第8章 本构方程的原理
本构方程
cijkl = νδ ijδ kl + αδ ik δ jl + βδ ilδ jk
其中ν , α , β 是标量
3）偏应力张量是对称张量
cijkl = c jikl , 于是的证明 将原坐标系绕
x3 轴转 90 ，变换矩阵：
∂ul = skl + Akl，于是 分解 ∂xk
τ ij = cijkl skl + cijkl Akl = cijkl skl
τ ij = λδ ijδ kl skl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk ) skl
= λ skk δ ij + 2 µ sij
cijkl = λδ ijδ kl + µ (δ ik δ jl + δ ilδ jk )
Newton粘性定律
∂u τ =µ ∂y
τ ij = cijkl
∂uk ∂xl
四阶张量 cijkl 表征流体的粘性 • 各向同性流体及其四阶张量的形式 1）各向同性流体 指表征流体物理性质的张量其张量元不 随坐标系的旋转而改变 ∂ul′ ′ cijkl = cijkl ′ ′ τ ij = cijkl ′ ∂xk
5）将 cijkl 的表达式带入上式，得
最后得到： pij = − pδ ij + λ skk δ ij + 2µ sij
1 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ = − pδ ij + 2 µ ⎜ sij − skk δ ij ⎟ + ⎜ λ + µ ⎟ skk δ ij 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1 ⎛ ⎞ pij = − pδ ij + 2 µ ⎜ sij − skk δ ij ⎟ + µ ′skk δ ij 3 ⎝ ⎠
第8章本构方程的原理
第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v &动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：T T T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+-&&&熵产率原理：()grad T :D h /i TsTs u T T ρρρ=+--⋅&&&&≥0 ②Lagrange 描述法：可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v =T grad F x FGF EF DF ===&& 以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
本构方程公式
本构方程公式本构方程公式是描述物质微观结构与宏观性质关系的重要数学工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性以及其他许多重要性质。
本构方程公式的形式各异，根据不同的物质以及不同的性质，可以采用不同的数学表达形式。
本构方程公式通常由各向同性和各向异性两种情况。
各向同性是指物质在各个方向上的性质是相同的，而各向异性是指物质在不同方向上的性质存在差异。
各向同性的本构方程公式一般比较简单，常用的模型包括胡克定律、牛顿黏性定律等。
胡克定律是最基本的本构方程公式之一，它描述了线弹性固体的应力-应变关系，可以用来解释材料在小应变下的力学性质。
牛顿黏性定律是另一种常用的本构方程公式，用来描述流体的运动行为。
根据牛顿黏性定律，流体的剪切应力与剪切速率成正比。
这个比例系数就是流体的黏度，它决定了流体的黏性大小。
牛顿黏性定律适用于大多数流体，包括液体和气体。
除了各向同性的本构方程公式，各向异性的本构方程公式也非常重要。
各向异性是许多材料的特性，比如晶体材料、纤维材料等。
晶体材料的本构方程公式可以通过晶体的晶格结构来描述，而纤维材料的本构方程公式则可以通过纤维的微观结构和取向来描述。
各向异性的本构方程公式通常比较复杂，需要考虑材料的非线性效应和取向效应。
本构方程公式是描述物质性质与微观结构之间关系的重要工具。
它可以用来解释物质的力学性质、导电性、热传导性等重要性质。
根据不同的物质和性质，本构方程公式的形式各异。
各向同性的本构方程公式常用于描述线弹性固体和流体的性质，而各向异性的本构方程公式则适用于描述晶体材料和纤维材料等各向异性材料的性质。
通过研究和理解本构方程公式，我们可以深入了解物质的微观结构与宏观性质之间的关系，为材料设计和工程应用提供理论依据。
本构方程
本构方程是指连续介质力学中描述特定物质性质的方程。
建立方法及步骤：第一、模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
第二、模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
其中可利用图论、排队论、线性规划、对策论等。
第四、模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术的应用将使模型求解更为方便。
第五、模型分析对模型解答进行数学上的分析。
要对模型结果作出细致精当的分析，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
建立本构的要求：1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
常用的并且是最为成熟的用于连续介质力学的本构方程有下列三组：① 无粘流体。
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)＝常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（见流体力学的能量方程）的模型：定容比热容сv＝常数，定压比热容сp＝常数，p＝ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。
本构方程
科技名词定义
中文名称：
本构方程
英文名称：
constitutive equation
定义：
描述特定物质或材料性质和响应特性的方程。
应用学科：
材料科学技术（一级学科）；材料科学技术基础（二级学科）；材料科学基础（三级学科）；材料设计、模拟与计算（四级学科）
以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
牛顿流体
(1)粘度η=η(T，p),函数的具体形式随流体和温度范围而变；(2)应力张量的一部分是压力p,此外，还加上同粘性和变形率（见流体力学）有关的张量，其分量为
公式
式中Up(U3,U3,U3)为流速U的三个分量;(3)rho;(x,y,z,t)=常数,或任何形式的具体状态方程f1(p,rho;,T)=0,f2(e,p,S)=0。
开放分类：
科学，物理
“本构方程”相关词条：
无粘流体
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；(2)应力张量只是压力p;(3)密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)=常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（见流体力学的能量方程）的模型：定容比热容сv=常数，定压比热容сp=常数，p=ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。单位质量内能e=сvT，熵S－S0=сvlnpρ-γ，式中γ为сp/сv,S0为某一约定状态的熵值。
完全弹性体
（各向同性）是固体力学中发展得最为成熟的部分，在直角坐标系中它的本构方程是应力张量的六个分量
流速U的三个分量
σxx,σyy,σzz,σxy,σyz,σzx同应变张量的六个分量
六个分量
exx,eyy,ezz,exy,eyz,ezx之间的线性关系，由胡克定律表述式中E是杨氏模量，v是泊松比，同粘性流体相比，这里既没有热力学量，也没有对时间的导
第8节 本构方程的原理
第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：TT T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+-熵产率原理：()grad T :D h /i Ts Ts u T T ρρρ=+--⋅≥0② Lagrange 描述法： 可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v = T grad F x F GF E F DF===以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。
结构方程原理课件
1 z3
1 e17 e16 e18 1 1 a17
a16 1
顾客满意
1 z4
a18
1 e23 e22 e24 1 1 a23 a22 1 a24
顾客忠诚
1 z5
测 量 模 型
• 测量模型：对于指标与潜变量间的关 系,通常写成如下测量方程:
x=Λxξ+δ y=Λyη+ε
ξ——外因潜变量(自变量） η——内因潜变量(果变量）
4
X5
5
X6
6
X7
7
X8
8
模型 的 设定
识别
估计
评估
修正
结 构 模 型
• SEM可用以下结构方程表示潜变 量之间的关系：
η=Bη+Γξ+ζ
η——内因潜变量(果变量） ξ——外因潜变量(自变量） B ——内因潜变量间的关系 г——外因潜变量对内因潜变量的影响 ζ——结构方程的残差项，反映了η在方 程中未能被解释的部分。
e6 1 a6
质量期望
e7 1 a7
e8 1 a8
e1 1 a1 1
e2
1
e3 1 a3
a2
超市形象
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感知价格
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顾客满意
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结 构 方 程 模 型 的 优 点
(1) 测量表中的每个题项可以同时分属于不 同的公共因子，并可设定一个固定的因子负荷量， 或将数个题项的因子负荷量设为相等。而因子分 析中测验的个别项目只能被分配给一个公共因子， 并只有一个因子负荷，如果一个测验题项与两个 或两个以上的因子构念间有关，则因子分析就无 法处理。 (2) 可根据理论和经验，设定某些 公共因子之间具有相关与否，甚至于将 这些公共因子间的相关设定为相等的关 系。而因子分析中，公共因子之间不是 完全没有关系就是完全相关。
工程材料的本构方程
工程材料本构方程读书报告目录摘要............................................................ - 1 -Abstract........................................................ - 2 -1绪论.......................................................... - 2 -1.1工程材料本构理论的发展示概况............................ - 2 -1.2连续介质力学的基本方程.................................. - 3 -1.3应力分析................................................ - 5 -1.3.1应力状态和应力张量................................ - 5 -1.3.2应力张量的分解.................................... - 6 -1.3.3应力空间、应力路径................................ - 8 -1.4应变分析................................................ - 8 -1.4.1应变状态和应变张量................................ - 8 -1.4.2应变张量的分解.................................... - 9 -1.4.3应变率张量....................................... - 10 -1.4.4应变增量张量..................................... - 11 -2工程材料的强度和变形特征..................................... - 12 -2.1概述.................................................. - 12 -2.2金属的强度和变形特征................................... - 12 -2.2.1基本试验......................................... - 12 -2.2.2简化模型......................................... - 14 -2.3土的强度和变形特性..................................... - 15 -2.3.1应力-应变曲线.................................... - 15 -2.3.2土体变形的组成部分............................... - 16 -2.3.3土体变形影响因素................................. - 17 -2.4混凝土的强度和变形特性................................. - 18 -2.4.1单向应力下的变形性质............................. - 18 -2.4.2复合应力下的变形性质............................. - 19 -2.4.3其他条件下的变形性质............................. - 19 -3弹性模型..................................................... - 21 -3.1概述.................................................. - 21 -3.2线性弹性模型........................................... - 21 -3.3非线性弹性模型理论..................................... - 22 -3.3.1 Cauchy弹性模型.................................. - 22 -3.3.2超弹性模型....................................... - 22 -3.3.3次弹性模型....................................... - 23 -3.4土的非线性弹性模型举例................................. - 23 -3.4.1 E-K非线性弹性模型............................... - 23 -3.4.2正常固结粘土四参数非线性弹性方程................. - 25 -3.4.3一个土的K-G非线性弹性模型....................... - 26 -3.4.4考虑球张量和偏张量交叉影响的非线性弹性模型....... - 26 -3.5混凝土的非线性弹性模型举例............................. - 27 -3.5.1 K-G非线性弹性模型............................... - 27 -3.5.2混凝土的正交各向异性弹性模型..................... - 28 -3.6破坏准则............................................... - 28 -3.6.1概述............................................. - 28 -3.6.2最大主应力准则................................... - 28 -3.6.3 Tresca准则...................................... - 29 -3.6.4 von Mises准则................................... - 29 -3.6.5 Mohr-Coulomb准则................................ - 29 -4弹塑性模型................................................... - 30 -4.1弹塑性模型............................................. - 30 -4.1.1屈服条件的概念................................... - 30 -4.1.2理想弹塑性材料的加载和卸载准则................... - 30 -4.1.3加工硬化材料的加载和卸载准则..................... - 31 -4.1.4 Drucker公设和Илъюшин公设................. - 31 -4.1.5塑性位势理论和流动规则........................... - 32 -4.1.6加工硬化规律..................................... - 32 -4.2理想弹塑性模型......................................... - 33 -4.2.1理想弹塑性本构方程的一般表达式................... - 33 -4.2.2 Prandtl-Reuss模型............................... - 34 -4.2.3 Drucker-Prager模型.............................. - 34 -4.2.4 Mohr-Coulomb模型................................ - 34 -4.2.5 Willam-Warnke模型............................... - 35 -4.3加工硬化弹塑性本构方程的一般表达式..................... - 36 -4.4土的加工硬化弹塑性模型举例............................. - 36 -4.4.1临界状态模型及其发展............................. - 36 -4.4.2 Lade-Duncan(1975)弹塑性模型...................... - 37 -4.5混凝土的加工硬化弹塑性模型举例......................... - 38 -4.5.1混合硬化von Mises模型........................... - 38 -4.5.2等向硬化三参数模型............................... - 39 -5粘弹塑性模型................................................. - 40 -5.1粘弹性模型理论......................................... - 40 -5.1.1材料的蠕变与应力松弛现象......................... - 40 -5.1.2粘弹性积分型本构方程............................. - 41 -5.1.3粘弹性微分型本构方程............................. - 41 -5.2线性粘弹性模型......................................... - 41 -5.2.1 Maxwell模型..................................... - 41 -5.2.2 Voigt模型....................................... - 42 -5.2.3标准线性模型..................................... - 42 -5.2.4加载-卸载响应.................................... - 43 -5.2.5广义Burgers模型................................. - 44 -5.3非线性粘弹性模型....................................... - 45 -5.3.1本构理论中的形变描述............................. - 45 -5.3.2单积分型本构模型................................. - 45 -5.4粘塑性模型............................................. - 46 -5.4.1粘塑性特性的某些实验资料......................... - 46 -5.4.2粘塑性模型理论................................... - 47 -5.5岩土粘塑性模型......................................... - 49 -参考文献....................................................... - 50 -摘要工程中常见材料的宏观本构行为是本课程研究的内容。
本构方程
本构方程（constitutive equations/constitutiverelations）反映物质宏观性质的数学模型。
又称本构方程(constitutive equation)。
归纳宏观实验结果，建立有关物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。
本构方程是连续介质力学中描述特定物质性质的方程。
它建立了特定连续介质的运动学量、动力学量、热力学状态之间的某些相互关系。
本构关系随所考虑的具体介质和运动条件而变。
质量、动量、能量守恒律对所有物质都适用，连续介质力学以各种微分方程，如连续方程、运动方程、平衡方程等为主要研究手段。
通常，这些方程中的动力学量、运动学量（有时还包括热力学量），都是未知函数，其数目多于体现上述守恒律的方程的个数。
为了求解反映守恒律的方程组，添加了本构方程，使自变量的数目同总的方程数目相等。
所以，本构方程是解决连续介质力学问题中的质量、动量、（有时加上）能量守恒定律的必要补充。
客观上存在的流体、固体多种多样，运动的环境也千差万别，为了对问题进行深入的研究，本构方程只能反映介质性质的主要方面,否则使问题过于复杂,理不出头绪。
本构方程规定的是客观物质的力学模型。
本构方程必须反映介质和运动环境的主要特点，但又要求简单，使所列出的方程便于进行数学计算。
常用的并且是最为成熟的用于连续介质力学的本构方程有下列三组：① 无粘流体。
(1)粘度为零，即η=η┡=0，η和η┡为粘度和第二粘度；应力张量只是压力p;密度均匀不变，ρ(x，y，z，t)＝常数，或是在密度显著变化时采用常比热完全气体（的模型：定容比热容сv＝常数，定压比热容сp＝常数，p＝ρRT，式中T为热力学温度，R为普适气体常数。
单位质量内能e＝сv T，熵S－S0＝сv lnpρ-γ，式中γ为сp/сv,S0为某一约定状态的熵值。
②牛顿流体。
(1)粘度η=η(T，p),函数的具体形式随流体和温度范围而变；(2)应力张量的一部分是压力p,此外，还加上同粘性和变形率（见流体力学）有关的张量，其分量为式中U p(U3,U3,U3)为流速U的三个分量。
开尔文模型本构方程
开尔文模型本构方程开尔文模型本构方程：一、什么是开尔文模型本构方程开尔文模型本构方程，是板斯卡-开尔文模型的数学表示，被广泛地应用于计算力学，特别是材料弹性领域，对各种材料的力学性质有很大的解释能力和精确度。
它以弹性模量、泊松比和质量密度三个参数和载荷变形四个耦合变量组成，用于表述固体材料的力学性能。
二、开尔文模型本构方程的数学表达式开尔文模型本构方程的数学表达式如下：$$σ_{ij} = 2Gε_ {ij} + λε_{kk}δ_{ij}$$这里$σ_{ij}$是应力，$ε_{ij}$是变形，$G$是弹性模量，$λ$是泊松比，$ε_{kk}$定义为$ε_{11}+ε_{22}+ε_{33}$。
三、开尔文模型本构方程的解开尔文模型本构方程的解（弹性与晶体玻璃断裂性质）：（1）若$ε_ {ij} = ε_{ij}^S$，有：$$σ_{ij} = 2Gε_{ij}^S + λε_{kk}^Sδ_{ij}$$（2）若$ε_ {ij}$满足解析结构，有：$${\sigma^{'}}_{ij} = {\sigma}_{ij}^F - {\sigma}_{ij}^S$$（3）当$ε_{ij}$满足本构方程的解析结构时，有：$$\frac{1}{G}{\sigma^{'}}_{ij} = {\varepsilon'}_{ij} -\frac{\lambda}{G}{\varepsilon'}_{kk}\delta_{ij}$$四、开尔文模型本构方程的性质（1）开尔文模型本构方程具有对随机小变形控制和对任意小变形抗联力能力的性质。
（2）开尔文模型本构方程满足邻域保持原则，即被施加变形的相邻材料单元，其变形应相互一致。
（3）开尔文模型本构方程可以精确表述材料的力学特性，有良好的可操作性和计算精确度，是目前对固体力学性质表述的优良模型。
本构方程
yz
2G
zx
2G
xy
2G
E—弹性模量；—泊松比；G—剪切模量
E G 2(1 )
材料弹性本构关系
广义虎克定律的张量表达式
1 1 2 ij ij m ij 2G E
1 i j 时 ij 0 i j 时
应力与应变之间是线性关系
材料全量塑性本构关系
再利用等效应力和等效应变公式
1 2 2 2 x y 2 y z 2 z x 2 6 xy yz zx 2
2 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) 3
张量表达式为
3 d d ij ij 2
材料增量塑性本构关系
Prandtl-Reuss理论 Levy—Mises理论没有考虑弹性变形的影响， 仅适用于大塑性变形问题。对于塑性变形量较 小，弹性变形不可忽略，以及求解弹性回复和 残余应力问题时不宜采用Levy—Mises理论 Prandtl于1924年提出了平面应变情况下理想弹 塑性材料的本构关系 Reuss在1930年也独立提出了该理论，并将其 推广到一般情况 通常将它称为Prandtl-Reuss理论
材料全量塑性本构关系
将上式正应变两两相减，并将切应变的表达式 一起写出
1 x y 2G ( x y ); 1 ( y z ); y z 2G 1 ( x); z x z 2G
1 xy xy 2G 1 yz yz 2G 1 zx zx 2G
材料增量塑性本构关系
本构方程及NS方程
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
x 2
x轴正方向 x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
dux dt
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
duy dt
fz
1
p z
duz dt
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。
•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。
•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程
对于大应变情况，可得出类似的应力－应变关系：
λ2 x = 1 + 2ε x =
∗
(
)
(10)
式中， ε x 是拉格朗日应变，参数 σ m 不一定等于 σ m 。在单轴拉伸时，考虑到横向收缩
∗ λ y = λ z ，可求得参数 σ m 。 λ y 、 λz 的表达式与式（10）类似：
λ2 y =
因为对于橡胶， λ x λ y λ z = 1 ， λ y = 1
5
特点。Bathe2的教材中对这个领域有更广泛的讨论，包括有限元法的应用等。 在位移较小时，应变 ε x 由下式给出：
εx =
1 σ x − ν (σ y + σ z ) E
[
]
对于ν = 0.5 的弹性体，上式可用平均应力 σ m =
(σ
x
+ σ y + σ z ) 3 改写为：
2ε x =
3 (σ x − σ m ) E 3 ∗ σ x −σm E
本构方程
MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2000 年 10 月 4 日
引言
在模块 8“运动学方程” 、模块 9“平衡方程”和模块 10“张量变换”中，阐述了材料 力学中非常重要的概念， 但这些模块并没有对材料本身的作用进行深入分析。 运动学方程建 立了应变与位移变化率之间的关系， 而平衡方程则建立了应力与作用在物体边界上的面力之 间的关系， 还建立了物体内应力变化率之间的关系。 在三维空间中可以得到 6 个运动学方程 和 3 个平衡方程，共 9 个方程。然而变量有 15 个：包括 3 个位移、6 个应变和 6 个应力。 因此，为求解方程组，还需要 6 个由材料的本构关系所提供的方程。这 6 个方程把应力与应 变联系起来了。这些方程是一类力学状态方程，描述了材料力学构成的本质特性。 这些本构关系式使人们对材料的重要作用有了新的认识。 在本模块中出现的弹性常数是 材料性质的反映，取决于加工工艺和微观结构的调整，这在模块 2 中已作了概述。对工程师 而言，控制材料性质是一种重要的手段，必须在选择材料的同时，兼顾材料的加工工艺和微 观结构。
本构方程及方程 PPT
连续性方程就是流体流动微分方程最基本得方 程之一。任何流体得连续运动均必须满足。
理想流体得运动微分方程
理想流体运动微分方程式就是研究流体运动学得重要理论 基础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析:
a F
1、质量力: fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力:
单位质量流体 得压力差
流动微分方程得应用求解步骤
(1)根据问题特点对一般形式得运动方程进行简化,获得 针对具体问题得微分方程或方程组。
(2)提出相关得初始条件与边界条件。
初始条件:非稳态问题
边界条件
固壁－流体边界: 流体具有粘性,在与壁面接触 处流体速度为零。
液体－气体边界: 对非高速流,气液界面上,液相 速度梯度为零。
量差:
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
Y方向：
(
v
z
z
)
dxdydzdt
；
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内,整个六面体内输入与输出得质量差:
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
整理推 广得
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中得连续性方程 质量守恒
z dy
输得入质微量元流体量－
输出微元体 得质量流量
dz vx dydz
dx
vx
vx
x
dx dydz
x
y
微元体及其表面得质量通量
本构方程——精选推荐
本构方程在高分子科学和高分子工程中的应用(吴其晔，高分子材料流变学)判断一个本构方程的优劣主要考察：1)方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2)一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3)有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
4)最后也是最重要的一条，即实验事实(实验数据)是判断一个本构方程优劣的出发点和归宿。
实践是检验真理的唯一标准。
对高分子液体流变本构方程理论和实验规律的研究对于促进高分子材料科学，尤其高分子物理的发展和解决聚合物工程中(包括聚合反应工程和聚合物加工工程)若干重要理论和技术问题都具有十分重要的意义。
一则由于高分子材料复杂的流变性质需要精确地加以描述，二则由于高新技术对聚合物制品的精密加工和完美设计提出越来越高的要求，因此以往那些对材料流动性质的经验的定性的粗糙认识已远远不够。
众所周知，高分子结构研究(包括链结构、聚集态结构研究)以及这种结构与高分子材料作为材料使用时所体现出来的性能、功能间的关系研究始终是高分子物理研究的主要线索。
与“静态”的结构研究相比，高分子“动态”结构的研究，诸如分子链运动及动力学行为、聚集态变化的动力学规律、高分子流体的非线性粘弹行为等，更是近年来引人注目的前沿领域。
按现代凝聚态物理学的概念，高分子体系被称为软物质(soft matter)或复杂流体(complex fluids)。
所谓软物质，即材料在很小的应变下就会出现强烈的非线性响应，表现出独特的形态选择特征。
这正是高分子流体的本征特点。
如果能精确描述出高分子液体的复杂应力-应变关系，找出这种关系与材料的各级结构间的联系，无疑对高分子凝聚态理论的发展具有重要意义。
在高分子工程方面，当前各种各样新型合成技术及新成型方法、新成型技术(如反应加工成型、气辅成型、振动剪切塑化成型、特种纤维的纺制、新成纤技术等)陆续问世，在每一种技术发展过程中，研究高分子液体(熔体、溶液)的流动规律以及新工艺过程与高分子材料结构性能控制的关系，都是最重要的课题。
牛顿内摩擦定律本构方程
牛顿内摩擦定律本构方程
τ=k·ε̇
其中，τ是应力（shear stress），k是摩擦系数（friction coefficient），ε̇是应变速率（strain rate）。
该方程的意义是摩擦力与应变速率成正比。
牛顿内摩擦定律本构方程的起源可以追溯到牛顿时代。
当一个物体在受到外力作用下形变时，其内部微观结构也会发生相应的变化。
在材料之间的相互作用中，摩擦力对宏观形变起着重要作用。
根据实验证明，摩擦力与形变速率呈线性关系，即摩擦力随形变速率的增加而增加。
牛顿内摩擦定律本构方程在许多领域都有广泛的应用。
在材料力学领域，该方程可以用来描述金属材料、岩石和混凝土等的内摩擦性能。
在地震学研究中，本构方程也可以用于描述地震过程中的滑动面和断层的摩擦行为。
此外，在工程设计中，牛顿内摩擦定律本构方程也可以用于预测车辆制动系统的性能、土壤的流变性质等。
尽管牛顿内摩擦定律本构方程在实际应用中非常有用，但它只是一个简化的模型，并不能完全准确地描述摩擦现象。
实际上，在较高的应变速率下，摩擦力与形变速率之间的关系可能不再是线性的，需要引入更加复杂的本构方程来描述。
此外，在不同材料和不同条件下，摩擦系数也可能发生变化，需要进行实验测定或采用其他方法来确定。
总结起来，牛顿内摩擦定律本构方程是描述材料内摩擦现象的一个简化模型。
通过该方程，我们可以对材料在受到外部力作用下发生形变时的摩擦特性进行预测和分析。
不过，需要注意的是，在实际应用中需要考虑更多的因素，如温度、湿度和材料性质等，才能得到更加准确的结果。
第8章本构方程的原理
第8章-本构方程的原理第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法 质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：TT T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+-熵产率原理：()grad T :D h /i Ts Ts u T T ρρρ=+--⋅≥0② Lagrange 描述法：可用S 表示，也可以用ˆT 表示上述公式2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v =T grad F x F GF E F DF===以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理： 从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等））材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应）材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：δ图。
-P材料的破坏的二个最基本形式：①韧性破坏（有明显的变形）②脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。
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第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：TT T =局部能量守恒：div T :D ur h ρρ=+- 熵产率原理：()grad T :D h /i TsTs u T T ρρρ=+--⋅ ≥0 ② Lagrange 描述法： 可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v = T grad F x FGF EF DF === 以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。
b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。
C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。
4．初始条件和边界条件。
以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。
§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。
唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。
不管响应产生的机制。
如轴向拉压：P -δ图。
材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。
（这些条件包括：温度、应力状态等）。
如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。
通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。
影响（决定）材料力学性质的主要因素有：1）材料的固有的成份、组成、内部构造等微观因素有关。
例如，一般的铸铁是脆性的，但球墨化可使其增韧；而钢中掺碳可使其增强变脆。
利用这一点可以人工改善材料性质，甚至设计材料。
目前自然界材料、普遍高强、低韧，人们要保持其强度，但要提高韧度。
形成一门科学性——材料科学-力学，较成功的材料为：陶瓷增韧。
2）材料的力学行为通常通过对构件进行实验，构件的尺寸、形状会影响材料的力学性质。
如岩石实验，用一块体作实验，实验结果严格地说应为结构的响应，并非真正的材料的响应，构件越大，包含缺陷越多。
3）外部环境：周围介质、温度、辐射、磁场。
4）加载方式：速度、交变、应力状态。
高速加载带粘性，交变使材料变脆，三向等拉变脆，三向等压变韧。
裂纹尖端三向等拉。
5）时间因素：老化。
理论上说：将上述因素作为参数，来确定一个区分韧性破坏和脆性破坏区的过渡区（但实际上要做到是很困难的，甚至不可能的）。
因此，要描述材料的力学性质是非常困难的，到目前为止，不可能用一个函数来直接、全部描述材料性质。
目前可行的办法：根据各种材料（常见材料），在一定条件下的主导行为（主要表现、性质、抓主要矛盾）进行分类。
建立相应的模型（模拟原型），及对应的理论。
每一个模型不是一种或一类材料力学性质的直接和全部的描述，而是多种材料在各自一定条件下共同主导行为的模拟。
这种在总体唯象方法上建立起来的材料性质的分类法称为流变学分类法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的发展。
例如：较一个典型的单元体，从它受干扰的响应分为：（单元体是一个微小系统，简称为系统）。
一、长程系统：材料的响应不仅与该系统的状态变量的现时值及其其全部历史有关，而且与物质其它质点（单元体）的状态变量及全部历史有关，甚至认为与体积力有关。
（最复杂的材料性质）。
二、短程系统：材料的响应与本单元体的状态变量的现时值及其全部历史有关，与其它质点的状态参数无关。
力学中现有的流变模型大我数属短程系统。
短程系统分为两类：①梯度形：不仅与上述因素有关，而且与状态变量的梯度有关。
如：与ε，σ有关，且与εσ,x x∂∂∂∂有关。
②非梯度形：与状态变量梯度无关。
（现学的本构方程属于这类）。
短程系统：①老化；②非老化。
力学中研究的对象为：短程，非梯度型，非老化。
干扰→引起响应)(蠕变后效即时的移去干扰→消减响应不可逆响应部分可逆响应部分于是可得出以下的分类框图（未考虑材料的损伤）通常将（热）弹性、塑性和粘性视作基本的流变模型。
其实材料在一定条件下，一般地可用上述三种模型之一或其组合来模拟。
如：弹塑性、粘弹性、粘塑性、弹-粘塑性等。
如上所述，这种流变分类法不是固有的，而是一种人为的分类方法，它只是提供材料一般性质的参考框架。
给定材料的行为，只相对于预期的用途和期望的精度而言，才可用一种流变模型来表示。
例如室温下的钢、按其设计用及期望精度可被视为下列模型：①线弹性的——对于结构的静力分析（小变形）②粘弹性的——对于振动阻尼分析③刚塑性的——对于塑性极限分析（土木）④弹性强化的——对精确计算残余变形⑤弹粘塑性的——对应力松驰分析⑥韧性损伤的——对于求加工限度（成型极限，分几次成型）⑦疲劳损伤的——对于估计构件寿命时。
2．状态变量（参数）力学-热学系统的状态要有一定的变量来描述或确定，称为状态变量。
状态变量变化必定引起或对应于状态变化，称为过程。
状态变量分两类：①独立的状态变量；②可用独立状态变量来表示的，称为状态函数。
体积V、应变（ε）、温度（T）称为独立变量，压力p，应力（T）、内能（u）或自由能（ψ），熵（s）、热流矢（h）称为状态函数。
状态变量之间的函数关系系，称为本构方程。
在空气动力学中称状态方程。
应变、组分浓度等称为运动性状态变量，与绝对温度一起构成为独立状态变量。
也可以应力作为独立状态变量。
相应地应变为状态函数。
广义虎克定律中可用应变表示应力，反之也行。
状态函数中有一类特殊函数，称为态函数，即此类函数只与独立状态变量的值有关，而与变化的过程（历史）无关，具体地说，与独立的状态变量的变率ε 、T 无关，e，ψ、s 等是态函数，它们的增量是数学中的全微分。
§8.2 本构方程的表述方法三大方法：1．微观方法：在原子、分子或晶粒尺度上来考虑或模型材料的变形或断裂，再将微观变量（位错浓度、孔洞浓度、构成等）加以整体化或平均化，以获材料的客观行为（该法距离应用还远）。
对于微体力学，要用微观方法，如生物力学中血管流动力学等。
2．热力学方法：引入等价于真实介质的均匀介质（均匀、连续假设），引入宏观的内变量来反映材料行为的不可逆过程，即材料的历史相关性。
用 ,3,2,1(=k k α，熊书77页）表示内变量，则本构方程可表示为：()())()T T ,,,,,,h h ,,k k k k k k k k T q s s T q T q T q ααψψαα===(=其中，T 为Euler （Cauchy ）应力张量，s 为比熵，ψ为比自由能（也可用比内能u ，Ts u -=ψ），h 为热流矢。
上述四类本构方程中，若为可逆过程，则k q 没有出现，若为不可逆过程，则k q 出现，由于k q 的出现，多了未知数，因此，还要建立内变量的变化规律为（率方程）：),,(k k k k q T q qα = 3．泛函表述法（上面用“∧”表示泛函）：[()()]()()]()()]()()]()()]ˆT Tx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆh hx X ,,X ,,X ,t T t t t T t t u ut T t t s st T t t t T t t ψψ''''=''''=[''''=[''''=[''''=[ 其中，左边的量与2中叙述相同，右边的量为：X '为该单元体以外所有的质点（长程系统），X 为该单元体内的质点，t '：表示时刻t 以前的所有的时间（∞-≤t '≤t ）。
最后导出一个积分型的遗传规律（与历史有关），这个规律表示材料的特征函数。
微观方法难在：微观变量不好测量，且平均化有误差。
热力学方法难在：①引入的势函（自由能ψ，耗散势）难于直接观测；②内变量按定义就是不可直接观测的，有人为的任意性。
泛函方法难在：具体写出泛函数的形式。
粘弹性力学用泛函方法，但不是直接写出泛函的形式，而是一个积分形式。
微观和宏观相结合的方法建立了本构方程，目前有用。
§8.3 本构方程的原理（相当于工程中的规范）1．确定性原理：认为任何力学—热学状态都是可确定的。
ⅡXx牛顿经典力学确定性原理：只要知道初始状态就可知任何状态。
近代力学确定性原理：只要知道现在和历史，方可知未来。
但现在的浑沌问题具有不确定性。
令：τ-=t t *，为从现时刻t 回到τ时刻的经过的时间。
物质点X 在t 时刻以前的变形史()()t t *x X , 0*=t 为现时刻，0*>t 为过去时刻。
或记为：()((t t ττ-)=)x X ,x X , 按确定性原理写出的本构方程为：()()()t t t =ˆT X ,Tx ;X , 其中ˆT称为本构泛函——单值性。
2．局部作用原理（短程原理）只与本身单元有关，与周围无关。
即：离开物质点X 有限距离之外的物质点的变形史与X 点的应力无关。
以X 为中心取一领域()R X()R ∈z X 即 δ-<z X设()x t 和()ˆxt 是二个变形史，在()R X 内的物质点变形史完全一样，但在()R X 以外的物质点的变形史不一样，根据确定性原理，分别写出其本构方程，于是有：()()()()t t t t =ˆˆˆTx ;X ,T x ;X , 3．客观性原理：（时空系无关原理，标架无关原理）材料本构方程完全决定于材料本身的本构属性。
材料的本构方程与观察者所处的时空系无关；作相对运动的两个观察者观测同一个本构实验，应得到同一个本构方程。
以上为Noll 三原则（1958年），后又提出以下原理（进一步完善）。
4．短暂记忆原理衰减记忆过去∞-tτ5．坐标系不变性原理本构方程是张量方程，张量是坐标系不变的。
6．许可性原理本构方程不违反守恒定律和熵不等式。
7．等存在性原理各类本构方程所包含的状态变量相同。
如果对一类本构方程证明某个变量难排除，则一般地在其它级本构方程中也不包含该变量。