数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法
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《数学物理方程》第三章§1
齐次波动方程分离变量法 固有值和固有函数 Fourier级数回顾 波动方程的Fourier解
引例 有界弦的振动问题
utt uxx, (0 x , t 0)
u x0
0, u x
0
u t0
s inx, ut
t0
0
解 u = f(x + t ) + g(x – t )
nat nx
n1CncosL
sin L
k 05 (2 k 4 1 )33c1 o(2 0 k s 1 )tsi(2 k n 1 1 )0 x
15/16
思考题
1. 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法 有何不同？
2. 比较固有值问题与矩阵特征值问题
3. 偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求？
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
AB0 A eLBeL0
A[eLe L]0 A = – B = 0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X(x) = Ax + B
X(0) = 0 X(L) = 0
B=0 AL+B=0
A=B=0
0 时特征值问题只有零解
u t0 (x),ut t0 (x)
(x),(x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
t0
0
解: CnL 20L()sin nLd 5100 0 100 (1 0)sin n 1 0d
5102 0n31 0330(co ns1)
5n233 (1cons)
4
5n 3
3
( n为奇数)
14/16
u (x ,t) n 1 (C n cn o L a s tD n sin L n a)s tin L n x
an
1
f (x)cosnxdx
bn
1
f (x)sinnxdx
设 f(x) 在 [0, ] 上连续 (奇延拓)
2
f(x) bnsinnx
n1
bn 0 f(x)sinndxx
10/16
设 f(x) 在 [0, L]上有定义(奇延拓)
z x L
[0,L] [0,] F(z) f (Lz)
2
8/16
例1
ut u u
t
x0 t 0
uxx, (0 x 1,t 0,u x1 0
(x),ut t0 0
0)
(x) s0,i7 nx,ox t[h3/e7,4 r/7]
u (x ,t)[C n co nts ) (D n sin n t)s (]in n x )(
n 1
u(x,0)Cnsinn( x) Cnsinn(x)(x)
(3) 0 2 0
1 i 2 i
6/16
0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X (x )A cox sB sin x
X(0) = 0 X(L) = 0
A=0
BsinL0
sin L0
n
n2
L2
2
Ln ( n=1,2,···
)
Xn(x)BnsinnLx
7/16
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n
n2
L2
2
代入方程
T a2T
X X
Ta2T0 XX0
边界条件: T(t)X(0)=0 T(t)X(L)=0
X(0) = 0 X(L) = 0
固有值问题:
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
4/16
解的二次方程: 2 0
1
2
分三种情形: (1) 0; (2)0; (3) 0
(1)通解:
XA e xBe x
4. 如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系 数Cn, Dn ?
习题3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3)
f(x)g(x)six n f(x)g(x)six n
f(x)g(x)0
f(x)g(x)C
2f(x) = sin x + C 2g(x) = sin x – C
u1[s ixnt()s in x(t)] 2
u(x, t) = cos t sin x
2/16
➢齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx, (0 x L,t 0) u x0 0,u xL 0
(x)n 1CnsinnL x (x)n 1DnnL asinnL x
CnL 20L()sin nLd
D nnL aL 20L()sin n Ld
12/16
结论:
utt a2uxx,0 x L,t 0
u x0 0,u xL 0
ut0 x,ut t0 x
方程的Fourier解
nat nat nx
Tna2T0
通解:
nat nat
T n(t)C ncoL s D nsin L
弦振动方程的基本解:
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
n at n at n x
(C ncoL sD nsin L)siL n
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
n1
n1
ut(x,0)(n)D nsin(x) Dn = 0
n1
Cn201(x)s in(x)dx
4 /7
[c7 o n )sx ( co 7 n s)(x ]dx 3 /7
9/16
Fourier级数: 设 f(x) 在区间 [, ] 连续
f(x)a 2 0n 1[ancons xbnsin n]x
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
CnL 20L()sin nLd
D nn 2a0L()sin n Ld
13/16
例3 设 a2=10000
uuttx
0
a 2uxx , 0, u
0
x 10
x 0
10,
t
0
u
t0
x(10 x) 1000 , ut
F(z) bnsinnz
n1
bn 0 F(z)sinnzdz
f(x)n 1bnsinnLx
2L
nx
bnL0
f(x)sin dx L
11/16
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
波动方程初始条件
u(x,0)(x) ut(x,0)(x)
齐次波动方程分离变量法 固有值和固有函数 Fourier级数回顾 波动方程的Fourier解
引例 有界弦的振动问题
utt uxx, (0 x , t 0)
u x0
0, u x
0
u t0
s inx, ut
t0
0
解 u = f(x + t ) + g(x – t )
nat nx
n1CncosL
sin L
k 05 (2 k 4 1 )33c1 o(2 0 k s 1 )tsi(2 k n 1 1 )0 x
15/16
思考题
1. 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法 有何不同？
2. 比较固有值问题与矩阵特征值问题
3. 偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求？
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
AB0 A eLBeL0
A[eLe L]0 A = – B = 0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X(x) = Ax + B
X(0) = 0 X(L) = 0
B=0 AL+B=0
A=B=0
0 时特征值问题只有零解
u t0 (x),ut t0 (x)
(x),(x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
t0
0
解: CnL 20L()sin nLd 5100 0 100 (1 0)sin n 1 0d
5102 0n31 0330(co ns1)
5n233 (1cons)
4
5n 3
3
( n为奇数)
14/16
u (x ,t) n 1 (C n cn o L a s tD n sin L n a)s tin L n x
an
1
f (x)cosnxdx
bn
1
f (x)sinnxdx
设 f(x) 在 [0, ] 上连续 (奇延拓)
2
f(x) bnsinnx
n1
bn 0 f(x)sinndxx
10/16
设 f(x) 在 [0, L]上有定义(奇延拓)
z x L
[0,L] [0,] F(z) f (Lz)
2
8/16
例1
ut u u
t
x0 t 0
uxx, (0 x 1,t 0,u x1 0
(x),ut t0 0
0)
(x) s0,i7 nx,ox t[h3/e7,4 r/7]
u (x ,t)[C n co nts ) (D n sin n t)s (]in n x )(
n 1
u(x,0)Cnsinn( x) Cnsinn(x)(x)
(3) 0 2 0
1 i 2 i
6/16
0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X (x )A cox sB sin x
X(0) = 0 X(L) = 0
A=0
BsinL0
sin L0
n
n2
L2
2
Ln ( n=1,2,···
)
Xn(x)BnsinnLx
7/16
wenku.baidu.com
n
n2
L2
2
代入方程
T a2T
X X
Ta2T0 XX0
边界条件: T(t)X(0)=0 T(t)X(L)=0
X(0) = 0 X(L) = 0
固有值问题:
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
4/16
解的二次方程: 2 0
1
2
分三种情形: (1) 0; (2)0; (3) 0
(1)通解:
XA e xBe x
4. 如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系 数Cn, Dn ?
习题3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3)
f(x)g(x)six n f(x)g(x)six n
f(x)g(x)0
f(x)g(x)C
2f(x) = sin x + C 2g(x) = sin x – C
u1[s ixnt()s in x(t)] 2
u(x, t) = cos t sin x
2/16
➢齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx, (0 x L,t 0) u x0 0,u xL 0
(x)n 1CnsinnL x (x)n 1DnnL asinnL x
CnL 20L()sin nLd
D nnL aL 20L()sin n Ld
12/16
结论:
utt a2uxx,0 x L,t 0
u x0 0,u xL 0
ut0 x,ut t0 x
方程的Fourier解
nat nat nx
Tna2T0
通解:
nat nat
T n(t)C ncoL s D nsin L
弦振动方程的基本解:
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
n at n at n x
(C ncoL sD nsin L)siL n
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
n1
n1
ut(x,0)(n)D nsin(x) Dn = 0
n1
Cn201(x)s in(x)dx
4 /7
[c7 o n )sx ( co 7 n s)(x ]dx 3 /7
9/16
Fourier级数: 设 f(x) 在区间 [, ] 连续
f(x)a 2 0n 1[ancons xbnsin n]x
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
CnL 20L()sin nLd
D nn 2a0L()sin n Ld
13/16
例3 设 a2=10000
uuttx
0
a 2uxx , 0, u
0
x 10
x 0
10,
t
0
u
t0
x(10 x) 1000 , ut
F(z) bnsinnz
n1
bn 0 F(z)sinnzdz
f(x)n 1bnsinnLx
2L
nx
bnL0
f(x)sin dx L
11/16
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
波动方程初始条件
u(x,0)(x) ut(x,0)(x)