 工业机器人运动学和动力学
二自由度机器人关节空间的归一化运动
第2章 工业机器人运动学和动力学 如果希望机器人的手部可以沿AB这条直线运动, 最简单的 方法是将该直线等分为几部分(图3.21中分成5份), 然后计算出各 个点所需的形位角α和β的值, 这一过程称为两点间的插值。 可 以看出,这时路径是一条直线, 而形位角变化并不均匀。很显然, 如果路径点过少, 将不能保证机器人在每一小段内的严格直线轨 迹, 因此,为获得良好的沿循精度, 应对路径进行更加细致的分割。 由于对机器人轨迹的所有运动段的计算均基于直角坐标系, 因此 该法属直角坐标空间的轨迹规划。
二连杆机械臂的拉格朗日动力学推导式
高质量的文章撰写需要精细的研究和深入的思考，以下是一篇对于二连杆机械臂的拉格朗日动力学推导式的文章：1. 介绍二连杆机械臂是工业自动化中常见的一种机械结构，其运动特点复杂，控制困难。
为了对二连杆机械臂的运动进行有效的控制和分析，需要建立其动力学模型。
拉格朗日方法是一种描述系统动力学行为的有效方法，本文将使用拉格朗日方法推导二连杆机械臂的动力学方程。
2. 机械臂建模为了推导二连杆机械臂的动力学方程，首先需要对机械臂进行建模。
假设两个连杆的长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，重心到旋转轴的距离分别为r1和r2，角度分别为θ1和θ2，推导用于描述系统的广义坐标和广义速度。
3. 拉格朗日动力学一般来说，拉格朗日方程可以表示为T-V=Q，其中T为系统的动能，V为系统的势能，Q为系统的外力。
首先计算系统的动能和势能，进而得到系统的拉格朗日方程。
4. 系统的动能对于二连杆机械臂而言，系统的动能包括了两个连杆的动能以及它们之间的相对动能。
根据运动学关系和动能的定义，可以得到系统的动能表达式。
5. 系统的势能与系统的动能类似，系统的势能也需要考虑两个连杆的势能以及它们之间的相对势能。
根据重力势能的定义和相对位置关系，可以得到系统的势能表达式。
6. 系统的拉格朗日方程将系统的动能和势能代入拉格朗日方程中，可以得到描述系统动力学行为的拉格朗日方程。
在此过程中，需要注意计算各项的偏导，并且考虑到其中一些项可能是不显式的。
7. 系统的控制通过建立系统的动力学方程，可以对二连杆机械臂的控制进行分析和设计。
可以通过对拉格朗日方程进行求解，得到系统的运动方程，并设计合适的控制器实现对机械臂的控制。
8. 结论通过本文对二连杆机械臂的拉格朗日动力学推导式的分析，可以得到系统的动力学方程，这对于机械臂的控制和设计具有重要意义。
在未来的研究和应用中，可以在此基础上进行更深入的分析和探索。
总结：本文通过拉格朗日动力学的方法推导了二连杆机械臂的动力学方程，这为机械臂的控制和设计提供了重要的理论基础。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
二连杆平面机器人
F2,x
第二根连杆 受力图
F12,x
M2
F2,y m2g
运动 方程
F12,y
F1x +F2x=m2a2x
F1x +F2y–m2g =m2 a2y
M2 -F1xR1 sinθ1+F2 yR1 cosθ2- F12x(R2-R1) cosθ2
+F12 y cosθ2=I2 a2
2021年3月31日6时57分
1-5 二连杆平面机器人
有两个刚性杆件通过面接触构成的 开式可动连杆机构，他的杆件只能 在相互平行的平面内运动。他可以 通过编程来控制实现一定的功能。
2-1 组成结构
机器人的组成部分具备以下三个特征： 身体 是一种物理状态，具有一定的形态，机器人的外 形究竟是什么样子，这取决于人们想让它做什么样的 工作，其功能设定决定了机器人的大小、形状、材质 和特征等等。 大脑 就是控制机器人的程序或指令组，当机器人接收 到传感器的信息后，能够遵循人们编写的程序指令， 自动执行并完成一系列的动作。控制程序主要取决于 下面几种因素：使用传感器的类型和数量，传感器的 安装位置，可能的外部激励以及需要达到的活动效果。 动作 就是机器人的活动，有时即使它根本不动，这也 是它的一种动作表现，任何机器人在程序的指令下要 执行某项工作，必定是靠动作来完成的。
机器人机械手的手臂一般有三个自由度，其他自由度 由末端执行装置所有。
2-3机器人的自由度
把球放到空间某位置 所需自由度
由此我们可以得知二连杆平面机器人是 两个自由度的机器人
3-1 机器人工作原理
对于技术比较简单的机器人，计算机只含有固定程序；对 于技术比较先进的机器人，可采用程序完全可编的小型计 算机、微型计算机或微处理机作为其电脑。具体说来，在 计算机内存储有下列信息： （1）机器人动作模型，它表示执行装置在激发信号与随 之发生的机器人运动之间的关系。 （2）环境模型，它描述机器人在可达空间内的每一事物。 例如，说明由于哪些区域存在障碍物而不能对其起作用。 （3）任务程序，它使计算机能够理解其所要执行的作业 任务。 （4）控制算法，是计算机指令的序列，它提供对机器人 的控制，以便执行需要做的工作。
第3章雅可比矩阵和动力学分析
也可简写成：
F dY dX X
雅可比矩阵 用J表示
二自由度平面关节型机器人
端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为
X l1c1 l2c12 Y l1s1 l2s12
即
X X (1 , 2 ) Y Y (1 , 2 )
X X dX d1 d 2 1 2 dY Y d Y d 1 2 1 2
1 qJ V
式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 当工业机器人手部在空间按规定的速度进行作 业，用上式可以计算出沿路径上每一瞬时相应 的关节速度。
例1 如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。 求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。 解 由推导知，二自由度机械手速度雅可比为
微分得
X 1 dX dY Y 1 X 2 d1 Y d 2 2
写成矩阵形式为
X 1 dX dY Y 1
X 1 J Y 1
l s l s l s 1 1 2 1 2 2 1 2 J lc l c l c 1 1 2 1 2 21 2
二自由度机械手手爪沿X0方向运动示意图
逆雅可比为
c l s 1 l 2 1 2 2 1 2 J l c l c l s l s l l s 1 1 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2
d X = J (q ) d q
J（q）：反映了关节空间微 小运动dq与手部作业空间微 小运动dX之间的关系。
dX=[dX，dY，dZ， φX，φY，φZ]T
用平面三连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程
精心整理一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l ，连杆3长度为3l 。
建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 、33(,)x y 为连体坐标系，分别固结在连杆1、连杆2、连杆3上并随它们一起运动。
关节角顺时针为负逆时针为正。
1θ图11112123123p p x y 2、用D-H 方法建立运动学方程假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向外。
从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 00sin cos 111101θθθθT （2）从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 0sin cos 2212212θθθθl T （3） 从222(,,)x y z 到333(,,)x y z 的齐次旋转变换矩阵为：33212cos sin 0l T θθ-⎡⎤⎢⎥=从(003T =003P =结论：（6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。
补充：正解用于仿真，逆解用于控制建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角123θθθ、、，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。
3、平面二连杆机器人手臂逆运动学二、平面二连杆机器人手臂的速度雅可比矩阵速度雅可比矩阵的定义：从关节速度向末端操作速度的线性变换。
现已二连杆平面机器人为例推导速度雅可比矩阵。
上面的运动学方程两边对时间求导，得到下面的速度表达式：111212123123123111212122123123sin sin()()sin()()cos cos()()cos()()p p dx l l l dt dy l l l dtθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-⋅-+⋅+-++⋅++=⋅++⋅++++⋅++（17）把上式写成如下的矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122121121221211)cos()cos(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθ l l l l l l y x p p （18） 令上式中的末端位置速度矢量Xx p =⎥⎤⎢⎡， 矩阵11l l ⎢⎣⎡-(1θJ1(J θ212222211211θ∂J J J J 由此可知雅可比矩阵的定义：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21212221121121),(θθθθθθp p p pJ y y x x J J JJ （21） 三、平面二连杆机器人手臂的动力学方程推倒动力学方程的方法很多，各有优缺点。
用平面三连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程
一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l ，连杆3长度为3l 。
建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 、33(,)x y 为连体坐标系，分别固结在连杆1、连杆2、连杆3上并随它们一起运动。
关节角顺时针为负逆时针为正。
1θ图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标：112123123112123123cos cos()+cos()sin sin()+sin()p p x l l l y l l l θθθθθθθθθθθθ=++++=++++（1）2、用D-H 方法建立运动学方程假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向外。
从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 00sin cos 111101θθθθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 0sin cos 2212212θθθθl T （3） 从222(,,)x y z 到333(,,)x y z 的齐次旋转变换矩阵为：3323312cos sin 0sin cos 000010001l T θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）从),,(000z y x 到333(,,)x y z 的齐次旋转变换矩阵为：11221332112233001231231231231121cos sin 00cos sin 0cos sin 0sin cos 00sin cos 00sin cos 00001000100010000100010001cos()sin()0cos cos(l l T T T T l l θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++-+++=212312311212)sin()cos()0sin sin()00100001l l θθθθθθθθθθ+⎡⎤⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为：12312311212312312311212003311212312311212cos()sin()0cos cos()sin()cos()0sin sin()00010000011cos cos()cos()sin sin()l l l l l P T P l l l l l θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ++-++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+++++++=3123sin()011p p p x l y z θθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5） 即，112123123112123123cos cos()+cos()sin sin()+sin()p p x l l l y l l l θθθθθθθθθθθθ=++++=++++ （6）结论：（6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
二连杆平面机器人
4-2 引入平面矢量
我们都知道矢量是一个数学概念，它用于表示一个具有 大小和方向的物理量。简单地说，一个位移矢量表空间 任意两点之间的有向距离。为了进行机构分析，机构中 每一根连杆都可以表示为一个位移矢量，矢量的起点就 是连杆的某一端点，而其另一端点就是矢量的终点。这 个位移矢量的大小就是连杆的长度，矢量与x轴正向间的 夹角就是连杆的夹角。 矢量方程 那么显而易见对于简单的平面两连杆机器人的矢量方程 可以写为：
RP1=R1 +R2
2021年3月31日6时57分
y
R2
Rp1
2
R1
1
x
那么该平面坐标系对应的x和y的标量方程如下:
x=r1 cosθ1+r2 cos θ2 y=r1 sinθ1 + r2 sinθ2
1式
2021年3月31日6时57分
那么对上式求一阶导（位移的一阶导为速度） 然后转化为雅可比矩阵则有：
x′ - r1 sinθ1 -r2 sinθ2
W1
y′ r1 cosθ1+r2 cos θ2 W2
2式
对其再求二阶导则为加速度：
x〝 = -a1r1 sinθ1 –w1 2sinθ1- r1 w1cos θ1 –a1 r2 sinθ2-w22 sinθ2 -a2 r2 cos θ2
y〝 = a1 r1 cosθ1+ w1 2 cosθ1-w1 r1 sinθ1 +a2 r2 cosθ2 +w22 cos θ2 w2r2 sinθ2
研究操作机器人的运动，不仅涉及机械手本身，而且 涉及各物体间以及物体与机械手的关系。我们将要讨论 的齐次坐标及其变换，就是用来表达这些关系的。齐次 坐标变换不仅能够表示动力学问题，而且能够表达机器 人控制算法、计算机视觉和计算机图形学等问题。因此， 我们对这种数学表示方法特别感兴趣。
(完整word版)平面双连杆机械臂动态模型 (2)(word文档良心出品)
构建平面双连杆机械臂动态模型1. 平面双连杆机械臂的分析图1 平面双连杆机械臂平面双连杆机械臂如图1，图中θ1 为关节1 转角，θ2 为关节2 转角，l1 为杆1 的长度，l2为杆2 的长度，r1 为关节1 到杆1 质心的距离，r2 为关节2 到杆2 质心的距离,M1为负载质量。
以图中的O 为原点的00y x -为基坐标。
2. 数学建模2.1寻找动力学末端坐标)cos(cos 21211θθθ++=l l x pl )sin(sin 21211θθθ++=l l y pl根据雅克比矩阵的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2121θθθθdy dy dx dx J对末端坐标进行微分得到末端速度方程)sin()(sin 21212111θθωωθω++--=l l x pl & )cos()(cos 21212111θθωωθω+++-=l l y pl &其中11θω&=，22θω&=，将（3）、（4）两式联立整理成速度雅克比矩阵形式 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=1221221112212211c l c l c l s l s l s l J其中1s =1sin θ，1c =1cos θ，22sin θ=s ，22cos θ=c ，12s =)sin(21θθ+，12c =)cos(21θθ+。
在机器人基础坐标系中的速度与各关节速度间的关系以及手部与外界接触力与对应各关节间的关系可以利用雅克比矩阵来建立。
对机械臂末端速度方程（3） 、方程（4） 进行求导得到末端加速度方程如下[]1221222122211221121221122112)()(c l c l c l c l s l s l s l x pl ωωωωαα+++-=+++&& []1221222122211221121221122112)()(s l s l s l sl s l s l s l y pl ωωωωαα+++-=+++&&其中1α=1θ&&，2α=2θ&&，上述推导的方程构成了进行动力学仿真的基础,它们表明了有效负荷的加速度与 两节点处电动机的角速度和角加速度之间的关系。
3.4机器人运动学雅可比矩阵
r f ( )
一般情况：
r f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
J J1 J2
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m 1
ze
z0
P e
Oe
xe
(完整word版)平面双连杆机械臂动态模型(word文档良心出品)
构建平面双连杆机械臂动态模型1. 平面双连杆机械臂的分析图1 平面双连杆机械臂平面双连杆机械臂如图1，图中θ1 为关节1 转角，θ2 为关节2 转角，l1 为杆1 的长度，l2为杆2 的长度，r1 为关节1 到杆1 质心的距离，r2 为关节2 到杆2 质心的距离,M1为负载质量。
以图中的O 为原点的00y x -为基坐标。
2. 数学建模2.1寻找动力学末端坐标)cos(cos 21211θθθ++=l l x pl )sin(sin 21211θθθ++=l l y pl根据雅克比矩阵的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2121θθθθdy dy dx dx J对末端坐标进行微分得到末端速度方程)sin()(sin 21212111θθωωθω++--=l l x pl & )cos()(cos 21212111θθωωθω+++-=l l y pl &其中11θω&=，22θω&=，将（3）、（4）两式联立整理成速度雅克比矩阵形式 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=1221221112212211c l c l c l s l s l s l J其中1s =1sin θ，1c =1cos θ，22sin θ=s ，22cos θ=c ，12s =)sin(21θθ+，12c =)cos(21θθ+。
在机器人基础坐标系中的速度与各关节速度间的关系以及手部与外界接触力与对应各关节间的关系可以利用雅克比矩阵来建立。
对机械臂末端速度方程（3） 、方程（4） 进行求导得到末端加速度方程如下[]1221222122211221121221122112)()(c l c l c l c l s l s l s l x pl ωωωωαα+++-=+++&& []1221222122211221121221122112)()(s l s l s l sl s l s l s l y pl ωωωωαα+++-=+++&&其中1α=1θ&&，2α=2θ&&，上述推导的方程构成了进行动力学仿真的基础,它们表明了有效负荷的加速度与 两节点处电动机的角速度和角加速度之间的关系。
二连杆机器人动力学方程
二连杆机器人动力学方程二连杆机器人是一种简单的机器人系统，由两根连接在一起的连杆构成，可以用于模拟人体运动、机器人运动等。
其动力学方程可以通过Lagrange方法进行推导。
首先，定义系统的广义坐标，例如，可以选择两个连杆的角度（θ₁、θ₂）以及两个连杆的角速度（ω₁、ω₂）作为广义坐标。
然后，定义连杆的质量（m₁、m₂）、长度（l₁、l₂）、重心距离（d₁、d₂）等参数。
接下来，可以利用Lagrange方法推导出机器人的动力学方程。
Lagrange方法是一种基于能量的方法，用于描述系统的动力学。
步骤如下：1.计算连杆的动能（T）和势能（V）。
连杆的动能等于其质点的动能之和，连杆的势能等于其质点的势能之和。
2.根据广义坐标，构建系统的Lagrange函数（L = T - V）。
3.使用Euler-Lagrange方程，对Lagrange函数取关于广义坐标的偏导数，得到广义力（F）。
4.对广义力进行整理和简化，推导出动力学方程。
最终的动力学方程可以写成类似于以下形式的方程：(M(q) \cdot \ddot{q} + C(q, \dot{q}) \cdot \dot{q} + G(q) = \tau) 其中，(M(q))是系统的惯性矩阵，描述了系统的质量和几何特性；(\ddot{q})是广义加速度的二阶导数；(C(q, \dot{q}))是科里奥利力-禧维特力矩阵，描述了由于速度和加速度引起的惯性力效应；(G(q))是重力矩阵，描述了由于重力作用而引起的力矩；(\tau)是外部施加的关节力矩。
这样, 通过求解动力学方程，可以得到机器人系统在给定的广义力矩下的运动变化情况。
需要注意的是，具体的推导过程以及方程的形式会根据系统结构和约束条件的不同而有所差异。
(完整word版)平面双连杆机械臂动态模型(word文档良心出品)
构建平面双连杆机械臂动态模型1. 平面双连杆机械臂的分析图1 平面双连杆机械臂平面双连杆机械臂如图1，图中θ1 为关节1 转角，θ2 为关节2 转角，l1 为杆1 的长度，l2为杆2 的长度，r1 为关节1 到杆1 质心的距离，r2 为关节2 到杆2 质心的距离,M1为负载质量。
以图中的O 为原点的00y x -为基坐标。
2. 数学建模2.1寻找动力学末端坐标)cos(cos 21211θθθ++=l l x pl )sin(sin 21211θθθ++=l l y pl根据雅克比矩阵的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2121θθθθdy dy dx dx J对末端坐标进行微分得到末端速度方程)sin()(sin 21212111θθωωθω++--=l l x pl & )cos()(cos 21212111θθωωθω+++-=l l y pl &其中11θω&=，22θω&=，将（3）、（4）两式联立整理成速度雅克比矩阵形式 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=1221221112212211c l c l c l s l s l s l J其中1s =1sin θ，1c =1cos θ，22sin θ=s ，22cos θ=c ，12s =)sin(21θθ+，12c =)cos(21θθ+。
在机器人基础坐标系中的速度与各关节速度间的关系以及手部与外界接触力与对应各关节间的关系可以利用雅克比矩阵来建立。
对机械臂末端速度方程（3） 、方程（4） 进行求导得到末端加速度方程如下[]1221222122211221121221122112)()(c l c l c l c l s l s l s l x pl ωωωωαα+++-=+++&& []1221222122211221121221122112)()(s l s l s l sl s l s l s l y pl ωωωωαα+++-=+++&&其中1α=1θ&&，2α=2θ&&，上述推导的方程构成了进行动力学仿真的基础,它们表明了有效负荷的加速度与 两节点处电动机的角速度和角加速度之间的关系。
机器人雅可比矩阵
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq (q)q ) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C再对时间求导，得到：
C Jq J q
J是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q。
用系统的运动方程替代 q，得到 C Jq J W(Q Qˆ )
设 C为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C 的速度）必须满足J q＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q| J q 0 Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
二连杆机器人动力学方程
二连杆机器人动力学方程简介二连杆机器人是一种常见的机器人结构，由两个连接在一起的杆件组成，类似人的上肢结构。
动力学方程是描述机器人运动的重要工具，可以用于控制机器人的运动以及研究机器人的力学性能。
本文将介绍二连杆机器人的动力学方程，并对其推导过程进行详细阐述。
动力学方程的推导首先，我们需要定义二连杆机器人的几何参数和状态变量。
假设机器人的两个杆件的长度分别为L1和L2，重力加速度为g。
假设机器人的关节角度分别为θ1和θ2，关节角速度分别为ω1和ω2，关节角加速度分别为α1和α2。
接下来，我们需要推导机器人的运动学方程。
根据运动学关系，可以得到杆件末端的位置坐标为：x = L1cos(θ1) + L2cos(θ1+θ2) y = L1sin(θ1) + L2sin(θ1+θ2)其次，我们需要推导机器人的动力学方程。
根据牛顿第二定律，可以得到机器人的动力学方程为：M1α1 + M2α2 + C1ω1 + C2ω2 + G1 + G2 = τ1 I1α1 + I2α2 + C3ω1 + C4ω2 + G3 + G4 = τ2其中M1和M2分别为杆件1和杆件2的质量，I1和I2分别为杆件1和杆件2的转动惯量，C1、C2、C3和C4分别为相关的离心力和科里奥利力系数，G1、G2、G3和G4分别为相关的重力分量，τ1和τ2分别为关节的扭矩。
重力分量的计算可以根据重力加速度和杆件的质量进行计算：G1 = (m1 + m2)g L1sin(θ1) + m2g L2sin(θ1+θ2) G2 = m2g L2*sin(θ1+θ2) G3 = 0 G4 = 0离心力和科里奥利力的计算可以根据关节角速度进行计算：C1 = -0.5m1L1ω1sin(2θ1) - m2L1ω1sin(2θ1) - 0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C2 = -0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C3 = 0.5m1L1ω1sin(2θ1) + m2L1ω1sin(2θ1) +0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2)) C4 = 0.5m2L2ω2sin(2(θ1+θ2))最后，我们可以将运动学方程和动力学方程联立，得到关于加速度的线性方程组，即动力学方程。
用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程分析
定义：根据目标位置和姿态，求解关节角度的过程 计算方法：利用几何学和逆运动学方程求解 意义：在机器人轨迹规划和运动控制中具有重要应用 适用范围：适用于具有完整运动学模型的机器人系统
定义：描述机器人末端执行器相对于机座标系的位置和姿态
建立坐标系：建立机器人末端执行器相对于机座标系的坐标系，以便进行运动学分析
编程语言选择：根据需求选择合适 的编程语言，如Python、C++等。
控制系统算法设计：设计控制算法， 如PID控制、模糊控制等。
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控制系统建模：建立平面二连杆机 器人的数学模型，包括运动学、动 力学等。
控制系统仿真与调试：通过仿真软 件对控制系统进行仿真和调试，确 保控制效果达到预期目标。
组成：控制系统由传感器、控制器和执行器 三部分组成。
分类：根据控制方式的不同，控制系统可以 分为开环控制系统和闭环控制系统。
线性二次型调节器 （LQR）：通过优化二 次代价函数来设计控制 器，实现最优控制。
比例积分微分（PID）控 制器：通过比例、积分 和微分环节来减小误差， 实现系统的稳态和动态 性能。
度之间的关系，即 d/dt(末端执行器的位 置和姿态)=J(关节变
量)d/dt(关节变量)
添加标题
计算方法：通过微分 几何和线性代数的知 识，将关节变量和末 端执行器的位置和姿 态之间的关系进行计 算，得到雅可比矩阵
添加标题
作用：雅可比矩阵是 机器人运动学和动力 学分析中的重要工具， 通过它可以推导机器 人的运动方程，实现 机器人的轨迹规划和
运动学方程：建立机器人末端执行器的位置和姿态与关节角度之间的关系，得到运动学方程 运动学分析方法：采用解析法或数值法对运动学方程进行分析，得到机器人末端执行器的位 置和姿态随时间的变化规律
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一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l 。
建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 为连体坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。
关节角顺时针为负逆时针为正。
图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标：)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （1）2、用D-H 方法建立运动学方程假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向里。
从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 00sin cos 111101θθθθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 0sin cos 2212212θθθθl T （3） 从),,(000z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅=10000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(1000010000cos sin 0sin cos 1000010000cos sin 00sin cos 112121112121221221111120102θθθθθθθθθθθθθθθθθθl l l T T T （4）那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⋅=110)sin(sin )cos(cos 10010000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(212112121121121211121212020p p p z y x l l l l l l l P T P θθθθθθθθθθθθθθθθ （5）即，)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。
建立以上运动学方程后，若已知个连杆的关节角21θθ、，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。
3、平面二连杆机器人手臂逆运动学建立以上运动学方程后，若已知个机械臂的末端位置，可以用运动学方程求出机械手臂二连杆的关节角21θθ、，这叫机械臂的逆运动学。
逆运动学可以用于对机械臂关节角和末端位置的控制。
对于本例中平面二连杆机械臂，其逆运动学方程的建立就是已知末端位置),(p p y x 求相应关节角21θθ、的过程。
推倒如下。
（1）问题)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p已知末端位置坐标),(p p y x ，求关节角21θθ、。
（2）求1θ由（6）式得到：22211211)sin ()cos (l l y l x p p =-+-θθ （7） 整理得到：)sin cos (2111222122θθp p p p y x l l l y x +=-++ （8）令pp p pp tg y x θθθcos sin == （9）由（8）式得到：)sin sin cos (cos cos 2111222122p p p p p p x l l l y x θθθθθ+=-++)cos(cos 211222122p pp p p x l l l y x θθθ-=-++ （10）由此可解出1θ。
p p p p p p x y arctg x l l l y x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++=θθcos 2arccos 12221221 （11）（3）求2θ 由（6）式得到：2122122212)]sin([)]cos([l l y l x p p =+-++-θθθθ （12）整理得到：)]sin()cos([221212212222θθθθ+++=-++p p p p y x l l l y x （13） 令pp p pp tg y x θθθcos sin == （14）由（14）式得到：)cos(cos 2]sin )sin(cos )[cos(cos 221221212212222p pp p p p p p p x l x l l l y x θθθθθθθθθθθ-+=+++=-++ （15）由此可解出2θ。
122122222cos 2arccos θθθ-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++=p p p p p p x y arctg x l l l y x （16）二、平面二连杆机器人手臂的速度雅可比矩阵速度雅可比矩阵的定义：从关节速度向末端操作速度的线性变换。
现已二连杆平面机器人为例推导速度雅可比矩阵。
)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p上面的运动学方程两边对时间求导，得到下面的速度表达式：)()cos(cos )()sin(sin 2121211121212111θθθθθθθθθθθθ +⋅++⋅=+⋅+-⋅-=l l dtdy l l dt dx p p （17）把上式写成如下的矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122121121221211)cos()cos(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθ l l l l l l y x p p （18） 令上式中的末端位置速度矢量Xy x p p =⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 关节角速度矢量Θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 21θθ， 矩阵),()cos()cos(cos )sin()sin(sin 212122121121221211θθθθθθθθθθθθJ l l l l l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--),(21θθJ 就是速度雅可比矩阵，实现从关节角速度向末端位置速度的转变。
（18）式可以写成：Θ⋅= ),(21θθJ X 速度雅可比矩阵可以进一步写成：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=22211211212212112122121121)cos()cos(cos )sin()sin(sin ),(J J Jl l l l l l J J θθθθθθθθθθθθ （19）其中，)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122222121112121221221211111θθθθθθθθθθθθθθ+=∂∂=++=∂∂=+-=∂∂=+--=∂∂=l y J l l y J l x J l l x J p p p p （20）由此可知雅可比矩阵的定义：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21212221121121),(θθθθθθp p p pJ y y x x J J J J （21） 三、平面二连杆机器人手臂的动力学方程推倒动力学方程的方法很多，各有优缺点。
拉格朗日方法思路清晰、不考虑连杆之间的内力，是推倒动力学方程的常用方法。
下面推导图1所示的平面双连杆机器人的动力学方程。
图1中所示连杆均为均质杆，其转动惯量分别是1I 和2I 。
1、求两连杆的拉格朗日函数 （1）求系统总动能连杆1的动能为：212112121121161)31(2121θθθ l m l m I K A ===（21）求连杆2质心D 处的线速度：对连杆2质心位置求导得到其线速度。
连杆2质心位置为：)sin(21sin )cos(21cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x D D （22）连杆2质心速度为：)()cos(21cos )()sin(21sin 2121211121212111θθθθθθθθθθθθ +⋅++⋅=+⋅+-⋅-=l l Y l l x D D （23）21221222222212212221222)cos 21(41)cos 41(θθθθθθ l l l l l l l l y x V D D D +++++=+=（24）连杆2的动能：21221222222222122122212212212222222122122212221222222212)cos 32(2161)cos 31(21])cos 21(41)cos 41[(21))(121(2121)(21θθθθθθθθθθθθθθθθ l l l m l m l l l l m l l l l l l l l m l m V m I K D D +++++=+++++++=++=(25) 系统总动能：212212222222222122122222112122122122222222212212221221)cos 2131(61)cos 21616121()cos 32(2161)cos 31(21θθθθθθθθθθθθ l l m l m l m l l m l m l m l m l l l m l m l l l l m K K K ++++++=+++++=+= （26） （2）求系统总势能 系统总势能为：))sin(21sin (sin 21212112111θθθθ+++=l l g m gl m P （27）（3）求拉格朗日函数)]sin(21sin [sin 21)cos 2131(61)cos 21616121(21211211121221222222222212212222211212θθθθθθθθθθ++--++++++=-=l l g m gl m l l m l m l m l l m l m l m l m PK L （28） （4）列写动力学方程按照拉格朗日方程，对应关节1、2的驱动力矩分别为：222111θθτθθτ∂∂-∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂=L L t LL t （29）22212222122122222112121)cos 2131()cos 3131(θθθθθ l l m l m l l m l m l m l m L +++++=∂∂22221221221222212222122122222112121sin 21sin )cos 2131()cos 3131(θθθθθθθθθθ l l m l l m l l m l m l l m l m l m l m L t --+++++=∂∂∂∂ )cos(21cos )21(212211211θθθθ+-+-=∂∂gl m gl m m L )cos(21cos )21(sin 21sin )cos 2131()cos 3131(2122112122221221221222212222122122222112121θθθθθθθθθθθθτ++++--+++++=gl m gl m m l l m l l m l l m l m l l m l m l m l m （30）同理：1221222222222)cos 2131(31θθθθ l l m l m l m L ++=∂∂ 2122122222122122222sin 2131)cos 2131(θθθθθθθ l l m l m l l m l m L t -++=∂∂∂∂ )cos(21sin 21sin 2121222122122122122θθθθθθθθ+---=∂∂gl m l l m l l m L )cos(21sin 2131)cos 2131(21222122122222122122222θθθθθθθτ+++++=gl m l l m l m l l m l m （31）联合（30）、（31）式，将动力学方程写成如下矩阵形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)cos(21)cos(21cos )21(000sin 0sin 21sin 21031cos 2131cos 2131cos 3131212221221121212122122221221222122122222122222212222221222221121221θθθθθθθθθθθθθθθθθθθττgl m gl m gl m m l l m l l m l l m l m l l m l m l l m l m l l m l m l m l m （32）四、平面二连杆机器人手臂的轨迹规划轨迹规划就是已知起点和终点的位置速度加速度等参数确定中间点的相应参数的过程。