数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
第二章 分离变量法 数理方程课件
2 0 X 2 X 0
X (0) A 0
n
n
10
,n
1,2,3,
X (x) Acosx Bsin x X (10) Bsin10 0
n
n2 2
100
n
X n (x) Bn sin 10 x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104
2u x2
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为 (x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
2u u(t02,
t)
104 u
2u x2
,
(1 0, t )
0,
u(x,0)
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t 0 0 x 10
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Aex Bex
X (l) Ael Bel 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
▪求特征值和特征函数 n n / l2
▪求另一个函数
Tn
Cn
cos
na
l
t
Dn
X n (x) Bn
sin na t
l
sin
n
l
x
na
na n
▪求通解 u un X nTn (Cn cos
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数学物理方程经典教案 分离变量法(研究生,高校本科生)
X (0 )T (t) X (l)T (t) 0
(8 )
及
X X
( x )T ( x )T
(0) (x) '( 0 ) ( x )
(9 )
9
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
uutt|x0a20u,xux,|xl
0xl,t 0,t 0
0
(1) (2)
u|t0(x), ut |t0(x),0xl (3)
X (0) 0, X (l) 0 (10)
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 也 不 可 取 。
12
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
③ 0时 , 此 时 (6 )的 通 解 为 ( 一 对 共 轭 复 根 )
X (x) A cos x B sin x, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。 把 其 代 入 边 界 条 件 (1 0 )， 得
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 不 可 取 。
② 0时 , 此 时 (6)的 通 解 为
X (x) Ax B, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。
把 其 代 入 边 界 条 件 (10)， 得
固有值问题
B 0
A
l
B
0
AB0
X ''(x) X (x) 0 (6)
ii)求解固 有值问 题(Ⅱ)。
目标： 选取 适当的 ，使 得(Ⅱ)具 有非 零解。 称能够 使(Ⅱ)具 有非零 解的 常数为 固有值 (或本 征值)，相 应的 非零解 为固有
函数(或本 征函数 )。
下面分三种情况进行讨论：
① 0时, 此 时(6)的通 解为
数学物理方法分离变量法
21
由傅里叶正弦级数式展系开数公式可求出
A n2 l 0 l(x22lx )si(n 2n2 l1)xd x(2n3 1 l)2 233
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x xl 0 u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
Bnsinl
)sin l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
nx
sin l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
Bn0
故定解问题的最终解为
u (x ,t) 3 l 3 22 n 1 (2 n 1 1 )3 c( o 2 n 2 s l 1 )a ts i( n 2 n 2 l1 ) π x
齐次方程的分离变量法
X（x）的方程和条件构成 本征值问题，只能得到
无意义
*
时得到常微方程的通解为：
则当
代入常微分方程的初始条件，可得：
除非是
否则还是得到无意义的解
则此时可得：
C2＝0
即：
这里给出本征值，相应的本征函数为：
*
而关于T的方程 此时变为： 此方程的解为： U（x,t）的一般解是： 其中Ck由初始条件确定：
*
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程
把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
另解
令
把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
分离变数令：
问题解出。
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值
*
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件：
，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但
边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态
*
随k的增大而急剧减小，此时一般解级数
收敛很快，在t>0.18l2/a2时，可以只保留第一项k＝0，此时误差
例3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他
不超过1%
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
叠加系数An和Bn,满足初始条件:
*
左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数
展开成
傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:
这样,我们就得到了原定解问题的解:
系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由
第一类边界条件确定的!
齐次方程分离变量法举例
带入条件得
C1 = 0
λx + C2 sin λx
λl = (k +1/ 2)π
C2 cos λl = 0
cos λl = 0
所以，本征值和本征函数分别为 (k + 1 )π (k + 1 )2π 2 2 x 2 X (x) = C2 sin λ= l l2
二阶常系数齐次线性微分方程
X (0) = 0
ut − a uxx = 0
2
( 0<x<l )
u x=0 = 0 ux x=l = 0
u t=0 = u0x / l
提示
泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。
ut − a2uxx = 0
解 第一步：分离变量
u x=0 = 0
ux x=l = 0
u t=0 = u0 x / l
u(x,t)=X(x)T(t)
2 l nπ Bn = ∫0ψ(ξ))dξ 0 l 0 1 l B0 = ∫ ψ (ξ )dξ l 0
注
解u(x,t)正是傅氏余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次 边界条件决定的.
区间两端为混合齐次边界条件的例题. 区间两端为混合齐次边界条件的例题 例2 研究细杆导热问题, 其定解问题：
X (x) = C0 为任意常数
二阶常系数齐次线性微分方程
X ′(0) = 0
X ′(l) = 0
特征方程为 2 + λ = 0； ∆ = −4λ k 其
（1） （2） （3）
提示 方程的解是 X (x) = C cos λx + C2 sin λx 1
得到无意义的解 X(x)≡0. 被排除 本征函数 X (x) = C0
常微分方程的变量分离法和齐次化方法
常微分方程的变量分离法和齐次化方法常微分方程是研究某个未知函数在自变量的变化下所满足的的微分方程。
近年来，在数学、物理和工程等领域的研究和应用中，常微分方程广泛地被应用。
其中，变量分离法和齐次化方法是求解常微分方程的重要方法。
一、变量分离法变量分离法是常微分方程的常用求解方法，适用于一阶或高阶常微分方程。
所谓变量分离，就是把微分方程中的未知函数和自变量分离出来，然后对它们分别求积分，从而解出未知函数。
一般形式的一阶微分方程是dy/dx=f(x,y)，我们现在来看解决该微分方程的变量分离方法。
将dy和y移至方程右侧，将dx和x移至方程左侧，得到dy/y=f(x)dx，并且对方程两边同时求积分，那么就得到y的通解：y=C*exp(F(x))其中C是一个任意常数，F(x)是y(x)的一个原函数。
举个例子，比如我们要求解微分方程y’+y=c，使用变量分离法，先将微分方程移项，得到y’=-y+c，于是就有dy/y-cdx/x=0。
对方程右边积分，就得到ln |y-cx|=C, 此时可以得到y=c*exp(x+C)，也就是y=c1*exp(x)+c2, 其中c1,c2是常数。
二、齐次化方法齐次化方法是解决形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程的重要方法。
如下所示：dy/dx=f(y/x)设y=kx，那么dy=kdx，将dy/dx改写为dy/kdx=x，则上述微分方程就可以改写为：dy/kdx=f(k)这是一个分离变量的一阶微分方程，可以将它写成dy/f(k) = kdx，然后分别积分，得到：∫(1/f(k))dy=∫kdx替换k=y/x，即y=kx：∫(1/f(y/x))dy=∫xdx最终通解可表示为：F(y/x)=G(x)+C其中，F为f的一个原函数，G为g的一个原函数，C为常数。
举个例子，我们来看一个应用齐次化方法解决的微分方程：dy/dx = y^2/(3x^2+2xy), 应用齐次化方法，设y=ux, dy/dx =u+xdu/dx, 代入微分方程 dy/dx = y^2/(3x^2+2xy)中可得到:u+x(du/dx)=u^2/(3+2u)移项 $\frac{3+2u}{u^2}du = \frac{1}{x}dx$，积分可得:$\int \frac{3+2u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx$,这里可以用分部积分：$\int \frac{3+2u}{u^2}du = -\frac{3}{u} + 2ln|u| + C_{1}$, 对右侧积分可得$ln|x|+C_{2}$，最后得到的通解为$-\frac{3}{y}+2ln|y| = ln|x|+C$。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
数学物理方程的分离变量法及其应用
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
数学物理方程分离变量法 (2)精品
) 1, 2,3,L
)
特征值与 特征函数
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
x=x0时：
un (x0,t)
x2
2lx,
u(x, 0) t
0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
l 长，由此可见驻波的波长 2l / n。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n 1的驻波除两端x 0和x l外没有其他节点，它的波长2l在所有 本征振动中是最长的；相应地，它的频率a / 2l在所有本征振动中是 最低的。这个驻波叫做基波。n 1的各个驻波分别叫做n次谐波。 n次谐波的波长2l / n是基波的1/ n,频率na / 2l则是基波的n倍。
数理方程与特殊函数(钟尔杰)5齐次弦振动方程的分离变量法
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a 2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
T a 2T
X X
T a2T 0 X X 0
n1
u( x,0) Cn sin(n x) Cn sin(n x) ( x)
n1
n1
ut ( x,0) (n )Dn sin(n x) Dn = 0
n1
1
Cn
2
( x)sin(n
0
x)dx
4/7
[cos(7 n) x cos(7 n) x]dx 3/7
(1)通解:
X Ae x Be x
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
A B 0 Ae L Be L 0
A[e L e L ] 0
A=–B=0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
X X 0, 0 x L
u(x, t) = cos t sin x
2/16
齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx , (0 x L, t 0) u x0 0, u xL 0
u t0 ( x),ut t0 ( x)
( x), ( x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
例3 设 a2=10000
uuttx
分离变量法在数学物理方程中的应用
分离变量法在数学物理方程中的应用分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，其基本思想是将一个偏微分方程中的变量分离，从而得到一系列可分离的常微分方程，然后通过解这些常微分方程，最终得到原方程的解。
在数学物理方程中，分离变量法可以应用于很多方程。
以下列举一些常见的应用：
1.热方程（热传导方程）：热方程描述了物体的温度随时间和空间位置的变化。
通过分离变量法，可以将其分离为时间变量和空间变量，进而得到一个可分离的常微分方程组。
2.波动方程（波动传播方程）：波动方程描述了波的传播过程，通过分离变量法，可以将其分离为时间和空间变量，得到一个可分离的常微分方程组。
3.薛定谔方程（量子力学中的基本方程）：薛定谔方程描述了量子力学中粒子波函数随时间和空间位置的变化，通过分离变量法，可以将其分离为时间变量和空间变量，得到一个可分离的常微分方程组。
4.球谐函数方程（描述球对称问题）：球谐函数方程常用于描述球对称的问题，如电势、电场、磁场等。
通过分离变量法，可以将其分离为球坐标系中的三个变量，得到一个可分离的常微分方程组。
总之，分离变量法是求解偏微分方程的一种强大工具，在数学物理方程中应用广泛。
分离变量法求两端自由弦振动方程
分离变量法求两端自由弦振动方程对于自由弦振动问题，我们可以使用分离变量法来求解其方程。
设弦的振动函数为y(x, t)，其中x为弦上的位置，t为时间。
根据弦上的受力分析可得到如下方程：∂²y/∂t² = c²∂²y/∂x²，其中c为波速，c²=T/μ，T为弦的拉力，μ为单位长度的质量。
为了求解该方程，我们假设振动函数可以表示为两个单变量函数的乘积，即y(x, t) = X(x)T(t)。
将这个假设代入上述方程中，可得到：X''(x)T(t) = c²X(x)T''(t)。
将上式两边同时除以c²X(x)T(t)，得到：X''(x)/X(x) = T''(t)/c²T(t)。
由于左边只与x有关，右边只与t有关，所以它们必须等于一个常数，我们设其为λ²。
于是可得到两个独立的方程：X''(x) = λ²X(x)，T''(t) = c²λ²T(t)。
第一个方程是一个关于x的常微分方程，其通解为：X(x) = A sin(λx) + B cos(λx)。
第二个方程是一个关于t的常微分方程，其通解为：T(t) = C exp(iωt) + D exp(-iωt)，其中ω² = c²λ²。
将X(x)和T(t)代回y(x, t)的表达式中，可得到弦的振动函数的通解：y(x, t) = (A sin(λx) + B cos(λx))(C exp(iωt) + D exp(-iωt))。
通过给定的边界条件和初值条件，可以确定常数A、B、C、D和λ的具体值，从而得到特定问题的解。
数学物理方程：第4章 直角坐标下的分离变量法
第4章 直角坐标下的分离变量法§4.1 基本定解问题的分离变量法本节讨论：①弦振动方程与热传导方程的分离变量法，②分离变量法的基本步骤。
⒈ 弦振动方程的分离变量法以下讨论“两端固定的自由弦振动问题”（称基本问题）的分离变量方法。
▲弦振动问题的数学物理方程：⎪⎩⎪⎨⎧='===><<='')(),0(),(),0(0),()0,()0,0(2x x u x x u l t u t u t l x u a u xx ψϕ (4.1.1) 注：“两端固定”指边界条件为齐次的，“自由”指方程为齐次的，“弦”意为一维问题，“振动”即波动方程。
▲基本方法（步骤） 这是一个波动型混合定解问题。
求解为步骤为第一步【分离变量（变量分离）】：令)()(),(x X t T x t u u ==，代入方程中有2()()()()''''=T t X x a T t X x (4.1.2)由于0≠u （即0≠X ，0≠T ），上式可写为：2()()()()''''=T t X x X x a T t (4.1.3) 不难发现，此等式等于常数（设为λ-）。
则原始方程化为：①空间坐标部分0=+''X X λ，②时间坐标部分02=+''T a T λ； 同理，边界条件：①空间坐标部分0)()0(==l X X ，②时间坐标部分)(t T 不确定。
第二步【解固有值问题】：解关于X 的方程。
可求得固有值λ与固有函数为2n n l πλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭， sin ()n n x X X x l π== ),3,2,1(⋅⋅⋅=n (4.1.4)称n λ为⎩⎨⎧===+''0)()0(0l X X X X λ的固有值，)(x X n 为固有函数；求解固有值和固有函数的问题称为解固有值问题。
数学物理方法分离变量法
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
齐次方程分离变量法举例
分离变量法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是一种非常重 要的数学工具。
未来研究方向
01 02 03 04
进一步研究分离变量法的理论和应用，包括如何选择合适的变量分离 方式、如何处理非齐次方程等问题。
探讨分离变量法与其他数学方法的结合，以解决更复杂的偏微分方程 问题。
将分离变量法应用于实际问题中，如流体动力学、电磁学等领域，以 促进数学与实际应用的结合。
02
齐次方程分离变量法的基本概念
定义与性质
定义
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将方程中的变量分离，将 其转化为多个常微分方程，从而简化 求解过程。
性质
分离变量法适用于具有某种对称性的 偏微分方程，如圆对称或轴对称等， 能够将复杂的偏微分方程转化为多个 常微分方程，从而简化求解过程。
分离变量法的步骤
04
结论
方法总结
01
分离变量法是一种求解偏微分方程的重要方法，通过将方程中的变量 分离，将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过程。
02
在齐次方程中，分离变量法可以有效地将方程转化为多个常微分方程， 这些方程的解可以通过积分得到。
03
在应用分离变量法时，需要注意选择合适的变量分离方式，以确保得 到的常微分方程是可解的。
一维齐次方程是分离变量法的最简单形式， 通过将方程转化为常微分方程来求解。
详细描述
一维齐次方程的一般形式为 (y' = f(x)y' = f(x)y′=f(x))，其中 (f(x)) 是已知函数。为了求
解该方程，我们首先尝试分离变量，即找到 一个函数 (u(x)) 使得 (yu' = f(x))。然后，将 这个函数代入原方程，得到一个常微分方程 (u' = frac{f(x)}{y})。最后，解这个常微分方
分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2
的通解为
利用叠加原理，得
令
代入边界条件，得
由傅里叶级数知
因此解得
题目3：解第一边值问题
分离变量 代入泛定方程得
由边值问题 得
对应的特征值和特征函数为
此时式 变为
其通解为
利用叠加原理得方程的解为
由非齐次边界条件得
由此可得
则
带入原方程得所求解为
题目4：解Neumann问题
解：应用分离变量法，设
由边界条件（2）得 ，这样就得到边值问题
固有值及固有函数为
将 代入另一个常微分方程 求得它的通解为
这样就得到方程（1）满足边界条件（2）的一系列特解
由于方程（1）和边界条件（2）都是线性齐次的，因而函数
依然满足原方程，应用边界条件（3）和傅里叶系数公式得
求得
参考文献：
第一段题目1改自[例4.2.5, P96]；
其中 .
下面给出Байду номын сангаас述等式的证明。
从上式得到的公式
于是
，
对上式两端积分
.
则有
将（4）应用到（3）中去，有
.
这就是圆域上Neumann内问题的解
●2. 解三维齐次方程的拉普拉斯方程的边值问题：
考虑立方体内的稳态温度分布问题
设u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),
代入方程得
两边同除XYZ得
因为右边是Z的函数，左边是x,y的函数，若两边相等，必须有
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件
的拉普拉斯方程的边值问题
33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼
分离变量法又称fourier级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F(z) bnsinnz
n1
bn 0 F(z)sinnzdz
f(x)n 1bnsinnLx
2L
nx
bnL0
f(x)sin dx L
11/16
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
波动方程初始条件
u(x,0)(x) ut(x,0)(x)
n1
n1
ut(x,0)(n)D nsin(x) Dn = 0
n1
Cn201(x)s in(x)dx
4 /7
[c7 o n )sx ( co 7 n s)(x ]dx 3 /7
9/16
Fourier级数: 设 f(x) 在区间 [, ] 连续
f(x)a 2 0n 1[ancons xbnsin n]x
nat nx
n1CncosL
sin L
k 05 (2 k 4 1 )33c1 o(2 0 k s 1 )tsi(2 k n 1 1 )0 x
15/16
思考题
1. 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法 有何不同？
2. 比较固有值问题与矩阵特征值问题
3. 偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求？
《数学物理方程》第三章§1
齐次波动方程分离变量法 固有值和固有函数 Fourier级数回顾 波动方程的Fourier解
引例 有界弦的振动问题
utt uxx, (0 x , t 0)
u x0
0, u x
0
u t0
s inx, ut
t0
0
解 u = f(x + t ) + g(x – t )
Tna2T0
通解:
nat nat
T n(t)C ncoL s D nsin L
弦振动方程的基本解:
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
n at n at n x
(C ncoL sD nsin L)siL n
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
u t0 (x),ut t0 (x)
(x),(x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
4. 如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系 数Cn, Dn ?
习题3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3)
8/16
例1
ut u u
t
x0 t 0
uxx, (0 x 1,t 0,u x1 0
(x),ut t0 0
0)
(x) s0,i7 nx,ox t[h3/e7,4 r/7]
u (x ,t)[C n co nts ) (D n sin n t)s (]in n x )(
n 1
u(x,0)Cnsinn( x) Cnsinn(x)(x)
T a2T
X X
Ta2T0 XX0
边界条件: T(t)X(0)=0 T(t)X(L)=0
X(0) = 0 X(L) = 0
固有值问题:
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
4/16
解的二次方程: 2 0
1
2
分三种情形: (1) 0; (2)0; (3) 0
(1)通解:
XA e xBe x
t0
0
解: CnL 20L()sin nLd 5100 0 100 (1 0)sin n 1 0d
5102 0n31 0330(co ns1)
5n233 (1cons)
4
5n 3
3
( n为奇数)
14/16
u (x ,t) n 1 (C n cn o L a s tD n sin L n a)s tin L n x
an
1
f (x)cosnxdx
bn
1
f (x)sinnxdx
设 f(x) 在 [0, ] 上连续 (奇延拓)
2
f(x) bnsinnx
n1
bn 0 f(x)sinndxx
10/16
设 f(x) 在 [0, L]上有定义(奇延拓)
z x L
[0,L] [0,] F(z) f (Lz)
2
(x)n 1CnsinnL x (x)n 1DnnL asinnL x
CnL 20L()sin nLd
D nnL aL 20L()sin n Ld
12/16
结论:
utt a2uxx,0 x L,t 0
u x0 0,u xL 0
ut0 x,ut t0 x
方程的Fourier解
nat nat nx
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
AB0 A eLBeL0
A[eLe L]0 A = – B = 0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
XX0, 0xL
X(0)0பைடு நூலகம் X(L)0
通解: X(x) = Ax + B
X(0) = 0 X(L) = 0
B=0 AL+B=0
A=B=0
0 时特征值问题只有零解
(3) 0 2 0
1 i 2 i
6/16
0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X (x )A cox sB sin x
X(0) = 0 X(L) = 0
A=0
BsinL0
sin L0
n
n2
L2
2
Ln ( n=1,2,···
)
Xn(x)BnsinnLx
7/16
n
n2
L2
2
代入方程
f(x)g(x)six n f(x)g(x)six n
f(x)g(x)0
f(x)g(x)C
2f(x) = sin x + C 2g(x) = sin x – C
u1[s ixnt()s in x(t)] 2
u(x, t) = cos t sin x
2/16
➢齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx, (0 x L,t 0) u x0 0,u xL 0
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
CnL 20L()sin nLd
D nn 2a0L()sin n Ld
13/16
例3 设 a2=10000
uuttx
0
a 2uxx , 0, u
0
x 10
x 0
10,
t
0
u
t0
x(10 x) 1000 , ut